精品解析：天津市崇化中学2025-2026学年高三上学期期初阶段质量检测数学试题

2025-2026学年第一学期高三数学期初阶段质量检测 一、选择题（每题5分，共45分） 1. 已知集合，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知 则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设随机变量，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.4 D. 0.6 4. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 5. 已知某扇形的周长为8，则当此扇形的面积最大时，半径为（ ） A. 2 B. 4 C. 0.5 D. 0.25 6. 已知，则实数的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 函数的图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 8. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 9. 某公司研发新产品投入金额（单位：万元）与该产品的收益（单位：万元）的5组统计数据如下表所示．由表中数据用最小二乘法求得投入金额与收益满足经验回归方程，则下列结论不正确的是（ ） 5 7 8 9 11 16 22 24 27 31 A. B. 时，残差为 C. 与有正相关关系 D. 当新产品投入金额为5万元时，该产品的收益大约为万元 二、填空题（每题5分，共30分） 10. 在中，，则___________． 11. 设，若（其中为虚数单位）是纯虚数，则___________． 12. 若，则等于___________． 13. 已知甲盒产品中有4个正品和2个次品，乙盒产品中有3个正品和2个次品，若从甲盒中任取2个产品，则这2个产品中有一个为正品的条件下，另一个为次品的概率__________.若先从甲盒中任取2个产品，放入乙盒，再从乙盒任取一个产品，则取出的这个产品是正品的概率为__________. 14. 若函数在上单调递增，则实数的最小值为___________． 15. 若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为___________． 三、解答题（18+18+19+20共75分） 16. 已知二项式的展开式中各项的二项式系数之和为32． （1）求； （2）求展开式的系数和； （3）求展开式中的系数； （4）求展开式的第四项． 17. 已知函数． （1）求在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）时，对于，不等式成立，求实数的取值范围． 18. 在某次世界乒乓球锦标赛的团体比赛中，中国队将对阵韩国队．比赛实行5局3胜制，根据以往战绩，中国队在每一局中获胜的概率都是． （1）求中国队以的比分获胜的概率； （2）设事件“韩国队先胜第一局”，设事件“中国队获得最终的胜利”，求； （3）假设全场比赛的局数为随机变量，在韩国队先胜第一局的前提下，求的分布列和数学期望． 19. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）证明：； （3）若，且，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期高三数学期初阶段质量检测 一、选择题（每题5分，共45分） 1. 已知集合，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由并集和补集的运算得出即可. 【详解】由，所以， 故选：A． 2. 已知 则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分不必要条件的定义结合指数运算判断即可. 【详解】已知  当时，，所以， 当，根式没有意义， 则p是q的充分不必要条件. 故选：A. 3. 设随机变量，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.4 D. 0.6 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求解. 【详解】由于随机变量,所以， 又因为 所以， 所以. 故选：B 4. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，由复数的运算及虚部的概念可得结果. 【详解】设，则， 由，可得，化简得， 从而，即，所以，的虚部为. 故选：B. 5. 已知某扇形的周长为8，则当此扇形的面积最大时，半径为（ ） A. 2 B. 4 C. 0.5 D. 0.25 【答案】A 【解析】 【分析】设扇形所在圆的半径为，弧长为，得到，结合扇形的面积公式和二次函数的性质，即可求解. 【详解】设扇形所在圆的半径为，弧长为，可得， 所以扇形的面积为， 于是，当时，扇形的面积最大. 故选：A 6. 已知，则实数的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性可得大小关系. 【详解】因为，故， 而， 而， 故， 故选：D. 7. 函数的图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇偶性判断A；验证的值判断B；根据奇偶性、单调性判断C；根据单调性判断D. 【详解】由图象知，该函数图象关于原点对称，所以函数为奇函数，且， 对于A，，为偶函数，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，为奇函数，当时，， 因为，在为单调递增函数，所以在单调递增，故C正确； 对于D，当时，，，所以时，， 单调递增，当时，，单调递减，故D错误， 故选：C. 8. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可. 【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增， 所以在定义域上单调递减， 显然， 所以根据零点存在性定理可知的零点位于. 故选：B 9. 某公司研发新产品投入金额（单位：万元）与该产品的收益（单位：万元）的5组统计数据如下表所示．由表中数据用最小二乘法求得投入金额与收益满足经验回归方程，则下列结论不正确的是（ ） 5 7 8 9 11 16 22 24 27 31 A. B. 时，残差为 C. 与有正相关关系 D. 当新产品投入金额为5万元时，该产品的收益大约为万元 【答案】B 【解析】 【分析】根据线性回归和最小二乘法知识进行求解即可. 【详解】根据表中数据可求得： ，. 因为经验回归方程经过点，得. 解得，所以A正确； 所以经验回归方程为. 当时，， 所以残差为，所以B错误； 因为经验回归方程为，，所以正相关，所以C正确； 令，则，所以D正确. 故选：B. 二、填空题（每题5分，共30分） 10. 在中，，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据同角的三角函数的基本关系式可求正切值. 【详解】因为且为三角形内角，故为钝角，故， 故， 故答案为： 11. 设，若（其中为虚数单位）是纯虚数，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】先把化简，进而利用纯虚数求出的值，从而把化简可得结果. 【详解】因为是纯虚数， 所以，解得，则. 于是. 故答案为： 12. 若，则等于___________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用求出，再利用对数的运算公式代入化简求值. 【详解】由 ，可得：， 利用对数换底公式 ，有：， 代入 ，， ， 因此：. 故答案为： 13. 已知甲盒产品中有4个正品和2个次品，乙盒产品中有3个正品和2个次品，若从甲盒中任取2个产品，则这2个产品中有一个为正品的条件下，另一个为次品的概率__________.若先从甲盒中任取2个产品，放入乙盒，再从乙盒任取一个产品，则取出的这个产品是正品的概率为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由条件概率公式得到第一个空；由超几何分布，分别计算出从甲中取出的是两个正品、一个正品一个次品、两个次品的概率，再由全概率公式得到第二个空的答案. 【详解】设事件为“从甲中取出的件产品中有一个为正品”，事件为“从甲中取出的个产品中有一个为次品”， 则，，所以； 设事件为“从乙中取出的这个产品是正品”，事件为“从甲中取出两个正品”， 事件为“从甲中取出一个正品、一个次品”，事件为“从甲中取出两个次品”， 则， ， 由全概率公式得. 故答案为：；. 14. 若函数在上单调递增，则实数的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性得出恒成立，结合指数函数的最值得出的最值. 【详解】令，因为单调递增， 且函数在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以在上， 所以恒成立， 在上单调递减，所以， 所以， 则实数的最小值为. 故答案为：. 15. 若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，由成立，当，转化为不等式在上恒成立，令，由在上递增，由在上恒成立求解. 【详解】由题意得，当 ，不等式在上恒成立， 当，不等式在上恒成立， 所以不等式在上恒成立， 令，则不等式在上恒成立， 因为，所以在上递增， 所以在上恒成立，显然，不等式在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 当时，；当时，， 当时，，所以，则， 所以 故答案为： 三、解答题（18+18+19+20共75分） 16. 已知二项式的展开式中各项的二项式系数之和为32． （1）求； （2）求展开式的系数和； （3）求展开式中的系数； （4）求展开式的第四项． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）二项式定理所有二项式系数和为代入即可； （2）令即可求得所有系数的和； （3）写出二项式的通项，可求得；（4）根据第三小问的通项即可求得. 【小问1详解】 因为二项式的展开式中各项的二项式系数之和为32，即，所以. 【小问2详解】 令，，所以展开式的系数和为. 【小问3详解】 二项式展开式的通项为：，令，解得，所以当时，，所以展开式中的系数为. 【小问4详解】 令，，所以展开式的第四项为. 17. 已知函数． （1）求在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）时，对于，不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 当，在上单调递增； 当或，的单调递增区间为，， 单调递减区间为； （3） 【解析】 【分析】（1）由导数得几何意义求出斜率，再利用点斜式方程求出即可； （2）分、两种情况讨论判断的正负性即可； （3）利用单调性和奇偶性解得恒成立，最后利用参变分离即可. 【小问1详解】 由题意可得，，则， 又，则在处的切线方程为； 【小问2详解】 ，， 若，则，则，则在上单调递增； 若或，则，由得，或， 由得，， 则的单调递增区间为，， 单调递减区间为； 【小问3详解】 时，，由（2）可知，在上单调递增， 又，则为奇函数， 故可化为，即， 故对于，恒成立，即恒成立， 因，当且仅当时等号成立，故， 则实数的取值范围为. 18. 在某次世界乒乓球锦标赛的团体比赛中，中国队将对阵韩国队．比赛实行5局3胜制，根据以往战绩，中国队在每一局中获胜的概率都是． （1）求中国队以的比分获胜的概率； （2）设事件“韩国队先胜第一局”，设事件“中国队获得最终的胜利”，求； （3）假设全场比赛的局数为随机变量，在韩国队先胜第一局的前提下，求的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2） （3）的分布列为： 3 4 5 【解析】 【分析】（1）由题意可知中国队前三局都获胜，根据公式计算即可； （2）由题意，有两种情况：①中国队连胜3局，②中国队在2到4局中胜2局，再胜第5局，利用公式计算即可； （3）由题意知，分别求出对应的概率，列出分布列，求出数学期望即可. 【小问1详解】 设中国队以的比分获胜的事件为， 则. 【小问2详解】 在韩国队先胜第一局的前提下，中国队获得最终的胜利有2种情况： ①中国队连胜3局，此时的概率为：； ②中国队在2到4局中胜2局，再胜第5局， 此时概率为：； 所以. 【小问3详解】 由题意知， 则， ， ， 所以的分布列为： 3 4 5 则. 19. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）证明：； （3）若，且，求证：． 【答案】（1）单调递减区间为，无单调递增区间 （2）证明:要证，即证， 只要证. 而， 设，，则， 令，得；令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则，则当时，. 令，，则， 故在上单调递增， 则，即. 综上所述，，则. （3）证明:由，且，则， 由（1）可知，函数在上单调递减，所以， 由（2）可知，当时，，即，即； 所以， 当且仅当时等号成立，则. 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数分析求解即可； （2）将问题转化为证明，再构造，，通过证明即可证明； （3）结合的单调性可得，再根据（2）中所得可知，结合基本不等式即可证明. 【小问1详解】 由，， 则， 设， 则， 令，得；令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则， 则函数的单调递减区间为，无单调递增区间. 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $