精品解析：四川省德阳市中江县2020-2021学年九年级下学期4月份月考数学试卷

九 年级 数学 科试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分） 1. 的倒数为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查倒数的概念，掌握概念是解决问题的关键．利用倒数的概念判断即可． 【详解】解：的倒数为． 故选：C． 2. 下列运算正确的是（　　） A. a2•a3＝a6 B. （3a）3 ＝9a3 C. 3a﹣2a＝1 D. （﹣2a2）3＝﹣8a6 【答案】D 【解析】 【分析】利用同底数幂的乘法法则、积的乘方运算法则、合并同类项法则分别进行计算即可． 【详解】A、a2•a3=a5，故原计算错误； B、(3a)3 =27a3，故原计算错误； C、3a﹣2a=a，故原计算错误； D、(﹣2a2)3=﹣8a6，故原计算正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法、积的乘方运算、合并同类项、幂的乘方运算，关键是掌握各计算法则． 3. 如图，直线，，是截线且交于点，若，，则（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依据∠2是△ABC的外角，即可得到∠A＝∠2−∠1＝40°． 【详解】如图， ∵∠2是△ABC的外角， ∴∠A＝∠2−∠1＝100°−60°＝40°， 故选A． 【点睛】本题主要考查了三角形外角性质以及平行线的性质的运用，解题时注意：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 4. 下列说法正确的是（） A. “明天降雨的概率为50%”，意味着明天一定有半天都在降雨 B. 了解全国快递包裹产生的包装垃圾数量适合采用全面调查（普查）方式 C. 掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止转动后，6点朝上是必然事件 D. —组数据的方差越大，则这组数据的波动也越大 【答案】D 【解析】 【分析】根据概率的意义，事件发生可能性的大小，可得答案． 【详解】A、明天降雨的概率是50%表示明天有可能降雨，此选项错误； B、了解全国快递包裹产生的包装垃圾数量适合采用抽样调查方式，此选项错误； C、掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止转动后，6点朝上是随机事件，此选项错误； D、一组数据的方差越大，则这组数据的波动也越大，此选项正确； 故选D． 【点睛】本题考查了概率的意义、随机事件，利用概率的意义，事件发生可能性的大小是解题关键． 5. 若一个多边形的内角和为其外角和的2倍，则这个多边形为（　　） A. 六边形 B. 八边形 C. 十边形 D. 十二边形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和定理和外角和．多边形的外角和是，则内角和是．设这个多边形是n边形，内角和是，这样就得到一个关于n的方程，从而求出边数n的值． 【详解】解：设这个多边形是n边形，根据题意，得 ， 解得：，即这个多边形为六边形． 故选：A． 6. 《居室内空气中甲醛的卫生标准》（GB/T16127-1995）规定：居室内空气中甲醛的最高容许浓度为0.00008g/m3．将0.00008用科学记数法可表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】0.00008=8×10-5． 故选D． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 7. 半径为R的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系是（　　） A. abc B. bac C. acb D. cba 【答案】A 【解析】 【分析】分别画出符合题意的图形，利用直角三角形 利用三角函数求解边心距，再比较大小即可． 【详解】解：设圆的半径为R， 如图， 由为圆内接正三角形， 则正三角形的边心距为a＝R×cos60°＝R． 如图，四边形为圆的内接正方形， 四边形的边心距为b＝R×cos45°＝R， 如图，六边形为圆的正内接六边形， 正六边形的边心距为c＝R×cos30°＝R． ∵RRR， ∴＜b＜， 故选：．本题主要考查了正多边形和圆的性质，解决本题的关键是构造直角三角形，得到用半径表示的边心距；注意：正多边形的计算一般要转化为解直角三角形的问题来解决． 8. 已知函数，当函数值为3时，自变量x的值为（　　） A. ﹣2 B. ﹣ C. ﹣2或﹣ D. ﹣2或﹣ 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式分别计算，即可得出结论． 【详解】解：若x＜2，当y=3时，﹣x+1=3， 解得：x=﹣2； 若x≥2，当y=3时，﹣=3， 解得：x=﹣，不合题意舍去； ∴x=﹣2， 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质、一次函数的图象上点的坐标特征；根据分段函数进行分段求解是解题的关键． 9. 如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的表面积是（　　） A. 20π B. 18π C. 16π D. 14π 【答案】B 【解析】 【分析】由几何体的三视图可得出原几何体为圆锥和圆柱组合体，根据图中给定数据求出表面积即可． 【详解】由几何体的三视图可得出原几何体为圆锥和圆柱组合体，且底面半径为， ∴这个几何体的表面积 =底面圆的面积+圆柱的侧面积+圆锥的侧面积 =22π+222π+32π=18π， 故选：B． 【点睛】本题考查了由三视图判断几何体、圆锥和圆柱的计算，由几何体的三视图可得出原几何体为圆锥和圆柱组合体是解题的关键． 10. 如图，将边长为的正方形绕点逆时针旋转，那么图中阴影部分的面积为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接BM，根据旋转的性质和四边形的性质，证明△ABM≌△C′BM，得到∠2＝∠3＝30°，利用三角函数和三角形面积公式求出△ABM的面积，再利用阴影部分面积＝正方形面积−2△ABM的面积即可得到答案． 【详解】连接BM， 在△ABM和△C′BM中， ∴△ABM≌△C′BM， ∠2＝∠3＝＝30°， 在△ABM中，AM＝×tan30°＝1， S△ABM＝×AM×AB＝， 正方形的面积为：()2＝3， 阴影部分的面积为：3−2×＝3−， 故选C． 【点睛】本题考查旋转的性质和正方形的性质，利用旋转的性质和正方形的性质证明两三角形全等是解决本题的关键． 11. 已知的对角线，相交于点，是等边三角形，且，则等于（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质得出，利用平行四边形的性质和矩形的判定解答即可． 【详解】解：如图， ∵是等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 在中，， 故选D． 【点睛】此题考查平行四边形的性质，矩形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，关键是根据平行四边形的性质解答即可． 12. 已知不等式ax+b0的解集为x2，则下列结论正确的个数是（　　） （1）2a+b＝0； （2）当ca时，函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴没有公共点； （3）当c0时，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点在直线y＝ax+b的上方； （4）如果b3且2a﹣mb﹣m＝0，则m的取值范围是﹣m0． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式的解集得出a＜0，﹣=2，即b=﹣2a，从而得出2a+b=0，即可判断（1）；根据△=4a（a﹣c）＞0即可判断（2）；求得抛物线的顶点为（1，a﹣c）即可判断（3）；求得0＜﹣＜3，得出不等式组的解集为﹣＜m＜0即可判断（4）． 【详解】（1）∵不等式ax+b＞0的解集为x＜2， ∴a＜0，﹣=2，即b=﹣2a， ∴2a+b=0，故结论正确； （2）函数y=ax2+bx+c中，令y=0，则ax2+bx+c=0， ∵b=﹣2a， ∴△=b2﹣4ac=（﹣2a）2﹣4ac=4a（a﹣c）， ∵a＜0，c＞a， ∴△=4a（a﹣c）＞0， ∴当c＞a时，函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，故结论错误； （3）∵b=﹣2a， ∴﹣=1，==c﹣a， ∴抛物线y=ax2+bx+c顶点为（1，c﹣a）， 当x=1时，直线y=ax+b=a+b=a﹣2a=﹣a＞0 当c＞0时，c﹣a＞﹣a＞0， ∴抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线y=ax+b的上方，故结论正确； （4）∵b=﹣2a， ∴由2a﹣mb﹣m=0，得到﹣b﹣mb﹣m=0， ∴b=﹣， 如果b＜3，则0＜﹣＜3， ∴﹣＜m＜0，故结论正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，一次函数的性质，二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，由题意得到b=﹣2a是解题的关键． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填在答题卡对应的题号后的横线上） 13. 某学校科学兴趣小组为了了解自己育种的树苗的生长情况，随机抽取株树苗测量其高度，统计结果如表： 高度 株数 由此估计这批树苗的平均高度为______． 【答案】53 【解析】 【分析】根据平均值的计算方法进行计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意得估计这批树苗的平均高度为：， 故答案为：53． 【点睛】本题考查平均值，解题的关键是熟练掌握平均值的计算方法． 14. 分解因式___________ 【答案】 【解析】 【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】原式＝2x（y2＋2y＋1）＝2x（y＋1）2， 故答案为2x（y＋1）2 【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 15. 如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，CF⊥BE，连接AE，G是AB的中点，连接GF，若AE＝4，则GF＝_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质结合角平分线的定义可求解∠CBE=∠BEC，即可得CB=CE，利用等腰三角形的性质得到BF=EF，进而可得GF是△ABE的中位线，根据三角形的中位线的性质可求解． 【详解】平行四边形ABCD中，AB∥CD， ∴∠ABE=∠BEC． ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠CBE， ∴∠CBE=∠BEC， ∴CB=CE． ∵CF⊥BE， ∴BF=EF． ∵G是AB的中点， ∴GF是△ABE的中位线， ∴GF=AE， ∵AE=4， ∴GF=2． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，证明GF是△ABE的中位线是解题的关键． 16. 将正偶数按照如下规律进行分组排列，依次为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）…，我们称“4”是第2组第1个数字，“16”是第4组第2个数字，若2020是第m组第n个数字，则m+n＝_____． 【答案】65 【解析】 【分析】根据题目中数字的特点，可知每组的个数依次增大，每组中的数字都是连续的偶数，然后即可求出2020是多少组第多少个数，从而可以得到m、n的值，然后即可得到m+n的值． 【详解】解：∵将正偶数按照如下规律进行分组排列，依次为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）…， ∴第m组有m个连续的偶数， ∵2020＝2×1010， ∴2020是第1010个偶数， ∵1+2+3+…+44＝＝990，1+2+3+…+45＝＝1035， ∴2020是第45组第1010－990＝20个数， ∴m＝45，n＝20， ∴m+n＝65． 故答案为：65． 【点睛】本题考查探索规律，认真观察所给数据总结出规律是解题的关键． 17. 将直线y＝﹣x+8向下平移m个单位后，与直线y＝3x+6交点在第二象限，则m的取值范围是_____． 【答案】2＜m＜10 【解析】 【分析】将直线y=-x+8向下平移m个单位后可得：y=-x+8-m，求出直线y=-x+8-m与直线y=3x+6的交点，再由此点在第二象限可得出m的取值范围． 【详解】解：将直线y=-x+8向下平移m个单位后可得：y=-x+8-m， 联立两直线解析式得：， 解得：， 即交点坐标为， ∵交点在第二象限， ∴， 解得：2＜m＜10． 故答案为2＜m＜10． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换、两直线的交点坐标，注意第二象限的点的横坐标小于0、纵坐标大于0． 18. 如图，海中有一小岛A，它周围10.5海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行．在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，那么渔船还需航行_____海里就开始有触礁的危险． 【答案】4.5 【解析】 【分析】过A作AC⊥BD于点C，求出∠CAD、∠CAB的度数，求出∠BAD和∠ABD，根据等角对等边得出AD＝BD＝12，根据含30度角的直角三角形性质求出CD，根据勾股定理求出AC即可． 【详解】解： 如图，过A作AC⊥BD于点C，则AC的长是A到BD的最短距离， ∵∠CAD＝30°，∠CAB＝60°， ∴∠BAD＝60°﹣30°＝30°，∠ABD＝90°﹣60°＝30°， ∴∠ABD＝∠BAD， ∴BD＝AD＝12海里， ∵∠CAD＝30°，∠ACD＝90°， ∴CD＝AD＝6海里， 由勾股定理得：AC＝＝6（海里）， 如图，设渔船还需航行x海里就开始有触礁的危险，即到达点D′时有触礁的危险， 在直角△AD′C中，由勾股定理得：（6﹣x）2+（6）2＝10.52． 解得x＝4.5． 渔船还需航行 4.5海里就开始有触礁的危险． 故答案是：4.5． 【点睛】本题主要考查方位角及勾股定理，关键是根据题意得到角的度数，然后利用特殊角的关系及勾股定理进行求解即可． 三、解答题（本大题共7小题，共78分．答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 19. 计算：． 【答案】． 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的综合运算，包括负整数指数幂、二次根式化简、特殊三角函数值、零指数幂以及绝对值的化简．熟练掌握负整数指数幂公式为为正整数，特殊三角函数值，零指数幂公式以及绝对值的化简方法是解题的关键．分别根据相应的运算法则对各项进行化简，然后再进行加减运算． 【详解】解： ． 20. 如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，BC＝AD，点E为AD的中点，点F为AE的中点，AC⊥CD，连接BE、CE、CF． （1）判断四边形ABCE的形状，并说明理由； （2）如果AB＝4，∠D＝30°，点P为BE上的动点，求△PAF的周长的最小值． 【答案】（1）四边形ABCE是菱形，理由见解析；（2）△PAF的周长的最小值为+2． 【解析】 【分析】（1）先证明四边形ABCE是平行四边形，再结合直角三角形斜边中线的性质得出CE=AE，从而可得到四边形ABCE是菱形； （2）当PA+PF最小时，△PAF的周长最小．由（1）知四边形ABCE是菱形，得点A、C关于BE对称，得出PC=AP，即点P为CF与BE的交点时，C，P，F三点共线，PA+PF=PC+PF最小，此时△PAF的周长=PA+PF+AF=CF+AF．再证明△ACE是等边三角形，得AC=AE=CE=4，又根据AF=AE=2，结合勾股定理可得出CF的长，从而可得出结果． 【详解】解：（1）四边形ADCE是菱形，理由如下： ∵点E是AD的中点，∴AE=AD． ∵BC=AD，∴AE=BC． ∵BC∥AD，即BC∥AE． ∴四边形ABCE是平行四边形． ∵AC⊥CD，点E是AD的中点， ∴CE=AE， ∴四边形ABCE是菱形； （2）由（1）得，四边形ABCE是菱形． ∴AE=EC=AB=4，且点A、C关于BE对称， ∴AP=CP． ∴当PA+PF最小时，△PAF的周长最小， 即点P为CF与BE的交点时，C，P，F三点共线，PA+PF=PC+PF最小， 此时△PAF的周长=PA+PF+AF=CP+PE+AF=CF+AF． 在Rt△ACD中，点E是AD的中点，则CE=DE， ∴∠ECD=∠D=30°， ∴∠ACE=90°-30°=60°， ∴△ACE是等边三角形， ∴AC=AE=CE=4． ∵AF=EF，∴CF⊥AE， ∵点F是AE的中点，AF=AE=2． ∴CF=， ∴△PAF的周长最小值=CF+AF=+2． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，轴对称-最短路线问题，平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练运用基本性质进行推理是解题的关键． 21. 某网络约车公司近期推出了”520专享”服务计划，即要求公司员工做到“5星级服务、2分钟响应、0客户投诉”，为进一步提升服务品质，公司监管部门决定了解“单次营运里程”的分布情况．老王收集了本公司的5000个“单次营运里程”数据，这些里程数据均不超过25（公里），他从中随机抽取了200个数据作为一个样本，整理、统计结果如下表，并绘制了不完整的频数分布直方图（如图）． 组别 单次营运里程“x“（公里） 频数 第一组 0＜x≤5 72 第二组 5＜x≤10 a 第三组 10＜x≤15 26 第四组 15＜x≤20 24 第五组 20＜x≤25 30 根据统计表、图提供的信息，解答下面的问题： （1）①表中a=　 　；②样本中“单次营运里程”不超过15公里的频率为　 　；③请把频数分布直方图补充完整； （2）请估计该公司这5000个“单次营运里程”超过20公里的次数； （3）为缓解城市交通压力，维护交通秩序，来自某市区的4名网约车司机（3男1女）成立了“交通秩序维护”志愿小分队，若从该小分队中任意抽取两名司机在某一路口维护交通秩序，请用列举法（画树状图或列表）求出恰好抽到“一男一女”的概率． 【答案】（1）①48；②0.73；③补图见解析；（2）750次；（3）恰好抽到“一男一女”的概率为． 【解析】 【分析】（1）①由条形图知a=48； ②样本中“单次营运里程”不超过15公里的频率为； ③根据各组频数补全图形； （2）用样本估计总体：该公司这5000个“单次营运里程”超过20公里的次数为5000×； （3）画出树状图，列出所有可能情况，可得恰好抽到“一男一女”的概率为. 【详解】（1）①由条形图知a=48； ②样本中“单次营运里程”不超过15公里的频率为=0.73； ③补全图形如下： 故答案为①48；②0.73； （2）估计该公司这5000个“单次营运里程”超过20公里的次数为5000×=750次； （3）画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中恰好抽到一男一女的结果数为6， ∴恰好抽到“一男一女”的概率为=. 【点睛】本题考核知识点：用样本估计总体，概率. 解题关键点：从统计图表获取信息，用画树状图方法求概率. 22. 如图，一次函数y1＝ax+b与反比例函数y2＝的图象交于A、B两点．点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1． （1）求a，b的值． （2）在反比例y2＝第三象限的图象上找一点P，使点P到直线AB的距离最短，求点P的坐标． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）首先确定A，B两点坐标，再利用待定系数法求解即可． （2）过点P作直线PM∥AB，当直线PM与反比例函数只有一个交点时，点P到直线AB的距离最短，构建方程组把问题转化为一元二次方程，利用判别式=0，构建方程求解即可． 【详解】（1）∵一次函数y1=ax+b与反比例函数y2=的图象交于A、B两点． 且点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1， ∴A（2，2），B（4，1）， 则有， 解得， ∴； （2）过点P作直线PM∥AB， 当直线PM与反比例函数只有一个交点时，点P到直线AB的距离最短， 设直线PM的解析式为y=﹣x+n， 由，消去y得到，x2﹣2nx+8=0， 由题意，， ∴4n2﹣32=0， ∴n=﹣2或2（舍弃）， 解得， ∴P（﹣2，﹣）． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 23. 某商场分两批购进同一种电子产品，第二批单价比第一批单价多10元，两批购进的数量和所用资金见下表： 购进数量（件） 所用资金（元） 第一批 x 16000 第二批 2x 34000 （1）该商场两次共购进这种电子产品多少件？ （2）如果这两批电子产品每件售价相同，除产品购买成本外，每天还需其他销售成本60元，第一批产品平均每天销售10件．售完后，因市场变化，第二批电子产品比第一批平均每天少销售2件，商场为了使这两批电子产品全部售完后总利润不低于20%，那么该商场每件电子产品的售价至少应为多少元？ 【答案】（1）商场两次共购进这种电子产品件； （2）该商场每件电子产品的售价至少应为元. 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程与一元一次不等式的应用，熟练掌握总价、数量、单价的关系以及利润的计算方法是解题的关键． （1）根据第二批单价比第一批单价多10元这一关系，结合总价、数量、单价的关系列出方程，求解出第一批购进数量，进而求出两次共购进的数量． （2）先求出两批销售分别用的天数，从而得到总销售成本，再根据总利润不低于20%这一条件，结合利润的计算关系列出不等式，求解出售价的最小值． 【小问1详解】 解：设第一批购进数量为件，则第一批单价为元，第二批单价为元，由题意得 ， 经检验，是原方程的解， ∴（件）， 答：商场两次共购进这种电子产品件； 【小问2详解】 解：第一批销售天数：（天）， 第二批销售天数：（天）， 总销售成本：（元）， 设每件售价元，由题意可得 , ∴该商场每件电子产品的售价至少应为元. 24. 如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，于点H，交⊙O于点E，点D为OE的延长线上一点，DC的延长线与BA的延长线交于点F﹐且，连结BD、AC、CE． （1）求证：DF为⊙O的切线； （2）过E作于点G，求证：； （3）如果，，求EG的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）连结OC，证明∠OBH+∠BOD=90°，可得∠BCD+∠OCB=90°，则结论得证； （2）证得∠ECG=∠HCE，根据AAS可证明△CHE≌△CGE； （3）由条件可得∠ACF=∠ABC，设AC=a，则AB=3a，由勾股定理得BC=a，证明△ACF∽△CFB，可得，求出CF=，BF=2，AB=1，则OC=，BC=，则HE=EG可得出答案． 【详解】（1）证明：如图，连结OC， ∵OE⊥BC， ∴∠OHB=90°， ∴∠OBH+∠BOD=90°， ∵OB=OC， ∴∠OBH=∠OCB， ∵∠BOD=∠BCD， ∴∠BCD+∠OCB=90°， ∴OC⊥CD， ∵点C⊙O上一点， ∴DF为⊙O的切线； （2）解：∵∠OCD=90°， ∴∠ECG+∠OCE=90°， ∵OC=OE， ∴∠OCE=∠OEC， ∴∠ECG+∠OEC=90°， ∵∠OEC+∠HCE=90°， ∴∠ECG=∠HCE， 在△CHE和△CGE中， ， ∴△CHE≌△CGE（AAS）； （3）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠ABC+∠BAC=90°， ∵DF为⊙O的切线， ∴∠OCA+∠FCA=90°， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA， ∴∠FCA=∠ABC， ∴，设AC=，则AB=3a， ∴， ∵∠FCA=∠ABC，∠AFC=∠CFB， ∴△ACF∽△CFB， ∴， ∵AF=1， ∴CF=， ∴， ∴BF-AF=AB=1， ∴， ∵OE⊥BC， ∴， ∴， ∴HE=OE-OH=， ∵△CHE≌△CGE， ∴EG=HE=． 【点睛】本题考查圆综合题、切线的判定和性质、垂径定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题． 25. 如图，已知抛物线经过原点，与轴交于另一点，它的对称轴与轴交于点C，直线经过抛物线上一点，且与轴、直线分别交于点，． （1）求抛物线对应的函数解析式并用配方法把这个解析式化成的形式； （2）求证：； （3）在对称轴上是否存在点，使是直角三角形？如果存在，请求出点的坐标，并求出的面积；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）存在，当，；当， 【解析】 【分析】（1）点在直线上，代入可求的值，从而求出点的坐标；已知抛物线的对称轴为，可设顶点式，代入点和点解方程即可； （2）点为直线与直线的交点，联立可求出点的坐标，从而得到的长度；过点作垂直于轴于点，作垂直于直线于点，交轴于点，运用勾股定理可求出、、的长度和等量关系，由等腰三角形底边的中线也是垂线得证； （3）分类讨论，当时，点与点重合，过点作垂直，交延长线于点，可证是底边上的高，从而求出的面积；当时，可知，利用相似三角形对应边成比例求出点的坐标，过点作与轴平行的直线交延长线于点，得到梯形，运用割补法可求的面积． 【小问1详解】 解：直线经过点， ，， ， 抛物线与轴交于点和点，且对称轴为， ， 设抛物线的解析式为， 又抛物线与直线交于点， ， 解得， 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 证明：点为直线与直线的交点， ， ． 过点作垂直于轴于点，作垂直于直线于点，交轴于点， 点为直线与轴的交点， ，， 同理，， 在、、中，， 同理，， ， ． 【小问3详解】 存在点，使是直角三角形． ①当时，点与点重合，， 过点作垂直于，交延长线于点， ， ， ； ②当时，设，则， 在中，， ， ， 解得， ； 过点作与轴平行的直线交延长线于点，连接 ． 综上，当，；当，． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质和三角形的面积等，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式、勾股定理、相似三角形的判定与性质和割补法求三角形的面积是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九 年级 数学 科试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分） 1. 的倒数为（ ） A. 2 B. C. D. 2. 下列运算正确的是（　　） A. a2•a3＝a6 B. （3a）3 ＝9a3 C. 3a﹣2a＝1 D. （﹣2a2）3＝﹣8a6 3. 如图，直线，，是截线且交于点，若，，则（） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（） A. “明天降雨的概率为50%”，意味着明天一定有半天都在降雨 B. 了解全国快递包裹产生的包装垃圾数量适合采用全面调查（普查）方式 C. 掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止转动后，6点朝上是必然事件 D. —组数据的方差越大，则这组数据的波动也越大 5. 若一个多边形的内角和为其外角和的2倍，则这个多边形为（　　） A. 六边形 B. 八边形 C. 十边形 D. 十二边形 6. 《居室内空气中甲醛的卫生标准》（GB/T16127-1995）规定：居室内空气中甲醛的最高容许浓度为0.00008g/m3．将0.00008用科学记数法可表示为（　　） A. B. C. D. 7. 半径为R圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系是（　　） A. abc B. bac C. acb D. cba 8. 已知函数，当函数值为3时，自变量x的值为（　　） A. ﹣2 B. ﹣ C. ﹣2或﹣ D. ﹣2或﹣ 9. 如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的表面积是（　　） A. 20π B. 18π C. 16π D. 14π 10. 如图，将边长为的正方形绕点逆时针旋转，那么图中阴影部分的面积为（） A. B. C. D. 11. 已知的对角线，相交于点，是等边三角形，且，则等于（ ） A 2 B. 4 C. D. 12. 已知不等式ax+b0的解集为x2，则下列结论正确的个数是（　　） （1）2a+b＝0； （2）当ca时，函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴没有公共点； （3）当c0时，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点在直线y＝ax+b的上方； （4）如果b3且2a﹣mb﹣m＝0，则m取值范围是﹣m0． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填在答题卡对应的题号后的横线上） 13. 某学校科学兴趣小组为了了解自己育种的树苗的生长情况，随机抽取株树苗测量其高度，统计结果如表： 高度 株数 由此估计这批树苗的平均高度为______． 14. 分解因式___________ 15. 如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，CF⊥BE，连接AE，G是AB的中点，连接GF，若AE＝4，则GF＝_____． 16. 将正偶数按照如下规律进行分组排列，依次为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）…，我们称“4”是第2组第1个数字，“16”是第4组第2个数字，若2020是第m组第n个数字，则m+n＝_____． 17. 将直线y＝﹣x+8向下平移m个单位后，与直线y＝3x+6交点在第二象限，则m的取值范围是_____． 18. 如图，海中有一小岛A，它周围10.5海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行．在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，那么渔船还需航行_____海里就开始有触礁危险． 三、解答题（本大题共7小题，共78分．答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 19. 计算：． 20. 如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，BC＝AD，点E为AD的中点，点F为AE的中点，AC⊥CD，连接BE、CE、CF． （1）判断四边形ABCE的形状，并说明理由； （2）如果AB＝4，∠D＝30°，点P为BE上的动点，求△PAF的周长的最小值． 21. 某网络约车公司近期推出了”520专享”服务计划，即要求公司员工做到“5星级服务、2分钟响应、0客户投诉”，为进一步提升服务品质，公司监管部门决定了解“单次营运里程”的分布情况．老王收集了本公司的5000个“单次营运里程”数据，这些里程数据均不超过25（公里），他从中随机抽取了200个数据作为一个样本，整理、统计结果如下表，并绘制了不完整的频数分布直方图（如图）． 组别 单次营运里程“x“（公里） 频数 第一组 0＜x≤5 72 第二组 5＜x≤10 a 第三组 10＜x≤15 26 第四组 15＜x≤20 24 第五组 20＜x≤25 30 根据统计表、图提供的信息，解答下面的问题： （1）①表中a=　 　；②样本中“单次营运里程”不超过15公里的频率为　 　；③请把频数分布直方图补充完整； （2）请估计该公司这5000个“单次营运里程”超过20公里的次数； （3）为缓解城市交通压力，维护交通秩序，来自某市区的4名网约车司机（3男1女）成立了“交通秩序维护”志愿小分队，若从该小分队中任意抽取两名司机在某一路口维护交通秩序，请用列举法（画树状图或列表）求出恰好抽到“一男一女”的概率． 22. 如图，一次函数y1＝ax+b与反比例函数y2＝的图象交于A、B两点．点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1． （1）求a，b的值． （2）在反比例y2＝第三象限的图象上找一点P，使点P到直线AB的距离最短，求点P的坐标． 23. 某商场分两批购进同一种电子产品，第二批单价比第一批单价多10元，两批购进的数量和所用资金见下表： 购进数量（件） 所用资金（元） 第一批 x 16000 第二批 2x 34000 （1）该商场两次共购进这种电子产品多少件？ （2）如果这两批电子产品每件售价相同，除产品购买成本外，每天还需其他销售成本60元，第一批产品平均每天销售10件．售完后，因市场变化，第二批电子产品比第一批平均每天少销售2件，商场为了使这两批电子产品全部售完后总利润不低于20%，那么该商场每件电子产品的售价至少应为多少元？ 24. 如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，于点H，交⊙O于点E，点D为OE的延长线上一点，DC的延长线与BA的延长线交于点F﹐且，连结BD、AC、CE． （1）求证：DF为⊙O的切线； （2）过E作于点G，求证：； （3）如果，，求EG的长． 25. 如图，已知抛物线经过原点，与轴交于另一点，它的对称轴与轴交于点C，直线经过抛物线上一点，且与轴、直线分别交于点，． （1）求抛物线对应的函数解析式并用配方法把这个解析式化成的形式； （2）求证：； （3）在对称轴上是否存在点，使是直角三角形？如果存在，请求出点的坐标，并求出的面积；如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $