精品解析： 内蒙古师范大学附属中学2020-2021学年九年级数学下学期摸底考试数学试题

师大附中2020-2021学年九年级数学第二学期摸底考试 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在3.1415926、、、、π这五个数中，无理数有（　　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】无理数是指无限不循环小数，根据定义判断即可． 【详解】解：在3.1415926、、、、π这五个数中，无理数有、π共2个． 故选：C． 【点睛】本题考查了对无理数的定义的应用，注意：无理数包括：①含π的，②开方开不尽的根式，③一些有规律的数． 2. 下面是某同学在一次测验中的计算摘录，其中正确的个数有（ ） ①；②；③；④ A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】计算出各个小题中式子的正确结果，然后对照即可得到哪个选项是正确的． 【详解】解：①、，故①错误； ②、，故②正确； ③、，故③错误； ④、，故④错误； ∴正确的只有②， 故选A. 【点睛】本题考查整式的混合运算，解题的关键是明确整式的混合运算的计算方法． 3. 下列不等式变形错误的是（ ） A. 若 a＞b，则 1﹣a＜1﹣b B. 若 a＜b，则 ax2≤bx2 C. 若 ac＞bc，则 a＞b D. 若 m＞n，则＞ 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，逐项判断即可． 【详解】解：A、∵a＞b， ∴﹣a＜-b，1﹣a＜1﹣b ∴选项A不符合题意； B、∵a＜b，x2≥0， ∴ax2≤bx2， ∴选项B不符合题意； C、∵ac＞bc，c是什么数不明确， ∴a＞b不正确， ∴选项C符合题意； D、∵m＞n， ∴＞， ∴选项D不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了不等式的基本性质．解题的关键是掌握不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变． 4. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，列二元一次方程组． 【详解】解：设有x人，y辆车， 依题意得： ， 故选B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解决问题的关键是找出题中等量关系． 5. 抛一个杯口和杯底大小不同的纸杯，落地有三种可能性：①杯口向上②杯底向上③侧面着地，则杯口向上的概率为（ ） A. B. C. D. 只能用大量重复试验，频率估计概率的方法求得 【答案】D 【解析】 【分析】由于纸杯的杯口和杯底大小不同，所以落地后的三种可能性不是等可能发生的，据此解答即可． 【详解】解：由于纸杯的杯口和杯底大小不同，所以落地后的三种可能性：①杯口向上②杯底向上③侧面着地，不是等可能发生的，所以杯口向上的概率只能用大量重复试验，频率估计概率的方法求得． 故选：D． 【点睛】本题考查了随机事件以及频率与概率的关系，正确理解题意、明确大量重复试验条件下，事件发生的频率可以估计为概率是解题的关键． 6. 如图，将直尺与含角的三角尺摆放在一起，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角板可知，，根据平行线的性质得到，根据平角的定义计算即可． 【详解】解：如图， 根据三角板可知，， ∵直尺的对边平行， ∴， ∵， ∴． 7. 如图，在⊙O中，∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，则∠ABO的度数为（　　） A. 70° B. 55° C. 45° D. 35° 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理可得出∠AOB的度数，再由OA=OB，可求出∠ABO的度数 【详解】详解片段 连接OA、OC， ∵∠BAC＝15°，∠ADC＝20°， ∴∠AOB＝2（∠ADC+∠BAC）＝70°， ∵OA＝OB（都是半径）， ∴∠ABO＝∠OAB＝ （180°﹣∠AOB）＝55°． 故选B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半． 8. 如图，放置在直线l上的扇形OAB．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若半径OA＝2，∠AOB＝45°，则点O所经过的最短路径的长是（ ） A. 2π+2 B. 3π C. D. +2 【答案】C 【解析】 【分析】利用弧长公式计算即可． 【详解】解：如图， 点O的运动路径的长＝的长+O1O2+的长＝+ +＝， 故选：C． 【点睛】本题考查轨迹，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 9. 点P(m，n)在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上．则m﹣n的最大值等于（　　） A. B. 4 C. ﹣ D. ﹣ 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，可以得到a的值以及m和n的关系，然后将m、n作差，利用二次函数的性质，即可求出m﹣n的最大值． 【详解】解：∵点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上， ∴a＝0， ∴n＝m2+4， ∴m﹣n＝m﹣（m2+4）＝﹣m2+m﹣4＝﹣（m﹣）2﹣， ∴当m＝时，m﹣n取得最大值，此时m﹣n＝﹣， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 10. 如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线．有以下结论： ①；②；③若，是抛物线上的两点，当时，；④点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得，则a的取值范围为；⑤若方程的两根为，，且，则．其中结论正确的有（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与x轴的交点问题，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质． 根据二次函数的图象开口向上，与轴相交于下半轴，对称轴为直线，可得，，，即可判断；由抛物线的对称轴为直线，可得，当时，，得，即可判断；由，是抛物线上的两点，抛物线的对称性可知：，当时，，即可判断；由，到对称轴的距离为，当抛物线的顶点到轴的距离不小于时，在轴下方的抛物线上存在点，使得，即，可得，所以，即可判断；抛物线与轴的另外一个交点坐标为，得，若方程，即方程的两根为，，则、为抛物线与直线的两个交点的横坐标，因为，所以，即可判断． 【详解】解：由图象可知：，，， ，故正确； 抛物线的对称轴为直线， ， ， 当时，， ， ，故错误； ，是抛物线上的两点， 由抛物线的对称性可知：， 当时，，故正确； 由题意可知：，到对称轴的距离为， 当抛物线的顶点到轴的距离不小于时， 在轴下方的抛物线上存在点，使得， 即， ， ， ， ， 解得：，故正确； ∵对称轴为，抛物线过点 ∴抛物线与轴的另外一个交点坐标为， 若方程， 即方程的两根为，， 则、为抛物线与直线的两个交点的横坐标， ， ，故错误； ∴结论正确的有一共有个． 故选：B． 二．填空题（共6小题，每题3分，共18分） 11. 将代数式分解因式的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用平方差公式将式子展开，再利用十字相乘法进行因式分解． 【详解】解：原式= =． 故答案为． 【点睛】本题考查了因式分解及多项式乘以多项式．熟练掌握十字相乘法是解题的关键． 12. 已知x=4是不等式ax-3a-1＜0的解，x=2不是不等式ax-3a-1＜0的解，则实数a的取值范围是____． 【答案】a≤-1. 【解析】 【分析】根据x=4是不等式ax-3a-1＜0的解，x=2不是不等式ax-3a-1＜0的解，列出不等式，求出解集，即可解答． 【详解】解：∵x=4是不等式ax-3a-1＜0的解， ∴4a-3a-1＜0， 解得：a＜1， ∵x=2不是这个不等式的解， ∴2a-3a-1≥0， 解得：a≤-1， ∴a≤-1， 故答案为a≤-1． 【点睛】本题考查了不等式的解集，解决本题的关键是求不等式的解集． 13. 如图，圆锥底面半径为圆锥侧面展开图扇形的半径为扇形的圆心角为，则的值为________________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出侧面展开图中圆弧的长，则底面周长就等于该圆弧的长，据此列方程求解即可． 【详解】解：侧面展开图中圆弧的长为 ，则2πr=10，解得π=5． 故答案为5． 【点睛】本题考查的是圆锥的相关计算，掌握圆锥的性质和弧长公式是解答本题的关键． 14. 将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，则b＝_____． 【答案】21 【解析】 【分析】先把常数项移到等号的右边，再等号两边同时加上16，即可． 【详解】解：∵x2﹣8x＝5， ∴x2﹣8x+16＝5+16，即（x﹣4）2＝21， 故答案为：21． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的配方，掌握完全平方公式，是解题的关键． 15. 如图，过点C（1，2）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y=﹣x+6于A、B两点，若反比例函数（x＞0）的图像与△ABC有公共点，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出点A、B的坐标，根据反比例函数系数的几何意义可知，当反比例函数图像与△ABC相交于点C时k的取值最小，当与线段AB相交时，k能取到最大值，根据直线y=-x+6，设交点为（x，-x+6）时k值最大，然后列式利用二次函数的最值问题解答即可得解． 【详解】：∵点C（1，2），BC//y轴，AC//x轴， ∴当x=1时，y=-1+6=5， 当y=2时，-x+6=2，解得x=4， ∴点A、B的坐标分别为A（4，2），B（1，5）， 根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数与点C相交时，k=1×2=2最小， 设反比例函数与线段AB相交于点（x，-x+6）时k值最大， 则k=x（-x+6）=-x2+6x=-（x-3）2+9， ∵1≤x≤4， ∴当x=3时，k值最大， 此时交点坐标为（3，3）， 因此，k的取值范围是2≤k≤9． 故答案为：2≤k≤9 【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，二次函数的最值问题，判断出最大最小值的取值情况并考虑到用二次函数的最值问题解答是解题的关键． 16. 如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E是BC上的点，BE＝2CE，将△ABE沿着直线AE翻折，点B落在点F处，AF的延长线交线段CD于G，则CG的长度是__． 【答案】 【解析】 【分析】延长GC交AE的延长线于点M，证明△CEM∽△BEA，由相似三角形的性质得出，求出CM＝3，设CG＝x，则GM＝AG＝3+x，DG＝6﹣x，由勾股定理得出62+（6﹣x）2＝（3+x）2，解方程求出x即可． 【详解】解：延长GC交AE的延长线于点M， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB∥CD，AB＝CD＝BC＝6， ∴∠M＝∠BAE， ∵将△ABE沿着直线AE翻折，点B落在点F处， ∴∠BAE＝∠EAF， ∴∠M＝∠EAF， ∴AG＝GM， ∵AB∥CD， ∴△CEM∽△BEA， ∴， ∵BE＝2CE，AB＝6， ∴CM＝3， 设CG＝x，则GM＝AG＝3+x，DG＝6﹣x， ∵AD2+DG2＝AG2， ∴62+（6﹣x）2＝（3+x）2， 解得：x＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握方程思想及勾股定理是解题的关键． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中x，y满足． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算、分式的化简求值，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）先计算乘方、负整数指数幂、特殊角的三角函数值及绝对值，再计算乘法，最后计算加减法即可得； （2）根据分式的混合运算顺序和法则化简原式，再由非负数的性质得出x、y的值，代入计算即可得． 【详解】解：（1） ； （2） ， ∵ ∴， ∴， ∴原式． 18. 如图，在中，是边上的中线，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，连接． （1）求证：； （2）若，试判断四边形的形状，并证明你的结论 （3）在（2）问下当再满足一个什么条件，四边形为正方形． 【答案】（1）见详解 （2）四边形为菱形，证明见详解 （3），理由见详解 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，中线的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线定理，特殊四边形的判定，解题的关键是熟练掌握以上性质． （1）根据平行线的性质得出相等的角，根据中点得出相等的边，证明，得出，再利用中线得出，即可得出结论； （2）利用（1）的结论得出四边形为平行四边形，利用直角三角形斜边中线定理得出邻边相等，可得出四边形为菱形； （3）利用等腰直角三角形的性质进行证明即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：四边形为菱形，证明如下： 由（1）得，，且， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴为直角三角形， ∵是边上的中线， ∴， ∴平行四边形为菱形； 【小问3详解】 解：当时，四边形为正方形，理由如下： ∵， ∴为等腰直角三角形， ∵是边上的中线， ∴， ∴， 由（2）得四边形为菱形， ∴此时，四边形为正方形． 19. 新冠肺炎疫情在全球蔓延，造成了严重的人员伤亡和经济损失，其中一个原因是新冠肺炎病毒传播速度非常快．一个人如果感染某种病毒，经过了两轮的传播后被感染的总人数将达到64人． （1）求这种病毒每轮传播中一个人平均感染多少人？ （2）按照上面的传播速度，如果传播得不到控制，经过三轮传播后一共有多少人被感染？ 【答案】（1）7人；（2）512人 【解析】 【分析】（1）设每轮传播中平均每人感染了x人，根据经过两轮传染后共有64人被感染列方程求出x即可得答案； （2）求出第三轮过后又被感染的人数，进而可得答案． 【详解】（1）设一个人平均感染x人， ∵经过了两轮的传播后被感染的总人数将达到64人， ∴， 整理得：x2+2x-63=0， 解得：（舍去）, ∴这种病毒每轮传播中一个人平均感染7人． （2）（人）， 答：经过三轮传播后一共有512人被感染． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人数是解题关键． 20. 我国新冠疫情防控取得了阶段性胜利．学生们返校学习后，某数学兴趣小组对本校同学周末参加体育运动的情况进行抽样调查，在校园内随机抽取男女生各人，调查情况如下表： 是否参加体育运动 男生 女生 总数 是 否 对男女生是否参加体育运动的人数绘制了条形统计图如图（1）．在这次调查中，对于参加体育运动的同学，同时对其参加的主要运动项目也进行了调查，并绘制了扇形统计图如图（2）． 根据以上信息解答下列问题：（1）______，______，_______； （2）将图（1）所示的条形统计图补全； （3）这次调查中，参加体育运动，且主要运动项目是球类的共有______人； （4）在这次调查中，共有名男生未参加体育运动，分别是甲、乙、丙、丁四位同学，现在从他们中选出两位同学参加“我运动，我健康”的知识讲座，求恰好选出甲和乙去参加讲座的概率．（用列表或树状图解答） 【答案】(1)40,10,40; (2)如图所示: (3)18; (4) 【解析】 【分析】(1)根据表格的信息算出总数,根据扇形的比例求出a即可． (2)根据表格的数量补全条形统计图即可． (3)用参加体育运动的人数与球类的百分比相乘即可． (4)画出树状图,列式求概率即可． 【详解】(1)m=21+19=40, n=4+6=10, a=100－45－7.5－7.5=40． 故答案为:40,10,40． (2)略 (3)40×45%=18(人)． 故答案为:18． (4) P(恰好选出甲和乙参加讲座)=． 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图,关键在于结合图形得出有用信息． 21. 如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1∶2.4的斜坡AP攀行了26米，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求： (1)坡顶A到地面水平线PO的距离； (2)古塔BC的高度． (结果用非特殊角三角函数和根号表示即可) 【答案】（1）坡顶A到地面水平线PO的距离为10米．（2）米 【解析】 【分析】（1）先过点作，根据斜坡的坡度为，得出，设，则，，求出的值即可． （2）先延长交于点，根据，，得出，四边形是矩形，再根据，得出，然后设，得出，最后根据在中，，列出方程，求出的值即可． 【详解】解：（1）过点作，垂足为点， 斜坡的坡度为， ， 设，则，由勾股定理，得， ， 解得， ， 答：坡顶到地面的距离为10米． （2）延长交于点， ，， ， 四边形是矩形，，， ， ， 设，则， ， 在中，，即． 解得x=． 答：古塔的高度约为米． 【点睛】此题考查了解直角三角形，用到的知识点是勾股定理、锐角三角函数、坡角与坡角等，关键是做出辅助线，构造直角三角形． 22. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+b的图象与反比例函数（k＞0）的图象相交于A，B两点，与x轴相交于点C(4，0)，且点B(3，n)，连接OB． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求△BOC的面积； （3）将直线AB向下平移，若平移后的直线与反比例函数的图象只有一个交点，试说明直线AB向下平移了几个单位长度． 【答案】（1）y＝﹣x+4，y＝；（2）2；（3）4+2或4﹣2 【解析】 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）△BOC的面积＝OC×BD＝×4×1＝2； （3）直线AB向下平移m个单位后和反比例函数只有一个公共点，则＝﹣x+4﹣m，整理得：x2+（m﹣4）x+3＝0，△＝b2﹣4ac＝0，即可求解． 【详解】（1）将点C的坐标代入一次函数表达式y＝﹣x+b并解得：b＝4， 故一次函数的表达式为：y＝﹣x+4， 将点B的坐标代入y＝﹣x+4得：n＝﹣3+4＝1，故点B（3，1）， 将点B的坐标代入反比例函数表达式并解得：k＝3， 故反比例函数表达式为：y＝； （2）过点B作BD⊥x轴于点D，则BD=1，又OC=4， 则△BOC的面积＝OC×BD＝×4×1＝2； （3）将直线AB向下平移m个单位（m＞0）得到直线的表达式为：y＝﹣x+4-m， ∵直线AB向下平移m个单位后和反比例函数只有一个公共点，则＝﹣x+4﹣m，整理得：x2+（m﹣4）x+3＝0， ∴△＝b2﹣4ac＝（m﹣4）2﹣4×1×3＝0，解得：m＝4±2， 故直线AB向下平移了4+2或4﹣2个长度单位． 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合题，熟练掌握待定系数法求解析式、一次函数平移规律和一元二次方程根的情况与判别式的关系是解答的关键 23. 在图1至图3中，⊙O的直径BC＝30，AC切⊙O于点C，AC＝40，连接AB交⊙O于点D，连接CD，P是线段CD上一点，连接PB． （1）如图1，当点P，O的距离最小时，求PD的长； （2）如图2，若射线AP过圆心O，交⊙O于点E，F，求tanF的值； （3）如图3，作DH⊥PB于点H，连接CH，求CH的最小值． 【答案】（1）12；（2）；（3）3−9． 【解析】 【分析】（1）连接OP，点P，O的距离最小时即OP⊥CD时，由勾股定理求得AB的长，由面积法求得CD的长，则由垂径定理可得PD的长； （2）连接CE，利用有两个角相等的三角形相似，可证△ACE∽△AFC，从而可得比例式，按照正切函数的定义可得tanF的值； （3）以BD为直径作⊙G，则G为BD的中点，则由点H总在⊙G上可知当点C，H，G在一条直线上时，CH最小，则由勾股定理求得CG的长，再减去GH的长，可得答案． 【详解】（1）如图1，连接OP， ∵AC切⊙O于点C， ∴AC⊥BC． ∵BC=30，AC=40， ∴AB=50． ∵BC是直径， ∴∠BDC=90°， 由S△ABC=AB•CD=AC•BC， 即×50×CD＝×40×30， 解得CD=24， 当OP⊥CD时，点P，O的距离最小，此时PD＝CD＝12． （2）如图2，连接CE， ∵EF为⊙O的直径， ∴∠ECF=90°． 由（1）知，∠ACB=90°， 由AO2=AC2+OC2，得（AE+15）2=402+152， 解得AE＝5−15． ∵∠ACB=∠ECF=90°， ∴∠ACE=∠BCF=∠AFC． 又∠CAE=∠FAC， ∴△ACE∽△AFC， ∴． ∴． （3）CH的最小值为3−9． 解：如图3，以BD为直径作⊙G，则G为BD的中点， 在Rt△BDC中，∠BDC=90°， ∴BD==18， ∴DG==9， ∵DH⊥PB， ∴点H总在⊙G上，GH=9， ∴当点C，H，G在一条直线上时，CH最小， 此时，， 即CH的最小值为3−9． 【点睛】本题属于圆的综合题，考查了勾股定理、圆的相关性质及定理、面积法、相似三角形的判定与性质及锐角三角函数等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 24. 已知抛物线． （1）求这条抛物线的对称轴； （2）若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式； （3）设点，在抛物线上，若，求m的取值范围． 【答案】（1）直线 （2）或 （3）当时，；当时，或 【解析】 【分析】（1）将二次函数化为顶点式，即可得到对称轴； （2）根据（1）中的顶点式，得到顶点坐标，令顶点纵坐标等于0，解一元二次方程，即可得到的值，进而得到其解析式； （3）根据抛物线的对称性求得点Q关于对称轴的对称点，再结合二次函数的图象与性质，即可得到的取值范围． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴其对称轴为直线； 【小问2详解】 解：由（1）知抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线顶点在轴上， ∴， 解得或， 当时，其解析式为； 当时，其解析式为； 综上，二次函数解析式为或； 【小问3详解】 解：由（1）知，抛物线的对称轴为直线， ∴关于直线的对称点为， 当时，若， 则； 当时，若， 则或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 师大附中2020-2021学年九年级数学第二学期摸底考试 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在3.1415926、、、、π这五个数中，无理数有（　　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 2. 下面是某同学在一次测验中的计算摘录，其中正确的个数有（ ） ①；②；③；④ A. B. C. D. 3. 下列不等式变形错误的是（ ） A. 若 a＞b，则 1﹣a＜1﹣b B. 若 a＜b，则 ax2≤bx2 C. 若 ac＞bc，则 a＞b D. 若 m＞n，则＞ 4. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 5. 抛一个杯口和杯底大小不同的纸杯，落地有三种可能性：①杯口向上②杯底向上③侧面着地，则杯口向上的概率为（ ） A. B. C. D. 只能用大量重复试验，频率估计概率的方法求得 6. 如图，将直尺与含角的三角尺摆放在一起，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在⊙O中，∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，则∠ABO的度数为（　　） A. 70° B. 55° C. 45° D. 35° 8. 如图，放置在直线l上的扇形OAB．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若半径OA＝2，∠AOB＝45°，则点O所经过的最短路径的长是（ ） A. 2π+2 B. 3π C. D. +2 9. 点P(m，n)在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上．则m﹣n的最大值等于（　　） A. B. 4 C. ﹣ D. ﹣ 10. 如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线．有以下结论： ①；②；③若，是抛物线上的两点，当时，；④点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得，则a的取值范围为；⑤若方程的两根为，，且，则．其中结论正确的有（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二．填空题（共6小题，每题3分，共18分） 11. 将代数式分解因式的结果是______． 12. 已知x=4是不等式ax-3a-1＜0的解，x=2不是不等式ax-3a-1＜0的解，则实数a的取值范围是____． 13. 如图，圆锥底面半径为圆锥侧面展开图扇形的半径为扇形的圆心角为，则的值为________________． 14. 将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，则b＝_____． 15. 如图，过点C（1，2）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y=﹣x+6于A、B两点，若反比例函数（x＞0）的图像与△ABC有公共点，则k的取值范围是______． 16. 如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E是BC上的点，BE＝2CE，将△ABE沿着直线AE翻折，点B落在点F处，AF的延长线交线段CD于G，则CG的长度是__． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中x，y满足． 18. 如图，在中，是边上的中线，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，连接． （1）求证：； （2）若，试判断四边形的形状，并证明你的结论 （3）在（2）问下当再满足一个什么条件，四边形为正方形． 19. 新冠肺炎疫情在全球蔓延，造成了严重的人员伤亡和经济损失，其中一个原因是新冠肺炎病毒传播速度非常快．一个人如果感染某种病毒，经过了两轮的传播后被感染的总人数将达到64人． （1）求这种病毒每轮传播中一个人平均感染多少人？ （2）按照上面的传播速度，如果传播得不到控制，经过三轮传播后一共有多少人被感染？ 20. 我国新冠疫情防控取得了阶段性胜利．学生们返校学习后，某数学兴趣小组对本校同学周末参加体育运动的情况进行抽样调查，在校园内随机抽取男女生各人，调查情况如下表： 是否参加体育运动 男生 女生 总数 是 否 对男女生是否参加体育运动的人数绘制了条形统计图如图（1）．在这次调查中，对于参加体育运动的同学，同时对其参加的主要运动项目也进行了调查，并绘制了扇形统计图如图（2）． 根据以上信息解答下列问题：（1）______，______，_______； （2）将图（1）所示的条形统计图补全； （3）这次调查中，参加体育运动，且主要运动项目是球类的共有______人； （4）在这次调查中，共有名男生未参加体育运动，分别是甲、乙、丙、丁四位同学，现在从他们中选出两位同学参加“我运动，我健康”的知识讲座，求恰好选出甲和乙去参加讲座的概率．（用列表或树状图解答） 21. 如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1∶2.4的斜坡AP攀行了26米，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求： (1)坡顶A到地面水平线PO的距离； (2)古塔BC的高度． (结果用非特殊角三角函数和根号表示即可) 22. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+b的图象与反比例函数（k＞0）的图象相交于A，B两点，与x轴相交于点C(4，0)，且点B(3，n)，连接OB． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求△BOC的面积； （3）将直线AB向下平移，若平移后的直线与反比例函数的图象只有一个交点，试说明直线AB向下平移了几个单位长度． 23. 在图1至图3中，⊙O的直径BC＝30，AC切⊙O于点C，AC＝40，连接AB交⊙O于点D，连接CD，P是线段CD上一点，连接PB． （1）如图1，当点P，O的距离最小时，求PD的长； （2）如图2，若射线AP过圆心O，交⊙O于点E，F，求tanF的值； （3）如图3，作DH⊥PB于点H，连接CH，求CH的最小值． 24. 已知抛物线． （1）求这条抛物线的对称轴； （2）若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式； （3）设点，在抛物线上，若，求m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $