精品解析：2022年湖北省荆门市钟祥市第一高级中学 自主招生数学试题

钟祥市第一高级中学2022年自主招生数学试题 本试卷共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟 一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分．每小题只有一项是符合题目要求的） 1. 要使有意义，则x的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 2. 已知公式，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，现将一块三角板的含有角的顶点放在直尺的一边上，若，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 已知一次函数的大致图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有一个根是0 5. 已知函数，当时，函数值为3，则当时，函数值为（ ） A. B. 5 C. D. 7 6. 如图，为了测量某建筑物AB的高度，在平地上C处测得建筑物顶端A的仰角为30°，沿CB方向前进16m到达D处，在D处测得建筑物顶端A的仰角为45°，则建筑物AB的高度等于（ ） A. B. C. D. 7. 一组数据，其平均数为10，现从这组数据中抽出一个数20，剩余数的平均数为9，则这组数据的个数为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 8. 将抛物线向右平移2个单位后，得到新的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，，，三角形的顶点在相互平行的三条直线上，且之间的距离为，之间的距离为，则的长是（ ） A. B. C. D. 10. 在中，，过点A的直线与其外接圆交于点P，交延长线于点D，则的值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 11. 如图，四边形OABC是矩形，四边形ADEF是正方形，点A、D在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在反比例函数y=(k为常数，k≠0)的图象上，正方形ADEF的面积为4，且BF=2AF，则k值为( ) A. 4 B. -4 C. 6 D. -6 12. Rt的两直角边长分别为为斜边的中点，长为定值的线段过点，当的面积最大时，两点到直线的距离之和为（ ） A. B. 5 C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请将各题的正确答案填写在答题卷中对应的横线上） 13. 若与互为相反数，则的值为______． 14. 在等腰梯形中，，，，P为的中点，则等于_____． 15. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是______． 16. 如图，半径为3的圆与半径为1的圆分别在直线的两侧，且两圆的圆心与关于直线对称，点在圆上，点在圆上，点在直线上，则的最大值为__________． 三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）求的值； （2）已知，，求的值． 18. 已知方程 （1）若，求此方程的根； （2）设，是此方程的两个不相等的实根，且，求a的取值范围． 19. 某地上年度电价为0.8元/度，年用电量为1亿度，本年度计划将电价调至0.55～0.75元/度之间，经测算，若电价调至x元/度，则本年度新增用电量y(亿度)与(x－0.4)成反比例．又知当x＝0.65时，y＝0.8. (1)求y与x之间的函数解析式； (2)若每度电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？[收益＝用电量×(实际电价－成本价)] 20. 如图，点是的边上一点，与边相切于点，与边，分别相交于点，，且． （1）求证：； （2）当，时，求的长． 21. 如图（1），在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于两点，直线交直线于点，交负半轴于点，交轴正半轴于点．且． （1）求出点坐标并求直线解析式； （2）如图2，点是线段上一动点（不与点重合），交于点，连接． ①点移动过程中，求证：； ②求面积的最小值． 22. 如图，抛物线与轴交于两点（在的右侧），直线与抛物线相切． （1）求的值； （2）若直线上的点满足，求直线和抛物线的解析式； （3）在（）的条件下，直线下方抛物线上是否存在一点，使得四边形面积最大？若存在，请求出点的坐标，并求四边形面积的最大值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 钟祥市第一高级中学2022年自主招生数学试题 本试卷共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟 一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分．每小题只有一项是符合题目要求的） 1. 要使有意义，则x的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式求解即可． 【详解】解：式子有意义， ， 解得：且． 即或， 故选：C． 2. 已知公式，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，把转化为，再代入公式计算即可求解，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 3. 如图，现将一块三角板的含有角的顶点放在直尺的一边上，若，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角的和差，由平行线的性质可得，进而可得，即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 4. 已知一次函数的大致图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有一个根是0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了一次函数图象．先利用一次函数的性质得，，再计算判别式的值得到，于是可判断，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：根据图象可得，， 所以， 因为， 所以， 所以方程没有实数根． 故选：B． 5. 已知函数，当时，函数值为3，则当时，函数值为（ ） A. B. 5 C. D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求函数值，解题的关键是将自变量的值代入函数解析式进行计算，求出后，将代入解析式进行求解即可． 【详解】解：，当时，函数值为3， 即，则， 当时，， 故选：D． 6. 如图，为了测量某建筑物AB的高度，在平地上C处测得建筑物顶端A的仰角为30°，沿CB方向前进16m到达D处，在D处测得建筑物顶端A的仰角为45°，则建筑物AB的高度等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用所给的角的三角函数用AB表示出BD，CB；根据BC﹣DB＝CD即可求出建筑物AB的高度． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝30°， ∴tan∠ACB＝tan30°＝， ∴BC＝＝AB， ∵在Rt△ABD中，∠ADB＝45°， ∴tan∠ADB＝tan45°＝， ∴BD＝＝AB． ∵CD＝BC﹣BD＝16， ∴AB﹣AB＝16， 解得：AB＝8（+1）m． 故选：A． 【点睛】本题考查了仰角问题，解决此类问题的关键是正确的将仰角转化为直角三角形的内角并选择正确的边角关系解直角三角形． 7. 一组数据，其平均数为10，现从这组数据中抽出一个数20，剩余数的平均数为9，则这组数据的个数为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平均数，解题的关键是掌握求一组数据的平均数，设这组数据有个，根据题意列出一元一次方程进行求解即可． 【详解】解：设这组数据有个，由题意得： ， 解得：， 故选：C． 8. 将抛物线向右平移2个单位后，得到新的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，掌握“上加下减，左加右减”的平移规律是解题的关键．先将抛物线解析式化成顶点式，然后根据平移规律解答即可． 【详解】解：将抛物线解析式配方得：， 根据平移法则，得到新抛物线的解析式为． 故选：D． 9. 如图，中，，，三角形的顶点在相互平行的三条直线上，且之间的距离为，之间的距离为，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，作于，作于，可证，得到，再利用勾股定理求出即可，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，作于，作于， 则，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 10. 在中，，过点A的直线与其外接圆交于点P，交延长线于点D，则的值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定及性质、四点共圆，正确的判断出相似三角形的对应边和对应角是解答此题的关键．得出，，从而得出两个三角形相似：“”结合相似三角形的对应边成比例即得的值． 【详解】解：四点共圆，， ， ， ， ，， ， ， ， 故选：A． 11. 如图，四边形OABC是矩形，四边形ADEF是正方形，点A、D在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在反比例函数y=(k为常数，k≠0)的图象上，正方形ADEF的面积为4，且BF=2AF，则k值为( ) A. 4 B. -4 C. 6 D. -6 【答案】D 【解析】 【分析】先由正方形ADEF的面积为4，得出边长为2，BF=2AF=4，AB=AF+BF=2+4=6．再设B点坐标为（t，6），则E点坐标（t-2，2），根据点B、E在反比例函数y=的图象上，利用根据反比例函数图象上点的坐标特征得k=6t=2（t-2），即可求出k=-6． 【详解】解：∵正方形 ADEF 的面积为4， ∴正方形ADEF的边长为2， ∴BF=2AF=4，AB=AF+BF=2+4=6． 设 B 点坐标为(t，6)，则 E 点坐标(t﹣2，2)， ∵点 B、E 在反比例函数 y=的图象上， ∴k=6t=2(t﹣2)，解得 t=﹣1，k=﹣6． 故选D. 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k． 12. Rt的两直角边长分别为为斜边的中点，长为定值的线段过点，当的面积最大时，两点到直线的距离之和为（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、直角三角形斜边上的中线的性质、梯形的中位线的性质．作出图象，由的长为定值知：当M到的距离最大时，的面积最大．再根据直角三角形直角边小于斜边可求M到的最大距离，最后根据梯形的中位线的性质即可求解． 【详解】解：设M到的距离为h，则， ∵的长为定值， ∴当h最大时，的面积最大，如图： ∵，当且仅当时，等号成立， ∴， 过A、B作的垂线，垂足分别为E、F， 则四边形为直角梯形，为其中位线， ∴的面积最大时，两点到直线的距离之和为， 故选：B． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请将各题的正确答案填写在答题卷中对应的横线上） 13. 若与互为相反数，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，非负数的性质，代数式求值，利用相反数和非负数的性质可得，解方程组求出的值代入计算即可求解，掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 14. 在等腰梯形中，，，，P为的中点，则等于_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了等腰梯形，锐角三角函数，平行线的性质，勾股定理，矩形的判定及性质、三角形全等，解题的关键是得出，然后利用勾股定理进行求解． 【详解】解：根据题意作图，过点，作的垂线交于点，，如下： ，， 等腰梯形中， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， 在中， ， ， ， ， ，， ， ， , ， ， ， 为的中点， ， ， 故答案为：． 15. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是______． 【答案】31 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得到，，再根据完全平方公式变形即可求解． 【详解】根据根与系数的关系得，， 所以． 故答案为：31． 【点睛】此题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟知完全平方公式的变形运用． 16. 如图，半径为3的圆与半径为1的圆分别在直线的两侧，且两圆的圆心与关于直线对称，点在圆上，点在圆上，点在直线上，则的最大值为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查利用轴对称解决线段之差最大值问题，将关于l对称到与同侧，再根据三角形三边关系即可求解． 【详解】解：如图， 将关于l对称到与同侧， 设与B对称的点为， 则，当且仅当P、A、三点共线时，等号成立， 如图： 此时，等号成立且值最大，为， 故答案为：4． 三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）求的值； （2）已知，，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了计算算术平方根，立方根，特殊角的三角函数值、零指数幂、利用完全平方公式进行求解，解题的关键是掌握相应的运算法则； （1）直接利用计算算术平方根，立方根，特殊角的三角函数值、零指数幂、分母有理化进行求解； （2）利用完全平方公式求出，再根据进行求解． 【详解】解：（1） ； （2），， ， ， ， ， ． 18. 已知方程 （1）若，求此方程的根； （2）设，是此方程的两个不相等的实根，且，求a的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根与系数的关系、解一元二次不等式，解题的关键是掌握相应的运算法则； （1）将代入方程中，利用因式分解法进行求解； （2）将转化为，再利用根与系数的关系进行求解，同时根据有两个不等实数根，求出相应的范围，再取共同部分． 【小问1详解】 解：若，则， ， 解得：； 【小问2详解】 解：，则， ， ，是此方程的两个不相等的实根， ， ， 令， ，函数图象开口向上， 当， ， 解得：，， 如上图：解得：， 又， 即：， 同理解得：或， 综上：或． 19. 某地上年度电价为0.8元/度，年用电量为1亿度，本年度计划将电价调至0.55～0.75元/度之间，经测算，若电价调至x元/度，则本年度新增用电量y(亿度)与(x－0.4)成反比例．又知当x＝0.65时，y＝0.8. (1)求y与x之间的函数解析式； (2)若每度电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？[收益＝用电量×(实际电价－成本价)] 【答案】(1) y＝；(2) 当电价调至0.6元/度时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%. 【解析】 【分析】（1）因为本年度新增用电是y（亿度）与（x﹣0.4）成反比例关系，所以y，根据当每度电价为0.65元时，新增用电是0.8亿度可确定k的值； （2）设当电价为x元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%，根据某地上年度电价为0.8元/度，全年用电1亿度，每度电成本0.3元，可列方程求解． 【详解】（1）∵本年度新增用电是y（亿度）与（x﹣0.4）成反比例关系，∴y． ∵当每度电价为0.65元时，新增用电是0.8亿度，∴0.8，解得：k=0.2，∴y； （2）设当电价为x元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%，根据题意得： （0.8﹣0.3）（1+20%）=（1）（x﹣0.3） 解得：x=0.6或x=0.5＜0.55（舍去）． 答：当电价为0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，关键是设出函数解析式，代入自变量确定的函数值，确定函数式．第二问根据本年度电力部门的收益将比上年度增加20%列方程求解． 20. 如图，点是的边上一点，与边相切于点，与边，分别相交于点，，且． （1）求证：； （2）当，时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解方程等知识，综合程度较高，根据题意证出是解题的关键； （1）连接，，因为，所以，从而易证，所以，从可证明； （2）设的半径为，则，根据相似三角形的性质得到，即，从而可求出的值，根据线段的和差即可得解． 【小问1详解】 证明：连接，， ， ， ， ， ， ， ， 与边相切于点， ， ， ； 【小问2详解】 解：在，，，， ， 设的半径为，则， ， ， ， 即， ， ． 21. 如图（1），在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于两点，直线交直线于点，交负半轴于点，交轴正半轴于点．且． （1）求出点坐标并求直线解析式； （2）如图2，点是线段上一动点（不与点重合），交于点，连接． ①点移动过程中，求证：； ②求面积的最小值． 【答案】（1）： （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）求出A、B的坐标，从而求出的长度，根据求出的长度，从而可求C、E的坐标，利用待定系数法即可求出直线的解析式； （2）①证明即可；②，其最小值即为取得最小值时取得，而时，取得最小值，根据等面积法即可求得答案． 本题考查了一次函数、三角形全等的判定与性质、勾股定理、熟练掌握相关定理或性质是解题关键． 【小问1详解】 解：对于直线， ∴当时，；当时，， ∴点的坐标为，点的坐标为 ， ∵， ∴ ∴ 设为，则， 解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 ①证明： ， ∴在和中，， ∴， ∴； ②由①知． ∵ 的面积是， ∴当取得最小值时，面积取得最小值． ∵ ． 当时，取得最小值， 利用等面积法：， ∴， ∴面积的最小值是． 22. 如图，抛物线与轴交于两点（在的右侧），直线与抛物线相切． （1）求的值； （2）若直线上的点满足，求直线和抛物线的解析式； （3）在（）的条件下，直线下方抛物线上是否存在一点，使得四边形面积最大？若存在，请求出点的坐标，并求四边形面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）抛物线的解析式为，直线的解析式为 （3）存在，，最大值为 【解析】 【分析】（）联立函数解析式可得，再根据解答即可求解； （）由（）可得抛物线，把代入可得，，进而由得，再利用相似三角形的性质解答可求得，即得求出点的坐标和抛物线的解析式，最后利用待定系数法求出直线的解析式即可； （）过点作轴，交于，设，则，可得，进而得到，可知当的面积取最大值时，四边形面积最大，再利用二次函数的性质解答即可求解． 【小问1详解】 解：由，得， ∵直线与抛物线相切， ∴， ∵， ∴， 解得或（不合，舍去）， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线， 当时，， 解得，， ∴，， ∴，， ∵点， ∴轴， ∴， ∵， ∴， 即， 整理得，， 解得或（不合，舍去）， ∴，抛物线的解析式为， 即抛物线的解析式为， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为； 【小问3详解】 解：存在．如图，过点作轴，交于， 设，则， ∴， ∴ ， ∵的值固定， ∴当的面积取最大值时，四边形面积最大， ∵， ∴当时，的面积取最大值，最大值为， ∴， ∵， ∴四边形面积的最大值， ∴在直线下方抛物线上存在点，使得四边形面积最大，最大值为． 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质，二次函数的几何应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $