精品解析：内蒙古自治区巴彦淖尔市衡越实验中学2025-2026学年高三上学期第一次诊断（9月）数学试题

2025--2026学年第一学期高三年级第一次诊断考试 数学试卷 考试时间;120分钟 考试分值;150 命题教师： 高明军 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知实数集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合，再根据交集的定义求解即可. 【详解】由，得， 即，所以， 又或， 所以. 故选：B. 2. 下列命题中正确的是（ ） A. 若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p且q”为真命题 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 命题“，”的否定是“，” D. 命题“，”的否定是“，” 【答案】C 【解析】 【分析】根据复合命题的真假判定，可得判定A错误，根据充分条件、必要条件的判定，可得判定B错误；根据全称命题与存在性命题的关系，可判定C正确，D错误. 【详解】对于A中，由命题p为真命题，命题q为假命题，根据复合命题真假判定，可得命题“p且q”为假命题，所以A错误； 对于B中，由，可得或，所以充分性不成立； 当时，可得，所以必要性成立，所以B不正确； 对于C中，根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“”的否定是“”，所以C正确； 对于D中，根据全称命题与存在性命题的关系，命题“”的否定是“” ，所以D不正确. 故选：C. 3. 已知函数是定义在上的奇函数，对任意实数满足，且，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和对称性，得到函数的周期，从而得到，而，从而得到答案. 【详解】函数是定义在上的奇函数，且， 所以， 所以的周期为， 所以， 因为是定义在上的奇函数， 所以. 故选：A. 【点睛】本题考查函数的奇偶性和对称性以及周期性，根据函数的性质求函数的值，属于中档题. 4. 某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，已知第次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量（）满足函数模型（），其中为改良工艺的次数，假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要（ ）（参考数据：，） A. 14次 B. 15次 C. 16次 D. 17次 【答案】C 【解析】 【分析】依题意列出不等式，利用指数函数性质及对数运算解不等式即可求得答案. 【详解】，由，得，即， 得，又，所以， 故若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要16次. 故选：C 5. 使不等式成立的一个充分不必要条件可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解出不等式，求出解集，根据充分不要条件与集合之间的对应关系，判断各选项正误. 【详解】已知，化简得或， 解得， 则使不等式成立的一个充分不必要条件是的真子集， 则只有符合题意. 故选：D. 6. 已知函数，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用奇偶性定义及导数研究函数的奇偶性和区间单调性，再结合相关基本初等函数的性质及单调性判断函数值的大小关系. 【详解】函数定义域为，且对，， 故函数为偶函数，又在上，所以在上单调递增， 因为，且， 所以，即. 故选：D. 7. 已知函数，若关于x的方程有5个不等的实根，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数知识及对数知识可判断单调性，据此可做出大致图象，由此可得答案. 【详解】因为当时，， 所以当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为，的极大值为； 当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 据此可做出函数的大致图象， 有5个不等的实根，等价于图象与直线有5个不同交点. 由图可得． 故选：A． 8. 已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】问题转化为导数在区间上恒大于等于0, 即恒成立，利用导数求出的最大值即可得到答案. 【详解】因为函数在区间上单调递增， 所以其导数在该区间上恒大于等于0, 将不等式变形，得到, 令，则, 所以在区间上，，所以单调递减， 其中，在区间上的值域为， 要使在上恒成立，只需， 所以的取值范围是， 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. “对恒成立”是“”的必要不充分条件 D. 设，则的最小值为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用不等式的性质和基本不等式，对选项进行判断. 【详解】若，满足，但此时，A选项错误； 当时，满足，但此时，不成立，B选项错误； 时，，当且仅当，即时等号成立， 对恒成立，则， 时不一定满足，时一定有， 所以“对恒成立”是“”的必要不充分条件，C选项正确； ，则，由不成立，所以等号不成立， 即的最小值不是2，D选项错误. 故选：ABD. 10. 已知函数，则（ ） A. 为偶函数 B. 上单调递增 C. 若，则最小值为3 D. 若恒成立，则的最大值为6 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据偶函数的定义即可判断选项A；根据单调性的定义即可判断选项B；根据函数的奇偶性及单调性，即可判断选项C；分离参数后结合基本不等式即可求解，进而判断选项D. 【详解】因为函数的定义域为，且，所以为偶函数，故A正确； 设，则， 因为，所以.因为，，所以，因此， 所以，故在上单调递增，故B正确； 因为为偶函数，且在上单调递增，所以， 两边同时平方，整理得，故，故无最小值，故C错误； 由于在上单调递增，在上单调递减，所以， 故可整理为， 令，则，故在上恒成立. 因为，当且仅当时取等，故，即的最大值为6.故D正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查利用定义法证明函数的单调性、奇偶性、利用函数的单调性和奇偶性解函数函数不等式以及函数不等式恒成立问题. （1）定义法证明函数的奇偶性时，需要先说明函数的定义域关于原点对称； （2）定义法证明函数的单调性的步骤：假设、作差、变形、判断符号、得出结论. （3）不等式恒成立问题通常可参变分离求最值. 11. 已知函数是上的奇函数，且过点，对于一切正实数，都有． 当时，恒成立，则（ ） A. B. 在上是单调函数 C. 有三个零点 D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，赋值即可判断；对于B，分别赋值、和求出和即可判断；对于C，探究在上的单调性，结合、和函数奇偶性即可判断；对于D，由函数单调性以及研究特殊值，，即可得解. 【详解】由题， 对于A：令，，所以A正确； 对于B：令， ，得； 令，，得， 令，，得，所以B不正确； 对于C：当时， ，得， 故，即 又即， 所以，设， 则， 因为，所以， ， 因为当时，恒成立， 所以，即， 故在上单调递增， 又，，且函数是上的奇函数， 所以，故有三个零点． 所以C正确； 对于D：当时， 因为在上单调递增，，，所以 ； 当时，因为，， ， ， ， 由奇函数在上单调递增，所以； 所以当时，.所以D正确. 故选：ACD． 【点睛】关键点睛：探究函数零点个数和根据函数值，求解变量的关键是巧妙赋值实现，从而结合奇偶性探究得出函数在R上的单调性. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知曲线，则该曲线在处的切线方程为______ 【答案】 【解析】 【分析】先求出导函数，再代入求出切线斜率，最后点斜式得出切线即可. 【详解】曲线，，所以在处的切线斜率为， 切点为，则该曲线在处的切线方程为，即. 故答案为：. 13. 已知函数在上单调递减，，若是的必要不充分条件， 则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】是的必要不充分条件等价于，利用集合间的基本关系建立不等关系求解. 【详解】当为真时，，记集合，，. 若是的必要不充分条件， 则， ①当，即时，； ②当时，等价于，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 故答案为:. 【点睛】本题考查充分条件和必要条件的问题，将其转化为集合间的基本关系是有效途径，属于基础题. 14. 函数，存在实数k，使有5个根，则a的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】转化为与的图象有5个交点，结合函数的图象可得答案. 【详解】令，， 由得，单调递增，得，单调递增， 得，单调递减， 所以，在有极大值，在有极小值，为，， 其图象如下图， 令，其图象如下图， 由于，且有5个根，即与的图象有5个交点， 即与的图象有3个交点，与的图象有2个交点， 要与的图象有3个交点，如下图，图象左侧部分有两个交点， 图象右侧部分必须，才有第三个交点，即必须包括极小值点， 与的图象有2个交点，如下图，图象右侧部分有一个交点， 左侧部分必须包括对称轴，才有第二个交点， 又因为， 由解得，或， 当时，， 所以要使与的图象有5个交点，结合函数图象可知只需. 故答案为：. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）已知，求的最大值； （2）若恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）运用基本不等式求解即可； （2）由二次函数的解集为可得求解即可. 详解】（1），当且仅当，即时取等号， 所以最大值为． （2）由题意知，，解得， 所以的取值范围是. 16. 已知函数， （1）当时，求函数的值域； （2）若函数的最小值为，求实数a的值. 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）利用换元法将函数转化为二次函数进行求值域； （2）对换元后的二次函数的对称轴位置进行讨论，根据最值表达式求出参数a的值． 【小问1详解】 ，， 令，，则化为，， 当时，，， 对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当时，； 则，， 所以函数的值域为； 【小问2详解】 由（1），令，， 化为，，对称轴为， 若，则在上单调递增， 当时，，得，符合题意； 若，则在上单调递减，在上单调递增， 当时，，得舍去，符合题意； 若，则在上单调递减， 当时，，得，与矛盾，舍去； 综上，或 17. 已知函数（为自然对数的底数）． （1）求函数的最小值； （2）若对任意的恒成立，求实数的值. 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】(1)求导，讨论函数的单调性，可求函数的最小值； （2）由已知上，.，由(1)可得，研究函数的性质，可得实数的值. 【详解】(1)由题意， 由得. 当时， ;当时，. ∴在单调递减，在单调递增 即在处取得极小值，且为最小值， 其最小值为 (2)对任意的恒成立，即在上，. 由(1)，设，所以. 由得. 易知在区间上单调递增，在区间上单调递减， ∴在处取得最大值，而. 因此的解为，∴ 18. 已知函数. （1）若，求不等式的解集； （2）若的定义域为，求实数的取值范围. 【答案】(1) （2） 【解析】 【分析】(1) 由题意，可化简不等式为得，利用函数的单调性，得到不等式，即可求解. （2）因为的定义域是，所以得恒成立，借助二次函数的性质，分类讨论，即可求解. 【详解】:(1) 时， （2）因为的定义域是，所以得恒成立. 当 当解得： 【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质的应用，以及不等式的恒成立问题的求解，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，以及二次函数的性质的合理应用是解答本题的关键，着重考查了转化思想的应用，以及推理与运算能力，属于中档试题. 19. 设，. （1）当时，求的极值； （2）若有恒成立，求的取值范围； （3）当时，若，求证：. 【答案】（1），； （2）； （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导得到的单调性，然后根据单调性求极值即可； （2）将恒成立转化为，然后分和两种情况讨论最大值即可求解； （3）将证明转化为证明，然后构造函数，求导得到，即可得证. 【小问1详解】 的定义域为 由题：，， 令，解得或，令，解得， ∴在，上单调递增，上单调递减， ，. 【小问2详解】 由题：， 欲使恒成立，只需， 当时：∵，时，，时，， ∴在上单调递增，上单调递减， ∴，得， 此时，； 当时： 若即，令，解得或，令，解得， 则在，上单调递增，上单调递减， 若即，，则在上单调递增， 若即，令，解得或，令，解得， 则在，上单调递，上单调递减， 不论上述哪种情况，均有，因此，不可能有恒成立，舍. 综上：的取值范围为. 【小问3详解】 由（2）的结论可知：当时：在上单调递增，上单调递减， ∵， ∴由图，不妨设， 欲证①， 只需证，即证，即证，即证， 即证②， 设， ， ，，， 又∵，， ，，， 在上单调递减， ， ∴②成立， ∴①成立. 【点睛】方法点睛：处理极值点偏移问题中的类似于的问题的基本步骤如下： ①求导确定的单调性，得到的范围； ②构造函数，求导可得恒正或恒负； ③得到与的大小关系后，将置换为； ④根据与的范围，结合的单调性，可得与的大小关系，由此证得结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025--2026学年第一学期高三年级第一次诊断考试 数学试卷 考试时间;120分钟 考试分值;150 命题教师： 高明军 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为实数集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题中正确的是（ ） A. 若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p且q”为真命题 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 命题“，”的否定是“，” D. 命题“，”的否定是“，” 3. 已知函数是定义在上的奇函数，对任意实数满足，且，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 4. 某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，已知第次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量（）满足函数模型（），其中为改良工艺的次数，假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要（ ）（参考数据：，） A. 14次 B. 15次 C. 16次 D. 17次 5. 使不等式成立的一个充分不必要条件可以为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若关于x的方程有5个不等的实根，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，错误的是（ ） A 若，则 B. 若，则 C. “对恒成立”是“”的必要不充分条件 D. 设，则最小值为2 10 已知函数，则（ ） A. 为偶函数 B. 在上单调递增 C. 若，则的最小值为3 D. 若恒成立，则最大值为6 11. 已知函数是上的奇函数，且过点，对于一切正实数，都有． 当时，恒成立，则（ ） A. B. 在上是单调函数 C. 有三个零点 D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知曲线，则该曲线在处的切线方程为______ 13. 已知函数在上单调递减，，若是的必要不充分条件， 则实数的取值范围为__________． 14. 函数，存在实数k，使有5个根，则a的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）已知，求的最大值； （2）若恒成立，求取值范围． 16. 已知函数， （1）当时，求函数的值域； （2）若函数的最小值为，求实数a的值. 17. 已知函数（为自然对数的底数）． （1）求函数的最小值； （2）若对任意的恒成立，求实数的值. 18. 已知函数. （1）若，求不等式的解集； （2）若的定义域为，求实数的取值范围. 19. 设，. （1）当时，求的极值； （2）若有恒成立，求的取值范围； （3）当时，若，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $