21.3实际问题与一元二次方程 同步练习卷-2025-2026学年人教版数学九年级上册

21.3实际问题与一元二次方程 一、单选题 1．有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了（    ）人 A．2 B．8 C．10 D．4 2．临近6月，九年级的同学就要毕业了，在毕业典礼中某班每一位同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张留作纪念，该班共送了2652张照片．设该班有x名学生，根据题意，列出方程应为（    ） A． B． C． D． 3．为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 4．为了促进消费，某国产品牌汽车在2025年初进行了连续两次降价，每辆车售价由原来的35万元降到了22.4万元，设平均每次降价率为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 6．现要在一个长为40 m，宽为26 m的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为864 m2，那么小道的宽度应是(　　) A．1 m B．2 m C．2.5 m D．3 m 7．俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（   ） A． B． C． D． 8．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6 210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6 210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是(　　) A．3(x－1)x＝6 210 B．3(x－1)＝6 210 C．(3x－1)x＝6 210 D．3x＝6 210 二、填空题 9．已知方程，如果设，那么原方程转化为关于的整式方程为 ． 10．如图所示，某小区准备用总长为的篱笆围成矩形花圃，花圃一面靠墙（墙足够长），且花圃中间隔有一道篱笆垂直于墙，当矩形花圃的面积是时，则的长为 m． 11．如图，在矩形中，，是的中点，连接，点从点出发，沿向点运动，到点停止，点在上，，连接，当的面积是10时，的长为 ． 12．古希腊数学家丢番图在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．在欧几里得的《几何原本》中，形如的方程的图解法是：如图，以和b为两直角边作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根．若关于x的一元二次方程．，按照图1，构造图2，在中，，连接，若，则m的值为 ．    13．某菜农在2022年11月底投资1 600元种植大棚黄瓜，春节期间，共采摘黄瓜400千克，当天就可以按6元/千克的价格售出．若将所采摘的黄瓜先储藏起来，其质量每天损失10千克，且每天需支付各种费用共40元，但每天每千克的价格能上涨0.5元(储藏时间不超过10天)．若该菜农想获得1 175元的利润，需要将采摘的黄瓜储藏_____________天． 三、解答题 14．某商场销售一批衬衫，每件成本为50元，如果按每件60元出售，可销售800件；如果每件提价1元出售，其销售量就减少20件，如果商场销售这批衬衫要获利润12000元，又使顾客获得更多的优惠，那么这种衬衫售价应定为多少元？ 15．如图所示，利用22米长的墙为一边，用篱笆围成一个长方形养鸡场，中间用篱笆分割出两个小长方形，总共用去篱笆36米，为了使这个长方形ABCD的面积为96平方米，问AB和BC的边各应是多少？ 16．广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售． （1）求平均每次下调的百分率． （2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？ 17．适逢中高考期间，某文具店平均每天可卖出30支2B铅笔，卖出1支铅笔的利润是1元，经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出10支铅笔，为了使每天获取的利润更多，该文具店决定把零售单价下降x元（0＜x＜1）． （1）当x为多少时，才能使该文具店每天卖2B铅笔获取的利润为40元？ （2）该文具店每天卖2B铅笔获取的利润可以达到50元吗？如果能，请求出，如果不能，请说明理由． 18．某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为元，销售价为元时，每天可售出件，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，每件童装每降价1元，平均每天可多售出2件．设每件童装降价x元． （1）每天可销售多少件，每件盈利多少元？（用含x的代数式表示） （2）每件童装降价多少元时，平均每天盈利元． （3）平均每天盈利能否达到元，请说明理由． 参考答案 1．B 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用-传播问题，根据题意列出方程是解题的关键． 设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意建立方程求解． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 第一轮传染后，患病人数为人， 第二轮传染时，每人传染人，新增人，总人数为：， 根据题意，有：， 解得：或（舍去）， 因此，每轮传染中平均一个人传染了人． 故选：B． 2．B 【分析】本题主要考查了列一元二次方程，根据每一位同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张留作纪念，即设全班有x名学生，则每人要赠送张相片，据此根据照片总数量为2652张列一元二次方程即可． 【详解】解：设全班有x名学生，则每人要赠送张相片， 根据题意可得出， 故选：B 3．C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，先用x表示出矩形的另一条边长，利用矩形的面积公式，列出方程即可． 【详解】解：设矩形的一边长为x米，则另一边长为米，由题意，得： ； 故选：C． 4．D 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，读懂题意，掌握两次连续降价的含义，列出正确的方程是解答本题的关键． 根据题意，设平均每次降价的百分率为，根据题意列出方程，由此得到答案． 【详解】解： 设平均每次降价的百分率为， 则根据题意可列方程为：， 故选：D． 5．D 【分析】确定矩形总面积：矩形地面长、宽，总面积为；分析草坪的长和宽：花卉带宽度为，且在四周，因此草坪的长需减去左右两侧花卉带宽度（共，即；草坪的宽需减去上下两侧花卉带宽度（共，即；列面积关系方程：草坪面积为，且等于总面积的，由此确定方程形式． 【详解】解：根据题意，矩形地面的总面积为，草坪面积为总面积的，即草坪面积为． ∵花卉带宽度为，且分布在矩形四周， ∴中间草坪的长应等于原矩形的长减去左右两侧花卉带的总宽度（每侧宽即 草坪的宽应等于原矩形的宽减去上下两侧花卉带的总宽度（每侧宽，即， 因此，草坪的面积可表示为，结合面积关系可列方程： ； 故此题答案为D． 6．B　 【详解】设小道的宽度应为x m，则剩余部分可合成长为(40－2x)m，宽为(26－x)m的矩形．依题意得(40－2x)(26－x)＝864，整理，得x2－46x＋88＝0.解得x1＝2，x2＝44.∵44＞40，不合题意，∴x＝2.故小道的宽度应为2 m．故选B. 【思路分析】设小道的宽度为x m，则剩余部分的面积与长(40－2x)m、宽(26－x)m的矩形面积相等，结合种植花草的面积为864 m2，即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出x的值，结合实际即可确定小道的宽度. 7．A 【分析】由题意得：一天后记得的知识为：，两天后记得的知识为：，即可求解； 【详解】解：由题意得：一天后记得的知识为：，两天后记得的知识为：， ∴， 故选A 8．A　 【详解】∵这批椽的数量为x株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，∴一株椽的价钱为3(x－1)文．依题意得3(x－1)x＝6 210.故选A. 9． 【分析】本题考查了解分式方程、换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题的关键．设，将原方程转化为关于的方程，再对关于的方程去分母整理即可得出答案． 【详解】解：， ， 方程， 方程转化为关于的方程为， 整理得：， 原方程转化为关于的整式方程为． 故答案为：． 10．4或6/6或4 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用．理解题意，正确列出等式或不等式是解题关键．设的长为，则，根据矩形花圃的面积是，且各边长不能为，列出等式和不等式，再求解即可． 【详解】解：设的长为，则． ∵矩形花圃的面积是， ∴， 解得：，． ∵，， ∴， ∴， ∴的长为或． 故答案为：4或6． 11．2或 【分析】本题考查了一元二次方程与图形面积，勾股定理，等腰直角三角形的性质，根据题意分在的左侧和右侧，分类讨论，分别画出图形，设，根据的面积是10，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵在矩形中，，是的中点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵ ∴是等腰直角三角形， ∴ 设， 当在点的左侧时，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 当的面积是10时， 解得：（负值舍去） 如图，当在点的右侧时， ， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 当的面积是10时， 解得：（负值舍去） 当点在的右侧时，不合题意； 综上所述，或, 故答案为：2或． 12．6 【分析】本题考查一元二次方程的应用及勾股定理，解题的关键是读懂题意，列出方程． 先根据勾股定理求得，再由得，即可解得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ， ， 解得或， 根据题意， ； 经检验，是原方程的解； 故答案为：6． 13．5 14．这种衬衫的销售价为70元 15．【答案】AB长8米，BC长12米 16．【答案】（1）平均每次下调的百分率为10%； （2）选择方案①更优惠． 17．解：（1）根据题意得：（1﹣x）（100x+30）＝40， 整理得：10x2﹣7x+1＝0，解得：x1＝0.2，x2＝0.5．      答：当x为0.2或0.5时，才能使该文具店每天卖2B铅笔获取的利润为40元．   （2）根据题意得：（1﹣x）（100x+30）＝50，整理得：10x2﹣7x+2＝0，                ∴△＝b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×10×2＝﹣31＜0．     答：该文具店每天卖2B铅笔获取的利润不可以达到50元． 18．（1）解：设每件童装降价x元时， 每天可销售件， 每件盈利：（元）； （2）解：根据题意，得：． 解得：，， ∵扩大销售量，增加利润， ， 答：每件童装降价元，平均每天盈利元； （3）解：依题意，可列方程： ， 化简，得 ， ． 方程无实数根． 故平均每天销售利润不能达到元． 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $