7.1.1数系的扩充和复数的概念导学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

7.1.1　数系的扩充和复数的概念

【课标要求】　1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程.2.理解在数系的扩充中的实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．

【导学】

学习目标一　复数的相关概念

　师问：(1)方程x2＋1＝0在实数范围内有解吗？ 若有一个新数i满足i2＝ －1，试想方程x2＋1＝0有解吗？

(2)添加i之后，我们知道i2＝ －1，i与原来的实数之间进行加法、乘法运算的时候，会产生怎样的新数？

生答：

 

例1 已知复数 (x＋y)＋(2－x)i的实部和虚部分别为 3 和 4, 则实数 x 和 y 的值分别是 (　　)

A．2，－4    B．2，5

C．－2，4    D．－2，5

 

 

 

 

总结：若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b.

跟踪训练1　设i是虚数单位，若复数z＝3＋2a＋(2－3a)i的实部与虚部互为相反数，则实数a＝(　　)

A．5    B．－5

C．3    D．－3

学习目标二　复数的分类

　师问：(1)复数z＝a＋bi在什么情况下表示实数？

(2)如何利用集合关系表示实数集R和复数集C?

生答：

 

例2 实数x分别取什么值时，复数z＝＋(x2－2x－15)i是①实数？②虚数？③纯虚数？

 

 

 

总结：(1)数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R). 特别注意当z为纯虚数时，则b≠0，且a＝0.

(2)要注意确定使实部、虚部有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解．

跟踪训练2　(1)若复数(a2－1)＋(a－1)i(a∈R)是实数，则a＝(　　)

A．1    B．－1

C．±1    D．不存在

(2)若复数z＝(m2－m－2)＋(m－2)i为纯虚数，则实数m＝________．

学习目标三　复数相等

师问：(1)两个实数可以比较大小，那么两个复数可以比较大小吗？

(2)你能说出复数相等的充要条件是什么吗？

生答：

 

 

例3 设z1＝m2＋2＋(m2＋m－2)i，z2＝3m＋(m2－5m＋4)i，若z1＝z2，求实数m的值．

 

 

【一题多变】　本例条件改为“z1＝m2＋1＋(m2＋m－2)i，z2＝4m＋2＋(m2－5m＋4)i，且z1<z2”，求实数m的值．

 

 

总结：解决复数相等的基本思路是：(1)将等式两边整理为a＋bi(a，b∈R)的形式；