22一元二次方程专题：根的判别式与根系关系学案2025-2026学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦一元二次方程专题复习，核心知识点为根的判别式及根与系数的关系。通过知识归纳梳理△的表达式与根的情况，结合例题解析含参问题，再设计梯度练习巩固，搭建从概念到应用的学习支架。 资料亮点在于立足知识应用，例题融合中考真题，练习涵盖基础与综合题，培养运算能力与推理意识。达标题分层设计必做与选做，适配不同学情，引导学生用数学语言表达解题过程，提升应用意识与创新意识。

庆云县第二中学“两标四环”生本课堂 九 年级 数学 导学案 学案序号： 备课组长签名：赵霞 课 题 一元二次方程专题 授课人 课 型 复习 授课时间 2025年 9 月 主备人 赵 霞 学习目标 1、会运用一元二次方程的根的判别式求字母系数的值或取值范围。2、会利用根系关系求含根的式子的值或字母系数的值。 学习重难点 知识的应用 学习过程 线索（要点概括） 一、知识点：一元二次方程根的判别式 1、 知识归纳： 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式△=_________ （1）当△>0时，方程有_________________________的实数根； （2）当△=0时，方程有_________________________的实数根； （3）当△<0时，方程__________________． （4）当△ 0时，方程有实数根。 2、例题 关于x的一元二次方程x2+2x+t=0有两个相等的实数根，求实数t的值，并求出方程的根。 3练习 1（2023济南）关于X的一元二次方程x2-4x+2a=0有实数根，则a的值可以是 (写出一个即可). 2已知关于x的一元二次方程x2+(2m-3)x+m2=0有两个实数根x1，x2.，则实数m的取值范围 。 3、关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求n的取值范围； （2）若n为取值范围内的最小整数，求此方程的根． 2、 知识点：一元二次方程的根与系数的关系 1、 知识归纳： 若一元二次方程方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别为x1，x2，则x1+x2= ，x1x2= 2、 例题 例1.设x1、x2为方程x2+4x-5=0的两个根，求下列式子的值 （1）x1+x2 （2) x1x2 （3) x12+x22 （4) (x1+1)(x2+1) （5）x12+5x1+x2 （6）x12x2+x1x2 2 例2已知x1，x2是一元二次方程x2＋2x－k－3＝0的两根，且x1x2＝－2，则k的值为（ ）A．-1 B．1 C．3 D．－3 3、 练习 1.已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋bx－3＝0的两根且满足x1＋x2－3x1x2＝5，那么b的值为( ) A．4 B．－4 C．3 D．－3 2．已知关于x的一元二次方程x2－3x＋k＋1＝0，它的两根之积为－4，则k的值为(　　) A．－1 B．4 C．－4 D．－5 3．已知a，b是方程x2＋3x－1＝0的两根，则a2b＋ab2的值是__ __． *（整体思想）(2024·成都)若m，n是一元二次方程x2－5x＋2＝0的两个实数根，m2-4m+n的值为_________． 总结 庆云县第二中学“两标四环”生本课堂达标题 必做题 时间 10分钟 分数10分 1．下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ） A．x2＋1＝0 B. x2+x-1＝0 C. x2+2x＋3＝0 D. 4x2-4x＋1＝0 2．若关于x的方程x2-x＋k＝0没有实数根，则（ ） A.k＜ B.k ＞ C. k≤ D. k≥ 3.(2024·贵阳花溪区期中)一元二次方程2x2-5x+6=0的根的情况为( ) A.有两个不相等的实数根 B.无实数根 C.有两个相等的实数根 D.无法判定 4.已知一元二次方程x2-3x-1=0的两个根分别为x1，x2.则x12x2+x1x22的值为( ) A.-3 B.3 C.-6 D.6 5.设方程x2＋x－2＝0的两个根为α，β，那么α＋β－αβ的值等于(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 选做题 分数4分 6.已知关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有两个不等实数根x1，x2． (1)求k的取值范围； (2)若x1x2=5，求k的值． 解:（1）解：∵关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有两个不等实数根， ∴此方程根的判别式Δ=(2k+1)2−4(k2+1)>0，解得k>3/4． （2）解：由题意得：x1x2=k2+1=5，解得k=−2或k=2， 由（1）已得：k>3/4，则k的值为2． 仿照上题完成下题： 7、 已知关于x的一元二次方程x2+(2m-3)x+m2=0有两个实数根x1，x2. (1)求实数m的取值范围; (2)若x1+x2=6-x1x2，求m的值. 学科网（北京）股份有限公司 $