精品解析： 广东省深圳市2020——2021学年九年级下学期开学考数学模拟卷系列（2）（含）

2020--2021学年广东深圳九下开学考数学模拟卷系列（2） 一.选择题（每小题3分共30分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 3.1415 2. 以下给出的几何体中，主视图是矩形，俯视图是圆的是（　　） A. B. C. D. 3. 数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 改革开放以来，我国众多科技实体在各自行业取得了举世瞩目的成就，大疆科技、华为集团、太极股份和凤凰光学等就是其中的杰出代表．上述四个企业的标志是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，菱形ABCD中，AC交BD于点O，于点E，连接OE，若，则（　　） A. 20° B. 30° C. 40° D. 50° 6. 不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，，平分，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 8. 在一幅长60dm宽40dm的庆祝建国70周年宣传海报四周镶上相同宽度的金色纸片制成一幅矩形挂图．要使整个挂图的面积为2800dm2，设纸边的宽为xdm，则可列出方程为（　　） A. x2+100x﹣400＝0 B. x2﹣100x﹣400＝0 C. x2+50x﹣100＝0 D. x2﹣50x﹣100＝0 9. 如图，在中，，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当的长为半径作弧，分别交AC，AB于M，N两点；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线AP，交BC于点E．则（　　） A. B. C. D. 10. 下列命题是假命题的是（ ）． A. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等． B. 如果等腰三角形的两边长分别是5和6，那么这个等腰三角形的周长为16． C. 将一次函数y＝5x﹣1的图象向上平移3个单位，所得直线不经过第四象限． D. 若关于x的一元一次不等式组无解，则m的取值范围是m≤1． 11. 二次函数为常数，且)中的与的部分对应值如表： ··· ··· ··· ··· 下列结论错误的是(　　) A. B. 是关于的方程的一个根； C. 当时，的值随值的增大而减小； D. 当时， 12. 如图，正方形ABCD，点F在边AB上，且AF：FB＝2：3，CE⊥DF，垂足为M，且交AD于点E，AC与DF交于点N，延长CB至G，使BGBC，连接GM．有如下结论：①DE＝AF；②＝；③MG：AB＝5：4； ④：＝1：8，上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①②③ D. ①②③④ 二.填空题（每小题3分共15分） 13. 分解因式：m3﹣2m2n+mn2=___． 14. 若一组数据4，a，7，8，3的平均数是5，则这组数据的中位数是________． 15. 如图，O点是矩形ABCD的对角线的中点，菱形ABEO的边长为2，则BC＝ ______． 16. 如图，点的坐标分别为，点C是反比例函数图像上一点，，AC交y轴于点D，，则k的值为______________ 三.解答题（共7小题，共55分） 17. 计算：2sin60°+|2|+（﹣1）﹣1 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 为了解“停课不停学”过程中学生对网课内容的喜爱程度，某校开展了一次网上问卷调查，随机抽取部分学生，按四个类别统计，其中A表示“很喜欢”，B表示“喜欢”，C表示“一般”，D表示“不喜欢”，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解决下列问题． 为 （1）这次共抽取_________名学生进行统计调查，扇形统计图中的D所在扇形的圆心角度数为______度； （2）将条形统计图补充完整； （3）若该校共有4000名学生，估计该校表示“喜欢”的B类学生大约有多少人？ 20. 如图，某校有一教学楼其上有一避雷针为7米，教学楼后面有一小山，其坡度为,山坡上有一休息亭E供爬山人员休息，测得山坡脚F与教学楼的水平距离为19米，与休息亭的距离为10米，从休息亭E测得教学楼上避雷针顶点C的仰角为，求教学楼的高度.（结果保留根号） 21. “节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求： （1）A型自行车去年每辆售价多少元； （2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知，A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多． 22. 如图，A，B，C是上的三点，且，，点D为优弧上的动点，且． （1）如图1，若，延长到F，使得，连接，求证：是的切线； （2）如图2，若的角平分线与相交于E，求的半径与的长； （3）如图3，将的边所在的直线绕点A旋转得到，直线与相交于M，N，连接．在运动的过程中，的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，说明变化规律． 23. 如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且OB＝OC． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若点P是线段BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标； （3）如图2，若第四象限有一动点E，满足AE＝OA，过E作EF⊥x轴于点F，设F坐标为（t，0），0＜t＜3，△AEF的内心为I，连接CI，直接写出CI的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2020--2021学年广东深圳九下开学考数学模拟卷系列（2） 一.选择题（每小题3分共30分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 3.1415 【答案】A 【解析】 【分析】根据无理数的定义即可判定选择项． 【详解】A、是开方开不尽的数，是无理数， B、，是有理数， C、D、3.1415是有理数． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的数只有开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数． 2. 以下给出的几何体中，主视图是矩形，俯视图是圆的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据几何体的正面看得到的图形，可得答案． 【详解】A、主视图是圆，俯视图是圆，故A不符合题意； B、主视图是矩形，俯视图是矩形，故B不符合题意； C、主视图是三角形，俯视图是圆，故C不符合题意； D、主视图是个矩形，俯视图是圆，故D符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，熟记简单几何的三视图是解题关键． 3. 数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，把一个数记成的形式，其中，为整数，熟练掌握科学记数法是解题的关键 ． 【详解】解：亿． 故选：B． 4. 改革开放以来，我国众多科技实体在各自行业取得了举世瞩目的成就，大疆科技、华为集团、太极股份和凤凰光学等就是其中的杰出代表．上述四个企业的标志是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解． 【详解】A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项正确； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项错误． 故选B． 【点睛】本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合． 5. 如图，菱形ABCD中，AC交BD于点O，于点E，连接OE，若，则（　　） A. 20° B. 30° C. 40° D. 50° 【答案】A 【解析】 【分析】根据直角三角形的斜边中线性质可得OE=OB=OD，根据菱形性质可得∠DBE= ∠ABC=70°，从而得到∠OEB度数，再依据∠OED=90°-∠OEB即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴O为BD中点，∠DBE=∠ABC=70°， ∵DE⊥BC， ∴在Rt△BDE中，OE=OB=OD， ∴∠OEB=∠OBE=70°， ∴∠OED=90°-70°=20°， 故选A． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边中线的性质，解决这类问题的方法是四边形转化为三角形． 6. 不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用列表法或树状图法可以列举出所有等可能出现的结果，然后看符合条件的占总数的几分之几即可． 【详解】解：两次摸球的所有的可能性树状图如下： 第一次 第二次 开始 ∴两次都是红球． 故选D． 【点睛】考查用树状图或列表法，求等可能事件发生的概率，关键是列举出所有等可能出现的结果数，然后用分数表示，同时注意“放回”与“不放回”的区别． 7. 如图，，平分，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得答案． 【详解】解：∵ ∴ ∵平分 ∴ 故选B． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的定义，关键是掌握两直线平行，内错角相等． 8. 在一幅长60dm宽40dm的庆祝建国70周年宣传海报四周镶上相同宽度的金色纸片制成一幅矩形挂图．要使整个挂图的面积为2800dm2，设纸边的宽为xdm，则可列出方程为（　　） A. x2+100x﹣400＝0 B. x2﹣100x﹣400＝0 C. x2+50x﹣100＝0 D. x2﹣50x﹣100＝0 【答案】C 【解析】 【分析】如果设纸边的宽为xcm，那么挂图的长和宽应该为（40+2x）和（60+2x），根据总面积即可列出方程． 【详解】解：设纸边的宽为xcm，那么挂图的长和宽应该为（60+2x）和（40+2x）， 根据题意可得出方程为：（60+2x）（40+2x）＝2800， 整理得：x2+50x﹣100＝0， 故选C． 【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是熟知面积的公式. 9. 如图，在中，，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当的长为半径作弧，分别交AC，AB于M，N两点；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线AP，交BC于点E．则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本作图得平分，作于，如图，根据角平分线的性质得，再利用等腰直角三角形的性质得，，，设，则，，，所以，然后根据正切的定义求解． 【详解】解：由作法得平分， 作于，如图， 为角平分线，，， ， ，， ，， 为等腰直角三角形， ， 设，则，， ， ， ， 在中，． 故选：． 【点睛】本题考查了作图基本作图：作已知角的角平分线，等腰直角三角形的判定与性质，正切等知识点，熟悉相关性质是解题的关键． 10. 下列命题是假命题的是（ ）． A. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等． B. 如果等腰三角形的两边长分别是5和6，那么这个等腰三角形的周长为16． C. 将一次函数y＝5x﹣1的图象向上平移3个单位，所得直线不经过第四象限． D. 若关于x的一元一次不等式组无解，则m的取值范围是m≤1． 【答案】B 【解析】 【分析】逐一进行判断即可得出答案． 【详解】A. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，正确，故该选项不符合题意； B. 如果等腰三角形的两边长分别是5和6，那么这个等腰三角形的周长为16或17，故该选项符合题意； C. 将一次函数y＝5x﹣1的图象向上平移3个单位，得到，函数图象经过一，二，三象限，所以不经过第四象限，正确，故该选项不符合题意； D. 解①得 ，解②得 ， ∵关于x的一元一次不等式组无解， ∴m的取值范围是m≤1，正确，故该选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查真假命题，掌握三角形外心的定义，等腰三角形的定义，一次函数的平移和解不等式组的方法是解题的关键． 11. 二次函数为常数，且)中的与的部分对应值如表： ··· ··· ··· ··· 下列结论错误的是(　　) A. B. 是关于的方程的一个根； C. 当时，的值随值的增大而减小； D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数中的x与y的部分对应值表，可以求得a、b、c的值 然后在根据函数解析式及其图象即可对各个选项做出判断． 【详解】解：根据二次函数的x与y的部分对应值可知： 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， 联立以上方程：， 解得：， ∴； A、，故本选项正确； B、方程可化为， 将代入得：， ∴是关于的方程的一个根,故本选项正确； C、化为顶点式得：， ∵，则抛物线的开口向下， ∴当时，的值随值的增大而减小；当时，的值随值的增大而增大；故本选项错误； D、不等式可化为，令， 由二次函数的图象可得：当时，，故本选项正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数与不等式的关系，根据表中数据求出二次函数解析式是解题的关键． 12. 如图，正方形ABCD，点F在边AB上，且AF：FB＝2：3，CE⊥DF，垂足为M，且交AD于点E，AC与DF交于点N，延长CB至G，使BGBC，连接GM．有如下结论：①DE＝AF；②＝；③MG：AB＝5：4； ④：＝1：8，上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】①由“ASA”可证△ADF≌△DCE，可得DE＝AF，即可判断①； ②由全等三角形的性质可得，即可判断②； ③由勾股定理和相似三角形的性质分别求出MG和AB的长，即可判断③； ④通过证明△ANF∽△CND，可得，，利用参数x分别求出△ANF的面积和四边形CNFB的面积，可判断④． 【详解】①∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB＝CD＝BC，∠CDE＝∠DAF＝90°， ∵CE⊥DF， ∴∠DCE＋∠CDF＝∠ADF＋∠CDF＝90°， ∴∠ADF＝∠DCE， 在△ADF与△DCE中， ， ∴△ADF≌△DCE（ASA）， ∴DE＝AF， 故①正确； ②∵△ADF≌△DCE， ∴， ∴＝；； 故②正确； ③如图，过点G作GH⊥EC于H， ∵AF：FB＝2：3， ∴设AF＝2x＝DE，BF＝3x， ∴AB＝BC＝5x＝CD， ∵BGBC， ∴BGx， ∴CEx， ∵cos∠DCE， ∴， ∴CMx， ∵AD∥BC， ∴∠DEC＝∠BCE， 又∵∠CDE＝∠GHC， ∴△CDE∽△GHC， ∴， ∴， ∴CHx， ∴MH＝CHx， 又∵GH⊥CH， ∴MG＝GC＝5xx， ∴MG：AB＝5：4， 故③正确； ④∵AF：FB＝2：3， ∴设AF＝2x，BF＝3x， ∴AB＝BC＝5x＝CD， ∵BGBC， ∴BGx， ∵AB∥CD， ∴△ANF∽△CND， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴：＝4：31， 故④错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形的相似，勾股定理，三角形的全等，平行线的性质，三角函数的定义，熟练掌握三角形的相似是解题的关键． 二.填空题（每小题3分共15分） 13. 分解因式：m3﹣2m2n+mn2=___． 【答案】m（m﹣n）2． 【解析】 【详解】试题分析：先提取公因式m，再用完全平方公式分解因式即可． m3﹣2m2n+mn2=m（m2﹣2mn+n2）=m（m﹣n）2． 故答案是m（m﹣n）2． 考点：提公因式法与公式法的综合运用． 14. 若一组数据4，a，7，8，3的平均数是5，则这组数据的中位数是________． 【答案】4 【解析】 【分析】先根据平均数的定义求出x的值，然后根据中位数的定义求解． 【详解】由题意可知，（4+a+7+8+3）÷5=5， a=3， 这组数据从小到大排列3，3，4，7，8， 所以，中位数是4． 故答案是：4． 【点睛】考查平均数与中位数的意义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数． 15. 如图，O点是矩形ABCD的对角线的中点，菱形ABEO的边长为2，则BC＝ ______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据矩形的性质得到AC=4，再根据菱形的性质得到AB=2，再根据勾股定理即可求解. 【详解】∵菱形的边长为2，∴AB=AO=2， ∵O点是矩形ABCD的对角线的中点， ∴AC=2AO=4， ∴BC= 故填：2 【点睛】此题主要考查菱形的性质，解题的关键是熟知菱形的四边相等. 16. 如图，点的坐标分别为，点C是反比例函数图像上一点，，AC交y轴于点D，，则k的值为______________ 【答案】 【解析】 【分析】过C作轴于G，过点A作交延长线于E，作轴于F，根据得，求出，证明得到，求出直线的解析式为，将代入求出点C的坐标，即可求出答案． 【详解】解：过C作轴于G，过点A作交延长线于E，作轴于F， ∵轴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴， ∵轴于F， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，得， ∴点C的坐标为 ∵点是反比例函数图象上一点， ∴ 故答案为：． 【点睛】此题考查比例的性质，等腰直角三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，待定系数法求函数解析式，这是一道图形及函数的综合题，较难，题中的是提示解题的思路，延长后得到45度的角，由此利用等腰直角三角形的性质解决问题是解题的关键． 三.解答题（共7小题，共55分） 17. 计算：2sin60°+|2|+（﹣1）﹣1 【答案】3. 【解析】 【分析】首先计算乘方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可． 【详解】2sin60°+|2|+（﹣1）﹣1 ＝221﹣（﹣2） 21 ＝3. 【点睛】本题考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将、的值代入计算可得． 【详解】原式 ， 当，时， 原式． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 19. 为了解“停课不停学”过程中学生对网课内容的喜爱程度，某校开展了一次网上问卷调查，随机抽取部分学生，按四个类别统计，其中A表示“很喜欢”，B表示“喜欢”，C表示“一般”，D表示“不喜欢”，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解决下列问题． 为 （1）这次共抽取_________名学生进行统计调查，扇形统计图中的D所在扇形的圆心角度数为______度； （2）将条形统计图补充完整； （3）若该校共有4000名学生，估计该校表示“喜欢”的B类学生大约有多少人？ 【答案】（1）50；72 （2）见解析 （3）1840 【解析】 【分析】考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，求扇形统计图的圆心角，用样本估计总体．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）先求出这次共抽取的人数，（人），因此D类所对应的扇形圆心角的大小； （2）A类学生：（人），据此补充条形统计图； （3）先求出表示“喜欢”的B类学生的占比，再用总数乘上占比即可求解． 【小问1详解】 解：由扇形图可知选择A的占， 则选择B、C、D的共占， 由条形图可知选择B、C、D的学生共有名， ∴共抽取名学生进行统计调查， ∴选择D的占， 则圆心角为， 故答案为：50；72． 【小问2详解】 解：选择A的有名， ∴补全条形统计图为： 【小问3详解】 解：选择B类的学生占， 该校大约有名表示“喜欢”B类的学生． 20. 如图，某校有一教学楼其上有一避雷针为7米，教学楼后面有一小山，其坡度为,山坡上有一休息亭E供爬山人员休息，测得山坡脚F与教学楼的水平距离为19米，与休息亭的距离为10米，从休息亭E测得教学楼上避雷针顶点C的仰角为，求教学楼的高度.（结果保留根号） 【答案】教学楼的高度为 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，解直角三角形的应用、坡度与坡角等知识点，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键． 根据坡度的定义可得，再根据正切三角函数即可得；先根据直角三角形的性质可得的长，从而可得的长，再根据矩形的判定与性质可得，然后解直角三角形可得的长，最后根据即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意得：， 在中，， 则， 过点作于点， ∴ 则四边形是矩形， ， 由题意得：， 在中，，米， 米，米， 米， 米， （米）， 在中，（米）， 则（米）， 答：教学楼的高度为． 21. “节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求： （1）A型自行车去年每辆售价多少元； （2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知，A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多． 【答案】（1）2000元；（2）A型车20辆，B型车40辆 【解析】 【分析】（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x﹣200）元，由卖出的数量相同列出方程求解即可； （2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60﹣a）辆，获利y元，由条件表示出y与a之间的关系式，由a的取值范围就可以求出y的最大值． 【详解】解：（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x﹣200）元，由题意，得： ， 解得：x=2000． 经检验，x=2000是原方程的根． 答：去年A型车每辆售价为2000元； （2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60-a）辆，获利y元，由题意，得 y=（2000-1500-200）a+（2400-1800）（60-a）， y=－300a+36000． ∵B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍， ∴60-a≤2a， ∴a≥20． ∵y=－300a+36000． ∴k=－300＜0， ∴y随a的增大而减小． ∴a=20时，y最大=30000元． ∴B型车的数量为：60-20=40辆． ∴当新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最大． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意列出相应的方程． 22. 如图，A，B，C是上的三点，且，，点D为优弧上的动点，且． （1）如图1，若，延长到F，使得，连接，求证：是的切线； （2）如图2，若的角平分线与相交于E，求的半径与的长； （3）如图3，将的边所在的直线绕点A旋转得到，直线与相交于M，N，连接．在运动的过程中，的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，说明变化规律． 【答案】（1） 证明：连接，如图1所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 图1 （2）的半径为， （3）在运动的过程中，的值不发生变化，其值为25 【解析】 【分析】（1）连接，先证，推出，得到四边形是平行四边形，，再得到，即可证得结论； （2）连接交于H，连接，由垂径定理得，根据，求出，设的半径为x，则，，在中，由勾股定理求出，的半径为，根据角平分线定义及同弧所对圆周角相等得到，由此得到； （3）连接，并延长交于Q，连接，过点A作于P，证明，得到，由（2）可知，点A到直线的距离为3，直线绕点A旋转得到，A到直线的距离始终等于3，不会发生改变，由此得到． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：连接交于H，连接，如图2所示： ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， 设的半径为x，则，， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴的半径为， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； 图2 【小问3详解】 解：连接，并延长交于Q，连接，过点A作于P，如图3所示： 则是的直径， ∴， ∵，∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（2）可知，点A到直线的距离为3，直线绕点A旋转得到， ∴点A到直线的距离始终等于3，不会发生改变， ∴， ∵， ∴， ∴在运动的过程中，的值不发生变化，其值为25． 图3 【点睛】此题考查锐角三角函数，证明直线是圆的切线，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，等知识，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键． 23. 如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且OB＝OC． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若点P是线段BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标； （3）如图2，若第四象限有一动点E，满足AE＝OA，过E作EF⊥x轴于点F，设F坐标为（t，0），0＜t＜3，△AEF的内心为I，连接CI，直接写出CI的最小值． 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）P（3﹣，﹣）；（3）CI的最小值为． 【解析】 【分析】（1）在抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）中，令y＝0，得出点A、B坐标，再根据OB＝OC，建立方程求a的值即可求出函数的关系式； （2）先求出直线BC解析式，设M点坐标为（m，m2−2m−3），P（m，m−3），由题意：△PCM沿CM对折，点P的对应点N恰好落在y轴上，可得到关于m的一元二次方程，求出m即可得到答案； （3）连接AI，OI，EI，作△OAI的外接圆⊙M，连接OM，AM，MI，CM，过M作MH⊥y轴于H，根据三角形内心可证明△AIO≌△AIE，再结合三角形外接圆及等腰直角三角形性质求得CM，MI，依据两点之间线段最短可得答案． 【详解】解：（1）在y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）中， 令y＝0，得：ax2﹣2ax﹣3a＝0， 解得：x1＝3，x2＝﹣1， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， ∴OB＝3， ∵OB＝OC， ∴OC＝3， ∴C（0，﹣3）， ∴﹣3a＝﹣3， ∴a＝1， ∴抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3． （2）如图1， 设直线BC解析式为y＝kx+b， ∵B（3，0），C（0，﹣3）， ∴， 解得， ∴直线BC解析式为：y＝x﹣3， 设M点坐标为（m，m2﹣2m﹣3）， ∵PM⊥x轴， ∴P（m，m﹣3）， ∴PM＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m， ∵OB＝OC，∠BOC＝90°， ∴CB＝OB， ∴CP＝m， ∵△PCM沿CM对折，点P的对应点N恰好落在y轴上， ∴∠PCM＝∠NCM， ∵PM∥y轴， ∴∠NCM＝∠PMC， ∴∠PCM＝∠PMC， ∴PC＝PM， ∴m＝﹣m2+3m， 整理得：m2+（﹣3）m＝0， 解得：m1＝0（舍去），m2＝3﹣， ∴当m＝3﹣时，m﹣3＝﹣， ∴P（3﹣，﹣）． （3）如图2，连接AI，OI，EI，作△OAI的外接圆⊙M，连接OM，AM，MI，CM，过M作MH⊥y轴于H， ∵EF⊥x轴， ∴∠AFE＝90°， ∴∠FAE+∠FEA＝90°， ∵△AEF的内心为I， ∴AI，EI分别平分∠FAE，∠FEA， ∴∠IAE＝∠FAE，∠IEA＝∠FEA， ∴∠IAE+∠IEA＝（∠FAE+∠FEA）＝45°， ∴∠AIE＝135°， 在△AIO和△AIE中， ， ∴△AIO≌△AIE（SAS）， ∴∠AIO＝∠AIE＝135°， ∵⊙M是△OAI的外接圆， ∴∠OMA＝2×（180°﹣∠AIO）＝90°， ∴OM＝AM＝OA＝， ∴MI＝OM＝， ∴∠MOA＝∠MOH＝45°， ∵MH⊥y轴， ∴∠HOM＝∠HMO＝45°， ∴OH＝HM＝OM＝， ∴CH＝OH+OC＝+3＝， ∴CM＝＝， ∵CI≥CM﹣MI，当且仅当C、M、I三点共线时，CI取得最小值， ∴CI的最小值为﹣． 【点睛】本题属于二次函数综合问题，考查了待定系数法，三角形内心、外接圆，几何变换−对折，两点之间线段最短，全等三角形判定和性质等知识点，充分利用三角形内心，合理作辅助线是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $