专题02 二次函数（期中真题汇编，北京专用北京版）九年级数学上学期

专题02 二次函数 7大高频考点概览 考点01 二次函数的定义与y=ax2+bx+c的图象性质 考点02 待定系数法求二次函数解析式 考点03 二次函数的图像性质 考点04 二次函数的平移 考点05 二次函数与一元二次方程 考点06 二次函数实际应用 考点07 二次函数综合 地 城 考点01 二次函数的定义与y=ax2+bx+c的图像性质 一、单选题 1．(24-25九上·北京通州区·期中)已知y是x的函数，下表是x与y的几组对应值： x … 1 2 4 … y … 4 2 1 … y与x的函数关系有以下3个描述： ①可能是一次函数关系； ②可能是反比例函数关系； ③可能是二次函数关系，所有正确描述的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．(24-25九上·北京通州区·期中)下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： x … 0 1 3 … y … 6 2 0 2 … 下列判断：①函数图象开口向上；②函数图象的顶点坐标是；③当时，；④在函数图象上有两点，，则．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 3．(24-25九上·北京延庆区·期中)已知二次函数，若点和在此函数图象上，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 4．(24-25九上·北京昌平区回龙观东西学区·期中)抛物线的图象开口向下，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D．m可取一切实数 5．(24-25九上·北京昌平区回龙观东西学区·期中)将函数化为顶点式，结果是（   ） A． B． C． D． 6．(24-25九上·北京顺义牛栏山第一中学实验学校·期中)已知二次函数的图象过点，则的大小关系（   ） A． B． C． D． 7．(24-25九上·北京顺义牛栏山第一中学实验学校·期中)二次函数的图象如图所示，下列结论错误的是（   ） A． B．当时，y随x的增大而增大 C． D．函数图象与x轴交点的横坐标是方程的根 二、填空题 8．(24-25九上·北京昌平区回龙观东西学区·期中)已知二次函数的图象与x轴有交点，则a的取值范围是 ． 9．(23-24九上·北京石景山区京源学校·期中)函数是二次函数，则 ． 10．(24-25九上·北京密云区·期中)如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过两点，下列四个结论中：①抛物线与轴的交点是；②抛物线的对称轴是直线；③；④，所有正确结论的序号是 ． 11．(24-25九上·北京通州区·期中)在二次函数的图象中，当时，y随x的增大而 ．（填增大，减小或不变） 12．(24-25九上·北京顺义区仁和中学·期中)把二次函数化成的形式 ． 13．(24-25九上·北京首都师范大学附属中学永定分校·期中)把二次函数的表达式化为的形式 ． 14．(24-25九上·北京昌平区回龙观东西学区·期中)写出一个当时，y随x增大而增大的二次函数表达式 ． 15．(24-25九上·北京延庆区·期中)二次函数的最小值是 ． 16．(24-25九上·北京首都师范大学附属中学永定分校·期中)写出一个二次函数，其图像满足：①开口向上：②当时，随的增大而减小．这个二次函数的解析式可以是 ． 17．(24-25九上·北京延庆区·期中)如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于两点，对称轴是直线，下面四个结论中：①；②当时，随的增大而增大；③点的坐标为；④若点在函数的图象上，则；其中正确的是 （只填写序号）． 三、解答题 18．(24-25九上·北京密云区·期中)已知二次函数． (1)求二次函数图象的顶点坐标、对称轴； (2)在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象． 19．(24-25九上·重点北京顺义区第三中学·期中)已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标及与坐标轴的交点坐标； (2)直接写出当时，自变量的取值范围． 20．(24-25九上·北京通州区·期中)已知二次函数． (1)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； (2)当时，直接写出函数值y的取值范围． 0 1 0 3 4 3 0 21．(24-25九上·北京密云区·期中)已知抛物线经过两点， (1)求b，c的值； (2)当时，求函数值y的取值范围； (3)当时，函数的函数值总大于函数的函数值，直接写出n的取值范围． 22．(24-25九上·北京通州区·期中)已知二次函数（m为常数）的图象经过点，． (1)求此二次函数图象的对称轴（用含m的代数式表示）； (2)请判断，的大小关系并说明理由． 23．(24-25九上·北京房山区·期中)已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)画出这个二次函数的图象； (3)根据图象回答：当时，的取值范围是______． 24．(24-25九上·北京房山区·期中)已知某抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： … (1)在坐标系中画出该抛物线的图象； (2)该抛物线的对称轴是______． 25．(23-24九上·北京顺义区仁和中学·期中)已知：二次函数的图象经过点． (1)求二次函数的解析式； (2)将（1）中求得的函数解析式用配方法化成的形式． 26．(24-25九上·北京昌平区回龙观东西学区·期中)已知抛物线与x轴相交于点，，且过点． (1)求此函数的表达式； (2)求顶点坐标． 27．(24-25九上·北京延庆区·期中)已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象． 28．(24-25九上·北京昌平区回龙观东西学区·期中)抛物线与x轴交于A、B两点，A在B左侧，与y轴交于C点．    (1)C点坐标为______，的面积为______； (2)请在平面直角坐标系中画出函数图象，并回答：不等式的解集是______． 29．(24-25九上·北京延庆区·期中)已知二次函数的图象经过和两点． (1)求此二次函数的表达式； (2)当时，直接写出的取值范围． 30．(24-25九上·北京延庆区·期中)已知二次函数的图象过点，且顶点坐标为． (1)求此二次函数的表达式； (2)当时，直接写出的取值范围． 31．(24-25九上·北京昌平一中教育集团·期中)已知二次函数． (1)求二次函数图象的对称轴； (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； (3)当时，结合图象直接写出函数的最大值和最小值． 32．(24-25九上·北京通州区·期中)已知抛物线图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 5 0 0 … (1)并画出图象； (2)求此抛物线的解析式； (3)结合图象，直接写出当时的取值范围． 地 城 考点02 待定系数法求二次函数解析式 一、单选题 1．(23-24九上·北京第五十五中学·期中)已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表： 有以下几个结论： … 0 1 2 3 … … 3 0 3 … ①抛物线的开口向上； ②抛物线的对称轴为直线； ③方程的根为0和； ④当时，的取值范围是或．其中正确的是（    ） A．①④ B．②④ C．①③ D．③④ 二、填空题 2．(23-24九上·北京房山区·期中)二次函数的图象经过，，三点． 下面四个结论： ①抛物线开口向下； ②当时，取最小值； ③当时，一元二次方程必有两个不相等实根； ④直线经过点，，当时，的取值范围是． 所有正确结论的序号是 ． 三、解答题 3．(24-25九上·北京昌平一中教育集团·期中)年巴黎奥运会，中国跳水队史上首次包揽所有项目的8块金牌，优秀成绩的取得离不开艰辛的训练．某跳水运动员在高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条拋物线，运动员离水面的高度与离起跳点的水平距离之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点的水平距离为1m时达到最高点，当运动员离起跳点的水平距离为时，离水面的高度为．求： (1)关于的函数表达式： (2)运动员从起跳点到入水点的水平距离． 4．(24-25九上·北京延庆区·期中)乒乓球被誉为中国国球．年巴黎奥运会上，中国队展现了强大的竞技实力，包揽了乒乓球项目的五枚金牌，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．已知乒乓球台的长度为，一位运动员从球台边缘正上方击球高度为处，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．从击打乒乓球到第一次落到球台的过程中，乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：），测得如下数据： 水平距离 竖直高度 (1)在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出表示乒乓球运行路线形状的大致图象； (2)当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是______，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是______； (3)乒乓球第一次落到球桌后弹起，它的竖直高度与水平距离近似满足函数关系．判断乒乓球再次落下时是否仍落在球台上，并说明理由． 5．(24-25九上·北京密云区·期中)已知抛物线经过两点， (1)求b，c的值； (2)当时，求函数值y的取值范围； (3)当时，函数的函数值总大于函数的函数值，直接写出n的取值范围． 6．(24-25九上·北京延庆区·期中)已知二次函数的图象过点，且顶点坐标为． (1)求此二次函数的表达式； (2)当时，直接写出的取值范围． 7．(24-25九上·北京昌平区回龙观东西学区·期中)已知二次函数的图象经过，两点． (1)求这个二次函数的解析式： (2)若C点坐标为，抛物线上是否存在点D，使的面积为4？若存在，求出D点坐标；若不存在，请说明理由． 8．(24-25九上·北京房山区·期中)在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，． (1)求该二次函数的表达式； (2)求该二次函数的图象的顶点坐标； (3)当时，对于的每一个值，函数的值小于二次函数的值，直接写出的取值范围． 9．(24-25九上·北京昌平一中教育集团·期中)已知：二次函数． (1)若图象经过原点，求二次函数的表达式； (2)求证：无论为任何实数，该二次函数的图象与轴都有两个交点． 10．(23-24九上·北京顺义区仁和中学·期中)已知：二次函数的图象经过点． (1)求二次函数的解析式； (2)将（1）中求得的函数解析式用配方法化成的形式． 11．(23-24九上·北京燕山·期中)二次函数的图象经过点和点，求此二次函数解析式． 12．(24-25九上·北京通州区·期中)跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，其形状视为抛物线．如图是甲，乙两人将绳子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为1m，并且相距4m，现以两人的站立点所在的直线为x轴，过甲拿绳子的手作x轴的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，且绳子所对应的抛物线表达式为． (1)求绳子所对应的抛物线表达式； (2)身高的小明，能否站在绳子的正下方，让绳子通过他的头顶？ 13．(23-24九上·北京石景山区古城中学·期中)抛物线过点和． (1)求，的值； (2)当为何值时，有最大值？并求出最大值． 14．(24-25九上·北京通州区·期中)已知一条抛物线的顶点坐标为，且经过点，求抛物线的表达式． 15．(23-24九上·北京石景山区京源学校·期中)已知二次函数的图象经过点，顶点坐标为，求该函数的表达式． 16．(24-25九上·北京通州区·期中)已知二次函数在和时的函数值相等． (1)求二次函数图像的对称轴； (2)过作x轴的平行线与二次函数的图像交于不同的两点M、N．当时，求b的值． 17．(23-24九上·北京第九中学·期中)已知二次函数的图象上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： … 0 1 2 3 4 … … 1 1 …    (1)求这个二次函数的表达式； (2)画出次函数图象 (3)当时，直接写出的取值范围． 地 城 考点03 二次函数的图像性质 一、单选题 1．(24-25九上·北京房山区·期中)已知点，若抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·北京通州区·期中)当时，函数的值是（   ） A． B． C． D．3 3．(24-25九上·北京顺义牛栏山第一中学实验学校·期中)抛物线的开口方向和顶点坐标分别是（   ） A．开口向上， B．开口向下， C．开口向上， D．开口向下， 4．(23-24九上·北京房山区·期中)抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．(24-25九上·北京密云区·期中)已知点在抛物线上，则的大小关系是 ． 6．(24-25九上·北京昌平区回龙观东西学区·期中)函数的最大值是 ． 7．(24-25九上·北京首都师范大学附属中学永定分校·期中)、是函数图像上的两个点，，的大小关系是 ． 8．(23-24九上·北京房山区·期中)请写出一个图象的顶点为的二次函数的表达式： ． 9．(23-24九上·北京门头沟大峪中学·期中)已知某二次函数，当时，y随x的增大而增大，解析式可以是 ． 三、解答题 10．(24-25九上·北京首都师范大学附属中学永定分校·期中)已知抛物线． (1)用配方法将化成的形式； (2)写出该抛物线的对称轴、顶点坐标； (3)抛物线与轴交点，（点在左侧），与轴交点，在给定的坐标系中画出这个抛物线，求的面积； (4)直接写出当自变量满足什么条件时，函数； (5)直接写出当自变量满足什么条件时，随的增大而增大． 11．(23-24九上·北京石景山区古城中学·期中)用配方法把二次函数化为的形式，并写出顶点坐标和对称轴． 12．(24-25九上·北京通州区·期中)已知抛物线．    (1)求抛物线的顶点坐标及与坐标轴的交点坐标； (2)在平面直角坐标系中画出函数图象． x 0 1 2 3 y 0 0 13．(23-24九上·北京交通大学附属中学·期中)在平面直角坐标系中，二次函数图象顶点为A，与x轴正半轴交于点B． (1)求点B的坐标，并画出这个二次函数的图象； (2)一次函数的图象过A，B两点，结合图象，直接写出关于x的不等式的解集． x 0 1 2 3 y 0 0 14．(23-24九上·北京石景山区京源学校·期中)已知二次函数．    (1)求此函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)画出此函数的图象； (3)若点和都在此函数的图象上，且，结合函数图象，直接写出m的取值范围． x 0 1 y 0 0      15．(24-25九上·北京通州区·期中)已知二次函数．    (1)用配方法将其化为的形式； (2)该二次函数图象的对称轴为：　　，顶点坐标为　　； (3)在坐标系中画出它的图象； (4)结合图象，当时，y的取值范围是　　． 地 城 考点04 二次函数的平移 一、单选题 1．(24-25九上·北京通州区·期中)将抛物线向上平移1个单位长度，平移后抛物线的表达式为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·北京顺义牛栏山第一中学实验学校·期中)抛物线的图象先向左平移2个单位，再向下平移6个单位后，所得的抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 3．(23-24九上·北京海淀区·期中)将抛物线向下平移3个单位，再向右平移3个单位后的解析式为（   ） A． B． C． D． 4．(24-25九上·北京通州区·期中)将抛物线平移后得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（   ） A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位 C．向上平移2个单位 D．向下平移2个单位 5．(24-25九上·北京延庆区·期中)把抛物线向左平移1个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线的表达式为（   ） A． B． C． D． 6．(24-25九上·北京顺义区仁和中学·期中)若将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．(24-25九上·北京昌平区回龙观东西学区·期中)二次函数的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的二次函数图象表达式是 ． 8．(24-25九上·北京通州区·期中)把抛物线向左平移2个单位，再向上平移5个单位，所得抛物线的解析式是 ． 9．(23-24九上·北京燕山·期中)将抛物线向下平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为 ． 10．(23-24九上·北京门头沟大峪中学·期中)在平面直角坐标系中，抛物线可以看作是由抛物线经过怎样的平移得到的，平移过程为 ． 地 城 考点05 二次函数与一元二次方程 一、单选题 1．(24-25九上·北京通州区·期中)已知二次函数的图象经过点．如果，那么m的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 2．(24-25九上·北京密云区·期中)已知二次函数的图象如图所示，是方程的两根，且．则下列说法市确的是(   ) A． B． C． D． 3．(24-25九上·重点北京顺义区第三中学·期中)若二次函数的图象与轴有公共点，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．若二次函数的图象与x轴有公共点，那么m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．(24-25九上·北京顺义区·期中)已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论： ①；②；③；④；其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．(23-24九上·北京石景山区京源学校·期中)二次函数的图象与y轴的交点坐标是（    ）． A． B． C． D． 二、填空题 7．(24-25九上·北京密云区·期中)写出一个开口向上且与x轴没有公共点的抛物线的表达式 8．(24-25九上·北京首都师范大学附属中学永定分校·期中)二次函数的图像如图所示，则 0， 0． 9．(24-25九上·北京首都师范大学附属中学永定分校·期中)抛物线与轴交于点，则点的坐标为 ． 10．(23-24九上·北京门头沟大峪中学·期中)若二次函数的图象与x轴有交点，则m的取值范围是 ． 三、解答题 11．(24-25九上·重点北京顺义区第三中学·期中)定义：在平面直角坐标系中，当点在图形上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为图形的“和谐点”． (1)如图，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形“和谐点”的是 ； (2)点是反比例函数图象上的一个“和谐点”，则该函数图象上的另一个“和谐点”的坐标是 ，直线的表达式是 ； (3)已知点，是抛物线上的“和谐点”，直接写出点，的坐标 ， ． 12．(24-25九上·北京房山区·期中)已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧） (1)求A，B两点的坐标； (2)若点P在该抛物线上，且的面积为6，求点P的坐标． 13．(23-24九上·北京第九中学·期中)已知二次函数． (1)求此二次函数的对称轴  （用含的字母表示） (2)若二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，求的取值范围 (3)选取一个你喜欢的值，求此二次函数图象与轴的交点． 14．(23-24九上·北京石景山区首都师范大学附属苹果园中学分校·期中)在平面直角坐标系中，直线与抛物线的相交于点和点（点的横坐标小于点的横坐标） (1)求交点和点的坐标； (2)求当时，的最大值； (3)直接写出的解集． 15．(23-24九上·北京石景山区京源学校·期中)已知函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，求的面积． 16．(23-24九上·北京石景山区京源学校·期中)如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为x米，面积为S平方米． (1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)若所围成花圃的面积不小于20平方米，直接写出x的取值范围． 17．(23-24九上·北京石景山区京源学校·期中)已知抛物线． (1)求证：此抛物线与x轴总有交点； (2)若此抛物线与x轴的交点的横坐标都为整数，求整数m的值． 地 城 考点06 二次函数实际应用 一、填空题 1．(24-25九上·北京通州区·期中)如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系可以近似的看成抛物线，则小朱本次投掷实心球的成绩为 米． 2．(23-24九上·北京房山区·期中)如图，某中学综合与实践小组要围成一个矩形菜园，其中一边靠墙，其余的三边，，用总长为40米的栅栏围成．设矩形的边米，面积为S平方米．    （1）活动区面积S与之间的关系式为 ； （2）菜园最大面积是 平方米． 二、解答题 3．(23-24九上·北京顺义区仁和中学·期中)“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进了一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．在义卖的过程中发现，这种文化衫每天的销售件数y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：．如果义卖这种文化衫每天的利润为（元），那么销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 4．(24-25九上·北京顺义区仁和中学·期中)跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．记运动员在该项目的运动过程中的某个位置与起跳点的水平距离为x（单位：），竖直高度为y（单位：），下面记录了甲运动员起跳后的运动过程中的七组数据 0 10 20 30 40 50 60 54.0 57.8 57.6 53.4 45.2 33.0 16.8 下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)为观察y与x之间的关系，建立坐标系，以x为横坐标，y为纵坐标，描出表中数据对应的7个点，并用平滑的曲线连接它们： (2)观察发现，（1）中的曲线可以看作是________的一部分（填“抛物线”或“双曲线”），结合图象，可推断出水平距离约为________（结果保留小数点后一位）时，甲运动员起跳后达到最高点； (3)乙运动员在此跳台进行训练，若乙运动员在运动过程中的最高点的竖直高度达到，则乙运动员运动中的最高点比甲运动员运动中的最高点________（填写“高”或“低”）． 5．(24-25九上·北京昌平区·期中)某小区花园新安装了一排音乐喷泉装置，其中位于中间的喷水装置喷水能力最强，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，若喷出的水流高度为，水流与之间的水平距离为，y与x之间满足二次函数关系．如图所示，经测量，喷水装置高度为3.5米，水流最高处离喷水装置的水平距离为3米，离地面竖直距离为8米． (1)求水流喷出的高度与水平距离之间的函数关系式； (2)若在音乐喷泉四周摆放花盆，不计其它因素，花盆需至少离喷水装置多少米处，才不会被喷出的水流击中？ 6．(24-25九上·北京顺义牛栏山第一中学实验学校·期中)如图，边长为6的正方形中，E，F，G，H分别是，，，边上的动点，且，点E从点A出发沿以每秒1个单位长度的速度向点B运动（到达点时停止），设运动时间为t（单位：秒）． (1)①当运动停止时，t的值为______； ②设A，H之间的距离为y，则y与t满足______关系（选填“正比例函数”，“一次函数”，“二次函数”） (2)设四边形的面积为S， ①直接写出S的表达式______（用含有t的代数式表示），并写出t的取值范围______； ②S是否可以为20？若可以，请求出此时t的值，若不能，请通过计算说明理由． 7．(24-25九上·北京通州区·期中)某景观公园计划修建一个人工喷泉，从与地面成一定角度的喷水枪喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分．记喷出的水流距喷水枪出水口的水平距离为x米，距地面的竖直高度为y米，现测得x与y的几组对应数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 5 6 … 垂直高度 0.7 1.6 2.3 2.8 3.1 3.2 3.1 … 小华根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整： (1)在平面直角坐标系中，描出以表中各组对应数据为坐标的点，并画出该函数的图象； (2)结合表中所给数据或所画图象，得出水柱最高点距离地面的垂直高度为________米； (3)求出y关于x的函数关系式； (4)结合函数图象，解决问题：该景观公园准备在距喷水枪出水口的水平距离2.5米处修建一个大理石雕塑，使喷水枪喷出的水流刚好落在雕塑顶端，则大理石雕塑的高度约为________米．（结果精确到0.1米）（注：忽略大理石雕塑宽度等其他因素） 8．(24-25九上·北京延庆区·期中)某中学课外活动小组准备围成一个矩形的活动区，其中一边靠墙，另外三边用总长为的栅栏围成．已知墙长为（如图），设矩形的边，面积为． (1)关于的函数表达式是______，自变量的取值范围是______； (2)当______m时，活动区的面积有最大值______． 9．(24-25九上·北京通州区·期中)某水果经销商以每公斤8元的价格购进一批葡萄，若按每公斤元的价格销售，平均每天可售出公斤．结合销售记录发现，若售价每降低1元，平均每天的销售量增加公斤，为了尽快减少库存，该水果商决定降价销售． (1)若每公斤降价2元，则每天的销售利润为______元； (2)销售单价定为每公斤多少元时，每天销售该品种葡萄获得的利润w最大？最大利润是多少元？ 10．(23-24九上·北京燕山·期中)某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，长为米．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间近似满足函数关系． 下面是水流高度y和水平距离x之间的几组数据： x/米 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 y/米 1.5 1.875 2 1.875 1.5 0.875 0 (1)根据上述数据，直接写出水流喷出的最大高度，并求出满足的函数关系式； (2)由于调整了水压，水流喷出高度y与水平距离x之间近似满足函数关系，调整后水流落点为，则 ．（填“”，“”或“”） 地 城 考点07 二次函数综合 一、单选题 1．(23-24九上·北京石景山区古城中学·期中)求二次函数的最小值（    ） A．0 B． C． D． 2．(23-24九上·北京石景山区首都师范大学附属苹果园中学分校·期中)已知二次函数的图象如图所示，有以下论：； ；；．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．(24-25九上·北京顺义区·期中)抛物线的部分图像如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法：①；②；③若与是抛物线上的两个点，；④方程的两根为，；⑤当时，函数有最大值．其中正确的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．(23-24九上·北京房山区·期中)若点，，在抛物线上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．(24-25九上·北京通州区·期中)函数的自变量x的取值范围为全体实数，其中部分的图象如图所示，对于此函数有下列结论： ①函数图象关于y轴对称； ②函数既有最大值，也有最小值； ③当时，y随x的增大而减小； ④当时，关于x的方程有4个实数根； 其中正确的结论个数是．（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 6．(24-25九上·北京顺义牛栏山第一中学实验学校·期中)如图，抛物线的对称轴为，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为，则点Q的坐标为 ． 7．(24-25九上·北京房山区·期中)二次函数的图象如图所示，则 0， 0（填或）． 8．(23-24九上·北京石景山区古城中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，点，，，…，在轴的负半轴上，点，，，…，在二次函数位于第三象限的图象上，若四边形，四边形，四边形，…，四边形都是正方形，则正方形的面积为 ． 9．(23-24九上·北京石景山区古城中学·期中)当，则函数最大值 ，最小值 ． 10．(24-25九上·北京通州区·期中)点，为抛物线上两点，则 ．（用“”或“”号连接） 三、解答题 11．(23-24九上·北京西城区北师大实验中学·开学考)在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)抛物线与y轴交于点，求该抛物线的解析式及对称轴； (2)点，，若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数的图象，求m的取值范围． 12．(24-25九上·北京通州区·期中)在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A． (1)求点A的坐标（用含a的代数式表示）； (2)求抛物线与x轴的交点坐标； (3)已知点，．若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围． 13．(23-24九上·北京房山区·期中)定义：在平面直角坐标系中，当点在图形的内部，或在图形上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为图形的“和谐点”．    (1)如图，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形“和谐点”的是____________； (2)点是反比例函数图象上的一个“和谐点”，则该函数图象上的另一个“和谐点”的坐标是__________，直线的表达式是_____________； (3)已知点，是抛物线上的“和谐点”，点在点的左侧，点是抛物线的顶点，连接，，，求点，的坐标，并直接写出的面积． 14．(24-25九上·北京密云区·期中)在平面直角坐标系内，某函数的自变量取值范围，函数值的取值范围为，给出如下定义：若称该函数为“正型函数”，若称该函数为“横型函数”，若称该函数为“纵型函数”． (1)下列函数中，是“纵型函数”的有（写出有所正确的序号）______． ①    ② ③    ④． (2)已知函数是“纵型函数”，求a的取值范围． (3)若函数是“纵型函数”，直接写出m的取值范围． 15．(24-25九上·北京房山区·期中)在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的对称轴（用含的代数式表示）； (2)若该抛物线与轴交于点，且，求的取值范围； (3)当时，函数最大值与最小值的差为，求的值． 16．(23-24九上·北京石景山区京源学校·期中)如图，中，，点D为上一点，过D作射线交于点E，且满足．    (1)求证：； (2)设，写出y关于x的函数表达式，当x取何值时y值最大，最大值是多少？ 17．(23-24九上·北京房山区·期中)在平面直角坐标系中，抛物线，若，为抛物线上两个不同的点，设抛物线的对称轴为． (1)当时，求的值； (2)若对于，都有，求的取值范围． 18．(24-25九上·北京延庆区·期中)在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：若，则称点为点的“反称变点”．例如：点的“反称变点”为点，点的“反称变点”为点． (1)点的“反称变点”坐标为______； (2)若点在函数的图象上，其“反称变点”的纵坐标是，求“反称变点”的横坐标； (3)若点在函数的图象上，其“反称变点”的纵坐标的取值范围是，直接写出的取值范围． 19．(24-25九上·北京延庆区·期中)在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线的对称轴； (2)已知和为抛物线上的两点，满足，求的取值范围． 20．(24-25九上·北京顺义牛栏山第一中学实验学校·期中)在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求a的值； (2)已知点在该抛物线上，若，求m的取值范围． 21．(24-25九上·北京昌平区·期中)在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）； (2)点，在抛物线上，其中，． ①若的最小值是，求的最大值； ②若对于，，都有，求t的取值范围． 22．(23-24九上·北京房山区·期中)已知二次函数．    (1)求出二次函数图象的对称轴和与轴的交点坐标； (2)在平面直角坐标系中画出图象，请结合图象直接写出时，的取值范围． 23．(23-24九上·北京燕山·期中)已知抛物线． (1)若，求抛物线的对称轴； (2)若，且抛物线的对称轴在y轴右侧，点，，在抛物线上．若，求b的取值范围． 24．(23-24九上·北京通州区·期中)已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标（用含a的代数式表示）； (2)点，在该抛物线上，若，求a的取值范围． 25．(23-24九上·北京昌平区·期中)在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求a的值； (2)求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）； (3)点，，在抛物线上，若，求m的取值范围． 26．(23-24九上·北京门头沟大峪中学·期中)已知抛物线． (1)直接写出抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）； (2)若点，在抛物线上，直接写出a的取值范围； (3)若，，都在抛物线上，是否存在实数m，使得恒成立?若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 27．(23-24九上·北京密云区·期中)在平面直角坐标系中，已知点和在二次函数的图象上，设抛物线的对称轴为． (1)当时，求b的值； (2)若，求t的取值范围． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数 7大高频考点概览 考点01 二次函数的定义与y=ax2+bx+c的图象性质 考点02 待定系数法求二次函数解析式 考点03 二次函数的图像性质 考点04 二次函数的平移 考点05 二次函数与一元二次方程 考点06 二次函数实际应用 考点07 二次函数综合 地 城 考点01 二次函数的定义与y=ax2+bx+c的图像性质 一、单选题 1．(24-25九上·北京通州区·期中)已知y是x的函数，下表是x与y的几组对应值： x … 1 2 4 … y … 4 2 1 … y与x的函数关系有以下3个描述： ①可能是一次函数关系； ②可能是反比例函数关系； ③可能是二次函数关系，所有正确描述的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查了用列表法表示函数关系，函数关系的判定，根据表格数据的特点判断出三点不共线，且三个点的横坐标和纵坐标的积都为4是解题的关键． 根据图表数据可知，三个点不在同一直线上即可判断不是一次函数可能是二次函数，三个点的横坐标和纵坐标的积都为4，即可判断可能是反比例函数． 【详解】解：观察可知，三个点不在同一直线上，故①错误，③正确； 三个点的横坐标和纵坐标的积都为4，故都在反比例函数图象上，故②正确； 故选：C． 2．(24-25九上·北京通州区·期中)下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： x … 0 1 3 … y … 6 2 0 2 … 下列判断：①函数图象开口向上；②函数图象的顶点坐标是；③当时，；④在函数图象上有两点，，则．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式及二次函数的性质，熟知待定系数法及二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据所给表格，利用待定系数法求出次二次函数的表达式，再结合二次函数的性质即可解决问题． 【详解】解：由表格得，， 设解析式为， ∴， 解得：， ∴解析式为， ∵, ∴开口向上，故①正确 ∵， ∴顶点为：，故②错误， 当时，，故③正确， ∵对称轴为直线，且开口向上， ∴抛物线上距离对称轴越远的点，其函数值越大， ∵，且， ∴，故④正确， ∴正确的为①③④， 故选：C． 3．(24-25九上·北京延庆区·期中)已知二次函数，若点和在此函数图象上，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由解析式可得二次函数开口向上，对称轴为直线，图象上的点离对称轴的水平距离越近函数值越小，据此即可判断求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线，图象上的点离对称轴的水平距离越近函数值越小， ∵， ∴， 故选：． 4．(24-25九上·北京昌平区回龙观东西学区·期中)抛物线的图象开口向下，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D．m可取一切实数 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，熟知当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口（a为抛物线二次项的系数）是解题关键． 由抛物线开口向下，可知二次项系数，求解即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， 解得：， 故选：C． 5．(24-25九上·北京昌平区回龙观东西学区·期中)将函数化为顶点式，结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了将二次函数一般式化为顶点式，掌握配方法是解题的关键．根据配方法将一般式化为顶点式即可求解． 【详解】解：， 故选：C． 6．(24-25九上·北京顺义牛栏山第一中学实验学校·期中)已知二次函数的图象过点，则的大小关系（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据二次函数解析式可推出二次函数开口向上，对称轴为直线，则离对称轴越远函数值越大，据此求出三点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为，且， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远函数值越大， ∵二次函数的图象过点，且， ∴， 故选：D． 7．(24-25九上·北京顺义牛栏山第一中学实验学校·期中)二次函数的图象如图所示，下列结论错误的是（   ） A． B．当时，y随x的增大而增大 C． D．函数图象与x轴交点的横坐标是方程的根 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由图象可得，图象开口向下，对称轴为直线，然后根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】解：由图象可得：，开口向下，对称轴为直线， ∴，即，故A正确，C错误； 当时，y随x的增大而增大，故B正确； 令时，则有，得出的解就是函数图象与x轴的交点横坐标，故D正确； 故选C． 二、填空题 8．(24-25九上·北京昌平区回龙观东西学区·期中)已知二次函数的图象与x轴有交点，则a的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查二次函数与一元二次方程的应用，掌握相关知识并正确计算是解题的关键． 令，根据根的判别式大于等于零即可求解； 【详解】解：∵二次函数的图象与轴有交点， ∴令时，根的判别式大于等于零； 即， 解得：， ， 故答案为：且． 9．(23-24九上·北京石景山区京源学校·期中)函数是二次函数，则 ． 【答案】1 【分析】根据二次函数的定义，即可解答． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，解得：， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握形如的是二次函数． 10．(24-25九上·北京密云区·期中)如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过两点，下列四个结论中：①抛物线与轴的交点是；②抛物线的对称轴是直线；③；④，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查二次函数图象与性质；根据二次函数的解析式，可知抛物线过定点，结合点和点的位置即可解决问题． 【详解】解：抛物线， 抛物线的对称轴是直线，故②正确； 由可知抛物线过原点， 抛物线的对称轴是直线， 抛物线与轴的交点是，,，故①正确； 抛物线经过，， 抛物线开口向上， ，故③错误； 到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ，故④正确． 故答案为：①②④． 11．(24-25九上·北京通州区·期中)在二次函数的图象中，当时，y随x的增大而 ．（填增大，减小或不变） 【答案】减小 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，求出对称轴，根据二次函数的增减性，进行作答即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小； 故答案为：减小． 12．(24-25九上·北京顺义区仁和中学·期中)把二次函数化成的形式 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的三种形式，利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．熟练掌握配方法是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 13．(24-25九上·北京首都师范大学附属中学永定分校·期中)把二次函数的表达式化为的形式 ． 【答案】 【分析】本题考查将二次函数的一般式化为顶点式，解题的关键是掌握：由于二次项系数是1，只需加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式，根据恒等，同时需要减去一次项系数的一半的平方．据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 14．(24-25九上·北京昌平区回龙观东西学区·期中)写出一个当时，y随x增大而增大的二次函数表达式 ． 【答案】（答案不唯一）． 【分析】本题考查了二次函数的基本性质，熟练掌握基本性质是解题关键． 通过确定好二次函数的开口方向以及对称轴，再写出任意一个符合条件的二次函数即可． 【详解】解：∵当时，y随x增大而增大， ∴二次函数开口向上，对称轴可以取直线， ∴符合条件的二次函数可以为：． 故答案为：． 15．(24-25九上·北京延庆区·期中)二次函数的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质及将配成抛物线顶点式的方法，能正确配方是解决本题的关键．整理成顶点式即可求解． 【详解】解：将抛物线解析式配方成顶点式得：， ， 当时，取最小值为：， 故答案为：． 16．(24-25九上·北京首都师范大学附属中学永定分校·期中)写出一个二次函数，其图像满足：①开口向上：②当时，随的增大而减小．这个二次函数的解析式可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．首先由①得到；由②得到对称轴，只要举出满足以上两个条件的值即可得出所填答案． 【详解】解：根据题意，这个二次函数的解析式可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 17．(24-25九上·北京延庆区·期中)如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于两点，对称轴是直线，下面四个结论中：①；②当时，随的增大而增大；③点的坐标为；④若点在函数的图象上，则；其中正确的是 （只填写序号）． 【答案】①④ 【分析】观察到抛物线开口向下，则，因为抛物线对称轴是直线，所以当时，随的增大而减小，根据对称性得，所以，因为越靠近对称轴的所对应的函数值越大，所以．本题考查二次函数图与系数的关系，二次函数的性质，关键是利用函数的图象和性质解答． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 故①正确； 抛物线对称轴是直线，开口向下， 当时，随的增大而减小， 故②错误； ，对称轴是直线， ∴， ， 故③错误； 抛物线开口向下， ∴越靠近对称轴的所对应的函数值越大， ∵点在函数的图象上， ， ， 故④正确． 故答案为：①④． 三、解答题 18．(24-25九上·北京密云区·期中)已知二次函数． (1)求二次函数图象的顶点坐标、对称轴； (2)在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象． 【答案】(1)顶点坐标为，对称轴为直线 (2)见解析 【分析】（1）将解析式转化为顶点式即可得到结果； （2）求得抛物线与坐标轴的交点，进而根据顶点，对称轴以及坐标轴的交点坐标画出图形，即可求解． 【详解】（1）解：， ∴二次函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线； （2）根据 当时，， 当时，，解得： ∴抛物线与x轴交于点，， 图象如下： 19．(24-25九上·重点北京顺义区第三中学·期中)已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标及与坐标轴的交点坐标； (2)直接写出当时，自变量的取值范围． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】本题主要考查抛物线与轴的交点，解题的关键是熟练掌握二次函数与一元二次不等式间的关系． （1）抛物线转换成顶点式即可得顶点坐标，再分别求时的x值和时的y值，即可得抛物线与坐标轴的交点坐标； （2）根据函数图象知，时的范围即为抛物线位于轴下方部分对应的的范围，据此可得． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 当时，，即， 解得：，， ∴抛物线与x轴的交点坐标为，， 当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为； （2）解：抛物线图象如图： 由图象可得，当时，的范围即为抛物线位于轴下方部分对应的的范围：． 20．(24-25九上·北京通州区·期中)已知二次函数． (1)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； (2)当时，直接写出函数值y的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题主要考查了画二次函数图象，二次函数的图象和性质： （1）根据列表，描点，连线，画出二次函数图象； （2）直接观察图象，即可得出结论． 【详解】（1）解：列表， 0 1 0 3 4 3 0 描点，连线，函数图象，如下图： ； （2）解：观察函数图象得：当时，的取值范围为． 21．(24-25九上·北京密云区·期中)已知抛物线经过两点， (1)求b，c的值； (2)当时，求函数值y的取值范围； (3)当时，函数的函数值总大于函数的函数值，直接写出n的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将点代入解析式，待定系数法求解析式，即可求解； （2）依据题意，由（1）可得，抛物线为，从而当时，取最小值为，结合当时，；当时，，进而可以判断得解； （3）依据题意，由函数的图象为平行于的直线，从而结合图象，可以判断得解． 【详解】（1）解：抛物线经过两点 ∴ 解得： （2）由（1）可得，抛物线为， 当时，取最小值为． 又当时，；当时，， 当时，． （3）由题意，函数的图象为平行于的直线， 当时，函数的函数值总大于函数的函数值，故结合图象如下． 函数的图象过时，， ． 当时，函数的函数值总大于函数的函数值，则． 22．(24-25九上·北京通州区·期中)已知二次函数（m为常数）的图象经过点，． (1)求此二次函数图象的对称轴（用含m的代数式表示）； (2)请判断，的大小关系并说明理由． 【答案】(1)对称轴为直线 (2)，理由见解析 【分析】此题考查二次函数的性质，二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的性质． （1）利用对称轴公式求解即可； （2）根据各点到对称轴的距离可判断函数值的大小． 【详解】（1）解：∵二次函数（m为常数） ∴二次函数的对称轴为直线； （2）解：∵抛物线的对称轴为直线，， ∴点到对称轴的距离比到对称轴的距离远． ∵抛物线开口向上， ∴． 23．(24-25九上·北京房山区·期中)已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)画出这个二次函数的图象； (3)根据图象回答：当时，的取值范围是______． 【答案】(1) (2)图见解析 (3) 【分析】本题主要考查了把化成顶点式，画的图象，从函数的图象获取信息等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）利用配方法将二次函数化成顶点式即可； （2）列表、描点、连线即可画出函数图象； （3）根据函数图象，利用数形结合思想即可得出答案． 【详解】（1）解：， 二次函数化成的形式为：； （2）解：列表如下： 描点、连线，画出这个二次函数的图象如下： （3）解：由函数图象可以看出： 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 故答案为：． 24．(24-25九上·北京房山区·期中)已知某抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： … (1)在坐标系中画出该抛物线的图象； (2)该抛物线的对称轴是______． 【答案】(1)见解析 (2)轴 【分析】本题考查了画函数图象，二次函数的性质； （1）根据描点法画出函数图象； （2）根据函数图象即可求解． 【详解】（1）解：描点连线如图所示， （2）解：对称轴为轴， 故答案为：轴． 25．(23-24九上·北京顺义区仁和中学·期中)已知：二次函数的图象经过点． (1)求二次函数的解析式； (2)将（1）中求得的函数解析式用配方法化成的形式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，把化为顶点式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把代入，得出，解出，即可作答． （2）依题意，把化为，即可作答． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴把代入，得出， 解得， ∴； （2）解：依题意，． 26．(24-25九上·北京昌平区回龙观东西学区·期中)已知抛物线与x轴相交于点，，且过点． (1)求此函数的表达式； (2)求顶点坐标． 【答案】(1)． (2)顶点坐标为． 【分析】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，以及求二次函数的顶点坐标， （1）设函数解析式为，将三点代入，解出、、即可； （2）将函数解析式化成顶点式，即可知道顶点坐标． 【详解】（1）解：设函数解析式为， ∵抛物线与x轴相交于点，，且过点． ∴， 解得：， ∴函数的表达式为：． （2）将函数的表达式变形：． ∴顶点坐标为． 27．(24-25九上·北京延庆区·期中)已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查二次函数的性质，抛物线与轴的交点，配方法，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （）用配方法把二次函数化为顶点式即可； （）根据画函数图象的步骤，画出图象即可； 【详解】（1）解：； （2）列表： 描点、连线， 如图， 28．(24-25九上·北京昌平区回龙观东西学区·期中)抛物线与x轴交于A、B两点，A在B左侧，与y轴交于C点．    (1)C点坐标为______，的面积为______； (2)请在平面直角坐标系中画出函数图象，并回答：不等式的解集是______． 【答案】(1)，3 (2)图象见解析，不等式的解集为：或． 【分析】本题考查二次函数的作图及基本性质，熟练掌握基本性质是解题关键． （1）令、分别列方程，解方程即可知、、三点坐标，进而可知三角形的面积； （2）利用五点作图法画图即可，再通过函数图象即可知道不等式的解集． 【详解】（1）解：当时，，故点坐标为， 当时，，解得或， 又∵A在B左侧， ∴，， ∴， ∴的面积为：， 故答案为：，3 （2）利用五点作图法，画图如下：    由图可知，不等式的解集为：或． 29．(24-25九上·北京延庆区·期中)已知二次函数的图象经过和两点． (1)求此二次函数的表达式； (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程、与一元二次不等式的关系，是解决问题的关键． （1）将和代入，求出b，c的值，即得函数表达式； （2）求出二次函数与x轴的另一外交点，根据二次函数图象开口向下，即得时的x取值范围． 【详解】（1）解：∵的图象经过和两点， ∴， 解得：， 该二次函数的表达式为：； （2）解：当时，， ∴二次函数图象与x轴的另一个交点为， ∵， ∴二次函数的图象开口向下， ∴当时，． 30．(24-25九上·北京延庆区·期中)已知二次函数的图象过点，且顶点坐标为． (1)求此二次函数的表达式； (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的顶点式，利用待定系数法求函数解析式，利用图象解不等式．掌握利用待定系数法求函数解析式和利用数形结合的思想是解题关键． （1）由顶点坐标可设二次函数顶点式，再将代入求解即可； （2）画出该二次函数大致图象即可求解． 【详解】（1）解：∵该二次函数图象顶点坐标为， ∴可设此二次函数的表达式为． ∵此二次函数的图象过点， ∴， 解得：， ∴求此二次函数的表达式为； （2）解：令，则， 解得：，， ∴此二次函数与x轴的两个交点分别为，． 令，则， ∴此二次函数与y轴的交点为， ∴该二次函数图象如图， ∴当时，的取值范围为． 31．(24-25九上·北京昌平一中教育集团·期中)已知二次函数． (1)求二次函数图象的对称轴； (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； (3)当时，结合图象直接写出函数的最大值和最小值． 【答案】(1)直线 (2)见解析 (3)函数最大值为0，最小值为 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）将函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的对称轴； （2）写出该函数图象上的五个点，即可画出函数图象； （3）根据（2）中画出的函数图象，即可写出最大值和最小值． 【详解】（1）解：二次函数， 抛物线的对称轴为直线； （2）解：， 该函数的顶点坐标为，与轴的交点为，，与轴交于点，过点， 函数图象如图所示； （3）解：观察图象得，当自变量时， 当时，取最小值，此时，当时，取最大值，此时， 当时，． 即：函数最大值为0，最小值为． 32．(24-25九上·北京通州区·期中)已知抛物线图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 5 0 0 … (1)并画出图象； (2)求此抛物线的解析式； (3)结合图象，直接写出当时的取值范围． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【分析】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，描点法画函数图象，根据图像求函数值范围，熟练掌握待定系数法和描点法画函数图象是解题关键． （1）再利用描点法画函数图象； （2）根据表格得出抛物线过点、、，将点坐标代入抛物线解析式求出、、即可， （3）分别求出，，时的函数值，利用图象可直接得到答案． 【详解】（1）解：抛物线图象如图， （2）解：∵设二次函数的解析式为， 由题意得：当时，， ∴ ∵时，，当时，， ∴， 解得， ∴； （3）解：∵， ∴当时， 当时，，当时，， ∴由图象可得，当时，． 地 城 考点02 待定系数法求二次函数解析式 一、单选题 1．(23-24九上·北京第五十五中学·期中)已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表： 有以下几个结论： … 0 1 2 3 … … 3 0 3 … ①抛物线的开口向上； ②抛物线的对称轴为直线； ③方程的根为0和； ④当时，的取值范围是或．其中正确的是（    ） A．①④ B．②④ C．①③ D．③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的图象和性质． 根据表格中的、的对应值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据二次函数的图形与性质求解可得． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 将、、代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为， 由知抛物线的开口向上，故①正确； 抛物线的对称轴为直线，故②错误； 当时，，解得或， 方程的根为0和2，故③错误； 当时，，由函数图像解得或，故④正确； 故选：A． 二、填空题 2．(23-24九上·北京房山区·期中)二次函数的图象经过，，三点． 下面四个结论： ①抛物线开口向下； ②当时，取最小值； ③当时，一元二次方程必有两个不相等实根； ④直线经过点，，当时，的取值范围是． 所有正确结论的序号是 ． 【答案】②④ 【分析】将点的坐标代入抛物线表达式，求出抛物线的表达式为 画出函数图象，进而求解. 【详解】将点的坐标代入抛物线表达式得 ，解得 ， 故抛物线的表达式为 函数图象如下：    ，故抛物线开口向上，故①错误，不符合题意； ②抛物线开口向上，顶点为 ∴当时，y取最小值，故②正确，符合题意； ③∵函数的最小值为， 故时, 直线 和有一个或没有交点， 故一元二次方程 无解或有两个相等实根，故③错误，不符合题意； ④观察函数图象，直线经过点, 当 时，的取值范围是 故④正确，符合题意； 故答案为: ②④. 【点睛】本题考查的是二次函数与不等式(组) 和待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是确定函数图象的交点，根据交点处图象之间的位置关系，确定不等式的解. 三、解答题 3．(24-25九上·北京昌平一中教育集团·期中)年巴黎奥运会，中国跳水队史上首次包揽所有项目的8块金牌，优秀成绩的取得离不开艰辛的训练．某跳水运动员在高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条拋物线，运动员离水面的高度与离起跳点的水平距离之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点的水平距离为1m时达到最高点，当运动员离起跳点的水平距离为时，离水面的高度为．求： (1)关于的函数表达式： (2)运动员从起跳点到入水点的水平距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握运用待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键． （1）由题意得抛物线的对称轴为，经过点，，利用待定系数法即可求解； （2）令，解方程即可求解． 【详解】（1）根据题意，得抛物线的对称轴为直线，经过点，． 设关于的函数表达式为．   ，即， 解得， 关于的函数表达式为． （2）令，则， 解得或（不合题意，舍去）． 运动员从起跳点到入水点的水平距离为 4．(24-25九上·北京延庆区·期中)乒乓球被誉为中国国球．年巴黎奥运会上，中国队展现了强大的竞技实力，包揽了乒乓球项目的五枚金牌，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．已知乒乓球台的长度为，一位运动员从球台边缘正上方击球高度为处，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．从击打乒乓球到第一次落到球台的过程中，乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：），测得如下数据： 水平距离 竖直高度 (1)在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出表示乒乓球运行路线形状的大致图象； (2)当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是______，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是______； (3)乒乓球第一次落到球桌后弹起，它的竖直高度与水平距离近似满足函数关系．判断乒乓球再次落下时是否仍落在球台上，并说明理由． 【答案】(1)图见解析 (2)， (3)乒乓球再次落下时仍落在球台上，理由见解析 【分析】（1）依据题意，根据描点法描出各点并画出函数图象即可； （2）依据题意，根据二次函数图象的对称性可求得对称轴以及顶点坐标，根据表格数据可得当时，于是得解； （3）先用待定系数法求出二次函数解析式，然后求抛物线与轴的交点坐标，即可求出乒乓球再次落下时的落点坐标，然后将其与乒乓球台的长度相比较，即可得出结论． 【详解】（1）解：描出各点，并画出图象如下： （2）解：观察表格数据，可知当和时，函数值相等， 对称轴为直线，顶点坐标为， 抛物线开口向下， 当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是， 当时，， 当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是， 故答案为：，； （3）解：乒乓球再次落下时仍落在球台上，理由如下： 将代入函数关系式，得： ， 解得：或（因对称轴，故舍去）， 乒乓球第一次落到球桌后弹起，它的竖直高度与水平距离近似满足函数关系， 令，则有： ， 解得：或（此为乒乓球第一次落到球桌时的落点坐标，故舍去）， ， 乒乓球再次落下时仍落在球台上． 【点睛】本题主要考查了实际问题与二次函数，用描点法画函数图象，从表格中获取信息，二次函数的图象与性质，用待定系数法求二次函数解析式，直接开平方法解一元二次方程，求抛物线与轴的交点坐标，有理数大小比较等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质及用待定系数法求二次函数解析式并运用数形结合思想是解题的关键． 5．(24-25九上·北京密云区·期中)已知抛物线经过两点， (1)求b，c的值； (2)当时，求函数值y的取值范围； (3)当时，函数的函数值总大于函数的函数值，直接写出n的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将点代入解析式，待定系数法求解析式，即可求解； （2）依据题意，由（1）可得，抛物线为，从而当时，取最小值为，结合当时，；当时，，进而可以判断得解； （3）依据题意，由函数的图象为平行于的直线，从而结合图象，可以判断得解． 【详解】（1）解：抛物线经过两点 ∴ 解得： （2）由（1）可得，抛物线为， 当时，取最小值为． 又当时，；当时，， 当时，． （3）由题意，函数的图象为平行于的直线， 当时，函数的函数值总大于函数的函数值，故结合图象如下． 函数的图象过时，， ． 当时，函数的函数值总大于函数的函数值，则． 6．(24-25九上·北京延庆区·期中)已知二次函数的图象过点，且顶点坐标为． (1)求此二次函数的表达式； (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的顶点式，利用待定系数法求函数解析式，利用图象解不等式．掌握利用待定系数法求函数解析式和利用数形结合的思想是解题关键． （1）由顶点坐标可设二次函数顶点式，再将代入求解即可； （2）画出该二次函数大致图象即可求解． 【详解】（1）解：∵该二次函数图象顶点坐标为， ∴可设此二次函数的表达式为． ∵此二次函数的图象过点， ∴， 解得：， ∴求此二次函数的表达式为； （2）解：令，则， 解得：，， ∴此二次函数与x轴的两个交点分别为，． 令，则， ∴此二次函数与y轴的交点为， ∴该二次函数图象如图， ∴当时，的取值范围为． 7．(24-25九上·北京昌平区回龙观东西学区·期中)已知二次函数的图象经过，两点． (1)求这个二次函数的解析式： (2)若C点坐标为，抛物线上是否存在点D，使的面积为4？若存在，求出D点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)函数表达式为． (2)存在D点，使的面积为4，点的坐标为：或或． 【分析】（1）将点和点代入表达式，列出b、c的方程组，解方程组，得出b、c的值，即可得出抛物线的解析式； （2）设，利用三角形的面积公式列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：将点和点代入表达式，可得： ，解得， ∴函数表达式为． （2）设， ∵C点坐标为，， ∴， ∴的面积为：， 解得，，， 当时，，此时点坐标为， 当时，，此时点坐标为， 当时，，此时点坐标为， ∴存在D点，使的面积为4，点的坐标为：或或． 【点睛】本题考查二次函数的基本性质以及有关面积问题，熟练掌握基本知识点是解题关键． 8．(24-25九上·北京房山区·期中)在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，． (1)求该二次函数的表达式； (2)求该二次函数的图象的顶点坐标； (3)当时，对于的每一个值，函数的值小于二次函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与不等式之间的关系，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）配方成顶点式求解即可； （3）根据题意可知当时，恒成立，因此只需要满足n不大于，当时，的值即可． 【详解】（1）解：把点，代入中得： ， 解得， ∴二次函数解析式为； （2）解：， ∴该二次函数的图象的顶点坐标为； （3）解：当时，则， 令， ∵函数开口向上，对称轴为直线， ∴当时，S随x增大而增大， ∵当时，对于的每一个值，函数的值小于二次函数的值， ∴当时，恒成立， 当时，， ∴． 9．(24-25九上·北京昌平一中教育集团·期中)已知：二次函数． (1)若图象经过原点，求二次函数的表达式； (2)求证：无论为任何实数，该二次函数的图象与轴都有两个交点． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数表达式、利用二次函数与一元二次方程的关系判断抛物线与x轴的交点个数．注意二次函数与一元二次方程虽有联系但并不相同，要先将函数转化为方程再使用判别式 解决问题． （1）由抛物线经过原点，即可将原点坐标代入二次函数表达式求出参数m的值，再把m的值代入二次函数表达式，化简即可． （2）解决“无论为任何实数”的问题，考虑将函数问题转化为方程，即令，此时一元二次方程的根即为抛物线与轴交点的横坐标，故而通过判别式的值的正负性与无关，可得方程根的情况与无关，再转化为所对应的函数问题，即可得证． 【详解】（1）解：抛物线经过原点 ． 把代入， 得：， 解得， 二次函数的表达式为． （2）证明：令，则． ． ． ． 方程有两个不相等的实数根． 无论为任何实数，该二次函数的图象与轴都有两个交点． 10．(23-24九上·北京顺义区仁和中学·期中)已知：二次函数的图象经过点． (1)求二次函数的解析式； (2)将（1）中求得的函数解析式用配方法化成的形式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，把化为顶点式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把代入，得出，解出，即可作答． （2）依题意，把化为，即可作答． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴把代入，得出， 解得， ∴； （2）解：依题意，． 11．(23-24九上·北京燕山·期中)二次函数的图象经过点和点，求此二次函数解析式． 【答案】 【分析】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法及方程组的解法，将点和点代入解析式中，求出b，c即可． 【详解】解：将，代入得， ， 解得 ， ∴此二次函数解析式为． 12．(24-25九上·北京通州区·期中)跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，其形状视为抛物线．如图是甲，乙两人将绳子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为1m，并且相距4m，现以两人的站立点所在的直线为x轴，过甲拿绳子的手作x轴的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，且绳子所对应的抛物线表达式为． (1)求绳子所对应的抛物线表达式； (2)身高的小明，能否站在绳子的正下方，让绳子通过他的头顶？ 【答案】(1) (2)绳子能碰到小明，小明不能站在绳子的正下方让绳子通过他的头顶 【分析】本题考查了待定系数法，二次函数的最值． （1）根据待定系数法即可求解； （2）先将函数关系式化为顶点式，求出函数的最值，再与小明的身高作比较，即可作答． 【详解】（1）根据题意，抛物线经过点，． ∴， 解得， ∴绳子所对应的抛物线表达式为：； （2）身高的小明，不能站在绳子的正下方让绳子通过他的头顶． 理由如下： ∵， ∴当时，， ∵， ∴绳子能碰到小明，小明不能站在绳子的正下方让绳子通过他的头顶． 13．(23-24九上·北京石景山区古城中学·期中)抛物线过点和． (1)求，的值； (2)当为何值时，有最大值？并求出最大值． 【答案】(1)的值为5，的值为 (2)当时，有最大值，为 【分析】（1）将和代入抛物线解析式得到，解方程即可得到，的值； （2）由（1）得到抛物线的解析式为：，从而得到，抛物线开口向下，将抛物线解析式化为顶点式，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：抛物线过点和， ， 解得：， 的值为5，的值为； （2）解：由（1）得的值为5，的值为， 抛物线的解析式为：， ， 抛物线开口向下， ， 当时，有最大值，为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、把二次函数解析式化为顶点式、二次函数的性质，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 14．(24-25九上·北京通州区·期中)已知一条抛物线的顶点坐标为，且经过点，求抛物线的表达式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，熟知顶点式的特征是解本题的关键；根据顶点坐标设抛物线解析式为，代入已知点坐标计算即可． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线表达式为， ∵抛物线经过点， ∴将代入， 得：， ∴， ∴． 15．(23-24九上·北京石景山区京源学校·期中)已知二次函数的图象经过点，顶点坐标为，求该函数的表达式． 【答案】 【分析】根据二次函数的顶点坐标设二次函数的解析式为，再把点代入求解即可． 【详解】解：∵二次函数图象的顶点坐标为， ∴设该函数的表达式为， ∵二次函数的图象经过点， 把点代入得，， 解得， ∴该函数的表达式为． 【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，根据题目的条件，选择恰当的方法设出关系式是解题的关键． 16．(24-25九上·北京通州区·期中)已知二次函数在和时的函数值相等． (1)求二次函数图像的对称轴； (2)过作x轴的平行线与二次函数的图像交于不同的两点M、N．当时，求b的值． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据对称轴为对称点横坐标和的一半计算即可． (2)设，，根据对称轴为直线，，得到，求得值后，利用对称轴和点的坐标计算即可； 本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】（1）∵二次函数在和时函数值相等， ∴对称轴为直线． （2）∵过作x轴的平行线与二次函数的图像交于不同的两点M、N， 设点M在点N的左侧，设，， ∵对称轴为直线，， ∴， 解得， ∴点M的坐标为，点N的坐标为 ∴，， ∴，． 17．(23-24九上·北京第九中学·期中)已知二次函数的图象上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： … 0 1 2 3 4 … … 1 1 …    (1)求这个二次函数的表达式； (2)画出次函数图象 (3)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3)当或时 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式； （2）利用描点法画出函数图象； （3）求出时函数图象上的点的坐标，利用函数的开口方向确定答案． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为， 将代入， 得，解得， ∴二次函数的解析式为； （2）    （3）当时，， 解得或， ∴函数过两点，， ∵图象开口向上， ∴当或时． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，画函数的图象，根据函数值确定自变量的取值范围，正确掌握二次函数的解析式的求法和函数图象的画法是解题的 关键． 地 城 考点03 二次函数的图像性质 一、单选题 1．(24-25九上·北京房山区·期中)已知点，若抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，熟知二次函数的图象和性质及分类讨论思想是解题的关键． 由抛物线的表达式可得出抛物线的对称轴为y轴，与y轴的交点坐标为，再利用分类讨论的数学思想即可解答． 【详解】解：由题意可知：抛物线的对称轴为y轴， 当时，， 所以抛物线与y轴的交点坐标为， 当时，抛物线有最大值为0，则抛物线与线段没有交点； 当时， ∵抛物线与线段只有一个公共点， ∴当时，； 当时，，解得， ∴， 综上所述：． 故选：D． 2．(24-25九上·北京通州区·期中)当时，函数的值是（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查求二次函数的函数值，将代入解析式，进行计算即可． 【详解】解：当时，； 故选B． 3．(24-25九上·北京顺义牛栏山第一中学实验学校·期中)抛物线的开口方向和顶点坐标分别是（   ） A．开口向上， B．开口向下， C．开口向上， D．开口向下， 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，根据二次项系数可以判断抛物线的开口方向，根据抛物线函数的顶点式可以直接得到顶点坐标，本题得以解决． 【详解】解：∵， ∴该抛物线的开口向上，顶点坐标是， 故选：A． 4．(23-24九上·北京房山区·期中)抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握形如的顶点坐标为是解题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选C． 二、填空题 5．(24-25九上·北京密云区·期中)已知点在抛物线上，则的大小关系是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．把点、代入解析式，然后比较大小即可． 【详解】解：点在抛物线上， ，， ， 故答案为：． 6．(24-25九上·北京昌平区回龙观东西学区·期中)函数的最大值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查求二次函数的最值，解题的关键是掌握二次函数的顶点式，并会根据顶点式求最值． 根据二次函数顶点式易知其顶点坐标为，抛物线开口向下，可知当时，函数取最大值1． 【详解】解：∵， ∴此函数图形开口向下，顶点坐标为， 即当时，函数取最大值1． 故答案为：1． 7．(24-25九上·北京首都师范大学附属中学永定分校·期中)、是函数图像上的两个点，，的大小关系是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了比较函数值大小，熟练掌握二次函数图像的性质是解题关键．将点、代入函数，分别求得的值，比较即可获得答案． 【详解】解：将点、代入函数， 可得，， ∵， ∴． 故答案为：． 8．(23-24九上·北京房山区·期中)请写出一个图象的顶点为的二次函数的表达式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点式“（k为常数，）”，是解题的关键． 【详解】解：二次函数的顶点式为：（k为常数，）， 图象的顶点为的二次函数的表达式可以为：， 故答案为：（答案不唯一）． 9．(23-24九上·北京门头沟大峪中学·期中)已知某二次函数，当时，y随x的增大而增大，解析式可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据二次函数，当时，y随x的增大而增大可得，． 【详解】解：由题意知，， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了根据二次函数的图象与性质确定二次函数解析式．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质． 三、解答题 10．(24-25九上·北京首都师范大学附属中学永定分校·期中)已知抛物线． (1)用配方法将化成的形式； (2)写出该抛物线的对称轴、顶点坐标； (3)抛物线与轴交点，（点在左侧），与轴交点，在给定的坐标系中画出这个抛物线，求的面积； (4)直接写出当自变量满足什么条件时，函数； (5)直接写出当自变量满足什么条件时，随的增大而增大． 【答案】(1) (2)对称轴为直线、顶点坐标为 (3)作图见解析，的面积为 (4)或 (5) 【分析】（1）由于二次项系数是，只需加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式，根据恒等，同时需要减去一次项系数的一半的平方即可； （2）根据（1）结论即可得出结论； （3）令得到关于的方程，求解后可得点和点的坐标，令可得到的值，可得点的坐标，然后画出该函数的图像，再根据三角形的面积公式即可求出的面积； （4）观察图像，图像在轴上方的部分，即可得出的取值范围； （5）观察图像，在对称轴的右侧的图像，随的增大而增大，即可得出的取值范围． 【详解】（1）解：， ∴； （2）由（1）知：， ∴该抛物线的对称轴为直线、顶点坐标为； （3）∵抛物线， 当时，得：， 解得：或， ∴，， 当时，得：， ∴， 如图： ∵，，， ∴，， ∴， ∴的面积为； （4）由图像知：当或时，； （5）由图像知：当时，随的增大而增大． 【点睛】本题考查将抛物线表达式的一般式化为顶点式，抛物线与坐标轴的交点坐标，画函数图像，结合图像求不等式的解集，结合图像理解函数的增减性，根据网格求三角形的面积等知识点．利用数形结合的思想求解是解题的关键． 11．(23-24九上·北京石景山区古城中学·期中)用配方法把二次函数化为的形式，并写出顶点坐标和对称轴． 【答案】顶点坐标为，对称轴为直线 【分析】先把解析式化为顶点式，再根据顶点式的性质即可得到答案． 【详解】解：， 顶点坐标为，对称轴为直线． 【点睛】本题考查了将二次函数的解析式化为顶点式及的图象与性质，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 12．(24-25九上·北京通州区·期中)已知抛物线．    (1)求抛物线的顶点坐标及与坐标轴的交点坐标； (2)在平面直角坐标系中画出函数图象． 【答案】(1)抛物线的顶点坐标为，抛物线与x轴交点为和 (2)见解析 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、画二次函数的图象， （1）利用配方法对函数解析式进行变形，从而可判断出抛物线的顶点坐标； （2）先列表、再描点、连线，即可得到答案． 准确将二次函数的解析式化为顶点式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为， 令，则，抛物线与y轴交点为， 令，则，， ∴抛物线与x轴交点为和． （2）列表如下： x 0 1 2 3 y 0 0 画图如下：    13．(23-24九上·北京交通大学附属中学·期中)在平面直角坐标系中，二次函数图象顶点为A，与x轴正半轴交于点B． (1)求点B的坐标，并画出这个二次函数的图象； (2)一次函数的图象过A，B两点，结合图象，直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系． （1）将代入函数解析式求解． （2）根据点A，B坐标及图象求解． 【详解】（1）令，则， 解得：， B点坐标为 列表得： x 0 1 2 3 y 0 0 画图得：    （2）如图， 二次函数图象顶点为A，与x轴正半轴交于点B ， 不等式的解为： 的图象在上方的部分， 由图形可得：x的取值范围为 不等式的解集为： 14．(23-24九上·北京石景山区京源学校·期中)已知二次函数．    (1)求此函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)画出此函数的图象； (3)若点和都在此函数的图象上，且，结合函数图象，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为 (2)作图见解析 (3)或 【分析】（1）把二次函数解析式转化为顶点式，再根据二次函数的性质求解即可； （2）利用五点法画图即可； （3）根据二次函数图象与性质进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：函数图象如图所示， x 0 1 y 0 0      （3）解：由图可得，抛物线开口向上， ∵抛物线的对称轴为， ∴抛物线上离对称轴越远的点，函数值越大， ∵， ∴离对称轴较远， ∴或． 【点睛】本题考查画二次函数图象，二次函数的顶点式、二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 15．(24-25九上·北京通州区·期中)已知二次函数．    (1)用配方法将其化为的形式； (2)该二次函数图象的对称轴为：　　，顶点坐标为　　； (3)在坐标系中画出它的图象； (4)结合图象，当时，y的取值范围是　　． 【答案】(1) (2)； (3)作图见解析 (4) 【分析】（1）依据题意，根据配方法的一般步骤进行计算可以得解； （2）依据题意，由（1）即可判断得解； （3）依据题意，根据函数的解析式得到对称轴，顶点，与坐标轴的交点，即可作图； （4）依据题意，结合图象，根据对称轴是直线，进而可以判断得解． 【详解】（1）由题意得，，即． （2）由题意，∵抛物线为， ∴对称轴为直线，顶点坐标为． 故答案为：；． （3）由题意，∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为，与y轴的交点为，与x轴的交点为，． 作图如下：    （4）由（3）图象，对称轴是直线，当时，y取最小值为； 又，当时，；当时，， ∴当时，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的顶点式，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 地 城 考点04 二次函数的平移 一、单选题 1．(24-25九上·北京通州区·期中)将抛物线向上平移1个单位长度，平移后抛物线的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据函数平移规律“左加右减，上加下减”求解即可． 【详解】解：将抛物线向上平移1个单位长度，平移后抛物线的表达式为， 故选：C． 2．(24-25九上·北京顺义牛栏山第一中学实验学校·期中)抛物线的图象先向左平移2个单位，再向下平移6个单位后，所得的抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键，根据图象的平移规律“左减右加，上加下减”解答即可． 【详解】由抛物线的图象先向左平移2个单位， 得， 由向下平移6个单位， 得， 故选：B． 3．(23-24九上·北京海淀区·期中)将抛物线向下平移3个单位，再向右平移3个单位后的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数图像的平移规律：上加下减，左加右减，根据函数图像的平移规律求解即可． 【详解】解：向下平移3个单位后可得即，再向右平移3个单位后可得即， 故选：C． 4．(24-25九上·北京通州区·期中)将抛物线平移后得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（   ） A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位 C．向上平移2个单位 D．向下平移2个单位 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象的平移．根据函数图象平移规律“左加右减，上加下减”解答即可． 【详解】解：将抛物线向下平移2个单位可得到抛物线， 故选：D． 5．(24-25九上·北京延庆区·期中)把抛物线向左平移1个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的平移规律：左加右减，上加下减，据此进行作答即可． 【详解】解：依题意，把抛物线向左平移1个单位， ∴， ∵再向下平移5个单位， ∴， 故选：B 6．(24-25九上·北京顺义区仁和中学·期中)若将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线的平移规律，根据抛物线的平移规律进行作答即可．抛物线的平移规律：上加、下减、左加、右减． 【详解】解：因为先向左平移3个单位，再向下平移2个单位， 所以， 故选：D． 二、填空题 7．(24-25九上·北京昌平区回龙观东西学区·期中)二次函数的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的二次函数图象表达式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．据此求解即可． 【详解】解：解：由题意得，平移后的解析式为：， 故答案为：． 8．(24-25九上·北京通州区·期中)把抛物线向左平移2个单位，再向上平移5个单位，所得抛物线的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：把抛物线向左平移2个单位，再向上平移5个单位，所得抛物线的解析式是， 故答案为：． 9．(23-24九上·北京燕山·期中)将抛物线向下平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向下平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为． 故答案为： 10．(23-24九上·北京门头沟大峪中学·期中)在平面直角坐标系中，抛物线可以看作是由抛物线经过怎样的平移得到的，平移过程为 ． 【答案】向右平移4个单位，再向上平移3个单位 【分析】根据二次函数图象的平移“左加右减，上加下减”可进行求解． 【详解】解：解：将抛物线先向右平移4个单位，再向上平移3个单位长度得到抛物线． 故答案为：向右平移4个单位，再向上平移3个单位 【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 地 城 考点05 二次函数与一元二次方程 一、单选题 1．(24-25九上·北京通州区·期中)已知二次函数的图象经过点．如果，那么m的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，求出图象与轴的交点坐标，利用数形结合的思想进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，当时，，解得：或， ∴当或时，， ∵二次函数的图象经过点，， ∴或； 故选C． 2．(24-25九上·北京密云区·期中)已知二次函数的图象如图所示，是方程的两根，且．则下列说法市确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点；根据抛物线与x轴的交点问题得到二次函数的图象与轴的交点坐标为，，然后利用图象中交点的横坐标的范围可对各选项进行判断． 【详解】解：∵是方程的两根， ∴二次函数的图象与x轴的交点坐标为，， 由函数图象可得． 故选：B． 3．(24-25九上·重点北京顺义区第三中学·期中)若二次函数的图象与轴有公共点，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题和一元二次方程的根的判别式，根据已知得出方程有两个实数根，即，求出不等式的解集即可． 【详解】解：函数的图象与轴有公共点， 方程有两个实数根，即， 解得：． 故选：C． 4．若二次函数的图象与x轴有公共点，那么m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点问题和一元二次方程的根的判别式，根据已知得出方程有两个实数根，即，求出不等式的解集即可． 【详解】函数的图象与x轴有公共点， 方程有两个实数根，即， 解得：． 故选：A． 5．(24-25九上·北京顺义区·期中)已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论： ①；②；③；④；其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系、根的判别式以及二次函数图象上点的坐标特征．由抛物线的开口方向、抛物线的对称轴以及当时的值，即可得出、、的正负，进而即可得出①正确；由对称轴即可得出②正确；由抛物线的对称轴为结合时，即可得出当时，进而得出，③成立；由二次函数图象与轴交于不同的两点，结合根的判别式即可得出，④成立．综上即可得出结论． 【详解】解：抛物线开口向下， ． 抛物线的对称轴为， ， ，②正确； 当时，， ，①错误； 抛物线的对称轴为， 当与时，值相等， 当时，， ，③正确； 抛物线与轴有两个不相同的交点， 一元二次方程， ，④正确． 综上可知：成立的结论有3个． 故选：C． 6．(23-24九上·北京石景山区京源学校·期中)二次函数的图象与y轴的交点坐标是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用时，求出的值进而得出答案． 【详解】解：二次函数的图象与轴相交，则， 故，则图象与轴的交点坐标是：． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特点，正确得出是解题关键． 二、填空题 7．(24-25九上·北京密云区·期中)写出一个开口向上且与x轴没有公共点的抛物线的表达式 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查求二次函数的解析式，掌握开口方向和与x轴的交点情况与解析式的关系是解题的关键．开口向上即为a大于0，与x轴没有交点即为根的判别式小于0，写出满足题意的抛物线解析式即可． 【详解】开口向上则， 与x轴没有公共点，则， 满足条件的抛物线的表达式为（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 8．(24-25九上·北京首都师范大学附属中学永定分校·期中)二次函数的图像如图所示，则 0， 0． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题关键．根据二次函数图像的开口方向可知，结合函数图像的对称轴，可得；根据该二次函数的图像与轴有两个交点，易得． 【详解】解：根据函数图像可知， 该函数图像开口向下， ∴， 又∵函数图像的对称轴， ∴， ∵该二次函数的图像与轴有两个交点， ∴当时，可得， 此时． 故答案为：，． 9．(24-25九上·北京首都师范大学附属中学永定分校·期中)抛物线与轴交于点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与坐标的交点，理解抛物线与坐标轴的交点坐标特征是解题关键． 根据抛物线与与轴交于点，得到点的横坐标为0，代入抛物线解析中进行计算求解． 【详解】解：抛物线与轴交于点， ， ． 故答案为：． 10．(23-24九上·北京门头沟大峪中学·期中)若二次函数的图象与x轴有交点，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由二次函数的图象与x轴有交点，可得，计算求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴有交点， ∴， 解得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与x轴的交点，解题的关键在于掌握：的图象与x轴有交点，即有解． 三、解答题 11．(24-25九上·重点北京顺义区第三中学·期中)定义：在平面直角坐标系中，当点在图形上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为图形的“和谐点”． (1)如图，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形“和谐点”的是 ； (2)点是反比例函数图象上的一个“和谐点”，则该函数图象上的另一个“和谐点”的坐标是 ，直线的表达式是 ； (3)已知点，是抛物线上的“和谐点”，直接写出点，的坐标 ， ． 【答案】(1) (2)， (3)，或， 【分析】本题是二次函数的综合题，考查了一次函数，反比例函数，二次函数，理解坐标与图形性质，熟练掌握两点间的距离公式，理解新定义是解题的关键． （1）根据“和谐点”的定义判断这几个点是否在矩形的边上； （2）把代入求出解析式，再求于的交点即为； （3）根据“和谐点”的定义求出点，的坐标即可． 【详解】（1）解：矩形的顶点坐标分别是，，，， 当“和谐点”在或上时，“和谐点” 应满足且或， 当“和谐点”在或上时，“和谐点”应满足且或， 点是矩形的“和谐点”，点、不是矩形的“和谐点”， 故答案为： ； （2）解：点是反比例函数图象上的一个“和谐点”， 把代入得， ∴， “和谐点”的横坐标和纵坐标相等， “和谐点”都在的图象上，联立得：， 解得或， ， 直线的解析式为， 故答案为：，； （3）解：点，是抛物线上的“和谐点”， ， 即， 解得，， 当时，，当时，， ∴点，的坐标为，或，， 故答案为：，或，． 12．(24-25九上·北京房山区·期中)已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧） (1)求A，B两点的坐标； (2)若点P在该抛物线上，且的面积为6，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)点P的坐标为， 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点，二次函数与面积问题，解题的关键是： （1）令，则，解方程即可求解； （2）根据三角形面积公式求出点P的纵坐标，然后把点P的纵坐标代入函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：令，则， 解得，， ∵点A在点B的左侧， ∴，； （2）解：∵，， ∴， ∵的面积为6， ∴， ∴， 当时，， 解得，， ∴点P的坐标为，； 当时，，即， ∴， ∴方程无解， ∴不存在， 综上，点P的坐标为，． 13．(23-24九上·北京第九中学·期中)已知二次函数． (1)求此二次函数的对称轴  （用含的字母表示） (2)若二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，求的取值范围 (3)选取一个你喜欢的值，求此二次函数图象与轴的交点． 【答案】(1)直线 (2) (3)和(答案不唯一) 【分析】（1）根据抛物线的对称轴为直线，即可求解； （2）在，令，根据已知可得，解之即可求出的取值范围； （3）在（2）的的取值范围内，任选一个数值，解相应的一元二次方程即可． 【详解】（1）二次函数, 该二次函数的对称轴为直线， 故此二次函数的对称轴是直线； （2）二次函数的图象与x轴有两个不同的交点， 令，则， ， ， 故的取值范围是； （3）当时，， 令，则， ，． 故此二次函数图象与轴的交点是和(答案不唯一)． 【点睛】本题考查了抛物线与一元二次方程，熟练掌握抛物线与轴的交点的意义，根的判别式，解相应不等式和一元二次方程是解本题的关键． 14．(23-24九上·北京石景山区首都师范大学附属苹果园中学分校·期中)在平面直角坐标系中，直线与抛物线的相交于点和点（点的横坐标小于点的横坐标） (1)求交点和点的坐标； (2)求当时，的最大值； (3)直接写出的解集． 【答案】(1)， (2)9 (3) 【分析】本题主要靠除了你一次函数与二次函数综合： （1）联立两函数解析式，求出对应的x、y的值即可得到答案； （2）根据二次函数的性质求解即可； （3）找到一次函数图象在二次函数图象上方时自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：联立，解得或， ∵点的横坐标小于点的横坐标， ∴，； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为y轴，且开口向上， ∴离对称轴越远函数值越大， ∵， ∴当时，且时，有最大值，最大值为； （3）解：由函数图象可知，当时，． 15．(23-24九上·北京石景山区京源学校·期中)已知函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，求的面积． 【答案】 【分析】根据函数的图象与轴、轴相交，即可求出交点坐标，进而求出、的长度，从而求出的面积． 【详解】解：的图象与轴交于、两点， ， ， 解得：，， 与轴交点坐标为，， ， 令，则， 与轴交点坐标为， ， ． 【点睛】本题主要考查了二次函数与坐标轴的交点，三角形的面积，熟练掌握二次函数与坐标轴的交点坐标的求法是解题的关键． 16．(23-24九上·北京石景山区京源学校·期中)如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为x米，面积为S平方米． (1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)若所围成花圃的面积不小于20平方米，直接写出x的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据长方形的面积公式列方程，再根据求得自变量的取值范围即可； （2）先求出方程的解，再根据二次函数的图象以及自变量的取值范围求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵，即， ∴自变量的取值范围为； （2）解：当时，解得，， 由函数图象可得，．    【点睛】本题考查二次函数的应用，理解题意求函数解析式是解题的关键． 17．(23-24九上·北京石景山区京源学校·期中)已知抛物线． (1)求证：此抛物线与x轴总有交点； (2)若此抛物线与x轴的交点的横坐标都为整数，求整数m的值． 【答案】(1)见解析 (2)或3 【分析】（1）当时，，求出一元二次方程根的判别式，得出判别式的值大于0，即可求证抛物线与x轴总有交点； （2）用因式分解法求出的两个根，结合，即可得出m的值． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴方程有实数根， ∴抛物线与x轴总有交点； （2）解：当时，， ， ， 解得：， ∵抛物线与x轴的交点的横坐标都为整数， ∴方程的两个根为整数， ∵，为整数， ∴或3． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，二次函数和一元二次方程的关系，解一元二次方程，解题的关键是掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，以及二次函数和一元二次方程的关系． 地 城 考点06 二次函数实际应用 一、填空题 1．(24-25九上·北京通州区·期中)如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系可以近似的看成抛物线，则小朱本次投掷实心球的成绩为 米． 【答案】8 【分析】本题考查二次函数的实际应用，求出抛物线与轴的交点坐标，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴当时，， 解得：或（舍去）； 故小朱本次投掷实心球的成绩为8米； 故答案为：8． 2．(23-24九上·北京房山区·期中)如图，某中学综合与实践小组要围成一个矩形菜园，其中一边靠墙，其余的三边，，用总长为40米的栅栏围成．设矩形的边米，面积为S平方米．    （1）活动区面积S与之间的关系式为 ； （2）菜园最大面积是 平方米． 【答案】 200 【分析】本题考查二次函数的应用， （1）表示出，由矩形面积公式可得函数关系式； （2）把面积S配成顶点式，由二次函数性质可得答案． 【详解】解：（1）由题意得：， ∴， ∵，解得， ∴活动区面积S与之间的关系式为； 解：（2）由（1）得：活动区面积S与之间的关系式为， ∵， ∴当时，S取最大值200， ∴菜园最大面积是200平方米； 二、解答题 3．(23-24九上·北京顺义区仁和中学·期中)“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进了一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．在义卖的过程中发现，这种文化衫每天的销售件数y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：．如果义卖这种文化衫每天的利润为（元），那么销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】售价28元时，最大利润为192元 【来源】 北京市顺义区仁和中学2023--2024学年九年级上学期期中考试数学试卷 【分析】本题考查了二次函数的应用．根据题意得出每天获得的利润，于是求出每天获得的利润最大时的销售价格． 【详解】解：根据题意得： ． ， 当时，利润最大元； 答：当销售单价定为元时，每天获得的利润最大，最大利润是元． 4．(24-25九上·北京顺义区仁和中学·期中)跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．记运动员在该项目的运动过程中的某个位置与起跳点的水平距离为x（单位：），竖直高度为y（单位：），下面记录了甲运动员起跳后的运动过程中的七组数据 0 10 20 30 40 50 60 54.0 57.8 57.6 53.4 45.2 33.0 16.8 下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)为观察y与x之间的关系，建立坐标系，以x为横坐标，y为纵坐标，描出表中数据对应的7个点，并用平滑的曲线连接它们： (2)观察发现，（1）中的曲线可以看作是________的一部分（填“抛物线”或“双曲线”），结合图象，可推断出水平距离约为________（结果保留小数点后一位）时，甲运动员起跳后达到最高点； (3)乙运动员在此跳台进行训练，若乙运动员在运动过程中的最高点的竖直高度达到，则乙运动员运动中的最高点比甲运动员运动中的最高点________（填写“高”或“低”）． 【答案】(1)见解析 (2)抛物线； (3)高 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意画图即可； （2）根据图表求解即可； （3）根据图表求解即可． 【详解】（1）解：如图， （2）根据所学函数，（1）中的曲线可以看作是抛物线的一部分； 结合图象，图象的最高点在到之间，可推断出水平距离约为时，甲运动员起跳后达到最高点； 故答案为：抛物线，； （3）由图可知，乙运动员在此跳台进行训练，若乙运动员在运动过程中的最高点的竖直高度达到61m，则乙运动员运动中的最高点比甲运动员运动中的最高点高． 故答案为：高． 5．(24-25九上·北京昌平区·期中)某小区花园新安装了一排音乐喷泉装置，其中位于中间的喷水装置喷水能力最强，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，若喷出的水流高度为，水流与之间的水平距离为，y与x之间满足二次函数关系．如图所示，经测量，喷水装置高度为3.5米，水流最高处离喷水装置的水平距离为3米，离地面竖直距离为8米． (1)求水流喷出的高度与水平距离之间的函数关系式； (2)若在音乐喷泉四周摆放花盆，不计其它因素，花盆需至少离喷水装置多少米处，才不会被喷出的水流击中？ 【答案】(1) (2)7米 【分析】本题考查二次函数的顶点式，以及二次函数的应用，理解题意是关键． （1）依据题意得，抛物线的顶点为，从而可设抛物线为，又抛物线过，进而计算可以得解； （2）依据题意，由抛物线为，进而令，则，求出x的值即可判断得解． 【详解】（1）由题意得，抛物线的顶点为， ∴可设抛物线为． 又抛物线过， ∴． ∴． ∴水流喷出的高度与水平距离之间的函数关系式为． （2）由题意，∵抛物线为， ∴令，则． ∴或（不合题意，舍去）． ∴花盆需至少离喷水装置为7米处，才不会被喷出的水流击中． 6．(24-25九上·北京顺义牛栏山第一中学实验学校·期中)如图，边长为6的正方形中，E，F，G，H分别是，，，边上的动点，且，点E从点A出发沿以每秒1个单位长度的速度向点B运动（到达点时停止），设运动时间为t（单位：秒）． (1)①当运动停止时，t的值为______； ②设A，H之间的距离为y，则y与t满足______关系（选填“正比例函数”，“一次函数”，“二次函数”） (2)设四边形的面积为S， ①直接写出S的表达式______（用含有t的代数式表示），并写出t的取值范围______； ②S是否可以为20？若可以，请求出此时t的值，若不能，请通过计算说明理由． 【答案】(1)①；②一次函数 (2)①，；②S可以为20，此时或 【分析】本题考查正方形的判定与性质，二次函数与几何应用，勾股定理； （1）①当运动停止时，，代入计算即可； ②根据，可得，即满足一次函数关系； （2）①先证明四边形是正方形，再根据计算即可； ②令，解方程后判断即可． 【详解】（1）∵边长为6的正方形， ∴，， ∵点E从点A出发沿以每秒1个单位长度的速度向点B运动， ∴， ∴， ①当运动停止时，秒， 故答案为：； ②∵， ∴y与t满足一次函数关系， 故答案为：一次函数； （2）解：①∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴四边形是正方形， ∴， 整理得， ∵，， ∴， ∴， ∴S的表达式，t的取值范围， 故答案为：，； ②令得， 整理得， 解得或， ∵， ∴S可以为20，此时或． 7．(24-25九上·北京通州区·期中)某景观公园计划修建一个人工喷泉，从与地面成一定角度的喷水枪喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分．记喷出的水流距喷水枪出水口的水平距离为x米，距地面的竖直高度为y米，现测得x与y的几组对应数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 5 6 … 垂直高度 0.7 1.6 2.3 2.8 3.1 3.2 3.1 … 小华根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整： (1)在平面直角坐标系中，描出以表中各组对应数据为坐标的点，并画出该函数的图象； (2)结合表中所给数据或所画图象，得出水柱最高点距离地面的垂直高度为________米； (3)求出y关于x的函数关系式； (4)结合函数图象，解决问题：该景观公园准备在距喷水枪出水口的水平距离2.5米处修建一个大理石雕塑，使喷水枪喷出的水流刚好落在雕塑顶端，则大理石雕塑的高度约为________米．（结果精确到0.1米）（注：忽略大理石雕塑宽度等其他因素） 【答案】(1)图见解析 (2)3.2米 (3) (4)米 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）描点，连线，画出函数图象即可； （2）根据图象获取信息作答即可； （3）待定系数法求出函数解析式即可； （4）求出时的函数值即可． 【详解】（1）解：作图如下： （2）由图可知：当时，水柱最高点距离地面的垂直高度为米， 故答案为：； （3）设抛物线的解析式为：， 把点代入，得：， 解得：， ∴； （4）当时，； 故答案为：． 8．(24-25九上·北京延庆区·期中)某中学课外活动小组准备围成一个矩形的活动区，其中一边靠墙，另外三边用总长为的栅栏围成．已知墙长为（如图），设矩形的边，面积为． (1)关于的函数表达式是______，自变量的取值范围是______； (2)当______m时，活动区的面积有最大值______． 【答案】(1)， (2)10，200 【分析】此题考查了二次函数的实际应用问题，解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解． （1）由总长度垂直于墙的两边的长度平行于墙的这边的长度，根据墙的长度就可以求出的取值范围； （2）由长方形的面积公式建立二次函数，利用二次函数性质求出其解即可． 【详解】（1）解：四边形是矩形，米， 米， 墙长为22米， ， ， ， 即， 故答案为：，； （2）解：由（1）得， ， 当时，有最大值200， 即当为10米时，活动区的面积最大，最大面积是200平方米， 故答案为：10，200． 9．(24-25九上·北京通州区·期中)某水果经销商以每公斤8元的价格购进一批葡萄，若按每公斤元的价格销售，平均每天可售出公斤．结合销售记录发现，若售价每降低1元，平均每天的销售量增加公斤，为了尽快减少库存，该水果商决定降价销售． (1)若每公斤降价2元，则每天的销售利润为______元； (2)销售单价定为每公斤多少元时，每天销售该品种葡萄获得的利润w最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)元 (2)答：销售单价定为每公斤元时，每天销售该品种葡萄获得的利润最大，最大利润是元； 【分析】（1）本题考查二次函数解决销售理论问题，解题的关键是找到等量关系式，根据利润利润单价数量即可得到答案； （2）本题考查二次函数解决销售理论问题，解题的关键是找到等量关系式，根据利润利润单价数量写出函数关系式，结合函数性质即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， 每天的销售利润为：（元）， 故答案为：元； （2）解：销售单价定为每公斤元，由题意可得， ， ∵， ∴当时最大，（元）， 答：销售单价定为每公斤元时，每天销售该品种葡萄获得的利润最大，最大利润是元． 10．(23-24九上·北京燕山·期中)某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，长为米．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间近似满足函数关系． 下面是水流高度y和水平距离x之间的几组数据： x/米 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 y/米 1.5 1.875 2 1.875 1.5 0.875 0 (1)根据上述数据，直接写出水流喷出的最大高度，并求出满足的函数关系式； (2)由于调整了水压，水流喷出高度y与水平距离x之间近似满足函数关系，调整后水流落点为，则 ．（填“”，“”或“”） 【答案】(1)2米 (2) 【分析】本题考查了二次函数的解析式的求法，顶点坐标的应用． （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）分别求出点，，即可求解． 【详解】（1）解：水流喷出的最大高度为2米． 由题意可得，抛物线经过点和， 将上述两个点坐标代入中，得 ， 解得 ， ∴函数关系式为； （2）解：对于， 当时，， 解得：， ∴点，即， 对于， 当时，， 解得：， ∴点，即， ∵， 即． 故答案为： 地 城 考点07 二次函数综合 一、单选题 1．(23-24九上·北京石景山区古城中学·期中)求二次函数的最小值（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】将二次函数化为顶点式，由此即可得到答案． 【详解】解：， ，抛物线开口向上， 当时，的值最小为， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，将二次函数解析式化为顶点式是解此题的关键． 2．(23-24九上·北京石景山区首都师范大学附属苹果园中学分校·期中)已知二次函数的图象如图所示，有以下论：； ；；．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由抛物线开口向下，交于轴正半轴，得出，，由抛物线的对称轴得出，即可判断①④；由图象可得：当时，，即可判断②；当时，，即可判断③；从而得出答案，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口向下，交于轴正半轴， ∴，， ∵对称轴为直线， ∴， ∴，故④错误； ∴，故①错误； 由图象可得：当时，，即，故②错误； 当时，，即，故③正确； 综上所述，正确的有③，故个， 故选：A． 3．(24-25九上·北京顺义区·期中)抛物线的部分图像如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法：①；②；③若与是抛物线上的两个点，；④方程的两根为，；⑤当时，函数有最大值．其中正确的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键． 抛物线的对称轴为直线，开口向下，可得，，故①正确；根据抛物线过点，可得，从而得到，进而得，故②正确；由抛物线的对称轴为直线，开口向下，可得当时，y随x的增大而减小，关于对称轴的对称点为，可得到，故③错误；对称性求出抛物线与轴的另一个交点的坐标，得到方程的两根为，，故④正确；根据二次函数的性质可得当时，函数有最大值，再由直线经过点，可得，从而得到，进而得到，故⑤错误，即可求解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线过点， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴，故②正确； ∵抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小，关于对称轴的对称点为， ∵， ∴，故③错误； ∵抛物线过点，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∴方程的两根为，故④正确； ， ∵， ∴当时，函数有最大值， ∵直线经过点， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，函数有最大值，故⑤错误； ∴正确的有3个． 故选：B 4．(23-24九上·北京房山区·期中)若点，，在抛物线上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据点，，到对称轴的距离大小求解． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线， ， ． 故选：D． 5．(24-25九上·北京通州区·期中)函数的自变量x的取值范围为全体实数，其中部分的图象如图所示，对于此函数有下列结论： ①函数图象关于y轴对称； ②函数既有最大值，也有最小值； ③当时，y随x的增大而减小； ④当时，关于x的方程有4个实数根； 其中正确的结论个数是．（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了根据函数图象判断函数的对称性、增减性以及从函数的角度解决方程问题，根据函数解析式画出函数图象，结合函数图象进行判断，解题的关键是利用数形结合的思想解决问题． 【详解】解：如图： ①如图所示：函数图象关于y轴对称，则正确； ②如图所示：函数没有最大值，只有最小值，则错误； ③如图所示：当时，y随x的增大而减小，则正确； ④如图所示：当时，关于x的方程有4个实数根，则正确； 则正确的个数有3个，故选C． 二、填空题 6．(24-25九上·北京顺义牛栏山第一中学实验学校·期中)如图，抛物线的对称轴为，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为，则点Q的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点以及二次函数的性质，根据抛物线的对称轴结合点的横坐标，即可求出点的横坐标，此题得解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点， ∴点与点关于直线对称， 点的横坐标为， 点的坐标为． 故答案为：． 7．(24-25九上·北京房山区·期中)二次函数的图象如图所示，则 0， 0（填或）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线的开口方向判断a的符号，根据抛物线与y轴的交点位置判断c的符号，根据对称轴的正负和a的符号即可判断b的符号，代入即可判断的正负． 【详解】解：由图象知：抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的右侧， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：；． 8．(23-24九上·北京石景山区古城中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，点，，，…，在轴的负半轴上，点，，，…，在二次函数位于第三象限的图象上，若四边形，四边形，四边形，…，四边形都是正方形，则正方形的面积为 ． 【答案】 【分析】作轴交轴于，轴交轴于，轴交轴于，由正方形的性质可得，从而得到是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，设，由点在图象上求出的值，得到，，从而得到，利用待定系数法求出直线的解析式为：，联立，得到的坐标，同理得出，，再同理计算出，即可得到． 【详解】解：如图，作轴交轴于，轴交轴于，轴交轴于， ，四边形是正方形， ， 是等腰直角三角形，是等腰直角三角形， ，， 点在第四象限， 设， 点在图象上， ， 解得：或（不符合题意，舍去）， ，， ，， ， ， 设直线的解析式为：， 将，代入解析式得：， 解得：， 直线的解析式为：， 联立， 解得：，， ， ， 由正方形的性质可得， ，， ， ， 设直线的解析式为：， 将，代入解析式得：， 解得：， 直线的解析式为：， 联立， 解得：，（不符合题意，舍去）， ， ， 由正方形的性质可得：， ， ， …， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、二次函数的图象与性质、等腰直角三角形的性质、待定系数法求一次函数的解析式、一次函数与二次函数的交点问题，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 9．(23-24九上·北京石景山区古城中学·期中)当，则函数最大值 ，最小值 ． 【答案】 8 【分析】将抛物线解析式化为顶点式，根据二次函数的性质结合解析式即可得到答案． 【详解】解：， ，抛物线开口向上， ， 当时，的值最小为， 当时，， 当时，， ， 当，则函数最大值为8，最小时为， 故答案为：8，． 【点睛】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质，将解析式化为顶点式是解此题的关键． 10．(24-25九上·北京通州区·期中)点，为抛物线上两点，则 ．（用“”或“”号连接） 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，根据二次函数的对称性将点化在对称轴的同一侧，结合函数的性质比较即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， 抛物线的对称轴为：直线， ∴的对称点为：， ∵，， ∴， 故答案为：． 三、解答题 11．(23-24九上·北京西城区北师大实验中学·开学考)在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)抛物线与y轴交于点，求该抛物线的解析式及对称轴； (2)点，，若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数的图象，求m的取值范围． 【答案】(1)抛物线的解析式为；对称轴是直线； (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并理解是关键． （1）依据题意，令，则有，从而可以得解； （2）依据题意，，又抛物线与线段恰有一个公共点，结合图象可以得解． 【详解】（1）解：由题意，令，则有， ∴该抛物线的解析式为． ∴对称轴：直线． （2）由题意得，． 又抛物线与线段恰有一个公共点，，， ∴． 当时，若，则， ∴． 当时，若，则， 12．(24-25九上·北京通州区·期中)在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A． (1)求点A的坐标（用含a的代数式表示）； (2)求抛物线与x轴的交点坐标； (3)已知点，．若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键． （1）令，求出函数值，进而得到点的坐标即可； （2）令，求出自变量的值，即可得出结果； （3）分和两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， ∴； （2）当时， 解得：， ∴抛物线与x轴的交点坐标为； （3）当时，则：， ∴在轴的正半轴上， ∵， ∴点在点的下方， ∵抛物线与线段恰有一个公共点， ∴时的函数值小于等于2， ∴， ∴； 当时，在轴的负半轴上，， ∴点在点的上方， ∵抛物线与线段恰有一个公共点， ∴时的函数值大于等于2， ∴， ∴（不符合题意，舍去）； 综上：． 13．(23-24九上·北京房山区·期中)定义：在平面直角坐标系中，当点在图形的内部，或在图形上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为图形的“和谐点”．    (1)如图，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形“和谐点”的是____________； (2)点是反比例函数图象上的一个“和谐点”，则该函数图象上的另一个“和谐点”的坐标是__________，直线的表达式是_____________； (3)已知点，是抛物线上的“和谐点”，点在点的左侧，点是抛物线的顶点，连接，，，求点，的坐标，并直接写出的面积． 【答案】(1) (2)， (3)，，面积是12 【分析】（1）通过观察图形和题中给的定义即可解答； （2）联立，可得H点的坐标，根据待定系数法即可求出的解析式； （3）根据“和谐点”横坐标和纵坐标相等，可得“和谐点”都在上，和抛物线解析式联立可求A，B两点坐标，从而求出，即可求解． 【详解】（1）解：由图可得：，分别在矩形的内部和边上， ∴是矩形“和谐点”； （2）解： 把代入得：， ∵“和谐点”横坐标和纵坐标相等， ∴“和谐点”都在上， 联立，解得：， ∴H点的坐标是， ∴的解析式是； （3）解：如图，    ∵“和谐点”横坐标和纵坐标相等， ∴“和谐点”都在上， 联立得：，解得：， ∵点在点的左侧， ∴， ∵， ∴，，， ∵， ∴ 是直角三角形， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、坐标与图形、勾股定理以及勾股定理逆定理、一次函数等知识，熟练掌握以上知识点，理解题意，采用数形结合的思想是解此题的关键． 14．(24-25九上·北京密云区·期中)在平面直角坐标系内，某函数的自变量取值范围，函数值的取值范围为，给出如下定义：若称该函数为“正型函数”，若称该函数为“横型函数”，若称该函数为“纵型函数”． (1)下列函数中，是“纵型函数”的有（写出有所正确的序号）______． ①    ② ③    ④． (2)已知函数是“纵型函数”，求a的取值范围． (3)若函数是“纵型函数”，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)②③ (2)或 (3)或 【分析】本题考查了二次函数的性质，新定义问题，函数的最值问题； （1）通过列表分别求得函数值，进而根据自变量的取值范围求得函数的最值，结合新定义，即可求解； （2）分情况讨论，根据新定义得出不等式，解不等式，即可求解； （3）根据分情况讨论，分别求得二次函数的最大值与最小值，结合新定义列出不等式，解不等式，即可求解． 【详解】（1）解：列表如下： ①中，，，则，是“横型函数”，    ②中，，，则，是“纵型函数”，   ③中，，，则，是“纵型函数”     ④中，，则称该函数为“正型函数”． 故答案为：②③． （2）解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为 当时， ∴ 抛物线与轴的交点为和 ①当时，函数有最小值为， ∵， ∴当时，函数有最大值为 ∵函数是“纵型函数” ∴ 解得： ②当时，同理可得最大值为，最小值为， 则， 解得：， 综上所述，或 （3）解：∵函数 ∴抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，顶点坐标为 当时， ∴ 抛物线与轴的交点为和 当时，；当时， ①当即时，函数的最大值为， 最小值为 ∵函数是“纵型函数”， ∴即 解得： ∴， ②当时，函数的最小值为， 最大值为 ∵函数是“纵型函数”， ∴即 解得： ∴， ③当时，则函数值的最小值为顶点的纵坐标， 当，即时，函数的最小值为，最大值为 ∴， 解得：（舍去）或 ∴ 当，即，函数的最小值为，最大值为 ∴， 解得：（舍去）或（舍去） ∴ 综上所述，或 15．(24-25九上·北京房山区·期中)在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的对称轴（用含的代数式表示）； (2)若该抛物线与轴交于点，且，求的取值范围； (3)当时，函数最大值与最小值的差为，求的值． 【答案】(1)直线 (2) (3)或 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、一元二次方程根与系数关系、不等式性质、二次函数的最值问题，解题的关键在于熟练掌握二次函数图像与性质． （1）根据二次函数的对称轴为直线求解即可； （2）根据题意，结合一元二次方程的根与系数关系得到，结合，进行求解即可； （3）根据题意得到抛物线的开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线；当时，，当时，，由最大值与最小值的差为，分以下情况①当在取得最大值，在取得最小值时，②当在取得最大值，在顶点取得最小值时，③当在取得最大值，在顶点取得最小值时，建立等式求解即可． 【详解】（1）解：由抛物线得对称轴为直线； （2）解：∵该抛物线与轴交于点， ∴方程的两个根为，， ∴， ∵， ，即， ； （3）解：抛物线的开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线， 当时，，当时，， 根据题意，分以下情况： ①当在取得最大值，在取得最小值时，则，即， ∵最大值与最小值的差为， ∴，解得（舍去）； ②当在取得最大值，在顶点取得最小值时，则，即， ∵最大值与最小值的差为 ∴，则，解得（舍去）或， ③当在取得最大值，在顶点取得最小值时，则，即， ∵最大值与最小值的差为， ∴，则，解得（舍去）或； 综上所述，b的值为或． 16．(23-24九上·北京石景山区京源学校·期中)如图，中，，点D为上一点，过D作射线交于点E，且满足．    (1)求证：； (2)设，写出y关于x的函数表达式，当x取何值时y值最大，最大值是多少？ 【答案】(1)证明过程见解析 (2)，当时，y值最大，最大值是 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形内角和定理得出，即可得出结论； （2）由（1）可得，即，从而可得，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 由（1）可得，， ∴，即， ∴， ∵， ∴当时，y值最大，最大值是． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、二次函数的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 17．(23-24九上·北京房山区·期中)在平面直角坐标系中，抛物线，若，为抛物线上两个不同的点，设抛物线的对称轴为． (1)当时，求的值； (2)若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得抛物线的对称轴为，再利用抛物线的对称轴公式可得的值； （2）对于任意的，随的增大而减小，分类讨论和时的取值范围，当时不能满足，都有，当时可以满足对于，都有的条件，使得对称轴，从而可求出的取值范围． 【详解】（1）抛物线的对称轴为，且， 对称轴为：， 即， 解得． （2）由题意可得，对于任意的，随的增大而减小， ①当时，抛物线开口向上，对称轴为，在对称轴的左侧满足题意，而在对称轴的右侧都有，故不符合题意； ②当时，对于任意的，随的增大而减小， 从而， 解得：． 【点睛】此题考查了抛物线的对称轴，解一元一次方程，抛物线的性质，利用抛物线增减性结合对称轴列不等式，掌握抛物线的性质和对称轴公式是解题关键． 18．(24-25九上·北京延庆区·期中)在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：若，则称点为点的“反称变点”．例如：点的“反称变点”为点，点的“反称变点”为点． (1)点的“反称变点”坐标为______； (2)若点在函数的图象上，其“反称变点”的纵坐标是，求“反称变点”的横坐标； (3)若点在函数的图象上，其“反称变点”的纵坐标的取值范围是，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据“反称变点”的定义，由，即可推出，于是得解； （2）根据题意，分两种情况讨论：当时，；当时，；分别解一元二次方程，求出的值即可； （3）根据题意，分两种情况讨论：当时，可推出；当时，可推出；分别解不等式组，即可得出的取值范围，然后画出函数图象，通过观察图象即可得出的取值范围． 【详解】（1）解：， ， 点的“反称变点”坐标为， 故答案为：； （2）解：根据题意，分两种情况讨论： 当时，， 即：， 解得：， ， ； 当时，， ， 即：， 解得：， ， ； “反称变点”的横坐标是或； （3）解：根据题意，分两种情况讨论： 当时，， ， 即：， 解得：； 当时，， ， 即：， 解得：， 当时，， 当时，， 综上所述，的取值范围是，如图所示： 【点睛】本题主要考查了有理数大小比较，化简多重符号，直接开平方法解一元二次方程，解一元二次不等式，画二次函数图象等知识点，理解题意，弄清新定义并懂得利用数形结合思想是解题的关键． 19．(24-25九上·北京延庆区·期中)在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线的对称轴； (2)已知和为抛物线上的两点，满足，求的取值范围． 【答案】(1)直线 (2)或 【分析】（）把代入函数解析式即可求解； （）由二次函数解析式得抛物线的对称轴为直线，可得点在对称轴的右侧，又由二次函数的开口方向知二次函数图象上的点离对称轴水平距离越远函数值越大，根据分点在对称轴的右侧和点在对称轴的左侧两种情况解答即可求解； 本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， ∴对称轴为直线； （2）解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点， ∴点在对称轴的右侧， ∵， ∴抛物线开口向上，二次函数图象上的点离对称轴水平距离越远函数值越大， 又∵， ∴有以下两种情况： ①点在对称轴的右侧，且， 解得； ②点在对称轴的左侧，且， 解得； 综上，的取值范围为或． 20．(24-25九上·北京顺义牛栏山第一中学实验学校·期中)在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求a的值； (2)已知点在该抛物线上，若，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质． （1）将点代入抛物线解析式计算即可； （2）抛物线对称轴为，由得到抛物线开口向下，则抛物线上的点离对称轴越近，函数值越大，得到，再分情况去绝对值求解不等式组即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴； （2）解：由（1）得抛物线的表达式为， 即， ∴抛物线的对称轴为直线； ∵， ∴抛物线开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越近，函数值越大， ∵点，在该抛物线上，， ∴， 整理得， 当时，，不等式组无解，不符合题意； 当时，，解得，此时； 当时，，解得，此时， 综上所述，． 21．(24-25九上·北京昌平区·期中)在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）； (2)点，在抛物线上，其中，． ①若的最小值是，求的最大值； ②若对于，，都有，求t的取值范围． 【答案】(1) (2)①2；②或． 【分析】（1）将抛物线的解析式配成顶点式，即可写成答案； （2）①先确定出当时，的最小值为，进而求出，再判断出当时，取最大值，即可求出答案； ②先由得出，最后分两种情况，利用，，即可求出答案． 此题是二次函数综合题，主要考查了配方法，函数值的确定，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 【详解】（1）解： ， 抛物线的顶点坐标为； （2）解：①， 抛物线的对称轴为， ， 抛物线开口向上， ， 当时，的最小值为， 的最小值是， ， ，， 当时，， 即的最大值为2； ②点，，，在抛物线上， ，， 对于，，都有， ， ， Ⅰ、当时， 由①知，， ，， ， ， 由②知，， ，， ， ， ， 即； Ⅱ、当时， 由得：， ，， ， ， 由知，， ，， ， ， ， 即； 即满足条件的的取值范围为或． 22．(23-24九上·北京房山区·期中)已知二次函数．    (1)求出二次函数图象的对称轴和与轴的交点坐标； (2)在平面直角坐标系中画出图象，请结合图象直接写出时，的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用配方法将二次函数解析式化为顶点式，即可得出对称轴；令，可得代入抛物线解析式，解方程即可得出与轴交点坐标； （2）根据图象与轴的交点坐标，可确定时，的取值范围． 【详解】（1）解：， 二次函数图象的对称轴为：， 当时，， 与轴的交点坐标为； （2）二次函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线， 当时，， 解得：，， 二次函数图象与轴交点坐标为或； 图象如下：    时，自变量的取值范围：． 【点睛】本题考查了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标与抛物线解析式的关系，抛物线的顶点式：，顶点坐标为，对称轴，解题关键是根据数形结合的方法，判断取值范围． 23．(23-24九上·北京燕山·期中)已知抛物线． (1)若，求抛物线的对称轴； (2)若，且抛物线的对称轴在y轴右侧，点，，在抛物线上．若，求b的取值范围． 【答案】(1)直线 (2) 【分析】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是： （1）根据对称轴公式即可求得； （2）根据题意得出，即可得到． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线， ， ， 抛物线的对称轴为直线． （2）当时，抛物线， 抛物线的对称轴为直线， 点，，在抛物线上，且， ， ． 24．(23-24九上·北京通州区·期中)已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标（用含a的代数式表示）； (2)点，在该抛物线上，若，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）把抛物线解析式转化成顶点式即可求解； （2）分类讨论：当时，抛物线开口向上时，当时，抛物线开口向下时，根据点P、Q在对称轴异侧或同侧和二次函数的图象与性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为． （2）解：当时，抛物线开口向上， ①若点P、Q在对称轴异侧， ∵， ∴点P到对称轴的距离大于点Q到对称轴的距离， ∴， ∴， 又∵， ∴此情况不成立， ②若点P、Q在对称轴同侧， 当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴， 当时，抛物线开口向下， ①若点P、Q在对称轴异侧 ∵， ∴点P到对称轴的距离小于点Q到对称轴的距离， ∴， ∴， ∴， ②若点P、Q在对称轴同侧， 当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴与矛盾， ∵此情况不成立， 综上所述，或． 25．(23-24九上·北京昌平区·期中)在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求a的值； (2)求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）； (3)点，，在抛物线上，若，求m的取值范围． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）将点代入抛物线解析式计算即可； （2）结合（1）中的结果，将抛物线解析式化为顶点式即可求解； （3）分两种情况讨论：①当时，可知点，，从左至右分布，根据可得，根据可得，即可求解；②当时，即，即有，可得，与题意不符，舍去. 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴； （2）由（1）得抛物线的表达式为， 即， ∴抛物线的对称轴为； （3）①当时， 可知点，，从左至右分布， 根据可得， ∴， 根据可得， ∴， ∴； ②当时，即， ∵， ∴，不符合题意. 综上，m的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键． 26．(23-24九上·北京门头沟大峪中学·期中)已知抛物线． (1)直接写出抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）； (2)若点，在抛物线上，直接写出a的取值范围； (3)若，，都在抛物线上，是否存在实数m，使得恒成立?若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在， 【分析】（1）由，可得抛物线的顶点坐标为； （2）令，则，解得，或，则二次函数图象与轴的两个交点为，，分当时，，，由，，可知符合要求；当时，，，由，，计算求解即可； （3）由，可知二次函数图象开口向下，当时，随着的增大而增大；当时，随着的增大而减小；由，可知当，且时，即，此时；当，且时，无解； 然后作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：令，则， 解得，或， ∴二次函数图象与轴的两个交点为，， 当时，，， ∵，， ∴符合要求； 当时，，， ∵点，在抛物线上， ∴，， 解得，； 综上，a的取值范围为或； （3）解：存在，； ∵， ∴二次函数图象开口向下， 当时，随着的增大而增大；当时，随着的增大而减小， ∵， ∴当，且时，即，此时； 当，且时，无解； 综上，时，． 【点睛】本题考查了二次函数的顶点坐标，二次函数的图象与性质，不等式组的解集，二次函数与轴的交点．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质． 27．(23-24九上·北京密云区·期中)在平面直角坐标系中，已知点和在二次函数的图象上，设抛物线的对称轴为． (1)当时，求b的值； (2)若，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别求出当和时的函数值，再根据建立关于b的方程即可解决问题； （2）根据，即可求出对称轴的取值范围． 【详解】（1）解：将点和代入二次函数中， 得：， 当时， 则， 解得：； （2）解：，， ， 解得：， 抛物线的对称轴为， ， ， ． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，二次函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握抛物线上的性质是解题的关键． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $