6.4.3第1课时余弦定理导学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6．4.3　第1课时　余弦定理

【课标要求】　1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法.2.会运用余弦定理解决两类基本的三角形问题．

【导学】

学习目标一　余弦定理

　师问：在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，怎样用a，b和C表示c?

生答：

例1 (1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，b＝2，C＝60°，求c.

(2)在△ABC中，已知AB＝，∠B＝45°，求BC.

 

 

 

 

 

 

 

总结：已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．

(1)若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；

(2)若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边．

跟踪训练1　(1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b＝1，c＝3，cos A＝，则a＝(　　)

A．    B．2

C．2    D．

(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝30°，且3a＝b＝12，则

c＝__________．

 

 

 

学习目标二　余弦定理的推论

　师问：在△ABC中，已知三边分别是a，b，c，如何求角A，B，C呢？

生答：

 

例2 (1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝5，b＝4，c＝，则C＝(　　)

A．90°    B．45°

C．60°    D．30°

(2)△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若a2＋b2－c2＝－ab，则角C的大小为(　　)

A．    B．

C．    D．

 

 

总结：(1)利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角．其思路清晰，结果唯一．

(2)若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解．

跟踪训练2　(1)在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足a∶b∶c＝3∶4∶6，则cos A＝(　　)

A．    B．－

C．    D．－

(2)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a2＋c2＝b2＋ac，则B＝________．

 

 

学习目标三　利用余弦定理判断三角形的形状

例3 在△ABC中，若a cos B＋a cos C＝b＋c，试判断该三角形的形状．

 

 

 

(1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思路：

(2)判断三角形的形状时，常用到以下结论：

①△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2；

②△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2＞c2且b2＋c2＞a2且c2＋a2＞b2；

③△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2＜c2或b2＋c2＜a2或c2＋a2＜b2.

跟踪训练3　若在△ABC中，2a·cos B＝c，则三角形的形状一定是(　　)

A．直角三角形    B．等腰三角形

C．等腰直角三角形    D．等边三角形

【导练】

1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝5，b＝2，C＝，则c＝(　　)

A．2    B．

C．    D．

2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝60°，a＝，c＝2，那么b＝(　　)

A．    B．4

C．    D．3

3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a cos B＝b cos A，则△ABC为(　　)