辽宁省大连市大连经济技术开发区第一中学2024届高三下学期高考数学适应性训练（一）

2024年高考数学适应性训练（一） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1. 已知集合，，则的元素个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知随机变量，且，则的最小值为（ ） A. 8 B. 6 C. 24 D. 4 3．已知，则（     ） A． B． C． D． 4. 的展开式中的常数项是（ ） A. B. C. 250 D. 240 5. 截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角而得到．如图，将棱长为6的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面截角得到所有棱长均为2的截角四面体，则该截角四面体的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 一排有8个座位，有3人各不相邻而坐，则不同的坐法共有（ ） A. 120种 B. 60种 C. 40种 D. 20种 7. 数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，动点满足，得到动点的轨迹是阿氏圆.若对任意实数，直线与圆恒有公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知的内角的对边分别为，记的面积为，若，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，，，则（    ） A． B．的实部依次成等比数列 C． D．的虚部依次成等差数列 10. 已知事件满足，，则下列结论正确的是（     ） A. 如果，那么 B. 如果，那么， C. 如果与B互斥，那么 D. 如果与B相互独立，那么 11. 已知函数的部分图象如图所示，，则（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数在上的值域为 C. D. 曲线在处的切线斜率为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等差数列中，，若在数列每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第43项为__________. 13. 已知双曲线的右焦点为，点坐标为，点为双曲线左支上的动点，且的周长不小于18，则双曲线的离心率的取值范围为__________. 14．已知正三棱柱的底面边长为2，以为球心、为半径的球面与底面的交线长为，则三棱柱的表面在球内部分的总面积为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题13分）已知数列满足， （1）求数列的通项公式；（2）令，求使取最大值时的的值.（取） 16.（本小题15分）某校高三有50名学生进行了一场投篮测试，其中男生30人，女生20人．为了了解其投篮成绩，甲、乙两人分别都对全班的学生进行编号号），并以不同的方法进行数据抽样，其中一人用的是系统抽样，另一人用的是分层抽样．若此次投篮测试的成绩大于或等于80分视为优秀，小于80分视为不优秀，如表是甲、乙两人分别抽取的样本数据： 甲抽取的样本数据 编号 2 7 12 17 22 27 32 37 42 47 性别 男 女 男 男 女 男 女 男 女 女 投篮成绩 90 60 75 80 83 85 75 80 70 60 乙抽取的样本数据 编号 1 8 10 20 23 28 33 35 43 48 性别 男 男 男 男 男 男 女 女 女 女 投篮成绩 95 85 85 70 70 80 60 65 70 60 （Ⅰ）在乙抽取的样本中任取3人，记投篮优秀的学生人数为，求的分布列和数学期望． 优秀 非优秀 合计 男 　4　 　 　 　 　 女 　 　 　 　 　 　 合计 　 　 　 　 10 （Ⅱ）请你根据乙抽取的样本数据完成下列列联表，判断是否有以上的把握认为投篮成绩和性别有关？ （Ⅲ）判断甲、乙各用何种抽样方法，并根据（Ⅱ）的结论判断哪种抽样方法更优？说明理由． 下面的临界值表供参考： 0.15 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 （参考公式：，其中 17.（本小题15分）如图，在四棱台中，底而为平行四边形，侧棱平面，，，． （1）证明：； （2）若四棱台的体积为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 18.（本小题17分）已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程； (2)如图，若一条斜率不为0的直线过点与椭圆交于两点，椭圆的左、右顶点分别为，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值． 19.（本小题17分） 微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段.对于函数在区间上的图像连续不断，从几何上看，定积分便是由直线和曲线所围成的区域（称为曲边梯形）的面积，根据微积分基本定理可得，因为曲边梯形的面积小于梯形的面积，即，代入数据，进一步可以推导出不等式：. （1）请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明：； （2）已知函数，其中. （i）证明：对任意两个不相等的正数，曲线在和处的切线均不重合； （ii）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 答案：BAADCACB 9. ABC 10.CD 11.AC 12.13.14. 15.已知数列满足， （1）求数列的通项公式； （2）令，求使取最大值时的的值.（取） 【小问1详解】 由得， ， 所以 ， 所以故等差数列， 所以， 故通项公式为. 【小问2详解】 ，令，则， 所以 ， 当时， 当取2时，， 当时，. 所以当取2时，取最大值. 16.．某校高三4班有50名学生进行了一场投篮测试，其中男生30人，女生20人．为了了解其投篮成绩，甲、乙两人分别都对全班的学生进行编号号），并以不同的方法进行数据抽样，其中一人用的是系统抽样，另一人用的是分层抽样．若此次投篮测试的成绩大于或等于80分视为优秀，小于80分视为不优秀，如表是甲、乙两人分别抽取的样本数据： 甲抽取的样本数据 编号 2 7 12 17 22 27 32 37 42 47 性别 男 女 男 男 女 男 女 男 女 女 投篮成 绩 90 60 75 80 83 85 75 80 70 60 乙抽取的样本数据 编号 1 8 10 20 23 28 33 35 43 48 性别 男 男 男 男 男 男 女 女 女 女 投篮成 绩 95 85 85 70 70 80 60 65 70 60 （Ⅰ）在乙抽取的样本中任取3人，记投篮优秀的学生人数为，求的分布列和数学期望． 优秀 非优秀 合计 男 　4　 　 　 　 　 女 　 　 　 　 　 　 合计 　 　 　 　 10 （Ⅱ）请你根据乙抽取的样本数据完成下列列联表，判断是否有以上的把握认为投篮成绩和性别有关？ （Ⅲ）判断甲、乙各用何种抽样方法，并根据（Ⅱ）的结论判断哪种抽样方法更优？说明理由． 下面的临界值表供参考： 0.15 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 （参考公式：，其中 【解析】解：（Ⅰ）在乙抽取的10个样本中，投篮优秀的学生人数为4， 的取值为0，1，2， 分布列为： 0 1 2 3 （Ⅱ）设投篮成绩与性别无关，由乙抽取的样本数据，得列联表如下： 优秀 非优秀 合计 男 4 2 6 女 0 4 4 合计 4 6 10 （7分） 所以有以上的把握认为投篮成绩与性别有关． （Ⅲ）甲用的是系统抽样，乙用的是分层抽样． 由（Ⅱ）的结论知，投篮成绩与性别有关，并且从样本数据能看出投篮成绩与性别有明显差异，因此采用分层抽样方法比系统抽样方法更优． 17.（15分）如图，在四棱台中，底而为平行四边形，侧棱平面，，，． （1）证明：； （2）若四棱台的体积为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 解：（1）底面为平行四边形， ，． ， 由余弦定理可得：， 则， 侧棱平面，平面， 又平面，平面，且 平面 又平面， （2）四棱台中的体积为 ，解得： 如图，以点为原点，，，所在直线为轴，轴，轴， 建立如图的空间直角坐标系， 则，，， ， 设平面的法向量为， 则有所以 平面的法向量为， 设平面与平面所成锐二面角为 则． 18.已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程； (2)如图，若一条斜率不为0的直线过点与椭圆交于两点，椭圆的左、右顶点分别为，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值． 【详解】（1）由椭圆的离心率为，且点在椭圆上， 可得，所以， 又点在该椭圆上，所以，所以， 所以椭圆C的标准方程为． （2）证明：设，由于该直线斜率不为0，可设， 联立方程和，得， 恒成立，根据韦达定理可知， ，， ，，． 19.（本小题17分） 微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段.对于函数 在区间上的图像连续不断，从几何上看，定积分便是由直线和曲线所围成的区域（称为曲边梯形）的面积，根据微积分基本定理可得，因为曲边梯形的面积小于梯形的面积，即，代入数据，进一步可以推导出不等式：. （1）请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明：； （2）已知函数，其中. （i）证明：对任意两个不相等的正数，曲线在和处的切线均不重合； （ii）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 19.解：（1）在曲线取一点. 过点作的切线分别交于 囚为 即. （2）方法1：由题意得： 不妨设，曲线在处的切线方程为： ，即 同理曲线在处的切线方程为： 假设与重合，则，代入化简可得： 两式消去可得：，得到 由（1）的结论知，与上式矛盾 即：对任意实数及任意不相等的正数与均不重合. 方法2：同方法1得到 设，即 在为增函数，，矛盾. 即：对任意实数及任意不相等的正数与均不重合 （3）即：当时，不等式恒成立， 在恒成立， 下证：当时，恒成立. 因为，所以 设 ①当时，由知恒成立， 即在为增函数，成立； ②当时，设， 由知恒成立，即在为增函数. ，即在为减函数，成立. 综上所述：实数的取值范围是 学科网（北京）股份有限公司 $