第2章 代数式（优质类型）考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年七年级数学上册（湘教版2024）

第2章 代数式思维导图 【类型覆盖】 类型一、绝对值在数轴中的化简 【解惑】在数轴上，表示数x的点的位置如图所示，则化简结果为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴、化简绝对值、有理数的加减、整式的加法，根据数轴得到，，再根据有理数的加减运算法则得到，，进而利用绝对值的性质化简绝对值，然后利用整式的加法求解即可． 【详解】解：由数轴得：，， ∴，， ∴ ， 故选：C． 【融会贯通】 1．三个有理数，，在数轴上表示的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减和去绝对值，根据数轴分别判断，的正负，然后去掉绝对值即可，解题的关键是结合数轴判断绝对值符号里面代数式的正负． 【详解】由数轴可得，，， ∴ ， ， 故选：． 2．数，，在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，化简绝对值，整式的加减计算，先根据数轴上点的位置判断出的符号，再化简绝对值，最后利用整式的加减计算法则化简即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 3．在数轴上，有理数的位置如图所示，则化简的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查利用数轴判断式子符号、化简绝对值及整式加减运算等知识，先由数轴确定，从而得到，，，去绝对值后合并同类项即可得到答案． 【详解】解：如图所示： ， ，，， 则 ， 故答案为：． 类型二、看错问题 【解惑】军军在一次计算中把错写成了，计算结果比原来（   ） A．增加了3 B．减少了3 C．增加了9 D．减少了9 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减运算，根据题意列式求解即可． 【详解】解： ． ∴计算结果比原来增加了9． 故选：C． 【融会贯通】 1．小李把错写成，这两个式子相比较，计算结果相差（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了字母表示数和乘法分配律，字母与数字相乘时，省略乘号，并且把数字放在字母的前面． 根据乘法分配律，将 写成两个乘积的加，即，再与比较即可． 【详解】解： ， 故答案为：B． 2．已知，，均为多项式，小方同学在计算“”时，误将符号抄错而计算成了“”，得到的结果是若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减运算．先根据，求出B，再求出，即可． 【详解】解：根据题意，得 ， ∴ ， 故答案为：． 3．某同学做作业时把代数式化简后的结果错抄成了，抄错后代入的值答案为，正确答案应为，则的值为 ． 【答案】-12 【分析】根据题意，，将两式相减即可 【详解】解:x-y= =-15+3 =-12． 故答案为：． 【点睛】本题考查了代数式的化简求值，确定x、y对应的式子是解题的关键 类型三、程序流程图 【解惑】按如图所示的运算程序，能使输出的结果为18的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式求值，解题关键是理解已知条件中的运算程序．各个选项均先判断，的大小，然后根据运算程序，把，代入相应的代数式进行计算，最后判断即可． 【详解】解：．，即， 输出结果为， 此选项不符合题意； B．，即， 输出结果为， 此选项符合题意； C．，即， 输出结果为， 此选项不符合题意； D．，即， 输出结果为， 此选项不符合题意； 故选：B． 【融会贯通】 1．如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是，…，则第2024次输出的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了程序图与有理数计算的规律性问题，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 先根据数据运算程序计算出前8次的输出结果，再归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：第1次：； 第2次：； 第3次：； 第4次：； 第5次：； 第6次：； 第7次：； 第8次：； …… ∴从第2次开始，每6次一个循环周期， ∴， ∴第2024次输出的结果是， 故选：B． 2．按如图所示程序计算，若输入的整数是，则最终输出的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了程序图． 将代入根据程序进行计算，直到求出的数即可． 【详解】解：输入的整数是， 故答案为： 3．如图是一个运算程序示意图，若开始输入的值为5，则输出值为 ． 【答案】13 【分析】本题考查了代数式求值，读懂运算程序图是解题关键．根据和运算程序图，将代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴若开始输入的值为5，则输出值为， 故答案为：13． 类型四、新定义运算 【解惑】对于任意式子，，定义：．当时，式子的值是（    ） A． B． C．7 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减中的化简求值，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． 根据新定义结合整式的加减计算法则求出的结果，再将代入求值即可． 【详解】解：由题意得： ， 当时， ， 故选：B． 【融会贯通】 1．新定义运算“”如下：，例如，则 的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则、弄清题中的新定义是解本题的关键． 根据题中新定义的规则列式计算即可． 【详解】解： ， 故选：C． 2．新定义： 若定义， 则 ． 【答案】 【分析】本题考查新定义下的运算，有理数的四则运算，掌握知识点是解题的关键． 根据新定义下的运算，有理数的四则运算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 3．对于有理数a，b（a、b均不为0），定义运算如下：，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，代数式求值，理解新定义规则是解题的关键．根据新定义列出算式即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：7． 类型五、阴影周长与面积问题 【解惑】两个正方形如图放置，其中B、C、E在同一条直线上，小正方形的边长为6，连、、，则图中阴影部分的面积为（　  　） A．3 B．6 C．12 D．18 【答案】D 【分析】本题主要考查不规则图形的面积，设大正方形的边长为，根据面积相等列出代数式化简即可． 【详解】解：设大正方形的边长为，则 图中阴影部分的面积为 ， 故选：D． 【融会贯通】 1．如图，把四个长为m，宽为n的小长方形按图①和图②两种方式分别拼在一个大长方形和一个正方形上，其中未被覆盖的部分用阴影部分表示．已知大长方形的宽（竖直边长）与正方形的边长相等，则图①中阴影部分的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减应用，由图示得出阴影部分的长和宽是关键；根据图示，分别列出阴影部分的长和宽，代入周长公式计算即可． 【详解】解：大长方形的宽（竖直边长）与正方形的边长相等， 左上方阴影部分的宽为，长为m， 左上方阴影部分的周长为：， 右下方阴影部分的长为n，宽为， 右下方阴影部分的周长为， ， 故选： C． 2．【组合图形的周长】九天阅阅开宫殿，万国衣冠拜冕旒的盛唐气象，一个繁荣、开放的盛唐社会、借由小姐姐们的舞蹈，惟妙惟肖地展现在我们眼前．如图是河南卫视8号演播厅的舞台，长为2023．通过AI投影四个完全一样的白色小长方形后，得到图1、图2，那么，图1中阴影部分的周长与图2中阴影部分的周长的差是 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 根据题意，可以设每个小长方形的长为x，宽为y，大长方形长为a，宽为b，然后根据图形，可以得到x、y与a、b的关系，然后再根据图形可以写出图①中阴影部分的周长与图②中阴影部分的周长的差的代数式，然后化简即可． 【详解】解：设每个小长方形的长为x，宽为y，大长方形长为a，宽为b， 由图①可得，，得， 由图②可得，，，得，， 则图①中阴影部分的周长与图②中阴影部分的周长的差是： ， ∵， ∴原式， 河南卫视8号演播厅的舞台，长为2023，即， 所以图1中阴影部分的周长与图2中阴影部分的H长的差是 故答案为：． 3．如图，在一个长为，宽为的长方形内剪去两个半径为的扇形，则阴影部分的面积为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式，解题的关键是理解题意，熟练掌握圆的面积公式．用长方形面积减去一个半圆的面积，即可得出答案． 【详解】解：阴影部分的面积为： ． 故答案为：． 类型六、操作问题 【解惑】对于依次排列的整式，对任意相邻的两个整式求和，所得结果写在这两个整式之间，可以产生一列新的整式，称此为1次“合美操作”．例如：对于9，2进行1次“合美操作”得到9，11，2；对于9，2连续进行2次“合美操作”得到9，18，11，13，2；对于依次排列的5个整式，，，，，连续进行次“合美操作”后得到一列新的整式，关于所得的一列新的整式，下列说法： ①当时，这一列新的整式中共有17个整式； ②当时，这一列新的整式中有一个整式为； ③存在正整数，使得这一列新的整式中所有整式之和为； 其中正确的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查定义新运算．根据给定的“合美操作”的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：①当时，，，，，，，，，，共个整式； 当时，，，，，，，，，，，，，，，，，，共个整式，①正确； ②类比时，整式里有：，，，， 可知：当时，这一列新的整式中有一个整式为，②正确； ③当时，所有整式和： ， 当时，所有整式和： 整理得：， 由题意得：， 解得， ∴存在正整数，使得这一列新的整式中所有整式之和为；③正确； 综上，①②③都正确； 故选：D． 【融会贯通】 1．有依次排列的2个整式：，，对任意相邻的两个整式，都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：，2，，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串；以此类推．通过实际操作，3个同学分别得出一个结论： 小琴：第二次操作后整式串为：，，2，，； 小书：第三次操作后整式串中共有9个整式； 小画：第2022次操作后，所有的整式的和为； 3个结论正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，规律探究，掌握整式的加减运算法则是解题的关键．根据整式的加减运算法则进行计算即可解答． 【详解】解：∵第一次操作后的整式串：，，， ∴第二次操作后的整式串：，，，，； 故小琴的结论正确； 第三次操作后整式串为：，，，，，，，，，共个式子， 故小书结论正确； ∵第一次操作后的整式的和为：； 第二次操作后的整式的和为：； 第三次操作后的整式的和为：， 第n次操作后的整式的和为：， ∴第次操作后，所有的整式的和为：； 故小画的结论正确； 综上分析可知，正确的结论有：3个； 故选：C． 2．对于一个多项式，任意选择其中两项的系数，变成其相反数后再交换它们的位置，称为“换系数操作”． 例如，对进行“换系数操作”后，所有可能的结果为，，，则将展开得到多项式，对它进行“换系数操作”后的所有多项式的常数项和为 ． 【答案】 【分析】当时，展开得到多项式的各项系数和为，常数项为，则，然后用每一项与其后面的项进行“换系数操作”，得出多项式的常数项求解即可． 【详解】解：∵将展开得到多项式， 即，且， 当时，得：， ∴， 选择与其余各项进行“换系数操作”，所得多项式的常数项分别为，，，，，，，，即个和， 选择与剩余其余各项进行“换系数操作”，所得多项式的常数项分别为，，，，，，，即个和， 选择与剩余其余各项进行“换系数操作”，所得多项式的常数项分别为，，，，，，即个和， …… 选择与剩余其余各项进行“换系数操作”，所得多项式的常数项分别为，，即个和， 选择与剩余其余各项进行“换系数操作”，所得多项式的常数项为， ∴“换系数操作”的所有多项式的常数项和为： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查新定义，多项式的系数，求代数式的值等知识，解题的关键是理解新定义． 3．小瑞同学打开一盒全新的扑克牌，里面有54张普通牌和一张广告牌．他要用这些牌玩一个游戏，先将所有的牌随机分成五堆，清点后分别为6张，11张，16张，13张，9张，将每堆牌的张数由小到大排序后用有序数组记为（6，9，11，13，16）．接下来开始进行第一次操作：从每堆牌中分别抽取一张，抽出的牌组成新的一堆牌，这时将每堆牌的张数由小到大进行排序，记录下新的有序数组（若在某次操作中某一堆牌抽取后剩余牌的张数为0时，此时0不写入该有序数组，该堆自动消失）．重复上述方法进行第二次操作，第三次操作…… （1）写出第二次操作后记录的有序数组 ； （2）经过若干次这样的操作后，小瑞同学发现记录的有序数组不再发生变化，这时的牌有 堆． 【答案】 （4，4，6，7，9，11，14） 10 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据所给操作方式依次写出所得有序数组并发现规律是解题的关键． （1）根据所给操作方法，写出第二次操作后的记录即可解决问题． （2）根据所给操作方法，依次写出所得有序数组，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 第一次操作后的有序数组为（5，5，8，10，12，15）； 第二次操作后的有序数组为（4，4，6，7，9，11，14）； 第三次操作后的有序数组为（3，3，5，6，7，8，10，13）； 第四次操作后的有序数组为（2，2，4，5，6，7，8，9，12）； 第五次操作后的有序数组为（1，1，3，4，5，6，7，8，9，11）； 第六次操作后的有序数组为（2，3，4，5，6，7，8，10，10）； ， （2，3，4，5，6，7，8，9，11）； （1，2，3，4，5，6，7，8，9，10）； （1，2，3，4，5，6，7，8，9，10）； ， 所以当有序数组不再变化时，这时牌有10堆． 故答案为：（4，4，6，7，9，11，14）；10． 类型七、整除问题 【解惑】为了研究哪些三位数能被11整除，小安用由特殊到一般的思想进行研究，发现以下三位数能被11整除：121，253，374，385，… (1)请再写一个能被11整除的三位数：_______； (2)设是一个三位数，且a，c均为不大于5的整数．请探索当a，b，c满足什么数量关系时，这个三位数能被11整除？并说明理由． 【答案】(1)132；（答案不唯一） (2)当时，能被11整除，见解析 【分析】本题主要考查了数字规律、整式的四则混合运算等知识点，理解题意、归纳规律成为解题的关键． （1）根据题意模仿写出符合条件的数字即可； （2）根据题意可得并进行推导即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，当三位数中百位数字与个位数字的和等于十位数字时能被11整除的规律可得，如：121符合条件（答案不唯一）． 故答案为：121（答案不唯一）． （2）解：当时，能被11整除，理由如下： ∵ ∴能被11整除， ∴当时，能被11整除． 【融会贯通】 1．一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被整除，那么这个自然数就能被整除．请你说出其中的道理． 解：先来看两位数的情形． 设一个两位数的十位、个位上的数字分别为，则通常记这个两位数为．于是 显然能被整除，因此，如果能被整除，那么就能被整除，即能被整除． 请你用类似的方法表示三位数，并说明前面结论的道理． 【答案】见解析 【分析】本题考查了代数式的应用，根据题例解答即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：设一个三位数的个位、十位、百位上的数字分别为，则通常记这个三位数为， 于是， 显然能被整除，因此，如果能被整除，那么就能被整除， 即能被整除． 2．综合与实践 【问题背景】在小学，我们知道像12，27，36，45，108，…… 这样的自然数能被3整除．一般的，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．我们可以论证这个结论的正确性．以三位数为例，设是一个三位数，若可以被3整除，则这个数可以被3整除．论证过程如下：，显然能被3整除，因此，如果可以被3整除，那么就能被3整除． 【拓展探究】小聪在学习完课本上的数学活动后，对数的整除很感兴趣， 于是自己研究了被7整除的数的特征，先从两位数开始研究： 两位数 十位数字 个位数字 10位数字减个位数字的2倍 14 1 4 21 2 1 28 2 8 35 3 5 … … … … 98 9 8 他发现如果一个两位数的十位数字减去个位数字的2倍得到的结果是7的倍数，那么这个两位数就能被7整除． (1)请你仿照问题背景中的代数推理方法验证小聪发现的结论； (2)小聪继续探究发现他得到的结论可以推广到任意正整数：假设该正整数的个位数字是，除个位数字外的部分用表示，推理过程与上面相同，依然能得到当是7的倍数时，原数能被7整除，并且该结论反之亦成立．请按照小聪推广后的结论解决下列问题： ①判断7938是否能被7整除（要求写出判断过程）； ②若一个正数能被7整除，的最后四位数为3025，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)①7938能被7整除；②的最小值为53025 【分析】本题考查了有理数运算和整式的加减应用： （1）设这个两位数十位数字是，个位数字是，表示出这个两位数，利用整式加减法凑出7的倍数，再根据余下部分是7的倍数即可解答； （2）①根据结论可得，即可判断；②设，根据能被7整除，得到是7的倍数，再将变形为，即可得到是7的倍数，进而求得m的最小值． 【详解】（1）解：设这个两位数十位数字是，个位数字是， 则该两位数是， ， ∵是7的倍数，3不能被7整除， ∴当是7的倍数时，原两位数是7的倍数； （2）解：①∵，显然，777能被7整除 ∴是7的倍数， ∴7938能被7整除； ②设， ∵能被7整除， ∴是7的倍数， 即是7的倍数， ∵， ∴是7的倍数，. ∵是正整数， ∴的最小值为5， ∴的最小值为53025． 3．小红上小学时得知“一个数的各个数字之和能被3整除，那么这个数就能被3整除”，她后来做了如下分析： 小红的分析： ， 为整数，为整数， 能被整除，能被整除， 能被3整除． (1)仿照小红的方法说明能被整除； (2)设是一个三位数，分别为对应数位上的数字，请说明“若能被9整除，则这个数可以被9整除”． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了有理数、整式加减混合运算； （1）仿照例题进行计算即可． （2）根据整式加减法则，仿照例题进行计算即可． 【详解】（1）解：， 为整数，为整数， 能被整除，能被整除， 能被3整除． （2）解：∵ ∵能被整除， ∴若能被9整除，则这个数可以被9整除． 类型八、规律问题 【解惑】（1）观察下列等式，探究其中的规律． ………… 你能归纳出： （2）观察下列等式． ………… 你能推出： 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据题意，得 故，解答即可． （2）根据等式特点，裂项相消计算即可． 本题考查了规律的探索，错位相消计算，熟练掌握规律探索是解题的关键． 【详解】解：（1）根据题意，得 故， 故答案为：． （2）解：， ， ， ………… ， 故 ， 故答案为：． 【融会贯通】 1．阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题，经过研究，他得出这个问题的一般性结论是：，其中是正整数，现在我们一起来研究一个类似问题：观察下面三个特殊的等式： ①；②；③； 把①、②、③三个等式相加，于是． 阅读以上材料，请你解答以下问题： (1)___________． (2)根据以上观察，聪明的你发现___________． (3)根据发现的规律并用转化的数学思想计算： 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查数字的变化规律，有理数的混合运算，能够通过所给式子，探索出式子的规律是解题的关键． （1）仿照题中的例子进行求解即可； （2）仿照题中的例子进行求解即可； （3）将原式转化为，再进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：； （3）解： ． 2．某会议中心购买了一批长方形会议桌，每张会议桌的长边可以坐2个人，短边只能坐1个人，按照如图所示的规律拼摆会议桌，能够得到不同型号的大桌子． (1)型号4的大桌子可以坐人； (2)现在有70人参会，最小用型号多少(具体数字)的大桌子可以全部坐下？ 【答案】(1)24 (2)最小用型号16 【分析】本题考查图形的规律探究，找到规律是解题的关键． (1)根据图形中的数量关系即可求解； (2)将代入，解方程即可． 【详解】（1）解：型号1：长可坐，宽可坐3，总共坐了：(人)， 型号2：长可坐，宽可坐3，总共坐了：(人)， 型号3：长可坐，宽可坐3，总共坐了：(人)， ∴型号4可以坐：(人)． （2）由题意得，， 整理得，， 解得， ∵n为整数， ∴最小用型号16． 3．花卉市场为了扩大花卉销售量，举行花卉展销活动，将花摆成下表中所示的各种图案，以吸引顾客，并把每盆花的单价标在图案下面（每种图案的花一次性出售）． 图案                … 每盆的价格（单位：元） 5 4.8 4.6 4.4 4.2 … 请你根据以上表中的规律，解答下列问题： (1)填表： 图案 第1种 第2种 第3种 第4种 第5种 …… 第8种 …… 第n种 盆数 …… …… (2)第n种花每盆的价格是多少元？（用含n的代数式表示） (3)第18种花的总价是多少元？ 【答案】(1)见解析 (2)元 (3)元 【分析】本题考查了图形规律的探索，一元一次方程的应用等知识，找到规律是解题的关键． （1）分别求出第1种到第5种图案需要的花卉的盆数，即可求解； （2）分别求出第1种到第5种图案中每盆花卉的价格，即可求解； （3）根据（1）（2）所求得到规律，即可求解． 【详解】（1） 解：第1种图案需要花卉的盆数为， 第2种图案需要花卉的盆数为， 第3种图案需要花卉的盆数为， 第4种图案需要花卉的盆数为， 第5种图案需要花卉的盆数为， …… 第8种图案需要花卉的盆数为， 第n种图案需要花卉的盆数为， 故填表如下∶ 图案 第1种 第2种 第3种 第4种 第5种 …… 第8种 …… 第n种 盆数 1 4 7 10 13 …… 22 …… （2）解：第1种每盆花卉的价格是5元 第2种每盆花卉的价格是（元） 第3种每盆花卉的价格是（元） 第4种每盆花卉的价格是（元） 第5种每盆花卉的价格是（元） …… 第n种每盆花卉的价格是元； （3）解：当时，需要花卉的盆数为，每盆花卉的价格元， ∴第18种花的总价是元． 类型九、整体思想 【解惑】数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要．例如：已知，，则代数式．请你根据以上材料解答以下问题： (1)若，则 ； (2)已知，求代数式的值； 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了整式的化简求值和代数式求值，解题关键是熟练掌握利用整体代入求值的方法求代数式的值． （）把所求代数式的后两项先变形为，再把代入进行计算即可； （）把所求代数式先变形为，再把代入进行计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ， ∵， ∴原式 ． 【融会贯通】 1．阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，在多项式的化简与求值中应用广泛． (1)把看成一个整体，化简代数式的结果是 ； (2)已知，则的值是 ； (3)已知，则的值是 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式的加减，运用整体思想并熟练掌握整式运算中的相关运算法则是解题的关键． （1）把看作一个整体，合并即可得到结果； （2）原式前两项提取3变形后，将已知整式的值代入计算即可求解； （3）由已知得到①，②，再计算即可求出值． 【详解】（1）解：把看成一个整体， ； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵，， ∴①，②， 得，， ∴． 2．阅读：我们知道，，类似地，我们也可以将看成一个整体，则请根据上面的提示和范例，解决下面的问题： (1)把看成一个整体，则将合并的结果为______； (2)已知，求的值； (3)已知，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了合并同类项，代数式求值，去括号和添括号： （1）根据合并同类项的计算法则求解即可； （2）根据，利用整体代入法求解即可； （3）把所求式子去括号，变形为，利用整体代入法求解即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 当时，原式； （3）解：原式 当，，时， 原式． 3．阅读材料，解决问题． 以下是人教版七年级上册数学教材 109 页的部分内容．把看作一个整体，对下列各式进行化简：．“整体思想”是中学数学解题一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)把 看成一个整体，求将合并的结果； (2)已知 求的值； (3)已知，，．求的值． 【答案】(1) (2) (3)8 【分析】本题考查了整式的加减-化简求值，代数式求值，掌握整式的加减-化简求值的运算法则以及整体代入思想是关键． （1）把看成一个整体，根据乘法分配律的逆运算，即可进行化简； （2）把变形为把看成一个整体，再代入值计算即可； （3）根据，，计算出，再整体代入计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵ ∴ ； （3）解：∵，，， ∴ ∴． 类型十、新定义应用 【解惑】定义：若，则称、是“海春轩数”．例如：，因此和是一组“海春轩数”． (1)与_______是一组“海春轩数”； (2)若、是一组“海春轩数”，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据新定义解答即可； （）由新定义得，再代入化简即可； 本题考查了新定义运算，代数式求值，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴与是一组“海春轩数”， 故答案为：； （2）解：∵、是一组“海春轩数”， ∴， ∴． 【融会贯通】 1．定义：若，则称与是关于2的“平衡数”． (1)5与___________是关于2的“平衡数”，与___________是关于2的“平衡数”；（用含的代数式表示） (2)若，判断与是否是关于2的“平衡数”，并说明理由． 【答案】(1)； (2) 与 是关于 2 的平衡数，见解析 【分析】此题考查了新定义，整式的加减，解题的关键是能根据题目定义列式并计算． （1）根据关于2的平衡数的定义列式计算即可； （2）通过计算的计算结果即可进行判断． 【详解】（1）解：∵， ∴， 由题意得，， ； 故答案为：； （2）解：与是关于2的“平衡数”，理由如下： ∵ ， ∴a与b是关于2的平衡数． 2． 定义：若，则称a与b是关于2的平衡数． (1)3与__________是关于2的平衡数，与__________（填一个含x的式子）是关于2的平衡数； (2)若，判断a与b是不是关于2的平衡数，并说明理由； (3)若，且c与d是关于2的平衡数，x为正整数，求非负整数k的值． 【答案】(1)， (2)a与b是关于2的平衡数，理由见解析 (3)非负整数k的值为0或1或3 【分析】本题考查整式的加减，解一元一次方程，解题的关键读懂“关于2的平衡数”的定义． （1）根据“关于2的平衡数”定义列式计算即可； （2）求出根据整式的加减计算法则求出，再根据“关于2的平衡数”的定义判断； （3）根据已知列出方程，由x为正整数即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴3与是关于2的平衡数． ∵， ∴与是关于2的平衡数； （2）解：a与b是关于2的平衡数，理由如下： ∵， ∴ ， ∴a与b是关于2的平衡数； （3）解：∵c与d是关于2的平衡数， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵x为正整数，k为非负整数， ∴当时，，解得， 当时，，解得， 当时，，解得， ∴非负整数k的值为0或1或3． 3．定义：已知，为关于x的多项式，若，其中k为大于0的常数，则称M是N的“友好式”，k叫做M关于N的“友好值”．例如：，，，则称是的“友好式”，关于的“友好值”为．又如，，，，x不是大于的常数，则称不是N的“友好式”． (1)已知，，则是的“友好式”吗？若是，请证明并求出关于的“友好值”；若不是，请说明理由； (2)已知，，若M是N的“友好式”，且“友好值”为，求m，n的值． 【答案】(1)是，证明见解析； (2)，． 【分析】本题考查了整式的加减运算的新定义，解题的关键是读懂题意，熟练掌握新定义，利用新定义解决问题． （1）读懂题意，利用新定义计算并判断； （2）利用新定义列等式求出、的值． 【详解】（1）解： ， ， ∴不符合定义， ∴不是的”友好式“； （2）解： ∵是的“友好式”， ∴，， ∴， ∴， ，． 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 代数式思维导图 【类型覆盖】 类型一、绝对值在数轴中的化简 【解惑】在数轴上，表示数x的点的位置如图所示，则化简结果为（   ） A．2 B． C． D． 【融会贯通】 1．三个有理数，，在数轴上表示的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 2．数，，在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是 ． 3．在数轴上，有理数的位置如图所示，则化简的结果为 ． 类型二、看错问题 【解惑】军军在一次计算中把错写成了，计算结果比原来（   ） A．增加了3 B．减少了3 C．增加了9 D．减少了9 【融会贯通】 1．小李把错写成，这两个式子相比较，计算结果相差（   ） A． B． C． D． 2．已知，，均为多项式，小方同学在计算“”时，误将符号抄错而计算成了“”，得到的结果是若，，则 ． 3．某同学做作业时把代数式化简后的结果错抄成了，抄错后代入的值答案为，正确答案应为，则的值为 ． 类型三、程序流程图 【解惑】按如图所示的运算程序，能使输出的结果为18的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【融会贯通】 1．如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是，…，则第2024次输出的结果是（   ） A． B． C． D． 2．按如图所示程序计算，若输入的整数是，则最终输出的结果为 ． 3．如图是一个运算程序示意图，若开始输入的值为5，则输出值为 ． 类型四、新定义运算 【解惑】对于任意式子，，定义：．当时，式子的值是（    ） A． B． C．7 D．9 【融会贯通】 1．新定义运算“”如下：，例如，则 的结果是（     ） A． B． C． D． 2．新定义： 若定义， 则 ． 3．对于有理数a，b（a、b均不为0），定义运算如下：，则 ． 类型五、阴影周长与面积问题 【解惑】两个正方形如图放置，其中B、C、E在同一条直线上，小正方形的边长为6，连、、，则图中阴影部分的面积为（　  　） A．3 B．6 C．12 D．18 【融会贯通】 1．如图，把四个长为m，宽为n的小长方形按图①和图②两种方式分别拼在一个大长方形和一个正方形上，其中未被覆盖的部分用阴影部分表示．已知大长方形的宽（竖直边长）与正方形的边长相等，则图①中阴影部分的周长为（　　） A． B． C． D． 2．【组合图形的周长】九天阅阅开宫殿，万国衣冠拜冕旒的盛唐气象，一个繁荣、开放的盛唐社会、借由小姐姐们的舞蹈，惟妙惟肖地展现在我们眼前．如图是河南卫视8号演播厅的舞台，长为2023．通过AI投影四个完全一样的白色小长方形后，得到图1、图2，那么，图1中阴影部分的周长与图2中阴影部分的周长的差是 ． 3．如图，在一个长为，宽为的长方形内剪去两个半径为的扇形，则阴影部分的面积为 ．    类型六、操作问题 【解惑】对于依次排列的整式，对任意相邻的两个整式求和，所得结果写在这两个整式之间，可以产生一列新的整式，称此为1次“合美操作”．例如：对于9，2进行1次“合美操作”得到9，11，2；对于9，2连续进行2次“合美操作”得到9，18，11，13，2；对于依次排列的5个整式，，，，，连续进行次“合美操作”后得到一列新的整式，关于所得的一列新的整式，下列说法： ①当时，这一列新的整式中共有17个整式； ②当时，这一列新的整式中有一个整式为； ③存在正整数，使得这一列新的整式中所有整式之和为； 其中正确的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【融会贯通】 1．有依次排列的2个整式：，，对任意相邻的两个整式，都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：，2，，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串；以此类推．通过实际操作，3个同学分别得出一个结论： 小琴：第二次操作后整式串为：，，2，，； 小书：第三次操作后整式串中共有9个整式； 小画：第2022次操作后，所有的整式的和为； 3个结论正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．0 2．对于一个多项式，任意选择其中两项的系数，变成其相反数后再交换它们的位置，称为“换系数操作”． 例如，对进行“换系数操作”后，所有可能的结果为，，，则将展开得到多项式，对它进行“换系数操作”后的所有多项式的常数项和为 ． 3．小瑞同学打开一盒全新的扑克牌，里面有54张普通牌和一张广告牌．他要用这些牌玩一个游戏，先将所有的牌随机分成五堆，清点后分别为6张，11张，16张，13张，9张，将每堆牌的张数由小到大排序后用有序数组记为（6，9，11，13，16）．接下来开始进行第一次操作：从每堆牌中分别抽取一张，抽出的牌组成新的一堆牌，这时将每堆牌的张数由小到大进行排序，记录下新的有序数组（若在某次操作中某一堆牌抽取后剩余牌的张数为0时，此时0不写入该有序数组，该堆自动消失）．重复上述方法进行第二次操作，第三次操作…… （1）写出第二次操作后记录的有序数组 ； （2）经过若干次这样的操作后，小瑞同学发现记录的有序数组不再发生变化，这时的牌有 堆． 类型七、整除问题 【解惑】为了研究哪些三位数能被11整除，小安用由特殊到一般的思想进行研究，发现以下三位数能被11整除：121，253，374，385，… (1)请再写一个能被11整除的三位数：_______； (2)设是一个三位数，且a，c均为不大于5的整数．请探索当a，b，c满足什么数量关系时，这个三位数能被11整除？并说明理由． 【融会贯通】 1．一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被整除，那么这个自然数就能被整除．请你说出其中的道理． 解：先来看两位数的情形． 设一个两位数的十位、个位上的数字分别为，则通常记这个两位数为．于是 显然能被整除，因此，如果能被整除，那么就能被整除，即能被整除． 请你用类似的方法表示三位数，并说明前面结论的道理． 2．综合与实践 【问题背景】在小学，我们知道像12，27，36，45，108，…… 这样的自然数能被3整除．一般的，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．我们可以论证这个结论的正确性．以三位数为例，设是一个三位数，若可以被3整除，则这个数可以被3整除．论证过程如下：，显然能被3整除，因此，如果可以被3整除，那么就能被3整除． 【拓展探究】小聪在学习完课本上的数学活动后，对数的整除很感兴趣， 于是自己研究了被7整除的数的特征，先从两位数开始研究： 两位数 十位数字 个位数字 10位数字减个位数字的2倍 14 1 4 21 2 1 28 2 8 35 3 5 … … … … 98 9 8 他发现如果一个两位数的十位数字减去个位数字的2倍得到的结果是7的倍数，那么这个两位数就能被7整除． (1)请你仿照问题背景中的代数推理方法验证小聪发现的结论； (2)小聪继续探究发现他得到的结论可以推广到任意正整数：假设该正整数的个位数字是，除个位数字外的部分用表示，推理过程与上面相同，依然能得到当是7的倍数时，原数能被7整除，并且该结论反之亦成立．请按照小聪推广后的结论解决下列问题： ①判断7938是否能被7整除（要求写出判断过程）； ②若一个正数能被7整除，的最后四位数为3025，求的最小值． 3．小红上小学时得知“一个数的各个数字之和能被3整除，那么这个数就能被3整除”，她后来做了如下分析： 小红的分析： ， 为整数，为整数， 能被整除，能被整除， 能被3整除． (1)仿照小红的方法说明能被整除； (2)设是一个三位数，分别为对应数位上的数字，请说明“若能被9整除，则这个数可以被9整除”． 类型八、规律问题 【解惑】（1）观察下列等式，探究其中的规律． ………… 你能归纳出： （2）观察下列等式． ………… 你能推出： 【融会贯通】 1．阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题，经过研究，他得出这个问题的一般性结论是：，其中是正整数，现在我们一起来研究一个类似问题：观察下面三个特殊的等式： ①；②；③； 把①、②、③三个等式相加，于是． 阅读以上材料，请你解答以下问题： (1)___________． (2)根据以上观察，聪明的你发现___________． (3)根据发现的规律并用转化的数学思想计算： 2．某会议中心购买了一批长方形会议桌，每张会议桌的长边可以坐2个人，短边只能坐1个人，按照如图所示的规律拼摆会议桌，能够得到不同型号的大桌子． (1)型号4的大桌子可以坐人； (2)现在有70人参会，最小用型号多少(具体数字)的大桌子可以全部坐下？ 3．花卉市场为了扩大花卉销售量，举行花卉展销活动，将花摆成下表中所示的各种图案，以吸引顾客，并把每盆花的单价标在图案下面（每种图案的花一次性出售）． 图案                … 每盆的价格（单位：元） 5 4.8 4.6 4.4 4.2 … 请你根据以上表中的规律，解答下列问题： (1)填表： 图案 第1种 第2种 第3种 第4种 第5种 …… 第8种 …… 第n种 盆数 …… …… (2)第n种花每盆的价格是多少元？（用含n的代数式表示） (3)第18种花的总价是多少元？ 类型九、整体思想 【解惑】数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要．例如：已知，，则代数式．请你根据以上材料解答以下问题： (1)若，则 ； (2)已知，求代数式的值； 【融会贯通】 1．阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，在多项式的化简与求值中应用广泛． (1)把看成一个整体，化简代数式的结果是 ； (2)已知，则的值是 ； (3)已知，则的值是 ． 2．阅读：我们知道，，类似地，我们也可以将看成一个整体，则请根据上面的提示和范例，解决下面的问题： (1)把看成一个整体，则将合并的结果为______； (2)已知，求的值； (3)已知，，，求的值． 3．阅读材料，解决问题． 以下是人教版七年级上册数学教材 109 页的部分内容．把看作一个整体，对下列各式进行化简：．“整体思想”是中学数学解题一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)把 看成一个整体，求将合并的结果； (2)已知 求的值； (3)已知，，．求的值． 类型十、新定义应用 【解惑】定义：若，则称、是“海春轩数”．例如：，因此和是一组“海春轩数”． (1)与_______是一组“海春轩数”； (2)若、是一组“海春轩数”，求代数式的值． 【融会贯通】 1．定义：若，则称与是关于2的“平衡数”． (1)5与___________是关于2的“平衡数”，与___________是关于2的“平衡数”；（用含的代数式表示） (2)若，判断与是否是关于2的“平衡数”，并说明理由． 2． 定义：若，则称a与b是关于2的平衡数． (1)3与__________是关于2的平衡数，与__________（填一个含x的式子）是关于2的平衡数； (2)若，判断a与b是不是关于2的平衡数，并说明理由； (3)若，且c与d是关于2的平衡数，x为正整数，求非负整数k的值． 3．定义：已知，为关于x的多项式，若，其中k为大于0的常数，则称M是N的“友好式”，k叫做M关于N的“友好值”．例如：，，，则称是的“友好式”，关于的“友好值”为．又如，，，，x不是大于的常数，则称不是N的“友好式”． (1)已知，，则是的“友好式”吗？若是，请证明并求出关于的“友好值”；若不是，请说明理由； (2)已知，，若M是N的“友好式”，且“友好值”为，求m，n的值． 6 学科网（北京）股份有限公司 $