2.1—2.2 代数式的概念和列代数式 代数式的值 考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年七年级数学上册（湘教版2024）

2.1—2.2 代数式的概念和列代数式 代数式的值 一、代数式的概念 （1）定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子，单独的一个数或一个字母也是代数式。 （2）书写规范： 数字与字母相乘时，“×”通常省略不写，数字写在字母前。 字母与字母相乘时，“×”省略或用“·”表示。 带分数与字母相乘时，带分数需化为假分数。 除法运算写成分数形式，分数线代替除号。 含单位的加减运算需用括号括起代数式。 （3）注意事项： 含“=”“<”“>”“≤”“≥”“≠”的式子不是代数式。 同一问题中，相同字母表示相同量，不同量用不同字母表示。 二、列代数式 （1）定义：将实际问题中的数量关系用含数字、字母和运算符号的式子表示。 （2）常用方法： 抓关键性词语：如“和”“差”“积”“商”“倍”等，明确数量关系。 确定运算顺序：按“先读先写”原则列式，如“a与b的和与c的积”列式为(a+b)c。 分段处理复杂问题：浓缩原题，分步处理后组装。 正确使用括号：先小括号，后中括号，再大括号。 三、代数式的值 （1）定义：将代数式中的字母用具体数值代入，计算后所得结果称为代数式的值。 （2）求值步骤： 代入：用数值代替代数式中的字母，将字母式转化为数字式。 计算：按代数式指明的运算顺序计算结果。 （3）注意事项： 代入数值时“对号入座”，避免代错字母。 代数式非最简形式时，先化简再代入。 代数式中省略的乘号，代入时需补上。 数值需使代数式和实际数量有意义。 巩固课内例1:用字母表示数——和差倍分问题 1．四年级同学参加兴趣小组，其中参加绘画小组的有a人，比参加书法小组的2倍少4，参加书法小组的有多少人？正确的算式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查列代数式：参加书法人数参加绘画的人数，不要写成了．由题意可知书法小组人数=（参加绘画的人数，依此列出算式即可作出选择． 【详解】解：根据题意，书法小组的人数为， 故选：C． 2．一个足球m元，一个篮球n元，则买6个足球和3个篮球共需 元． 【答案】/ 【分析】本题考查列代数式解决实际问题．根据总费用等于足球的费用加上篮球的费用，列出代数式即可． 【详解】解：一个足球元，一个篮球元，则：买6个足球需要元，买3个篮球需要元， ∴买6个足球和3个篮球共需要：元； 故答案为：． 3．用代数式表示： (1)的3倍与的和； (2)与两数和的平方减去它们的积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式的知识，列代数式的关键是正确理解文字语言中的关键词，比如该题中的“倍”、“和”等，从而明确其中的运算关系，正确地列出代数式． （1）m的3倍是，然后表示出它与n的和； （2）先求和的平方、积，后求差． 【详解】（1）解：根据题意得：； （2）解：根据题意得： 巩固课内例2:用字母表示数——数字问题 1．一个两位数，在它的左边加上一个数字变成三位数，则这个三位数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数的表示法解答即可． 本题考查列代数式，熟练掌握代数式的表示方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得这个三位数是， 故选：D． 2．一个两位数，十位数字是x，个位数字比十位数字大3，请用含x的代数式表示这个两位数为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了列代数式，先表示出个位上的数字，再根据数的表示列式计算即可得解． 【详解】解：根据题意，个位上的数字是， 所以，． 故答案为：． 3．用代数式表示下列各小题． (1)边长为的正方形的周长； (2)若n表示任意一个整数，用含n的代数式表示能被5整除的整数； (3)一个两位数的个位上的数字为m，十位上的数字为n，用含m，n的代数式表示这个两位数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了列代数式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据正方形的周长公式即可列代数式； （2）根据能被5整除的整数特征即可列代数式； （3）根据十位上的数字乘以10，个位上数字乘以1，然后把得到的数加起来，即为所表示的是两位数． 【详解】（1）解：由题意得，边长为的正方形的周长为：； （2）解：由题意得，能被5整除的整数为：； （3）解：由题意得，这个两位数为：． 巩固课内例3:用字母表示数——行程问题 1．某人骑自行车小时走了，若步行，则比骑自行车多用小时，那么骑自行车每小时比步行多走（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查列代数式，解答的关键是理解清楚题意，找到相应的等量关系． 根据速度路程时间，结合题中的条件即可求解． 【详解】解：由题意得： ， 故选：B． 2．一辆汽车行驶a千米用b小时，它的平均车速为 千米/小时；一列火车行驶a千米比这辆汽车少用1小时，它的平均车速为 千米/小时． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式表示数量关系，根据“速度路程时间”，即可用式子表示出行驶的平均车速． 【详解】解：根据题意，汽车行驶a千米用b小时，它的平均车速为千米/小时； 一列火车行驶a千米，行驶时间为小时，它的平均车速为千米/小时， 故答案为：，． 3．甲、乙两地相距，汽车从甲地到乙地以每小时行驶的速度行驶，可按时到达，若每小时多行驶，则汽车可提前几小时到达？ 【答案】汽车可提前小时到达 【分析】本题考查列代数式,提前的时间=原计划所用时间-实际所用时间，把相关数值代入即可． 【详解】解：原计划所用时间为， 实际所用时间为， 故实际比计划提前到达． 答：汽车可提前小时到达． 巩固课内例4:用字母表示数——气温和分配问题 1．某地区夏季高山上的气温从山脚处开始每升高降低．如果山脚处的气温为，那么比山脚高处的气温为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，解题的关键是理解题意，列出代数式． 根据每升高降低列式即可． 【详解】∵山脚处的气温为，每升高降低 ∴比山脚高处的气温为． 故选：C． 2．某地区夏季高山上的气温从山脚处开始每升高100米降低．如果山脚处的气温为，那么比山脚高300米处的气温为 ；一般地，比山脚高米处的气温为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算的实际应用，列代数式，用山脚处的气温减去因为高度上升而降低的温度即可得到答案． 【详解】解：根据题意可知，比山脚高300米处的气温为； 一般地，比山脚高米处的气温为 故答案为：；． 3．在甲处劳动的有33人，在乙处劳动的有25人，现在又有26人来支援，其中x人去甲处，剩下的人去乙处，这时，甲处人数的一半是多少？乙处人数的2倍是多少？ 【答案】甲处人数的一半是人，乙处人数的2倍是人 【分析】本题主要考查代数式的应用，读懂题目给出的数量关系列出代数式是解题关键，在解题中还可借助表格进行分析．列表分析数量关系，列出代数式即可． 【详解】解：根据题意列表如下： 位置 甲处 乙处 原有人数 33 25 来支援的人数 x 现有人数 所以甲处人数的一半是人，乙处人数的2倍是（人）． 巩固课内例5:用字母表示数——收费问题 1．某地下停车场的收费标准如表所示，已知小刚某日开车去购物游玩，进场停车，当日离开停车场，若设停车时间为小时（为正整数），则他此次停车的费用是（    ） 停车时段 收费方式 元/小时，该时段最多收元 元/小时，该时段最多收元 若进场与离场时间不在同一时段，则两时段分别计费 A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式，先判断停车时段的收费情况，再算出剩下时间的收费，求和即可得出答案． 【详解】解：（小时）， （元）， ∵， ∴ 元． 故选：A． 2．某市出租车收费标准为：起步价10元(含3千米)，超过3千米的部分每千米收费元．则某人乘坐出租车千米的付费为 元． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，正确理解收费标准是关键．起步价10元加上超过3千米部分的费用即可． 【详解】解：乘出租车千米的付费是：元， 故答案是：． 3．学校需要到印刷厂印刷份材料，甲印刷厂提出：每份材料收元印刷费，另收500元制版费；乙印刷厂提出：每份材料收元印刷费，不收制版费． (1)如果学校要印刷100份材料，则甲印刷厂的收费是_________元，乙印刷厂的收费是_________元； (2)如果学校要印刷份材料，则甲印刷厂的收费是__________元，乙印刷厂的收费是__________元（用含的代数式表示）； (3)学校要到印刷2400份材料，若不考虑其他因素，选择哪家印刷厂比较合算？试说明理由． 【答案】(1)520，40 (2)， (3)选择乙印刷厂比较合算，理由见解析 【分析】本题考查了有理数运算的实际应用，列代数式； （1）根据两个印刷厂不同的收费方式进行列式计算即可； （2）根据两个印刷厂不同的收费方式进行列式即可； （3）分别计算出印刷2400份材料时两个印刷厂的收费，然后可得答案． 【详解】（1）解：如果学校要印刷100份材料，则甲印刷厂的收费是元，乙印刷厂的收费是元， 故答案为：520，40； （2）如果学校要印刷份材料，则甲印刷厂的收费是元，乙印刷厂的收费是元， 故答案为：，； （3）选择乙印刷厂比较合算； 理由：如果学校要印刷2400份材料，则甲印刷厂的收费是元，乙印刷厂的收费是元， 因为， ∴选择乙印刷厂比较合算． 巩固课内例6:已知一个未知数的值代入求值 1．当时，代数式的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了代数式求值，将代入代数式进行计算即可求解． 【详解】解：当时，， 故选：D． 2．当时，代数式的值是113；当时，代数式的值是 【答案】105 【分析】本题考查代数式求值．先根据已知条件求出时的值，再利用偶次幂的性质，得出时的值，最后代入代数式求值． 【详解】解：由题意知：当时，， ∴． 当时，，， ∴当时，， ∴将代入原式可得：． 故答案为：105． 3．如图，正方形的边长为x， (1)用整式表示图中阴影部分的面积； (2)计算当时阴影部分的面积（π取）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式，已知字母的值，求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察图形，运用正方形的面积减去一个圆的面积，即可作答． （2）把代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：； （2）解：当时， 则， 巩固课内例7:已知两个未知数的值代入求值 1．已知，，其中，则的值为（   ） A． B．6或 C．或2 D．或 【答案】D 【分析】本题考查绝对值，代数式求值，由，可得，，结合，可得，，分情况讨论，代入求值即可． 【详解】解：因为，， 所以，， 因为， 所以，， 当，时，， 当，时，， 所以的值为或， 故选D． 2．若，则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，有理数的减法运算，解题的关键是熟练掌握绝对值的非负性． 利用绝对值的非负性求得的值，代入代数式求值即可． 【详解】解：由得， ， 解得， ∴， 故答案为：8． 3．当，时，求下列代数式的值． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了代数式求值，准确计算是解题的关键． （1）将，代入求值即可； （2）将，代入求值即可． 【详解】（1）当，时， ； （2）当，时， ． 巩固课内例8:方格法 1．如图的网格线是由边长为1的小正方形格子组成的， 小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形，小明研究发现，内部含有3个格点的四边形的面积与该四边形边上的格点数有某种关系，请你观察图中的4个格点四边形．设内部含有3个格点的四边形的面积为S，其各边上格点的个数之和为 m，则S与m的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用割补法求出四个图形的面积，数出每个图形各边上格点的个数之和，寻找规律解答即可． 【详解】解：如图， 第①个图形：面积S=3×3-×2×3-×1×3=4.5， 各边上格点的个数之和 m=5； 第②个图形：面积S=4××2×1=4， 各边上格点的个数之和 m=4； 第③个图形：面积S=×3×1+×3×2=4.5， 各边上格点的个数之和 m=5； 第④个图形：面积S=×3×1+×3×3=6， 各边上格点的个数之和 m=8． 根据以上数据可知S=m+2． 故选C． 【点睛】此题主要考查了数字和图形的变化规律，此题需要结合图形计算出面积和数出各边上格点的个数，总结出规律．寻找规律是一件比较困难的活动，需要仔细观察和大量的验算．本题也可采用选项验证的方法． 2．我们在计算不规则图形的面积时，有时采用“方格法”来计算．计算方法如下：假定每个小方格的边长为个单位长度，为图形的面积，是边界上的格点数，是内部格点数，则有.按此方法计算，图中四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】根据题意，先分别解得，的数值，再代入公式计算即可解题． 【详解】解：观察图形得， 边界上的格点数， 内部格点数， 当，时 故答案为：． 【点睛】本题考查代数式的值、有理数的加减，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 3．在数学发展的历史长河中，多边形相关问题一直备受数学家们的关注与青睐．其中，格点多边形的面积计算问题以及多边形的三角剖分问题，更是该领域的重要研究方向．请根据材料完成下列问题 材料一 在边长为1的小正方形组成的方格纸中，称小正方形的顶点为“格点”，顶点全在格点上的多边形为“格点多边形”．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为M，边界上的格点数记为N，例如，图①是格点三角形，其中，，． （1）图②是格点四边形，图中所对应的：________，________，________．图③是格点五边形，图中所对应的________，________，________． （2）奥地利数学家皮克发现的计算“格点多边形”的而积公式，其中a、b、c为常数，结合图形①，②，③，求出a、b、c的值； 材料二 三角形是最简单的多边形，任意一个多边形都能分割成三角形，把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分．瑞士数学家欧拉归纳得出了n边形的不同三角剖分方法数的公式：当时，，其中规定．例如：当时，，算出；当时，，算出；则根据公式八边形的三角剖分方法数________． 【答案】（1）、6、11；、6、5；（2），，； 132 【分析】本题主要考查了格点多边形的面积公式应用以及多边形三角剖分方法数的计算．熟练掌握格点多边形面积公式中参数的求解方法以及根据递推公式计算多边形三角剖分方法数是解题的关键． （1）根据格点多边形的面积、内部格点数、边界格点数的定义，直接对图②格点四边形和图③格点五边形进行计数． （2）先将图①、图②、图③对应的、、值代入公式，得到关于、、的方程组，然后求解方程组得出、、的值；对于求八边形的三角剖分方法数，根据公式，从开始逐步推导求出． 【详解】解：图②格点四边形：，，； 图③格点五边形：，，, 故答案为：、6、11；、6、5； （2）∵图①中，，，代入得：； 图②中，，，代入得：； 图③中，，，代入得：． 由可得，将其代入中得： ，即， ． 把，代入中得： ， ． 把代入得． 把代入得． ∴，，； 时，，． 当时，，则． 当时，，则． 当时，，则． 当时，，则． 当时，，则． 类型一、代数式的定义 1．下列式子中，不是代数式的是（    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题主要考查代数式的识别，掌握其定义是关键，代数式是由数、字母和运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）组成的式子，不含等号或不等号，方程因含有等号，属于等式而非代数式，由此即可求解． 【详解】解：选项A： 由变量和常数通过加减运算组成，是代数式； 选项B： 是数与变量的除法运算，符合代数式定义； 选项C： 含有等号，表示方程，属于等式而非代数式； 选项D： 是单独的数，属于代数式； 综上，只有选项C不是代数式， 故选：C． 2．下列数与式子：① ② ③ ④ ⑤a ⑥0其中是代数式的是（填序号） ． 【答案】①②⑤⑥ 【分析】本题考查了代数式的定义，代数式是由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子，据此逐个分析，即可作答． 【详解】解：依题意，，，a ，0都是代数式， 故答案为：①②⑤⑥． 3．下列哪些是代数式？哪些不是代数式？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）m. 【答案】代数式有（1），（4），（6），（7）；不是代数式的有（2），（3），（5）. 【分析】根据代数式的概念，用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式． 【详解】代数式有：，，，m. 不是代数式的有：，，. 【点睛】此题考查代数式问题，关键是掌握代数式的定义解答．注：“运算符号”是指加、减、乘、除、乘方等运算的符号，而像“=”“＞”“＜”等表示数量关系的符号，并不是运算符号；②单独一个数或者一个字母也是代数式． 类型二、代数式的书写 1．下列代数式符合书写要求的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．根据代数式的书写要求判断各项即可． 【详解】解： 代数式中不能出现乘、除号，且数字在前，因此、书写错误，故A、B错误； 带分数要写成假分数的形式，因此书写错误，故C错误． 符合书写要求，故D正确； 故选：D． 2．下列式子：①；②；③；④中．格式书写正确的有 ．（填序号） 【答案】③ 【分析】此题考查了代数式，弄清代数式的书写要求是解本题的关键，利用代数式的书写要求判断即可． 【详解】解：①应该写成，故原写法格式不正确； ②应该写成，故原写法格式不正确； ③，书写正确； ④应该写成，故原写法格式不正确， 综上所述，格式书写正确的有③， 故答案为：③． 3．下列式子是一些书写规范吗？若不规范，请将它们的规范写法填在横线处； (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3)/ (4) 【分析】本题考查代数式的书写规范，（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式，1通常省略不写．根据代数式的书写规范将各题进行改正即可． 【详解】（1）解：应写为； 故答案为：． （2）解：应写为； 故答案为：． （3）解：应写为； 故答案为：． （4）解：应写为； 故答案为：． 类型三、代数式的实际意义 1．能用算式表示的是（   ） A．  线段的长 B． 组合图形的面积 C． 长方形的周长 D．圆柱底面积为， 圆柱的体积 【答案】C 【分析】本题考查代数式的实际应用．根据题意逐项列出代数式即可． 【详解】解：A、线段的长为，此项不符合题意； B、组合图形的面积为，此项不符合题意； C、长方形的周长为，此项符合题意． D、底面积为，高为4的圆柱的体积为，此项不符合题意； 故选：C． 2．对代数式“”可以赋予实际意义：如果一支铅笔的价格是元，那么表示4支铅笔的总价．请你再对“”赋予一个实际意义： ． 【答案】如果一个排球的价格为元，那么表示4个排球的总价（答案不唯一） 【分析】本题考查了代数式的实际意义，根据代数式写成符合式子的实际意义即可，理解代数式的特点是解题的关键． 【详解】解：如果一个排球的价格为元，那么表示4个排球的总价（答案不唯一）． 故答案为：如果一个排球的价格为元，那么表示4个排球的总价（答案不唯一）． 3．说出下列各组代数式的意义有什么不同，并举例说明它们表示的实际问题中的数量关系： (1)与； (2)与． 【答案】(1)的意义是的2倍与1的差，举例见解析；的意义是与1的差的2倍，举例见解析； (2)的意义是的一半，举例见解析；的意义是与的和，举例见解析 【分析】此题考查了代数式的意义和实际意义举例，正确理解代数式的意义是关键． （1）根据代数式的意义进行解答并举例说明即可； （2）根据代数式的意义进行解答并举例说明即可． 【详解】（1）解：的意义是的2倍与1的差， 举例：若中性笔的单价为元，钢笔的单价比中性笔的单价的2倍少1元，则钢笔的单价为元； 的意义是与1的差的2倍， 举例：若钢笔的单价为元，中性笔的单价比钢笔的单价少1元，则购买两支中性笔的总价为元； （2）的意义是的一半， 举例：若火车的速度为，大货车的速度为火车的速度的一半，则大货车的速度为． 的意义是与的和， 举例：若三角形的面积为，正方形的面积比三角形的面积大，则正方形的面积为 类型一、用代数式表示阴影面积 1．如图所示，大圆半径为，小圆半径为，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了列代数式，掌握圆的面积公式以及会根据题意列代数式，是解本题的关键．根据阴影部分的面积大圆的面积小圆的面积，列出代数式即可． 【详解】解：根据圆的面积公式可知： 大圆的面积为，小圆的面积为， ∴阴影部分的面积为． 故选：D． 2．列代数式表示下列问题： （1）一个数比的2倍小3，则这个数是 ； （2）如图，阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】此题考查列代数式，正确理解题意是解题的关键： （1）根据语句列代数式即可； （2）利用三角形面积减去圆的面积即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：（1）一个数比的2倍小3，则这个数是， 故答案为：； （2）阴影部分的面积为 故答案为：． 3．用字母表示图中阴影部分的面积．    【答案】 【分析】本题考查列代数式，由图可知：阴影部分的面积是大长方形的面积减去小长方形的面积，据此求解即可． 【详解】解：由图可得，阴影部分的面积为． 类型二、代数式整体代入求值 1．已知代数式的值为5，则代数式的值为（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】A 【分析】本题考查了代数式的整体代入求值，解题的关键是发现所求代数式与已知代数式的倍数关系，将作为整体进行计算． 由已知代数式，先求出的值；再观察到，代入的值计算出，最后减去3得到所求代数式的值，与选项匹配． 【详解】解：∵， ∴； 又∵， ∴． 故选：A． 2．若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了代数式的条件求值问题，需用到整体思想；注意观察，找到已知条件与所求式之间的联系，在两者之间互相转化是解此类题的关键．根据已知可得，然后将原式化为，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：2． 3．已知时，代数式，求当时，代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了代数式的求值，将等式变形求解是解决本题的关键． 将代入代数式中可得，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 整理可得，即， ∴， ∴当时， 代数式 ． 类型三、程序流程图 1．有一个数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是3，可发现第1次输出的结果是10，第2次输出的结果是5，第3次输出的结果是16，依次继续下去…，第101次输出的结果是（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了代数式求值，根据数值转换器求出从第5次开始，每3次输出为一个循环组依次循环是解题的关键． 根据数值转换器依次求出前几次的输出的数值，再根据数值的变化规律求解． 【详解】第1次输出的结果是， 第2次输出的结果是， 第3次输出的结果是， 第4次输出的结果是， 第5次输出的结果是， 第6次输出的结果是， 第7次输出的结果是， 第8次输出的结果是， 所以，从第5次开始，每3次输出为一个循环组依次循环，余1， 所以，第101次输出的结果是4． 故选：B． 2．按如图所示的运算程序，若，，则输出的结果为 ． 【答案】20 【分析】此题考查了代数式的求值与有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 由程序框图将，代入计算可得． 【详解】解：∵，， ∴输出结果为． 故答案为：20． 3．如图是一个简单的数值运算程序． (1)用含x的代数式表示出运算过程； (2)当输入的x值为1时，输出的值是多少？ (3)当输入的x值为时，输出的值是多少？ 【答案】(1) (2) (3)26 【分析】本题考查了列代数式，求代数式的值，解题的关键是正确理解题目所给运算程序的运算顺序． （1）根据题目所给的运算程序，列出代数式即可； （2）将代入（1）中得出的代数式，即可解答； （3）将代入（1）中得出的代数式，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得：输出的结果为； （2）解：当时，； （3）解：当时，． 类型一、火柴棒摆放规律 1．如图，这是由一些火柴棒摆成的图案，第①个图案由根火柴棒摆成，第②个图案由根火柴棒摆成，第③个图案由根火柴棒摆成，，按照这种方式摆下去，摆第⑥个图案需用火柴棒的根数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查图形变化的规律，代数式求值，熟练找到题中图形变化的规律是解题的关键．依次求出前几个图形中火柴棒的根数，根据发现需要的火柴棒的根数依次增加的规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 摆第①个图案需用的火柴棒的根数为：； 摆第②个图案需用的火柴棒的根数为：； 摆第③个图案需用的火柴棒的根数为：； ， 所以摆第个图案需用的火柴棒的根数为根； 所以摆第⑥个图案需用火柴棒的根数为． 故选：B． 2．“长城”是中华民族的代表性符号和中华文明的重要象征，小明同学用火柴棒拼成如图所示的“长城墙垛”形状．已知第①个图形用了8根火柴棒，第②个图形用了14根火柴棒，第③个图形用了20根火柴棒，……，则第⑪个图形需要的火柴棒的根数为 （结果用含n的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查了图形规律的探究．先本每个图形的火柴棒的数量研究其规律，再总结出第n个图案用根火柴棒，即可作答． 【详解】解：∵第1个图案用8根火柴棒，第2个图案用14根火柴棒，第3个图案用20根火柴棒…… ∴第1个图案：， 第2个图案， 第3个图案， …… ∴第n个图案用根火柴棒． 故答案为：． 3．用火柴棒按图中的方式搭图形． 图形标号 ① ② ③ ④ ⑤ 火柴棒根数 6 11 16 按上述信息填空： (1)________，________； (2)按照这种方式搭下去，则搭第个图形需要火柴棒的根数为________；（用含的代数式来表示）； (3)按照这种方式搭下去，用（2）中的代数式求第2024个图形需要的火柴棒根数． 【答案】(1)21，26 (2) (3)10121 【分析】本题主要考查了图形变化的规律及列代数式，能根据所给图形发现所需火柴棒的根数依次增加5是解题的关键． （1）根据所给图形，依次求出所需火柴棒的根数，发现规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）结合（2）中发现的结论即可解决问题． 【详解】（1）解：由所给图形可知， 搭第1个图形，需要的火柴棒的根数为：； 搭第2个图形，需要的火柴棒的根数为：； 搭第3个图形，需要的火柴棒的根数为：； …， 搭第个图形，需要的火柴棒的根数为（）根． 当时，； 当时，； 故答案为：21，26； （2）解：由（1）知， 搭第个图形，需要的火柴棒的根数为（）根， 故答案为：； （3）解：当时，（根）， 第2024个图形需要的火柴棒根数为10121根． 类型二、数字规律 1．计算：结果的个位数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，解题的关键是找出数字的特征．根据，而，，，，，均为奇数，可得几个奇数与相乘，末尾数字是，从而得到原式的个位数． 【详解】解：，而，，，，，均为奇数， 几个奇数与相乘，末尾数字是， 原式的末尾数字是． 故选：C ． 2．一组数按照这样的规律排列： ，第六个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的数，探索出数的分子分母的规律是解题的关键． 通过观察发现，分母是分子的平方数加1，奇数项是负数，偶数项是正数，由此可求解． 【详解】解：， 第六个数是， 故答案为：． 3．观察下面一列数：1，，2，，1，3，，，，4，，，1，2，5，，…（已写出了第1至第16个数） (1)第7，第8，第9，第10个数的积是 ，前16个数的积是 ； (2)按此规律，第30个数是 ； (3)在上面这列数中，从左起第m个数记为，当时，求m的值． 【答案】(1)1， (2) (3) 【分析】本题考查数字类规律探究，从给出的数字中概括出相应的规律是解题的关键： （1）直接根据有理数的乘法法则进行计算即可； （2）根据给出的数，得到规律进行求解即可； （3）利用（2）中的规律进行解题即可． 【详解】（1）解：； ； 故答案为：1，； （2）解：由题意，原数据可写成：， 即分子分母和为2的数有1个，和为3的数有2个，和为4的数有3个，每个组合中分子从1开始逐渐增大，分母逐渐减小至1， 故分子分母和为的数有个，分母从开始逐渐减小至1，分子从1开始逐渐增大到， ∵， ∴第29个数开始，分子分母的和为9，且第一个数为， ∴第30个数为； （3）解：由（2）可知：所在的组合的数的分子分母的和为，前一个组合中的数的分子分母的和为2028，共有2027个数， 故． 类型三、图形规律 1．如图，蜂窝结构在工程学中有广泛应用，图①由4个房孔组成，图②由7个房孔组成，图③由10个房孔组成．．．．．．，按照这样的规律，第⑧个图形中房孔的个数是（    ） A．27 B．25 C．26 D．29 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形变化的规律．根据所给图形，依次求出房孔的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 图①中房孔的个数为； 图②中房孔的个数为； 图③中房孔的个数为； …， 所以图ⓝ中房孔的个数为个． 所以第⑧个图形中房孔的个数是； 故选：B． 2．用边长分别为1、2、3、5的正方形拼成如下图的长方形，按下面的规律依次记作长方形①、长方形②、长方形③、长方形④．若继续选取适当的正方形拼成长方形，那么按此规律，长方形⑧的周长应该为 ． 【答案】178 【分析】本题考查图形类规律探究，根据给出的图形的周长得到第个长方形的宽为第个长方形的长，第个长方形的长为第个长方形的长和宽的和，进行求解即可． 【详解】解：观察可知，长方形①的周长为； 长方形②的周长为； 长方形③的周长为； 长方形④的周长为； 故第个长方形的宽为第个长方形的长，第个长方形的长为第个长方形的长和宽的和； 故长方形⑤的周长为； 故长方形⑥的周长为； 故长方形⑦的周长为； 故长方形⑧的周长为； 故答案为：178． 3．用长的绳子在桌面上摆出正方形，先把这根绳子摆成1个正方形，再把这根绳子摆2个正方形，3个正方形，4个正方形…… (1)正方形的个数与每个正方形边长之间的关系： 正方形的个数 1 2 3 4 …… x 边长/cm 24 …… y 观察如表，可知　 　 ． (2)正方形的个数与所摆图形顶点数的关系： 正方形的个数 1 2 3 4 5 …… 顶点数/个 4 7 10 …… 当正方形的个数是x时，顶点是 　 　 个；当摆出的图形共有100个顶点时，共摆 　 　 个正方形． 【答案】(1)12；8；6；24 (2)13；16；；33 【分析】本题主要考查了几何图形规律的探索，列代数式表示规律，解题的关键是找出图形的规律． （1）利用图形的规律列出边的代数式，然后进行求解即可； （2）利用图形的规律列出顶点的代数式，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：（厘米） （厘米） （厘米） …… 如下图所示： 正方形的个数 1 2 3 4 …… x 边长/cm 24 12 8 6 …… y 观察如表，可知； （2）解：（个） （个） （个） （个） …… 当正方形的个数是x时，顶点个数是， 当时，， 如下图所示： 正方形的个数 1 2 3 4 5 …… 顶点数/个 4 7 10 13 16 …… 当正方形的个数是x时，顶点是个； 当摆出的图形共有100个顶点时，共摆33个正方形． 故答案为：（1）12；8；6；24；（2）13；16；；33． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1—2.2 代数式的概念和列代数式 代数式的值 一、代数式的概念 （1）定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子，单独的一个数或一个字母也是代数式。 （2）书写规范： 数字与字母相乘时，“×”通常省略不写，数字写在字母前。 字母与字母相乘时，“×”省略或用“·”表示。 带分数与字母相乘时，带分数需化为假分数。 除法运算写成分数形式，分数线代替除号。 含单位的加减运算需用括号括起代数式。 （3）注意事项： 含“=”“<”“>”“≤”“≥”“≠”的式子不是代数式。 同一问题中，相同字母表示相同量，不同量用不同字母表示。 二、列代数式 （1）定义：将实际问题中的数量关系用含数字、字母和运算符号的式子表示。 （2）常用方法： 抓关键性词语：如“和”“差”“积”“商”“倍”等，明确数量关系。 确定运算顺序：按“先读先写”原则列式，如“a与b的和与c的积”列式为(a+b)c。 分段处理复杂问题：浓缩原题，分步处理后组装。 正确使用括号：先小括号，后中括号，再大括号。 三、代数式的值 （1）定义：将代数式中的字母用具体数值代入，计算后所得结果称为代数式的值。 （2）求值步骤： 代入：用数值代替代数式中的字母，将字母式转化为数字式。 计算：按代数式指明的运算顺序计算结果。 （3）注意事项： 代入数值时“对号入座”，避免代错字母。 代数式非最简形式时，先化简再代入。 代数式中省略的乘号，代入时需补上。 数值需使代数式和实际数量有意义。 巩固课内例1:用字母表示数——和差倍分问题 1．四年级同学参加兴趣小组，其中参加绘画小组的有a人，比参加书法小组的2倍少4，参加书法小组的有多少人？正确的算式是（   ） A． B． C． D． 2．一个足球m元，一个篮球n元，则买6个足球和3个篮球共需 元． 3．用代数式表示： (1)的3倍与的和； (2)与两数和的平方减去它们的积． 巩固课内例2:用字母表示数——数字问题 1．一个两位数，在它的左边加上一个数字变成三位数，则这个三位数是（　　） A． B． C． D． 2．一个两位数，十位数字是x，个位数字比十位数字大3，请用含x的代数式表示这个两位数为 ． 3．用代数式表示下列各小题． (1)边长为的正方形的周长； (2)若n表示任意一个整数，用含n的代数式表示能被5整除的整数； (3)一个两位数的个位上的数字为m，十位上的数字为n，用含m，n的代数式表示这个两位数． 巩固课内例3:用字母表示数——行程问题 1．某人骑自行车小时走了，若步行，则比骑自行车多用小时，那么骑自行车每小时比步行多走（   ）． A． B． C． D． 2．一辆汽车行驶a千米用b小时，它的平均车速为 千米/小时；一列火车行驶a千米比这辆汽车少用1小时，它的平均车速为 千米/小时． 3．甲、乙两地相距，汽车从甲地到乙地以每小时行驶的速度行驶，可按时到达，若每小时多行驶，则汽车可提前几小时到达？ 巩固课内例4:用字母表示数——气温和分配问题 1．某地区夏季高山上的气温从山脚处开始每升高降低．如果山脚处的气温为，那么比山脚高处的气温为（   ） A． B． C． D． 2．某地区夏季高山上的气温从山脚处开始每升高100米降低．如果山脚处的气温为，那么比山脚高300米处的气温为 ；一般地，比山脚高米处的气温为 ． 3．在甲处劳动的有33人，在乙处劳动的有25人，现在又有26人来支援，其中x人去甲处，剩下的人去乙处，这时，甲处人数的一半是多少？乙处人数的2倍是多少？ 巩固课内例5:用字母表示数——收费问题 1．某地下停车场的收费标准如表所示，已知小刚某日开车去购物游玩，进场停车，当日离开停车场，若设停车时间为小时（为正整数），则他此次停车的费用是（    ） 停车时段 收费方式 元/小时，该时段最多收元 元/小时，该时段最多收元 若进场与离场时间不在同一时段，则两时段分别计费 A．元 B．元 C．元 D．元 2．某市出租车收费标准为：起步价10元(含3千米)，超过3千米的部分每千米收费元．则某人乘坐出租车千米的付费为 元． 3．学校需要到印刷厂印刷份材料，甲印刷厂提出：每份材料收元印刷费，另收500元制版费；乙印刷厂提出：每份材料收元印刷费，不收制版费． (1)如果学校要印刷100份材料，则甲印刷厂的收费是_________元，乙印刷厂的收费是_________元； (2)如果学校要印刷份材料，则甲印刷厂的收费是__________元，乙印刷厂的收费是__________元（用含的代数式表示）； (3)学校要到印刷2400份材料，若不考虑其他因素，选择哪家印刷厂比较合算？试说明理由． 巩固课内例6:已知一个未知数的值代入求值 1．当时，代数式的值为（　　） A． B． C． D． 2．当时，代数式的值是113；当时，代数式的值是 3．如图，正方形的边长为x， (1)用整式表示图中阴影部分的面积； (2)计算当时阴影部分的面积（π取）． 巩固课内例7:已知两个未知数的值代入求值 1．已知，，其中，则的值为（   ） A． B．6或 C．或2 D．或 2．若，则的值为 ． 3．当，时，求下列代数式的值． (1) (2) 巩固课内例8:方格法 1．如图的网格线是由边长为1的小正方形格子组成的， 小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形，小明研究发现，内部含有3个格点的四边形的面积与该四边形边上的格点数有某种关系，请你观察图中的4个格点四边形．设内部含有3个格点的四边形的面积为S，其各边上格点的个数之和为 m，则S与m的关系为（    ） A． B． C． D． 2．我们在计算不规则图形的面积时，有时采用“方格法”来计算．计算方法如下：假定每个小方格的边长为个单位长度，为图形的面积，是边界上的格点数，是内部格点数，则有.按此方法计算，图中四边形的面积为 ． 3．在数学发展的历史长河中，多边形相关问题一直备受数学家们的关注与青睐．其中，格点多边形的面积计算问题以及多边形的三角剖分问题，更是该领域的重要研究方向．请根据材料完成下列问题 材料一 在边长为1的小正方形组成的方格纸中，称小正方形的顶点为“格点”，顶点全在格点上的多边形为“格点多边形”．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为M，边界上的格点数记为N，例如，图①是格点三角形，其中，，． （1）图②是格点四边形，图中所对应的：________，________，________．图③是格点五边形，图中所对应的________，________，________． （2）奥地利数学家皮克发现的计算“格点多边形”的而积公式，其中a、b、c为常数，结合图形①，②，③，求出a、b、c的值； 材料二 三角形是最简单的多边形，任意一个多边形都能分割成三角形，把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分．瑞士数学家欧拉归纳得出了n边形的不同三角剖分方法数的公式：当时，，其中规定．例如：当时，，算出；当时，，算出；则根据公式八边形的三角剖分方法数________． 类型一、代数式的定义 1．下列式子中，不是代数式的是（    ） A． B． C． D．0 2．下列数与式子：① ② ③ ④ ⑤a ⑥0其中是代数式的是（填序号） ． 3．下列哪些是代数式？哪些不是代数式？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）m. 类型二、代数式的书写 1．下列代数式符合书写要求的是（  ） A． B． C． D． 2．下列式子：①；②；③；④中．格式书写正确的有 ．（填序号） 3．下列式子是一些书写规范吗？若不规范，请将它们的规范写法填在横线处； (1)； (2)； (3)； (4)； 类型三、代数式的实际意义 1．能用算式表示的是（   ） A．  线段的长 B． 组合图形的面积 C． 长方形的周长 D．圆柱底面积为， 圆柱的体积 2．对代数式“”可以赋予实际意义：如果一支铅笔的价格是元，那么表示4支铅笔的总价．请你再对“”赋予一个实际意义： ． 3．说出下列各组代数式的意义有什么不同，并举例说明它们表示的实际问题中的数量关系： (1)与； (2)与． 类型一、用代数式表示阴影面积 1．如图所示，大圆半径为，小圆半径为，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 2．列代数式表示下列问题： （1）一个数比的2倍小3，则这个数是 ； （2）如图，阴影部分的面积为 ． 3．用字母表示图中阴影部分的面积．    类型二、代数式整体代入求值 1．已知代数式的值为5，则代数式的值为（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 2．若，则 ． 3．已知时，代数式，求当时，代数式的值． 类型三、程序流程图 1．有一个数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是3，可发现第1次输出的结果是10，第2次输出的结果是5，第3次输出的结果是16，依次继续下去…，第101次输出的结果是（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 2．按如图所示的运算程序，若，，则输出的结果为 ． 3．如图是一个简单的数值运算程序． (1)用含x的代数式表示出运算过程； (2)当输入的x值为1时，输出的值是多少？ (3)当输入的x值为时，输出的值是多少？ 类型一、火柴棒摆放规律 1．如图，这是由一些火柴棒摆成的图案，第①个图案由根火柴棒摆成，第②个图案由根火柴棒摆成，第③个图案由根火柴棒摆成，，按照这种方式摆下去，摆第⑥个图案需用火柴棒的根数为（   ） A． B． C． D． 2．“长城”是中华民族的代表性符号和中华文明的重要象征，小明同学用火柴棒拼成如图所示的“长城墙垛”形状．已知第①个图形用了8根火柴棒，第②个图形用了14根火柴棒，第③个图形用了20根火柴棒，……，则第⑪个图形需要的火柴棒的根数为 （结果用含n的式子表示）． 3．用火柴棒按图中的方式搭图形． 图形标号 ① ② ③ ④ ⑤ 火柴棒根数 6 11 16 按上述信息填空： (1)________，________； (2)按照这种方式搭下去，则搭第个图形需要火柴棒的根数为________；（用含的代数式来表示）； (3)按照这种方式搭下去，用（2）中的代数式求第2024个图形需要的火柴棒根数． 类型二、数字规律 1．计算：结果的个位数是（    ） A． B． C． D． 2．一组数按照这样的规律排列： ，第六个数是 ． 3．观察下面一列数：1，，2，，1，3，，，，4，，，1，2，5，，…（已写出了第1至第16个数） (1)第7，第8，第9，第10个数的积是 ，前16个数的积是 ； (2)按此规律，第30个数是 ； (3)在上面这列数中，从左起第m个数记为，当时，求m的值． 类型三、图形规律 1．如图，蜂窝结构在工程学中有广泛应用，图①由4个房孔组成，图②由7个房孔组成，图③由10个房孔组成．．．．．．，按照这样的规律，第⑧个图形中房孔的个数是（    ） A．27 B．25 C．26 D．29 2．用边长分别为1、2、3、5的正方形拼成如下图的长方形，按下面的规律依次记作长方形①、长方形②、长方形③、长方形④．若继续选取适当的正方形拼成长方形，那么按此规律，长方形⑧的周长应该为 ． 3．用长的绳子在桌面上摆出正方形，先把这根绳子摆成1个正方形，再把这根绳子摆2个正方形，3个正方形，4个正方形…… (1)正方形的个数与每个正方形边长之间的关系： 正方形的个数 1 2 3 4 …… x 边长/cm 24 …… y 观察如表，可知　 　 ． (2)正方形的个数与所摆图形顶点数的关系： 正方形的个数 1 2 3 4 5 …… 顶点数/个 4 7 10 …… 当正方形的个数是x时，顶点是 　 　 个；当摆出的图形共有100个顶点时，共摆 　 　 个正方形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $