22.1二次函数的图像和性质2讲义 2025-2026学年人教版数学九年级上册
知识点一 二次函数 
的图象和性质
1.二次函数 
的图象和性质
函数 | y=a(x-h)²+k(a>0) | y=a(x-h)²+k(a<0) |
图象(抛物线) |
|
|
顶点坐标 | (h,k) | |
对称轴 | 直线x=h | |
顶点位置 | 当h>0，k>0时，顶点在第一象限；当h<0，k>0时，顶点在第二象限；当h<0，k<0时，顶点在第三象限；当h>0，k<0时，顶点在第四象限 | |
开口方向 | 向上 | 向下 |
增减性 | 在对称轴左侧，即当x<h时，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，即当x>h时，y随x的增大而增大 | 在对称轴左侧，即当x<h时，y随x 的增大而增大；在对称轴右侧，即当 x>h时，y随x的增大而减小 |
最值 | x=h时,y最小值=k | x= h时,y最大值=k |
【题1】关于二次函数 
5，下列说法正确的是( )
A.函数图象的开口向下 B.函数图象的顶点坐标是(-1，5)
C.该函数有最大值，最大值是5 D.当x>1时，y随x的增大而增大
【题2】二次函数 
的图象如图所示，则一次函数y=mx+n 的图象经过 （ ）
A.第一、第二、第三象限
B.第一、第二、第四象限
C.第一、第三、第四象限
D.第二、第三、第四象限
【题3】设A(-3,y₁),B(-2,y₂),C( 
,y₃)是抛物线
上的三点,则y₁,y₂,y₃的大小关系为 .(用“>”连接)
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【题4】如图是二次函数 
的图象的一部分，根据图象回答下列问题：
(1)确定a的值;
(2)设抛物线的顶点是P，B 是x轴上的一个点,若△PAB 的面积为 6，求点 B的坐标.
知识点二 二次函数y=a(x-h)²+k(a≠0)与
的图象间的关系
由 
的图象到 
的图象具体的平移操作如图所示：
【题1】将抛物线 
先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的抛物线是 （ ）
【题2】如果将抛物线y = 
平移后得到抛物线 2，那么它的平移过程可以是（ ）
A.先向右平移3个单位长度，再向上平移3 个单位长度
B.先向右平移3个单位长度，再向下平移3 个单位长度
C.先向左平移3个单位长度，再向上平移3 个单位长度
D.先向左平移3个单位长度，再向下平移3 个单位长度
【题3】将抛物线 
先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线解析式为 .
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提升训练
如图，在平面直角坐标系中,点A 是抛物线 y = 
上的任意一点，过点A作AB∥x轴交抛物线于点B，若AB=4，则点B 到x轴的距离为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
- 已知二次函数y=
当-1≤x≤4时,y的最小值为-4，则a的值为( )
A. 或4 B. 
或 
或4 
或4
- 在平面直角坐标系中，如果抛物线
不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移5个单位长度，那么在新坐标系中此抛物线的解析式是（ ）
- 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD四个顶点的坐标分别为A(1,1),B(1,4),C(4,4),D(4,1).若抛物线
向下平移m个单位长度(m>0)与正方形ABCD 的边(包括四个顶点)有交点，则m的值不可能是（ ）
A.5 B.6 C.35 D.36
- 在平面直角坐标系xOy中，我们把对称轴相同的抛物线叫做同轴抛物线.已知抛物线
的顶点为M，它的某条同轴抛物线的顶点为 N,且 MN=10,那么点 N 的坐标是
- 如图，抛物线
的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以AC为对角线的正方形ABCD 的另外两个顶点 B，D 恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形ABCD 为它的内接正方形.
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