专题02 三角函数（讲义）-2026版河北省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026版河北省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及河北省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版河北省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第2个专题，内容为三角函数。 2026版河北省（对口升学）二轮复习 《数学考纲专题练》 专题02 三角函数 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 一、课标解读 1. 掌握正弦函数、正弦型函数的图象和性质，了解余弦函数的图象和性质； 2. 掌握两角和与差的正弦、余弦及正切公式，能运用这些公式化简三角函数式，证明较简单的三角恒等式； 3. 理解二倍角公式并能进行简单应用； 4. 理解正弦定理、余弦定理，并能运用定理解斜三角形． 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2025样卷 解答题 27 正余弦定理、三角形面积公式 8 （1）题型：解答题。 （2）分值：2024年前分值一般在6，7分， 2025样卷为8分。 2024 解答题 34 三角函数图像的平移、三角函数的的最值 6 2023 解答题 34 由三角函数图像求解析式、三角函数的的最值 6 2022 解答题 34 三角恒等变换、三角函数的周期、最值 6 2021 解答题 33 三角恒等变换、三角函数的单调递区间、值域 7 三、考点预测 根据2021-2025年的真题考情，预估2026年河北省对口招生考试有1道题目考查三角函数解答题，分值为8分。 具体考点可能涉及如下内容： · 三角函数图像的平移 · 三角恒等变换 · 三角函数的性质 · 正余弦定理、三角形面积公式 四、知识梳理 （一）正弦函数、余弦函数 1.正弦函数、余弦函数的图象和性质 　 函数 性质 　 y＝sin x y＝cos x 图象 值域 {y|－1≤y≤1} {y|－1≤y≤1} 单调性 在 　， k∈Z上递增； 在 　， k∈Z上递减 在 [(2k－1)π，2kπ]　，k∈Z上递 增； 在 [2kπ，(2k＋1)π]　，k∈Z上 递减 最值 x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； x＝ －＋2kπ(k∈Z)　时，ymin＝－1 x＝ 2kπ(k∈Z)　时，ymax＝1； x＝ π＋2kπ(k∈Z)　时，ymin＝－1 奇偶性 奇 偶 最小 正周期 2π　 2π 2.参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响 (1)φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响． (2)ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响． (3)A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响． （二）三角恒等变换 1.二倍角公式的变形 （1）降幂公式： （2）升幂公式：. 2．辅助角(“二合一”)公式： ， 其中cos φ＝ 　，sin φ＝ 　. （三）解三角形 1.正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝　＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径) a2＝ b2＋c2－2bccos A b2＝ a2＋c2－2accos B c2＝ a2＋b2－2abcos C 常见 变形 ①a＝ 2Rsin A ， b＝ 2Rsin B ，c＝ 2Rsin C ②sin A＝ 　，sin B＝ 　，sin C＝ 　 ③a：b：c＝ sin A：sin B：sin C ④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A＝ 　 cos B＝ 　 cos C＝ 　 2.三角形常用面积公式 (1)S＝a·ha(ha表示a边上的高)． (2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A. 五、10分钟小测验 一、解答题 1．已知函数. (1)求的值； (2)求的最小正周期； (3)求的最大值和取得最大值时的取值集合 2．在中，已知，，．求： (1)的面积； (2)的值． 答案 1．(1). (2). (3)，. 【分析】（）将代入函数解析式中即可得解. （）利用二倍角公式及辅助角公式将函数整理化简，代入最小正周期公式即可得解. （）根据正弦型函数的性质即可得解. 【详解】（1）函数, 则. （2） ， ∴. （3）函数， 所以的最大值为， 此时，，解得， 则的取值集合为. 2．(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的面积公式即可求解； （2）根据余弦定理结合已知条件即可求解. 【详解】（1）因为，，， 所以的面积为. （2）因为，，， 由余弦定理得， 所以， 所以， 所以的值为. 六、经典例题解析 【考试题型1】正余弦定理 【例1】（2025河北对口升学样卷）记△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．已知 sin 2C sin C ． （1）求 C ； （2）若 b 6，且△ABC 的面积为6 ，求△ABC 的周长． 【答案】（1）C 30 （2）△ABC 的周长为 l 6 6 【详解】（1）由于 sin 2C sin C ， 所以 2sin C cosC sin C ． 又因为 sin C 0 ， 所以 cos C= 由此得 C 30． （2） 由 解得 a 4． 由余弦定理得 c2 a2 b2 2ab cosC 48 36 72 12 ， 即 c 2． 所以△ABC 的周长为 l 6 6 【考试题型2】三角函数图像的平移、三角函数的的性质 【例2】（2024河北对口升学）已知函数，将的图像沿x轴向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图像． （1）写出函数的解析式； （2）求函数的最小值及取得最小值时x的集合． 【答案】（1） （2）； 【详解】（1） 所以答案为 （2）； 故，取得最小值时x的集合为 【例3】（2023河北对口升学）已知正弦型函数的图像如图所示. （1）求函数解析式； （2）求函数取得最小值时x的集合. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）观察图像找出正弦型函数的最值，周期等求出解析式.（2）根据（1）中解析式求出函数取得最小值时x的集合. 【小问1详解】 由图像可以看出的最大值为，最小值为， 所以，且，则，所以， 将代入中，可得， 即，所以， 即，且由图像可知，所以. 所以函数解析式为 【小问2详解】 当函数取得最小值时，令， 则有， 即 【考试题型3】三角恒等变换、三角函数的的性质 【例4】(2022年河北对口升学) 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）当x取何值时，函数取得最大值，最大值为多少？ 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】(1)由三角函数诱导公式、二倍角公式、辅助角公式化简后，利用周期公式解答即可； (2)利用三角函数值域求解即可. 【小问1详解】 由三角函数周期性可将函数化简为， 再由二倍角公式化简为， 再由辅助角公式化简为， 所以函数的最小正周期为. 【小问2详解】 当时， 即时，函数取得最大值，且最大值为2. 【例5】(2021年河北对口升学) 已知函数 （1）将此函数化为的形式； （2）写出此函数的值域； （3）求此函数的单调递减区间. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦和角公式辅助角公式进行化简； （2）根据正弦函数性质求解函数值域； （3）根据正弦函数的单调减区间进行求解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 由（1）得， ，的最大值为1，最小值为， 故的值域为. 【小问3详解】 由（1）得， 令， 解得， 所以的单调减区间为. 七、专题归纳小结 （一）、专题核心内容总结 （2） 、解题策略与技巧 题型一：三角恒等变换与求值 特征：题目给出一个复杂的三角函数式，要求化简、求值。 破题“三步法”： 1.观察结构：看角度是否统一（如全是 x 或全是 2x），看函数名是否一致（如全是正弦余弦）。 选择公式： 2.角度不统一 → 先用诱导公式或倍角公式进行统一。 函数名不一致 → 常用弦切互化（tanx = sinx/cosx）或平方关系（sin²x+cos²x=1）化为一致。 化简目标：最终目标通常是化为 “一角一名一次” 的标准形式（如 Asin(ωx+φ)+b）或一个常数。 题型二：三角函数图像与性质 特征：题目给出一个三角函数解析式，讨论其单调性、最值、周期等，或求其图像变换后的解析式。 破题“钥匙”：将函数化为 y = Asin(ωx + φ) + b 的标准形式。 A：振幅，决定最值（最大值 = |A|+b，最小值 = -|A|+b）。 ω：决定周期 T = 2π/|ω|。 φ：决定相位，需用五点法或代入点坐标来求。 图像变换口诀： “左右平移针对 x，上下平移针对 y” 题型三：解三角形 特征：在三角形中，给出边、角条件，求未知的边、角或面积。 破题“两大定理”： 1.正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R 何时用？ 已知两角一边（AAS、ASA）或两边一对角（SSA，注意可能有两解！）。 2.余弦定理：a² = b² + c² - 2bccosA 何时用？ 已知三边（SSS）或两边一夹角（SAS）。 3.面积公式：S = 1/2 ab sinC （最常用） 易错警示：“SSA”情况（已知两边和其中一边的对角）可能有一解、两解或无解，必须用“大边对大角”或“正弦函数值域”进行检验！ （三）、易错点总结 易错类型 典型案例 避坑策略 忽略角度的范围 已知 ，求 cos2α，未说明α象限而得两解 “先定象限，再定符号” 忽略ω的正负 求  的单调增区间，直接令 负ω先提负号”，化为 再求解 图像平移方向搞反  向右平移 个单位？ “提系数”： ，故是向右平移 个单位 “SSA”解三角形漏解 已知 a=2, b=3, ∠A=30°，求 ∠B，只算得 ∠B≈48.6° “正弦值求角可能有两解”，∠B 还可能是 180°-48.6°=131.4°，需验证 a+b>c 是否成立 （四）、复习建议 1、学生能力培养重点： 公式记忆：每天默写一遍公式网络图，做到“滚瓜烂熟”。 专题突破：针对上述三大题型，各找5道真题限时训练，总结套路。 错题重做：把错题本上的“易错点”反复看，考前最后一天就看这个。 2. 真题演练方向： · 题型1：三角恒等变换与求值。 · 题型2：三角函数图像与性质。 · 题型3：解三角形。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $