专题05 函数的应用真题精选（期中真题汇编 云南专用）高一数学上学期

专题05 函数的应用真题精选 1．(22-23高一上·云南昭通直中学·期中)某市出租车收费标准：路程不超过千米，收费为元；路程超过千米但不超过千米的部分，每千米车费为元；路程超过千米的部分，每千米车费为元，若该乘客所付车费为元，求出租车行驶的路程是（    ）千米. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，列出收费与路程的分段函数解析式，分析可得行驶的路程超过千米，进而代入解析式，即可出结果. 【详解】由题知，收费（元）与路程（千米）关系为， 若出租车行驶的路程是千米， 则所付车费为元，不符合题意， 则出租车行驶的路程超过千米， 由，可得千米. 故选：D 2．(24-25高一上·云南红河州蒙自第四中学·期中)某企业员工小李的住处与他的办公室相距，某天下班后，小李发现有份重要材料丢在办公室，于是他从住处出发，先匀速跑步3min来到办公室，停留2min，然后匀速步行10min返回住处．在这个过程中，小李行进的速度和行走的路程都是时间的函数，则速度函数和路程函数的示意图分别是下面四个图象中的（    ） A．①④ B．②③ C．④① D．③② 【答案】A 【分析】设行进的速度为，行走的路程为，得出关于的函数，关于的函数解析式，即可判断函数图象． 【详解】设行进的速度为，行走的路程为，则 且， 由速度函数及路程函数的解析式可知， 其图象分别为①④． 故选：A． 3．(22-23高一上·云南昭通直中学·期中)某电影票单价30元，相关优惠政策如下：①团购10张票，享受9折优惠；②团购30张票，享受8折优惠；③购票总额每满500元减80元.每张电影票只能享受一种优惠政策，现需要购买48张电影票，合理设计购票方案，费用最少为 . 【答案】1180元 【分析】分别计算使用方案一，使用方案二，方案三，使用方案一，方案二下的费用，比较后可得答案； 【详解】原价为：元. 如果只选用第一种方案，则需团购4次，再单独买8张票，故总价格为： 元； 如果选第二种方案，则先团购一次，剩下的18张票再以原价购买的价格为：，则还可以用第三种方案，那么实际花费：元， 如果第一､第二种方案同时选，则先团购30张票，再团购10张票，最后再单独以原价买8张，则价格为：（元）. 综上，最低价格为元. 故答案为：1180元 4．(24-25高一上·云南昭通一中教研联盟·期中)甲、乙两地相距1000千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成.可变部分与速度（千米/时）的平方成正比，比例系数为0.2，固定部分为720元.为使全程运输成本最小，汽车的速度是 千米/时. 【答案】60 【分析】设汽车速度为千米/时，依题列出运输成本的表达式，整理后利用基本不等式即可求得全程运输成本最小时汽车的速度. 【详解】设汽车速度为千米/时，则运输成本为：， 由， 当且仅当，即时，运输成本最小. 故答案为：60. 5．(23-24高一上·云南昆明第八中学·期中)如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：）与时间t（单位：月）的关系为．关于下列说法正确的是 ． ①浮萍的面积每月的增长率为2；②浮萍每月增加的面积都相等；③第5个月时，浮萍面积不超过；④若浮萍蔓延到，，所经过的时间分别是，，，则．    【答案】①④ 【分析】综合运用指数函数的图象与性质，增长率的定义，指数幂的运算性质即可做出判断. 【详解】由题知，的图象经过点，即，解得，故. 对于①，浮萍的面积每月的增长率为，故①正确； 对于②，浮萍每月增加的面积为，故②错误； 对于③，第5个月时，，浮萍面积为，故③错误； 对于④，若浮萍蔓延到，，所经过的时间分别是，，，即，所以，又因为是增函数，所以，故，故④正确. 故答案为：①④. 6．(23-24高一上·云南昆明云南师范大学附属中学·期中)某运输公司计划租地建造自己的物流仓库，记仓库到车站距离为 （单位：km），经过调查可知，每月土地占用费（单位：万元）  与 成反比，每月货物运输费 （单位：万元） 与 成正比，若在距离车站3km处建仓库，则和分别为12万元和2万元，则这家公司把仓库建在距离车站 km处时，两项费用之和最小. 【答案】8 【分析】先按实际情况利用待定系数法建立相应函数模型，再根据特殊情况代入求参，最后利用基本不等式求最值即可. 【详解】∵每月土地占地费（单位：万元）与成反比， ∴可设，， ∵每月货物运输费（单位：万元）与成正比， ∴可设，， 又∵在距离车站处建仓库时，与分别为12万元和2万元， 即时，， ∴代入函数可得，，， ∴，，， ∴， 当且仅当时，即时，“”成立. 故答案为：8. 7．(22-23高一上·云南师范大学附属中学·期中)爱护环境人人有责，如今大气污染成为全球比较严重的问题.企业在生产中产生的废气要经过净化过滤后才可排放，某企业在净化过滤废气的过程中污染物含量（单位：mg/L）与过滤时间（单位：h）间的关系为（其中，是正的常数）.若在前5h的过滤过程中污染物被净化过滤了50%，则废气净化用时10h，废气中污染物含量占未过滤前污染物含量的百分比为 . 【答案】25% 【分析】由题可得，然后根据关系式即得. 【详解】由题，得当时，； 当时，，即， 解得， 所以； 所以当时，， 即废气净化用时10h，废气中污染物含量占未过滤前污染物含量的百分比为25%. 故答案为：25%. 8．(19-20高一上·云南昭通水富云天化中学·期中)一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过，那么这个人至少经过 小时才能开车.（精确到1小时，参考数据：） 【答案】5 【分析】先根据题意设小时后才能开车．再结合题中条件：“血液中的酒精含量不超过0.09mg/mL,”得到一个关于的不等关系,再根据指对数不等式的求解即可. 【详解】设小时后才能开车,则有,即,两边取对数有,因为故.代入可得.故最小为5. 故答案为：5. 【点睛】本题主要考查了指对数运算在实际情景中的运用,需要根据题意建立联系,再根据对数运算法则代入近似值计算.属于基础题. 9．用二分法求图象连续不断的函数在区间上的近似解，验证给定精确度，取区间的中点，计算得，，则此时零点 .（填区间） 【答案】（1 ，3） 【详解】试题分析：由 及可知与异号，与同号，由零点存在定理可知：即，故填（1 ，3）． 考点：本题考查零点存在定理和二分法求零点所在区间． 10．(24-25高一上·云南文山广南县第十中学校·期中)数学建模，就是根据实际问题建立数学模型，对数学模型进行求解，然后根据结果去解决实际问题．小明和他的数学建模小队现有这样一个问题：提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，那么，怎样才可以提高呢？我们理想化地建立这样一个关系，在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明，当时，车流速度是车流密度的一次函数． (1)求车流速度（单位：千米/小时）关于车流密度（单位：辆/千米）的函数； (2)当车流密度多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时，即）可以达到最大，并求出最大值？ 【答案】(1) (2)当时，函数取得最大值，即车流量最大，最大值约为3333辆 【分析】（1）根据题意分和讨论即可求得函数的解析式； （2）求出关于的关系式，然后分类讨论求解不等式即可确定车流密度的取值． 【详解】（1）当时，设， 则，解得， 所以； （2）由（1）得， 当时，， 此时函数在区间上是增函数，恒有； 当时，， 此时函数在区间上是增函数，在区间是减函数， 因此恒有，等号成立当且仅当， 综上所述，当时，函数取得最大值，即车流量最大，最大值约为3333辆． 11．(24-25高一上·云南凤庆县第一中学·期中)某西部乡村农产品加工合作社每年消耗电费24万元．为了节能环保，决定修建一个可使用16年的光伏电站，并入该合作社的电网．修建光伏电站的费用（单位：万元）与光伏电站的太阳能面板的面积（单位：）成正比，比例系数为．为了保证正常用电，修建后采用光伏电能和常规电能互补的供电模式用电，设在此模式下，当光伏电站的太阳能面板的面积为（单位：）时，该合作社每年消耗的电费为（单位：万元，k为常数）．记该合作社修建光伏电站的费用与16年所消耗的电费之和为（单位：万元）． (1)用表示； (2)该合作社应修建多大面积的太阳能面板，可使最小？并求出最小值． 【答案】(1)，． (2)，最小值为90万元 【分析】（1）由时求出，再根据所给条件得到关系式； （2）利用基本不等式计算可得. 【详解】（1）由题意可得，当时，，则， 所以该合作社修建光伏电站的费用与16年所消耗的电费之和： ，． （2）由（1） ， 当且仅当，即时，等号成立， 即该合作社应修建面积为的太阳能面板，可使最小，且最小值为90万元. 12．(21-22高一·云南三校玉溪一中、昭通一中和下关一中·)某兴趣小组在研究性学习活动中，通过对某商店一种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格（元）与时间x（天）的函数关系近似满足（k为常数）.该商品的日销售量（个）与时间x（天）部分数据如下表所示： x（天） 10 20 （个） 110 120 已知第10天该商品的日销售收入为121元. (1)求出该函数和的解析式； (2)求该商品的日销售收入（元）的最小值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用可求得的值，利用表格中的数据可得出关于、的方程组，可解得、的值，由此可得出函数和的解析式； （2）求出函数的解析式，利用基本不等式、函数单调性求得在且、且的最小值，比较大小后可得出结论. 【详解】（1）依题意知第天该商品的日销售收入为， 解得，所以. 由表格可知，解得. 所以. （2）由（1）知， 当且时，， 当且时，. ， 当时，由基本不等式可得， 当且仅当时，等号成立，即. 当时，因为函数、均为减函数， 则函数为减函数， 所以当时，取得最小值，且. 综上所述，当时，取得最小值，且. 故该商品的日销售收入的最小值为元. 13．某地区上年度电价为0.8元/kW•h，年用电量为akW•h，本年度计划将电价降到0.55元/kW•h至0.75元/kW•h之间，而用户期望电价为0.4元/kW•h，经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为k）．该地区电力的成本为0.3元/kW•h． (1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式； (2)设，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？ （注：收益＝实际用电量×（实际电价﹣成本价）） 【答案】(1) (2)0.6元/kw•h 【分析】（1）先根据题意设下调后的电价为x元/kw•h，依题意知用电量增至，得出电力部门的收益即可； （2）依题意：“电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%”得到关于x的不等关系，解此不等式即得出电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%． 【详解】（1）设下调后的电价为x元/kw•h， 依题意知用电量增至，电力部门的收益为 （2）依题意有， 整理得， 解此不等式得， 答：当电价最低定为0.6元/kw•h仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%． 【点睛】本小题主要考查建立函数关系、解不等式等基础知识，考查综合应用数学知识、思想和方法解决实际问题的能力． 14．(23-24高一上·云南曲靖曲靖二中云师高级中学·期中)某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需要增加投入100元，已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数：； (1)写出收入、成本与利润的等量关系 (2)将利润（单位：元）表示为月产量的函数 (3)上述研究问题选取函数的模型是（    ） ①二次函数和一次函数  ②二次函数和反比例函数  ③反比例函数和一次函数 (4)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大是多少？（总收入=总成本+利润） 【答案】(1)利润收入成本； (2)； (3)①； (4)当月产量为300台时，公司获得利润最大，最大利润为25000元. 【分析】（1）由“总收入=总成本+利润”即可得解； （2）根据公式可知，只需算出总成本关于月产量的函数关系即可； （3）根据二次函数、一次函数的定义识别即可； （4）利用二次函数、一次函数单调性，分类讨论来求利润的最大值即可，注意取等条件. 【详解】（1）由题意总收入=总成本+利润，所以收入、成本与利润的等量关系为：利润=收入成本. （2）由题意成本关于月产量的函数关系为，且， 所以利润关于月产量的函数关系为. （3）由（2）可知， 故上述研究问题选取函数的模型是①：二次函数和一次函数. （4）当时，．所以，当时，有最大值25000. 当时，是减函数，． 所以，当月产量为300台时，公司获得利润最大，最大利润为25000元. 15．(23-24高一上·云南昆明第十四中学·期中)为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为（宣传栏中相邻两个三角形板块间在水平方向上的留空宽度也都是设. (1)设阴影部分直角三角形的高为，求与的关系式，并求出当时，海报纸（矩形）的周长； (2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？ 【答案】(1)，海报纸的周长. (2)选择矩形的长､宽分别为的海报纸. 【分析】（1）由题设及三角形面积公式表示出阴影部分面积得，结合已知求海报纸的周长； （2）由，结合，利用基本不等式求取最小值的条件即可. 【详解】（1）由题设，阴影部分的面积，则， 当时，，由图知. 海报纸的周长为. 综上，与的关系式，海报纸的周长为. （2）由（1）知， ， 当且仅当，即时等号成立， 此时，. 故选择矩形的长､宽分别为的海报纸，可使用纸量最少. 16．(23-24高一上·云南昭通昭阳区第一中学·期中)某品牌电动汽车在某路段以每小时千米的速度匀速行驶千米.该路段限速，（单位：千米/时）.充电费为元/千瓦时，电动汽车行驶时每小时耗电千瓦时，轮䏩磨损费为元/千米，道路通行费为元/千米. (1)求这次行车总费用关于的表达式； (2)当行车速度为何值时，这次行车的总费用最低?最低费用为多少? 【答案】(1) (2)当行车速度时，这次行车的总费用最低，为元. 【分析】（1）根据各种费用求法可得总费用； （2）根据函数的单调性可得最值. 【详解】（1）由已知得 ， 所以这次行车总费用关于的表达式为； （2）由函数在时单调递减， 所以当时，取最小值， 当行车速度时，这次行车的总费用最低，为元. 17．(23-24高一上·云南开远第一中学校·期中)2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响在党和政府强有力的抗疫领导下，我们控制住了疫情接着我们一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量即该厂的年产量万件与年促销费用m万元满足），已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将产品的销售价格定为每件产品元 (1)将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数； (2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 【答案】(1)； (2)3万元． 【分析】（1）根据题意，结合利润=收入-成本，即可列式求解； （2）根据（1）的结果，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）因为每件产品的销售价格为元，且， 所以2020年的利润； （2）由（1）可知， 令，所以， ，当，即，即时，取得最小值8， 所以， 故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元． 18．(22-23高一上·云南师范大学附属中学·期中)第二十二届世界杯足球赛将于2022年11月20日至12月18日在卡塔尔举行，这是世界杯足球赛首次在中东国家举行.本届世界杯很可能是“绝代双骄”梅西、C罗的绝唱.世界杯，是球员们圆梦的舞台，是球迷们情怀的归宿，也是商人们角逐的竞技场.某足球运动装备生产企业，2022年的固定成本为1000万元，每生产x千件装备，需另投入资金（万元）.经计算与市场评估得，调查发现，当生产10千件装备时需另投入的资金万元.每千件装备的市场售价为300万元，从市场调查来看，2022年最多能售出150千件. (1)写出2022年利润W（万元）关于产量x（千件）的函数；（利润=销售总额总成本） (2)求当2022年产量为多少千件时，该企业所获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)； (2)当年产量为100千件时，该企业的年利润最大，最大年利润为1550万元. 【分析】（1）由题可得，进而结合条件可得利润（万元）关于年产量（千件）的函数； （2）根据二次函数的性质及基本不等式分段求函数的最值即得. 【详解】（1）由题意知，当时，， 所以， 当时，； 当时，， 所以； （2）当时，函数在上是增函数，在上是减函数， 所以当时，有最大值，最大值为1500； 当时，由基本不等式，得 ， 当且仅当时取等号， 所以当时，有最大值，最大值为1550； 因为， 所以当年产量为100千件时，该企业的年利润最大，最大年利润为1550万元. 19．(19-20高一上·云南云南昭通第一中学·期中)某商店试销一种成本单价为40元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于80元/件，经试销调查，发现销售量（件）与销售单价（元/件）可近似看作一次函数的关系．设商店获得的利润（利润销售总收入总成本）为元． （1）试用销售单价表示利润； （2）试问销售单价定为多少时，该商店可获得最大利润？最大利润是多少？此时的销售量是多少？ 【答案】（1）；（2）当销售单价为70元/件时，可获得最大利润900元，此时销售量是30件． 【分析】（1）由利润销售总收入总成本可得答案； （2）对于配方法即可求得最大值． 【详解】（1） . （2）， ∴当销售单价为70元/件时，可获得最大利润900元，此时销售量是30件． 20．(20-21高一上·第18课函数的表示-·)《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资､薪金所得不超过5000元的部分不必纳税，超过5000元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算： 全月应纳税所得额 税率 不超过3000元的部分 3% 超过3000元至12000元的部分 10% 超过12000元至25000元的部分 20% 某职工每月收入为x元，应交纳的税额为y元. （1）请写出y关于x的函数关系式； （2）有一职工八月份交纳了54元的税款，请问该职工八月份的工资是多少？ 【答案】（1）；（2）6800. 【分析】（1）直接由表格求出各段的表达式即可求解； （2）根据交纳了54元的税款可得在第二段，代入解析式即可求解． 【详解】解：（1）由题意，得； （2）该职工八月份交纳了54元的税款，，，解得． 故这名职工八月份的工资是6800元． 【点睛】本题主要考查函数的应用问题，首先要正确理解题意，再根据题目条件写出分段函数的解析式．但要注意每段中自变量的取值范围，并能利用函数解析式解决实际问题，属于基础题． 21．(19-20高一上·云南昭通水富云天化中学·期中)某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元.设该公司的仪器月产量为台，当月产量不超过400台时，总收益为元，当月产量超过400台时，总收益为元.（注：总收益=总成本+利润） （1）将利润表示为月产量的函数； （2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1) . (2) 当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润为25000元. 【分析】（1）利用已知条件，结合分段函数列出利润表示为月产量的函数； （2）利用分段函数的解析式，分段求解函数的最大值即可． 【详解】（1）由题意得总成本为（20000+100）元， 所以利润. （2）当时，， 所以当时，的最大值为25000； 当时，是减函数， 所以 综上，当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润为25000元. 【点睛】本题考查利用函数思想求解实际问题，求解函数的解析式是解题的关键，考查发现问题解决问题的能力，是基础题． 22．某企业生产的新产品必须先靠广告打开销路，该产品广告效应（单位：元）是产品的销售额与广告费（单位:元）之间的差，如果销售额与广告费的算术平方根成正比，根据对市场的抽样调查，每付出100元的广告费，所得销售额是1000元. （Ⅰ）求出广告效应与广告费之间的函数关系式； （Ⅱ）该企业投入多少广告费才能获得最大的广告效应？是不是广告费投入越多越好？ 【答案】（I）;（II）该企业投入2500元广告费时能获得最大的广告效应，当时，时，逐渐减小，并不是广告费投入越多越好. 【详解】试题分析：（I）根据题意写出函数的解析式并写出定义域；（II）用换元法将函数关系式转化为二次函数模型，求出能获得的最大广告效应． 试题解析：（Ⅰ）设销售额为元，由题意知又当时，， ，解得.， 广告效应与广告费之间的函数关系为： （Ⅱ）令则 时，即时，有最大值2500.该企业投入2500元广告费时能获得最大的广告效应.当时，时，逐渐减小，并不是广告费投入越多越好. 考点：1、函数的实际应用. 【方法点晴】本题主要考查的是函数的实际应用，根据实际问题选择函数类型，属于难题.对于值域不能求出的非初等函数需要用换元法将其转化为基本初等函数来求值域，这里一定要注意换元后新元的取值范围，否则很容易出错. 23．我国是水资源匮乏的国家，为鼓励节约用水，某市打算出台一项水费政策措施．规定：每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费收基本价1.3元；若超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费按基本价3倍收取；若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费按基本价5倍收取．某人本季度实际用水量为吨，应交水费为元． （1）求，，的值； （2）试求出函数的解析式． 【答案】（1）5.2,8.45,13.65（2）f（x）= 【详解】试题分析：（1）根据每一季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费收基本价1.3元，求f（4）；根据若超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费加收200%求f（5.5）；（2）根据每一季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费收基本价1.3元；若超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费加收200%；若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费加收400%．分为三段，建立分段函数模型 试题解析：（1）根据题意f（4）=4×1.3=5.2； f（5.5）=5×1.3+0.5×3.9=8.45； f（6.5）=5×1.3+1×3.9+0.5×6.5=13.65． （2）根据题意： ①当x∈[0，5]时f（x）=1.3x ②若超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费加收200%； 即：当x∈（5，6]时f（x）=1.3×5+（x﹣5）×3.9=3.9x﹣13 ③当x∈（6，7]时f（x）=6.5x﹣28 ∴f（x）=． 考点：函数模型的选择与应用；函数解析式的求解及常用方法 24．某省两相近重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，用一列火车作为交通车，已知该车每次拖4节车厢，一日能来回16次， 如果每次拖7节车厢，则每日能来回10次． （1）若每日来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数，求此一次函数解析式； （2）在（1）的条件下，每节车厢能载乘客110人．问这列火车每天来回多少次才能使运营人数最多?并求出每天最多运营人数． 【答案】（1）（2）这列火车每天来回12次,才能使运营人数最多．每天最多运营人数为7920. 【详解】试题分析：（1）先设出一次函数的解析式，再代入，利用待定系数法进行求解；（2）先设出有关未知量，结合（1）结论，得到每天运营总人数关于车厢节数的函数，再利用二次函数求其最值． 试题解析：（1）设每天往返y次,每次挂x节车厢,由题意y=kx+b,当x=4时,y=16,当x=7时,y=10, 得到16=4k+b,10=7k+b．解得:k=-2,b=24,∴y=-2x+24   设每天往返y次,每次挂x节车厢,由题意知,每天挂车厢最多时,运营人数最多,设每天运营S节车 厢,则S=xy=x（-2x+24）=-2x2+24x=-2（x-6）2+72, 所以当x=6时,Smax=72,此时y=12,则每日最多运营人数为110×72=7 920（人）． 答:这列火车每天往返12次,才能使运营人数最多,每天最多运营人数为7 920人． 考点：1．函数模型及其应用；2．待定系数法；3．二次函数的最值． 【思路点睛】本题考查函数模型及其应用，属于中档题．解决函数应用题的基本步骤： 审题：弄清题意，分析条件和结论，理顺数量关系，恰当选择模型； 建模：利用数学知识建立相应的数学模型，将实际问题化为数学问题； 求解：求解数学问题，得出数学结论； 还原：将利用数学知识和方法得到的结论，还原为实际问题的答案． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 函数的应用真题精选 1．(22-23高一上·云南昭通直中学·期中)某市出租车收费标准：路程不超过千米，收费为元；路程超过千米但不超过千米的部分，每千米车费为元；路程超过千米的部分，每千米车费为元，若该乘客所付车费为元，求出租车行驶的路程是（    ）千米. A． B． C． D． 2．(24-25高一上·云南红河州蒙自第四中学·期中)某企业员工小李的住处与他的办公室相距，某天下班后，小李发现有份重要材料丢在办公室，于是他从住处出发，先匀速跑步3min来到办公室，停留2min，然后匀速步行10min返回住处．在这个过程中，小李行进的速度和行走的路程都是时间的函数，则速度函数和路程函数的示意图分别是下面四个图象中的（    ） A．①④ B．②③ C．④① D．③② 3．(22-23高一上·云南昭通直中学·期中)某电影票单价30元，相关优惠政策如下：①团购10张票，享受9折优惠；②团购30张票，享受8折优惠；③购票总额每满500元减80元.每张电影票只能享受一种优惠政策，现需要购买48张电影票，合理设计购票方案，费用最少为 . 4．(24-25高一上·云南昭通一中教研联盟·期中)甲、乙两地相距1000千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成.可变部分与速度（千米/时）的平方成正比，比例系数为0.2，固定部分为720元.为使全程运输成本最小，汽车的速度是 千米/时. 5．(23-24高一上·云南昆明第八中学·期中)如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：）与时间t（单位：月）的关系为．关于下列说法正确的是 ． ①浮萍的面积每月的增长率为2；②浮萍每月增加的面积都相等；③第5个月时，浮萍面积不超过；④若浮萍蔓延到，，所经过的时间分别是，，，则．    6．(23-24高一上·云南昆明云南师范大学附属中学·期中)某运输公司计划租地建造自己的物流仓库，记仓库到车站距离为 （单位：km），经过调查可知，每月土地占用费（单位：万元）  与 成反比，每月货物运输费 （单位：万元） 与 成正比，若在距离车站3km处建仓库，则和分别为12万元和2万元，则这家公司把仓库建在距离车站 km处时，两项费用之和最小. 7．(22-23高一上·云南师范大学附属中学·期中)爱护环境人人有责，如今大气污染成为全球比较严重的问题.企业在生产中产生的废气要经过净化过滤后才可排放，某企业在净化过滤废气的过程中污染物含量（单位：mg/L）与过滤时间（单位：h）间的关系为（其中，是正的常数）.若在前5h的过滤过程中污染物被净化过滤了50%，则废气净化用时10h，废气中污染物含量占未过滤前污染物含量的百分比为 . 8．(19-20高一上·云南昭通水富云天化中学·期中)一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过，那么这个人至少经过 小时才能开车.（精确到1小时，参考数据：） 9．用二分法求图象连续不断的函数在区间上的近似解，验证给定精确度，取区间的中点，计算得，，则此时零点 .（填区间） 10．(24-25高一上·云南文山广南县第十中学校·期中)数学建模，就是根据实际问题建立数学模型，对数学模型进行求解，然后根据结果去解决实际问题．小明和他的数学建模小队现有这样一个问题：提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，那么，怎样才可以提高呢？我们理想化地建立这样一个关系，在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明，当时，车流速度是车流密度的一次函数． (1)求车流速度（单位：千米/小时）关于车流密度（单位：辆/千米）的函数； (2)当车流密度多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时，即）可以达到最大，并求出最大值？ 11．(24-25高一上·云南凤庆县第一中学·期中)某西部乡村农产品加工合作社每年消耗电费24万元．为了节能环保，决定修建一个可使用16年的光伏电站，并入该合作社的电网．修建光伏电站的费用（单位：万元）与光伏电站的太阳能面板的面积（单位：）成正比，比例系数为．为了保证正常用电，修建后采用光伏电能和常规电能互补的供电模式用电，设在此模式下，当光伏电站的太阳能面板的面积为（单位：）时，该合作社每年消耗的电费为（单位：万元，k为常数）．记该合作社修建光伏电站的费用与16年所消耗的电费之和为（单位：万元）． (1)用表示； (2)该合作社应修建多大面积的太阳能面板，可使最小？并求出最小值． 12．(21-22高一·云南三校玉溪一中、昭通一中和下关一中·)某兴趣小组在研究性学习活动中，通过对某商店一种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格（元）与时间x（天）的函数关系近似满足（k为常数）.该商品的日销售量（个）与时间x（天）部分数据如下表所示： x（天） 10 20 （个） 110 120 已知第10天该商品的日销售收入为121元. (1)求出该函数和的解析式； (2)求该商品的日销售收入（元）的最小值. 13．某地区上年度电价为0.8元/kW•h，年用电量为akW•h，本年度计划将电价降到0.55元/kW•h至0.75元/kW•h之间，而用户期望电价为0.4元/kW•h，经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为k）．该地区电力的成本为0.3元/kW•h． (1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式； (2)设，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？ （注：收益＝实际用电量×（实际电价﹣成本价）） 14．(23-24高一上·云南曲靖曲靖二中云师高级中学·期中)某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需要增加投入100元，已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数：； (1)写出收入、成本与利润的等量关系 (2)将利润（单位：元）表示为月产量的函数 (3)上述研究问题选取函数的模型是（    ） ①二次函数和一次函数  ②二次函数和反比例函数  ③反比例函数和一次函数 (4)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大是多少？（总收入=总成本+利润） 15．(23-24高一上·云南昆明第十四中学·期中)为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为（宣传栏中相邻两个三角形板块间在水平方向上的留空宽度也都是设. (1)设阴影部分直角三角形的高为，求与的关系式，并求出当时，海报纸（矩形）的周长； (2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？ 16．(23-24高一上·云南昭通昭阳区第一中学·期中)某品牌电动汽车在某路段以每小时千米的速度匀速行驶千米.该路段限速，（单位：千米/时）.充电费为元/千瓦时，电动汽车行驶时每小时耗电千瓦时，轮䏩磨损费为元/千米，道路通行费为元/千米. (1)求这次行车总费用关于的表达式； (2)当行车速度为何值时，这次行车的总费用最低?最低费用为多少? 17．(23-24高一上·云南开远第一中学校·期中)2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响在党和政府强有力的抗疫领导下，我们控制住了疫情接着我们一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量即该厂的年产量万件与年促销费用m万元满足），已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将产品的销售价格定为每件产品元 (1)将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数； (2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 18．(22-23高一上·云南师范大学附属中学·期中)第二十二届世界杯足球赛将于2022年11月20日至12月18日在卡塔尔举行，这是世界杯足球赛首次在中东国家举行.本届世界杯很可能是“绝代双骄”梅西、C罗的绝唱.世界杯，是球员们圆梦的舞台，是球迷们情怀的归宿，也是商人们角逐的竞技场.某足球运动装备生产企业，2022年的固定成本为1000万元，每生产x千件装备，需另投入资金（万元）.经计算与市场评估得，调查发现，当生产10千件装备时需另投入的资金万元.每千件装备的市场售价为300万元，从市场调查来看，2022年最多能售出150千件. (1)写出2022年利润W（万元）关于产量x（千件）的函数；（利润=销售总额总成本） (2)求当2022年产量为多少千件时，该企业所获得的利润最大？最大利润是多少？ 19．(19-20高一上·云南云南昭通第一中学·期中)某商店试销一种成本单价为40元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于80元/件，经试销调查，发现销售量（件）与销售单价（元/件）可近似看作一次函数的关系．设商店获得的利润（利润销售总收入总成本）为元． （1）试用销售单价表示利润； （2）试问销售单价定为多少时，该商店可获得最大利润？最大利润是多少？此时的销售量是多少？ 20．(20-21高一上·第18课函数的表示-·)《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资､薪金所得不超过5000元的部分不必纳税，超过5000元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算： 全月应纳税所得额 税率 不超过3000元的部分 3% 超过3000元至12000元的部分 10% 超过12000元至25000元的部分 20% 某职工每月收入为x元，应交纳的税额为y元. （1）请写出y关于x的函数关系式； （2）有一职工八月份交纳了54元的税款，请问该职工八月份的工资是多少？ 21．(19-20高一上·云南昭通水富云天化中学·期中)某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元.设该公司的仪器月产量为台，当月产量不超过400台时，总收益为元，当月产量超过400台时，总收益为元.（注：总收益=总成本+利润） （1）将利润表示为月产量的函数； （2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？ 22．某企业生产的新产品必须先靠广告打开销路，该产品广告效应（单位：元）是产品的销售额与广告费（单位:元）之间的差，如果销售额与广告费的算术平方根成正比，根据对市场的抽样调查，每付出100元的广告费，所得销售额是1000元. （Ⅰ）求出广告效应与广告费之间的函数关系式； （Ⅱ）该企业投入多少广告费才能获得最大的广告效应？是不是广告费投入越多越好？ 23．我国是水资源匮乏的国家，为鼓励节约用水，某市打算出台一项水费政策措施．规定：每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费收基本价1.3元；若超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费按基本价3倍收取；若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费按基本价5倍收取．某人本季度实际用水量为吨，应交水费为元． （1）求，，的值； （2）试求出函数的解析式． 24．某省两相近重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，用一列火车作为交通车，已知该车每次拖4节车厢，一日能来回16次， 如果每次拖7节车厢，则每日能来回10次． （1）若每日来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数，求此一次函数解析式； （2）在（1）的条件下，每节车厢能载乘客110人．问这列火车每天来回多少次才能使运营人数最多?并求出每天最多运营人数． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $