第二章 平面向量（A卷·考点梳理卷）-《同步单元AB卷》《数学 拓展模块上册》（高教版2023修订版）

编写说明：本套【浙江专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第二章不等式的考点梳理卷，主要梳理和考查了向量的基本概念、向量的加法运算、向量的减法运算、向量的数乘运算 、向量的线性组合（共线向量定理）、向量的坐标表示、向量的数量积、向量的模与方向角、向量的平行条件、向量的垂直条件、向量在几何中的应用等常见考点。 第二章 平面向量· 目录 考点一 向量的基本概念 1 考点二 向量的加法运算 2 考点三 向量的减法运算 3 考点四 向量的数乘运算 3 考点五 向量的线性组合（共线向量定理） 4 考点六 向量的坐标表示 4 考点七 向量的数量积 5 考点八 向量的模与方向角 5 考点九 向量的平行条件 6 考点十 向量的垂直条件 7 考点十一 向量在几何中的应用 7 考点一 向量的基本概念 1. 下列关于向量的说法正确的是（ ） A. 模为0的向量是零向量 B. 单位向量都相等 C. 方向相同的向量是相等向量 D. 向量的大小与方向无关 2. 下列向量中，与向量相等的向量是（ ） A. B. C. D. 3. 关于零向量，下列说法错误的是（ ） A. B. 零向量的方向任意 C. 零向量与任意向量平行 D. 零向量与任意向量相等 考点二 向量的加法运算 4. 向量加法的三角形法则是（ ） A. 以的终点为起点作，连接的起点和的终点 B. 以的终点为起点作，连接的起点和的终点 C. 以和的起点为公共起点作平行四边形，对角线为 D. 以上都不对 5. 在平行四边形中，（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 考点三 向量的减法运算 7. 向量的三角形法则是（ ） A. 从的终点指向的终点的向量 B. 从的终点指向的终点的向量 C. 以和的起点为公共起点作平行四边形，对角线为 D. 以上都不对 8. 在中，（ ） A. B. C. D. 9. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 考点四 向量的数乘运算 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 向量（为实数）的几何意义是（ ） A. 与反方向的向量，模为 B. 与同方向的向量，模为 C. 与同方向或反方向的向量，模为 D. 以上都不对 12. 已知，，则下列说法正确的是（ ） A. 与共线 B. 与垂直 C. D. 与方向相反 考点五 向量的线性组合（共线向量定理） 13. 若向量与共线（），则存在唯一实数，使得（ ） A. B. C. D. 以上都对 14. 已知，，则与（ ） A. 共线 B. 垂直 C. 模相等 D. 方向相反 15. 若与共线，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 考点六 向量的坐标表示 16. 已知点，点，则（ ） A. B. C. D. 17. 已知，其起点为，则终点坐标为（ ） A. B. C. D. 18. 已知，，若，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 考点七 向量的数量积 19. 已知，，则（ ） A. 0 B. 5 C. -1 D. 11 20. 向量的几何意义是（ ） A. （为与的夹角） B. C. D. 21. 已知，，与的夹角为，则（ ） A. 13 B. C. D. 0 考点八 向量的模与方向角 22. 已知，则（ ） A. 5 B. 7 C. D. 1 23. 向量与轴正方向的夹角为（ ） A. 120° B. 30° C. 60° D. 90° 24. 已知，，则（ ） A. ±2 B. ±1 C. ±√5 D. ±√6 考点九 向量的平行条件 25. 已知，，则与（ ） A. 垂直 B. 共线 C. 模相等 D. 方向相反 26. 若与平行，则（ ） A. B. C. D. 27. 已知，，若，则（ ） A. ±√2 B. ±1 C. ±4 D. ±2 考点十 向量的垂直条件 28. 已知，，则与（ ） A. 垂直 B. 平行 C. 模相等 D. 方向相同 29. 若与垂直，则（ ） A. B. C. D. 30. 已知，，若，则（ ） A. 0 B. ±6 C. ±3 D. ±4 考点十一 向量在几何中的应用 31. 已知点，，则的中点的坐标为（ ） A. B. C. D. 32. 在平行四边形中，，，则（ ） A. B. C. D. 33. 已知点，，，则（ ） A. B. C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套【浙江专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第二章不等式的考点梳理卷，主要梳理和考查了向量的基本概念、向量的加法运算、向量的减法运算、向量的数乘运算 、向量的线性组合（共线向量定理）、向量的坐标表示、向量的数量积、向量的模与方向角、向量的平行条件、向量的垂直条件、向量在几何中的应用等常见考点。 第二章 平面向量 目录 考点一 向量的基本概念 1 考点二 向量的加法运算 3 考点三 向量的减法运算 4 考点四 向量的数乘运算 6 考点五 向量的线性组合（共线向量定理） 7 考点六 向量的坐标表示 8 考点七 向量的数量积 10 考点八 向量的模与方向角 11 考点九 向量的平行条件 13 考点十 向量的垂直条件 14 考点十一 向量在几何中的应用 16 考点一 向量的基本概念 1. 下列关于向量的说法正确的是（ ） A. 模为0的向量是零向量 B. 单位向量都相等 C. 方向相同的向量是相等向量 D. 向量的大小与方向无关 【答案】A 【分析】本题考查向量的基本概念（零向量、单位向量、相等向量）。 【详解】对于选项A：零向量的定义是模为0且方向任意的向量，正确； 对于选项B：单位向量模为1，但方向可以不同（如和都是单位向量，但不相等），错误； 对于选项C：相等向量需要大小和方向都相同，仅方向相同不足以判定相等（如和方向相同，但大小不同，不是相等向量），错误； 对于选项D：向量由大小（模）和方向共同决定，两者缺一不可，错误。 故选：A 2. 下列向量中，与向量相等的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查相等向量的判定（坐标完全相同）。 【详解】对于选项A：坐标不同（），大小和方向都不同，错误； 对于选项B：坐标相反（是的相反向量），方向相反，错误； 对于选项C：坐标与完全相同，大小和方向都相同，正确； 对于选项D：坐标相反（与方向相反），错误。 故选：C 3. 关于零向量，下列说法错误的是（ ） A. B. 零向量的方向任意 C. 零向量与任意向量平行 D. 零向量与任意向量相等 【答案】D 【分析】本题考查零向量的性质。 【详解】 对于选项A：零向量的模为0，正确； 对于选项B：零向量没有固定方向，任意方向都可以，正确； 对于选项C：零向量与任意向量平行（共线），正确； 对于选项D：零向量与任意向量相等是错误的（相等向量需要方向相同，而零向量方向任意），错误。 故选：D 考点二 向量的加法运算 4. 向量加法的三角形法则是（ ） A. 以的终点为起点作，连接的起点和的终点 B. 以的终点为起点作，连接的起点和的终点 C. 以和的起点为公共起点作平行四边形，对角线为 D. 以上都不对 【答案】A 【分析】本题考查向量加法的三角形法则（核心：首尾相接）。 【详解】对于选项A：三角形法则的定义：是从的起点出发，经过的终点（即的起点），到的终点的向量（如图：），正确； 对于选项B：这是，但向量加法交换律，但本题问的是三角形法则的标准描述，B的描述不准确； 对于选项C：这是平行四边形法则（适用于两个向量起点相同的情况），不是三角形法则，错误； 对于选项D：A正确，故D错误。 故选：A 5. 在平行四边形中，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查向量加法的平行四边形法则（平行四边形对角线性质）。 【详解】对于选项A：平行四边形法则：邻边向量之和等于对角线向量（），正确； 对于选项B：（另一条对角线，向量之差），错误； 对于选项C：（相反向量），错误； 对于选项D：（相反向量），错误。 故选：A 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查向量加法的坐标运算（对应坐标相加）。 【详解】对于选项A：，正确； 对于选项B：（向量之差），错误； 对于选项C：（向量之差），错误； 对于选项D：未进行加法运算，错误。 故选：A 考点三 向量的减法运算 7. 向量的三角形法则是（ ） A. 从的终点指向的终点的向量 B. 从的终点指向的终点的向量 C. 以和的起点为公共起点作平行四边形，对角线为 D. 以上都不对 【答案】A 【分析】本题考查向量减法的三角形法则（核心：起点相同，终点相连）。 【详解】 对于选项A：三角形法则：两个向量起点相同时，是从的终点指向的终点的向量（如图：），正确； 对于选项B：这是（方向相反），错误； 对于选项C：平行四边形法则用于向量加法，减法的平行四边形法则是从的起点指向的终点，但不是三角形法则，错误； 对于选项D：A正确，故D错误。 故选：A 8. 在中，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查向量减法的几何意义（三角形中向量关系）。 【详解】对于选项A：（从到的向量），错误； 对于选项B：（从到的向量，符合三角形法则：），正确； 对于选项C：只有当（等腰三角形）时，，错误； 对于选项D：无依据，错误。 故选：B 9. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查向量减法的坐标运算（对应坐标相减）。 【详解】对于选项A：，正确； 对于选项B：（相反向量之差），错误； 对于选项C：（向量之和），错误； 对于选项D：只有当时，，错误。 故选：A 考点四 向量的数乘运算 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查向量数乘的坐标运算（坐标乘以 scalar）。 【详解】对于选项A：，正确； 对于选项B：坐标未乘3（），错误； 对于选项C：坐标未乘3（），错误； 对于选项D：未进行数乘运算，错误。 故选：A 11. 向量（为实数）的几何意义是（ ） A. 与反方向的向量，模为 B. 与同方向的向量，模为 C. 与同方向或反方向的向量，模为 D. 以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查向量数乘的几何意义（方向与模的变化）。 【详解】对于选项A：忽略了时方向相同的情况，错误； 对于选项B：忽略了时方向相反的情况，错误； 对于选项C：数乘向量的几何意义：时，与同方向；时，与反方向；模为，正确； 对于选项D：A正确，故D错误。 故选：C 12. 已知，，则下列说法正确的是（ ） A. 与共线 B. 与垂直 C. D. 与方向相反 【答案】A 【分析】本题考查向量数乘的性质（共线向量判定）。 【详解】对于选项A：（），所以与共线（同方向），正确； 对于选项B：（数量积不为0），不垂直，错误； 对于选项C：，，模不相等，错误； 对于选项D：，方向相同，错误。 答案：A 考点五 向量的线性组合（共线向量定理） 13. 若向量与共线（），则存在唯一实数，使得（ ） A. B. C. D. 以上都对 【答案】B 【分析】本题考查共线向量定理（核心结论）。 【详解】 对于选项A：当时，，但定理中强调，故B不是定理的标准表述；对于选项B：共线向量定理的标准表述：若与共线且，则存在唯一实数，使得，正确； 对于选项C：，也是共线的情况，但定理的核心结论是，故C不是最佳选项； 对于选项D：A正确，故D错误。 故选：B 14. 已知，，则与（ ） A. 共线 B. 垂直 C. 模相等 D. 方向相反 【答案】A 【分析】本题考查共线向量的判定（坐标成比例）。 【详解】 对于选项A：（），所以与共线，正确； 对于选项B：，不垂直，错误； 对于选项C：，，模不相等，错误； 对于选项D：，方向相同，错误。 故选：A 15. 若与共线，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【分析】本题考查共线向量的坐标条件（）。 【详解】 对于选项A：时，，错误。 对于选项B： 对于选项C：时，，不满足共线条件，错误； 对于选项D：共线条件：（），即，解得，正确； 故选：D 考点六 向量的坐标表示 16. 已知点，点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查向量坐标的定义（终点坐标-起点坐标）。 【详解】 对于选项A：，正确； 对于选项B：（相反向量），错误； 对于选项C：（点坐标之和，不是向量），错误； 对于选项D：只有当时，，错误。 故选：A 17. 已知，其起点为，则终点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查向量坐标与起点、终点的关系（终点=起点+向量）。 【详解】对于选项A：起点坐标-2×向量坐标=(1-6,2-(-2))=(-5,4)，错误； 对于选项B：起点坐标-向量坐标=(1-3,2-(-1))=(-2,3)，错误； 对于选项C：终点坐标=起点坐标+向量坐标=(1+3,2+(-1))=(4,1)，正确； 对于选项D：起点坐标=终点坐标-向量坐标，即终点=起点+向量，错误。 故选：C 18. 已知，，若，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】A 【分析】本题考查相等向量的坐标条件（对应坐标相等）。 【详解】对于选项A：意味着，，所以，正确； 对于选项B：，时，，错误； 对于选项C：，时，，错误； 对于选项D：，时，，错误。 故选：A． 考点七 向量的数量积 19. 已知，，则（ ） A. 0 B. 5 C. -1 D. 11 【答案】A 【分析】本题考查向量数量积的坐标运算（）。 【详解】对于选项A：垂直时数量积为0，本题不垂直，错误。 对于选项B：（向量坐标之和，不是数量积），错误； 对于选项C：（错误的运算），错误； 对于选项D：，正确； 故选：D． 20. 向量的几何意义是（ ） A. （为与的夹角） B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查向量数量积的几何意义（投影的乘积）。 【详解】对于选项A：数量积的几何意义是的模乘以在方向上的投影（），即，正确； 对于选项B：这是向量叉乘的模（几何意义是平行四边形面积），错误； 对于选项C：向量和的模（），错误； 对于选项D：向量差的模（），错误。 故选：A． 21. 已知，，与的夹角为，则（ ） A. 13 B. C. D. 0 【答案】A 【分析】本题考查向量数量积的定义（）。 【详解】 对于选项A：时，，错误； 对于选项B：，所以，正确； 对于选项C：或（模，不是数量积），错误； 对于选项D：垂直时（），，错误。 故选：B． 考点八 向量的模与方向角 22. 已知，则（ ） A. 5 B. 7 C. D. 1 【答案】A 【分析】本题考查向量模的计算（）。 【详解】 对于选项A：，正确； 对于选项B：（坐标之和，不是模），错误； 对于选项C：（无意义），错误； 对于选项D：单位向量的模为1，错误。 故选：A． 23. 向量与轴正方向的夹角为（ ） A. 120° B. 30° C. 60° D. 90° 【答案】C 【分析】本题考查向量方向角的计算（）。 【详解】对于选项A：（坐标为负），错误； 对于选项B：（坐标小于坐标），错误； 对于选项C：，所以（），正确； 对于选项D：无意义（轴方向），错误。 故选：C． 24. 已知，，则（ ） A. ±2 B. ±1 C. ±√5 D. ±√6 【答案】A 【分析】本题考查向量模的逆运算（）。 【详解】 对于选项A：，所以，，正确； 对于选项B：（），错误； 对于选项C：（，不是±√5），错误； 对于选项D：（），错误。 故选：A． 考点九 向量的平行条件 25. 已知，，则与（ ） A. 垂直 B. 共线 C. 模相等 D. 方向相反 【答案】B 【分析】本题考查向量平行（共线）的判定（坐标成比例）。 【详解】 对于选项A： 对于选项B：（），所以与共线，正确； 对于选项C：，（模不相等），错误； 对于选项D：（方向相同），错误。 故选：B． 26. 若与平行，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查向量平行的坐标条件（）。 【详解】对于选项A：平行条件：（），即，解得，正确； 对于选项B：（错误的比例），错误； 对于选项C：（符号错误），错误； 对于选项D：（符号错误），错误。 故选：A． 27. 已知，，若，则（ ） A. ±√2 B. ±1 C. ±4 D. ±2 【答案】D 【分析】本题考查向量平行的坐标条件（）。 【详解】 对于选项A：（），错误。 对于选项B：（），错误； 对于选项C：（），错误； 对于选项D：平行条件：（），即，解得，正确； 故选：D． 考点十 向量的垂直条件 28. 已知，，则与（ ） A. 垂直 B. 平行 C. 模相等 D. 方向相同 【答案】A 【分析】本题考查向量垂直的判定（数量积为0）。 【详解】对于选项A：，所以与垂直，正确； 对于选项B：（，不平行），错误； 对于选项C：，（模相等，但题目问的是垂直），错误； 对于选项D：方向垂直，不是相同，错误。 故选：A． 29. 2. 若与垂直，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题考查向量垂直的坐标条件（）。 【详解】 对于选项A：（，不垂直），错误。 对于选项B：（，不垂直），错误； 对于选项C：（错误的条件），错误； 对于选项D：垂直条件：（），即，解得，正确； 故选：D． 30. 已知，，若，则（ ） A. 0 B. ±6 C. ±3 D. ±4 【答案】A 【分析】本题考查向量垂直的坐标条件（数量积为0）。 【详解】 对于选项A：垂直条件：（），即，解得，正确； 对于选项B：（，不垂直），错误； 对于选项C：（，不垂直），错误； 对于选项D：（，不垂直），错误。 故选：A． 考点十一 向量在几何中的应用 31. 已知点，，则的中点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查向量中点公式（）。 【详解】对于选项A：（向量之差），错误； 对于选项B：中点坐标公式：，正确； 对于选项C：（点坐标之和），错误； 对于选项D：原点（无依据），错误。 故选：B． 32. 在平行四边形中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查向量在平行四边形中的应用（对角线为邻边之和）。 【详解】 对于选项A：（平行四边形对角线），正确； 对于选项B：（另一条对角线），错误； 对于选项C：（向量之差），错误； 对于选项D：（无依据），错误。 故选：A． 33. 已知点，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查向量在几何中的线性运算（三角形中向量和）。 【详解】 对于选项A：（相反向量），错误； 对于选项B：（单独向量），错误； 对于选项C：，，所以，正确； 对于选项D：（单独向量），错误。 故选：C． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $