3.1.2椭圆的几何性质（同步练习）-高教版《数学 拓展模块上册》（2023修订版）《上好课》（原卷版+解析版）

高教版《数学 拓展模块上册》 3.1.2 椭圆的几何性质 一、单选题 1．椭圆的离心率是（   ） A． B． C． D． 2．椭圆的长轴长为（    ） A．6 B．8 C． D． 3．椭圆的离心率是（   ）． A． B． C． D． 二、填空题 4．性质：椭圆的离心率的范围是 .当越接近于时，椭圆 ；当越接近于 时，椭圆就越接近于圆. 5．中国是陶瓷的故乡，陶瓷文化是中华文明的重要象征．如图所示，是一个明代的椭圆形瓷盘，呈现了数学中几何之美，该椭圆形瓷盘口的长为30cm，宽为18cm，则椭圆的离心率为 ． 6．已知椭圆的离心率是，且焦距为4，则椭圆的标准程为 . 三、证明题 7．已知椭圆，三点中恰有两点在椭圆上.求椭圆的方程； 8．在中，，，且． (1)求证：点A在一个椭圆上运动； (2)写出这个椭圆的焦点坐标． 一、单选题 1．已知椭圆，则下列说法正确的是（   ） A．有一个顶点为 B．短轴长为6 C．焦点在y轴上 D．离心率 2．若椭圆的焦点为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 3．已知椭圆的长轴长与短轴长之比为，则其率心率为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．已知一个椭圆的方程为，则该椭圆的短轴长为 5．已知椭圆C的中心在坐标原点上，一个焦点的坐标是，若点在椭圆C上，则椭圆C的离心率为 ． 6．已知椭圆C的中心在原点，右焦点坐标为，长半轴与短半轴的长度之和为4，则椭圆C的标准方程为 ． 三、解答题 7．求椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标. 8． 已知椭圆的离心率为，且该椭圆上的点到右焦点的最大距离为5，求椭圆的标准方程. 一、单选题 1．已知椭圆的离心率为，过左焦点的直线交于两点，为该椭圆的右焦点，则的周长为（   ） A． B． C． D． 2．已知椭圆的左、右焦点分别为，若以为直径的圆与椭圆没有公共点，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知椭圆，则下列结论正确的是（    ） A．长轴长是3，一个焦点为 B．一个焦点为，离心率是 C．焦距是，短轴长是4 D．对称轴是坐标轴，一个顶点为 二、填空题 4．在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为，短轴长为，小椭圆的短轴长为，则小椭圆的长轴长为 . 5．已知椭圆的焦点在x轴上，短轴长为，离心率，则椭圆标准方程为 . 三、解答题 6．已知椭圆， (1)求椭圆的焦点、焦距、长轴长、短轴长及离心率； (2)判断直线与该椭圆的位置关系，并说明理由. 7．已知椭圆的一个焦点为，离心率． (1)求椭圆的方程； (2)已知直线与椭圆交于两点，其中为坐标原点，求的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高教版《数学 拓展模块上册》 3.1.2 椭圆的几何性质 一、单选题 1．椭圆的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的标准方程确定的值，再由离心率公式求值即可. 【详解】已知椭圆，则，可得，，所以， 所以椭圆的离心率为. 故选：D. 2．椭圆的长轴长为（    ） A．6 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的方程确定的值，即可求出长轴长. 【详解】由椭圆可知，，所以长轴长为， 故选：B. 3．椭圆的离心率是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将椭圆方程化为标准方程，得到，再代离心率公式求解即可. 【详解】椭圆即，则，，则离心率. 故选：C. 二、填空题 4．性质：椭圆的离心率的范围是 .当越接近于时，椭圆 ；当越接近于 时，椭圆就越接近于圆. 【答案】；越扁；. 【分析】由椭圆的几何性质即可求解. 【详解】离心率的范围是，当越接近于时，椭圆越扁；当越接近于时，椭圆就越接近于圆. 故答案为：；越扁；. 5．中国是陶瓷的故乡，陶瓷文化是中华文明的重要象征．如图所示，是一个明代的椭圆形瓷盘，呈现了数学中几何之美，该椭圆形瓷盘口的长为30cm，宽为18cm，则椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】根据题意，可求得a和b的值，继而求得c的值，即可求得椭圆的离心率. 【详解】 由题意，可知，所以，所以， 所以该椭圆的离心率为. 故答案为：. 6．已知椭圆的离心率是，且焦距为4，则椭圆的标准程为 . 【答案】或 【分析】根据题意，结合椭圆的离心率和焦距，求出c和a的值，继而求得的值，即可求解. 【详解】椭圆的离心率，焦距， ， 故椭圆的标准方程为或. 故答案为：或 三、证明题 7．已知椭圆，三点中恰有两点在椭圆上.求椭圆的方程； 【答案】 【分析】分别讨论即可确定在上，即可求解. 【详解】显然不能同时在上， 若在上，则. 故在上，则，所以. 所以椭圆的方程为. 8．在中，，，且． (1)求证：点A在一个椭圆上运动； (2)写出这个椭圆的焦点坐标． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)， 【分析】（1）根据椭圆定义即可证明；（2）即为焦点. 【详解】（1）， 由椭圆定义可得：点A的轨迹为以为焦点的椭圆. （2）焦点坐标为，. 一、单选题 1．已知椭圆，则下列说法正确的是（   ） A．有一个顶点为 B．短轴长为6 C．焦点在y轴上 D．离心率 【答案】C 【分析】根据椭圆的方程确定的值，再由椭圆的顶点，短轴，离心率等相关公式逐项分析即可. 【详解】已知椭圆， 则，焦点在y轴上，故C正确， 所以，则顶点为，故A错误， 短轴长为，故B错误， 离心率，故D错误， 故选：C. 2．若椭圆的焦点为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意确定参数即可求解. 【详解】椭圆的焦点坐标为，则长轴在轴上， ，，根据椭圆参数关系可得，即. 所以离心率为. 故选：A. 3．已知椭圆的长轴长与短轴长之比为，则其率心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可设长半轴长，短半轴长，求出半焦距，由离心率公式求出答案. 【详解】∵椭圆的长轴长与短轴长之比为， ∴可设长半轴长，短半轴长， ∴半焦距， ∴离心率． 故选：A. 二、填空题 4．已知一个椭圆的方程为，则该椭圆的短轴长为 【答案】 【分析】将椭圆的方程化为标准方程，进而求得，从而得解. 【详解】因为椭圆方程，可化为，所以，则，则短轴长. 故答案为：. 5．已知椭圆C的中心在坐标原点上，一个焦点的坐标是，若点在椭圆C上，则椭圆C的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】先根据已知求和再求离心率. 【详解】由题意可知，椭圆C的焦点在y轴上，且点在椭圆C上， 设椭圆的方程为， ∵椭圆的焦点坐标为， ∴， 则， 即椭圆C的离心率． 故答案为：. 6．已知椭圆C的中心在原点，右焦点坐标为，长半轴与短半轴的长度之和为4，则椭圆C的标准方程为 ． 【答案】 【分析】根据椭圆的焦点坐标可知焦点位置和c的值，再根据长半轴与短半轴的长度之和可求a与b的值，即可求解椭圆的标准方程. 【详解】因为椭圆C的中心在原点，右焦点坐标为， 所以可知焦点位于x轴且， 又因为长半轴与短半轴的长度之和为4， 所以，又， 所以，即，解得， 所以， 则椭圆C的标准方程为． 故答案为：. 三、解答题 7．求椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标. 【答案】答案见解析 【分析】首先将已知方程化为标准方程，再由标准方程确定的值，并由椭圆的几何性质解答即可. 【详解】由，得， 所以，，， 所以椭圆的长轴长和短轴长分别是和， 离心率， 两个焦点坐标分别是，， 四个顶点坐标分别是，，，. 8．已知椭圆的离心率为，且该椭圆上的点到右焦点的最大距离为5，求椭圆的标准方程. 【答案】 【分析】根据椭圆上的点到右焦点的最大距离为，再与离心率公式列方程求出的值，再由求出即可解答. 【详解】已知椭圆， 由离心率为，且椭圆上的点到右焦点的最大距离为5， 可得，即， 解得，， 所以， 所以椭圆的标准方程为. 一、单选题 1．已知椭圆的离心率为，过左焦点的直线交于两点，为该椭圆的右焦点，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意求出的值，再由椭圆的定义得出的周长为，即可得出答案. 【详解】椭圆的离心率为，左焦点， 所以且，解得， 所以的周长为 ， 故选：A．    2．已知椭圆的左、右焦点分别为，若以为直径的圆与椭圆没有公共点，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得到不等式，再根据得到e的取值范围即可求解. 【详解】因为椭圆的左、右焦点分别为， 所以，所以若以为直径的圆的半径为. 因为以为直径的圆与椭圆没有公共点， 所以，所以. 因为在椭圆中， 所以，即， 解得. 故选：A. 3．已知椭圆，则下列结论正确的是（    ） A．长轴长是3，一个焦点为 B．一个焦点为，离心率是 C．焦距是，短轴长是4 D．对称轴是坐标轴，一个顶点为 【答案】C 【分析】由椭圆的标准方程可求解a，b，c的值，再由椭圆的性质即可判断选项. 【详解】因为椭圆方程为，焦点在轴上， 可得，， 所以， A：长轴长是，焦点为和，故A错误； B：焦点为和，离心率是，故B错误； C：焦距是，短轴长是，故C正确； D：椭圆的对称轴是坐标轴，顶点为，，，，故D错误. 故选：C. 二、填空题 4．在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为，短轴长为，小椭圆的短轴长为，则小椭圆的长轴长为 . 【答案】20 【分析】根据大椭圆和小椭圆扁平程度相同，可得两椭圆的离心率相同，结合椭圆的离心率公式代数求解即可. 【详解】因为大椭圆和小椭圆扁平程度相同， 所以两椭圆的离心率相同， 因为大椭圆长轴长为，即， 短轴长为，即， 所以焦距长为，即， 故离心率为，所以小椭圆的离心率为， 因为小椭圆的短轴长为，即， 由，可得，所以小椭圆的长轴长为. 故答案为：. 5．已知椭圆的焦点在x轴上，短轴长为，离心率，则椭圆标准方程为 . 【答案】 【分析】根据题意，利用待定系数法，结合椭圆的性质即可得解. 【详解】因为椭圆的焦点在x轴上，则设椭圆标准方程为， 又椭圆的短轴长为，离心率， 所以，解得， 所以椭圆标准方程为. 故答案为：. 三、解答题 6．已知椭圆， (1)求椭圆的焦点、焦距、长轴长、短轴长及离心率； (2)判断直线与该椭圆的位置关系，并说明理由. 【答案】(1)焦点为，焦距，长轴长4，短轴长2，离心率 (2)直线与椭圆相交，理由见解析 【分析】（1）根据椭圆方程的定义以及性质求解即可. （2）将直线方程与椭圆方程联立，再根据判别式进行判断. 【详解】（1）椭圆中，，，解得，，. 所以焦点为，焦距，长轴长，短轴长，离心率. （2）联立，得到， 因为，所以直线与椭圆相交. 7．已知椭圆的一个焦点为，离心率． (1)求椭圆的方程； (2)已知直线与椭圆交于两点，其中为坐标原点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据题意列出方程组求出的值即可得解. （）联立方程组结合韦达定理与弦长公式求出，利用点到直线的距离公式求出原点到直线的距离，代入三角形面积公式即可得解. 【详解】（1）由题意得，椭圆的焦点在轴上，且， 所以，解得， 所以椭圆的标准方程为． （2）设两交点为， 联立，消去得， 所以， 所以， 直线，化成一般式方程为， 又因为坐标原点到直线的距离为为， 所以． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $