2.4.1向量线性运算的坐标表示（教案）-高教版《数学 拓展模块上册》（2023修订版）《上好课》

高教版《数学拓展模块上册》 第二章 平面向量 2.4.1 向量线性运算的坐标表示 一、教材 高等教育出版社《数学》（拓展模块上册）（修订版） 二、教学时长 1课时（可根据学生水平调整） 三、授课类型 新授课 四、教材分析 向量作为现代数学的基本概念，是沟通代数、几何与三角函数的桥梁。向量线性运算的坐标表示将向量的几何运算转化为代数运算，为解决几何问题提供了新的方法和思路，同时也为后续学习向量的数量积、解析几何等内容奠定基础。本节内容首先介绍了向量的坐标表示，通过建立直角坐标系，将向量用坐标表示出来。在此基础上，推导出向量线性运算（加法、减法、数乘）的坐标运算法则。教材通过实例引入，引导学生观察、分析、归纳，符合学生的认知规律。 五、学情分析 学生在之前已经学习了向量的基本概念、向量的线性运算（几何运算）等知识，对向量有了一定的认识。但对于将向量运算与坐标相结合，用代数方法解决向量问题的思想还比较陌生。中职学生的抽象思维能力和逻辑推理能力相对较弱，在学习新知识时可能会遇到一定的困难。但他们对实际问题有较强的好奇心和探究欲望，若能通过实例引导，有助于激发他们的学习兴趣和主动性。部分学生在学习过程中可能存在注意力不集中、缺乏自主学习能力等问题。在教学过程中，需要采用多样化的教学方法，吸引学生的注意力，培养他们良好的学习习惯。 六、教学目标 1. 理解向量坐标含义及线性运算的坐标法则，明确与几何意义的联系。 2. 熟练计算向量和、差、数乘的坐标，能判断线性关系，转化几何问题为坐标运算。 3. 用坐标表示解决几何及实际问题，培养数形结合思维。 七、教学重点 1. 向量的坐标表示方法。 2. 向量线性运算的坐标运算法则及其应用。 八、教学难点 1. 向量坐标表示的概念的理解。 2. 向量线性运算坐标运算法则的推导及应用。 九、教学方法 问题驱动法：通过设置一系列有针对性的问题，引导学生思考、探究，激发学生的学习兴趣和求知欲，使学生在解决问题的过程中掌握知识和方法。 启发式教学法：在教学过程中，教师适时启发学生，引导学生观察、分析、归纳，培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。 讲练结合法：通过典型例题和课堂练习，让学生及时巩固所学知识，提高学生运用知识解决问题的能力。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 引入 我们知道，数轴上的点与实数是一一对应的，平面直角坐标系中的点P与有序实数对(x，y)是一一对应的，(x，y)是点P的坐标.平面直角坐标系中所有以原点(0，0)为起点、以点P(x，y)为终点的向量与有序实数对(x，y)也是一一对应的，如图所示． 教师提出问题，引发思考，学生分析、回答。 结合数轴和平面直角坐标系中点与坐标的关系引入新知 情境导入 向量的坐标表示 如图所示，在平面直角坐标系中分别取x轴、y轴上的两个单位向量i、j．以原点O为起点做向量，点P的坐标为(x，y)．向量与两个单位向量i、j之间有什么关系呢？ 引导学生数形结合分析问题 探索新知 过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M、N．由于向量与i共线，并且的模等于|x|，=xi；同理可得，=yj．根据向量加法的平行四边形法则，有=OM+ON=xi+yj． 进一步，对于下图中所示的以A为起点的向量，记点A与点B的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，则有 =(x2-x1)+(y2-y1)j． 因此，对于平面直角坐标系中的任一向量a，都存在着一对有序实数(x，y)，使得a=xi+yj.我们把有序实数对称为向量a的坐标. 方便起见，常把向量a用它的坐标(x，y)表示，即a=(x，y)． 提示 在上图中，0=(0，0)，i=(1，0)，j=(0，1)； =(x，y)，=(x2-x1，y2-y1)． 通过把几何问题转化为代数问题从而使几何问题可以通过代数运算解决，表达更简洁，运算更便捷 典型例题 例1已知两点A(-2，3)、B(3，1)，求向量和的坐标． 解：=(3-(-2)，1-3)=(5，-2)； =(-2-3，3-1)=(-5，2)． 例2如图所示，单位圆与坐标轴交于A、B、C、D四点，∠AOM=45°,∠BOE=30°,∠CON=45°,求向量、、、的坐标． 解：由于点B的坐标为(0，1)，故=(0，1)； 点M的坐标为故 同理可得 例3如图所示，ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为(2，3)、(−2，1)、(−1，0)，求第四个顶点D的坐标． 解：在ABCD中，有=．设点D的坐标为(x，y)，则=(x+1，y)． 又=(-2(-2)，3-1)=(4，2)，所以(x+1，y)=(4，2). 于是，解得 所以，点D的坐标为(3，2). 例1为了强调“终点的坐标减去起点的坐标”； 例2综合单位圆和向量知识解决问题； 例3综合运用平行四边形的性质、相等向量、向量的坐标表示等多个知识点，渗透了方程的思想 情境导入 向量线性运算的坐标表示 对于向量a=(x1，y1)和b=(x2，y2)，向量a+b、a-b、λa如何用坐标表示呢？ 由a=(x1，y1)、b=(x2，y2)知，a=x1i+y1j，b=x2i+y2j（i、j分别为x轴、y轴正方向上的单位向量）．则 a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)=(x1+x2)i+(y1+y2)j，即a+b=(x1+x2，y1+y2)． 同理可得，a-b=(x1-x2，y1-y2)， λa=(λx，λy)． 这说明两个向量和(差)的坐标等于这两个向量相应坐标的和(差). 实数与向量的积的坐标等于这个实数与向量相应坐标的乘积． 教师讲解说明，学生理解思考。 提出问题引发思考 结合向量加法进行推理，提升数学运算核心素养 典型例题 例4设a=(3，-2)，b=(-2，1)，求： （1）a+b；（2）a-b；（3）3a-2b． 解：（1）a+b=(3，-2)+(-2，1)=(3+(-2)，-2+1)=(1，-1)； （2）a-b=(3，-2)-(-2，1)=(3-(-2)，-2-1)=(5，-3)； （3）3a-2b=3(3，-2)-2(-2，1)=(9，-6)-(-4，2)=(13，-8)． 例5如图所示，正六边形ABCDEF的中心O在 坐标原点，边长为2，CF在x轴上，试求向量、、的坐标． 解：（1）根据题意，△ABO和△BOC都是边长为2得到正三角形，故点C的坐标为(2，0)． 因此==(2，0)； （2）设正六边形与y轴的负半轴交于点G，则OG为正三角形ABO的高和中线.于是OG=BG=×1=，故点B的坐标为(1，-)． 于是，=(2，0)-(1，-√3)=(1，√3)； （3）=(1，-√3)，所以=-2=(-2，2√3)． 我们知道，当a≠0时，a∥b存在实数λ,使得b=λa． 设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，由b=λa得，x1y2=x2y1. 例6已知向量a=(−2，3)，b=(4，−6)，判断向量a与b是否共线. 解：因为x1y2=−2×(−6)=12，x2y1=4×=12，所以x1y2=x2y1，故a∥b，即向量a与b共线. 例4是向量坐标的线性运算示例 例5是结合特殊图形和相等向量的性质解决问题 达成课标要求坐标形式判定向量平行 巩固练习 练习2.4.1 1.判断下列说法是否正确. （1）x轴上的单位向量i的坐标为(1，0)； （2）起点不在原点的向量不能确定它的坐标； （3）由于x轴和y轴上的单位向量i、j的模都是1，所以它们的坐标相等； （4）在平面直角坐标系中，向量的坐标是唯一确定的． 2.已知点A(2，-1)，写出向量的坐标，并用x轴和y轴上的单位向量i、j线性表示向量. 3.已知向量=-5i+2j，写出点A的坐标. 4.已知向量a=3i-j，写出向量a的坐标. 5.已知两点A与B的坐标，求和的坐标. （1）A(-1，5)，B(-3，1)； （2）A(-5，3)，B(4，5)； （3）A(2，-6)，B(3，5). 6.方胜纹是我国一种传统装饰纹样，它以两个菱形压角相叠而构成，如图所示．我们把方胜纹放在平面直角坐标系中，其中O为中间小菱形ABCD对角线的交点，CA、DB分别在x轴和y轴上，如图所示．若AC=6，BD=4，求向量、、的坐标． 练习2.4.2 1.已知向量a、b的坐标分别求a+3b，5a-2b的坐标. （1）a=(−2，3)，b=(4，6)； （2）a=(2，3)，b=(3，1). 2.已知向量a、b的坐标，判断这两个向量是否共线. （1）a=(−2，3)，b=(6，−9)； （2） （3）a=(1，−2)，b=(−7，14). 3.己知点B(4，−3)，连接OB并延长至C点，使得||=2||，求向量的坐标. 4.求例5中向量、、的坐标. 5.如图所示，正方形ABCD的中心在原点O，四边与坐标轴垂直，边长为2，求向量AC与BD的坐标. 通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺 归纳总结 培养学生总结学习过程能力 作业布置 1.完成2.4.1《同步练习》； 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾. 学而时习，夯实所学. 板书设计 2.4.1向量线性运算的坐标运算法则 向量的坐标表示 基底、 向量线性运算的坐标运算法则 加法：，， 减法： 数乘： 主板书分模块呈现，重点内容用彩色粉笔标注；预留空白区域展示学生练习答案，增强互动性. 十一、教学反思 在本节课的教学过程中，通过问题驱动法和启发式教学法，有效地激发了学生的学习兴趣和主动性，学生对向量线性运算的坐标表示的概念和运算法则有了较好的理解和掌握。在例题讲解和课堂练习环节，学生能够积极参与，大部分学生能够正确运用运算法则进行向量的运算。但在教学过程中，也发现了一些不足之处。例如，部分学生对向量坐标表示的概念理解还不够深刻，在解决一些综合性问题时，还存在一定的困难。在今后的教学中，应加强对概念的深入讲解，通过更多的实例和练习，帮助学生加深对概念的理解和应用。同时，应关注学生的个体差异，对学习困难的学生给予更多的指导和帮助，使全体学生都能在数学学习中得到提高和发展。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $