2.4.1向量线性运算的坐标表示（教案）-高教版《数学 拓展模块上册》（2023修订版）《上好课》

高教版《数学拓展模块上册》

第二章  平面向量

2.4.1  向量线性运算的坐标表示

一、教材

高等教育出版社《数学》（拓展模块上册）（修订版）

二、教学时长

1课时（可根据学生水平调整）

三、授课类型

新授课

四、教材分析

向量作为现代数学的基本概念，是沟通代数、几何与三角函数的桥梁。向量线性运算的坐标表示将向量的几何运算转化为代数运算，为解决几何问题提供了新的方法和思路，同时也为后续学习向量的数量积、解析几何等内容奠定基础。本节内容首先介绍了向量的坐标表示，通过建立直角坐标系，将向量用坐标表示出来。在此基础上，推导出向量线性运算（加法、减法、数乘）的坐标运算法则。教材通过实例引入，引导学生观察、分析、归纳，符合学生的认知规律。

五、学情分析

学生在之前已经学习了向量的基本概念、向量的线性运算（几何运算）等知识，对向量有了一定的认识。但对于将向量运算与坐标相结合，用代数方法解决向量问题的思想还比较陌生。中职学生的抽象思维能力和逻辑推理能力相对较弱，在学习新知识时可能会遇到一定的困难。但他们对实际问题有较强的好奇心和探究欲望，若能通过实例引导，有助于激发他们的学习兴趣和主动性。部分学生在学习过程中可能存在注意力不集中、缺乏自主学习能力等问题。在教学过程中，需要采用多样化的教学方法，吸引学生的注意力，培养他们良好的学习习惯。

六、教学目标

1. 理解向量坐标含义及线性运算的坐标法则，明确与几何意义的联系。

2. 熟练计算向量和、差、数乘的坐标，能判断线性关系，转化几何问题为坐标运算。

3. 用坐标表示解决几何及实际问题，培养数形结合思维。

七、教学重点

1. 向量的坐标表示方法。

2. 向量线性运算的坐标运算法则及其应用。

八、教学难点

1. 向量坐标表示的概念的理解。

2. 向量线性运算坐标运算法则的推导及应用。

九、教学方法

问题驱动法：通过设置一系列有针对性的问题，引导学生思考、探究，激发学生的学习兴趣和求知欲，使学生在解决问题的过程中掌握知识和方法。

启发式教学法：在教学过程中，教师适时启发学生，引导学生观察、分析、归纳，培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。

讲练结合法：通过典型例题和课堂练习，让学生及时巩固所学知识，提高学生运用知识解决问题的能力。

十、教学环节设计

教学环节	教学内容	设计意图
引入	我们知道，数轴上的点与实数是一一对应的，平面直角坐标系中的点P与有序实数对(x，y)是一一对应的，(x，y)是点P的坐标.平面直角坐标系中所有以原点(0，0)为起点、以点P(x，y)为终点的向量与有序实数对(x，y)也是一一对应的，如图所示． 教师提出问题，引发思考，学生分析、回答。	结合数轴和平面直角坐标系中点与坐标的关系引入新知
情境导入	向量的坐标表示 如图所示，在平面直角坐标系中分别取x轴、y轴上的两个单位向量i、j．以原点O为起点做向量，点P的坐标为(x，y)．向量与两个单位向量i、j之间有什么关系呢？	引导学生数形结合分析问题

探索新知	过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M、N．由于向量与i共线，并且的模等于|x|，=xi；同理可得，=yj．根据向量加法的平行四边形法则，有=OM+ON=xi+yj． 进一步，对于下图中所示的以A为起点的向量，记点A与点B的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，则有 =(x2-x1)+(y2-y1)j． 因此，对于平面直角坐标系中的任一向量a，都存在着一对有序实数(x，y)，使得a=xi+yj.我们把有序实数对称为向量a的坐标. 方便起见，常把向量a用它的坐标(x，y)表示，即a=(x，y)． 提示 在上图中，0=(0，0)，i=(1，0)，j=(0，1)； =(x，y)，=(x2-x1，y2-y1)．	通过把几何问题转化为代数问题从而使几何问题可以通过代数运算解决，表达更简洁，运算更便捷
典型例题	例1已知两点A(-2，3)、B(3，1)，求向量和的坐标．	例1为了强调“终点的坐标