2.4.1向量线性运算的坐标表示（课件）-高教版《数学 拓展模块上册》（2023修订版）《上好课》

2.4.1向量线性运算的坐标表示 1 学习目标 1. 理解向量坐标含义及线性运算的坐标法则，明确与几何意义的联系。 2. 熟练计算向量和、差、数乘的坐标，能判断线性关系，转化几何问题为坐标运算。 3. 用坐标表示解决几何及实际问题，培养数形结合思维。 我们知道，数轴上的点与实数是一一对应的，平面直角坐标系中的点P与有序实数对(x,y)是一一对应的，(x,y)是点P的坐标．平面直角坐标系中所有以原点(0,0)为起点、以点P(x,y)为终点的向量与有序实数对(x,y)也是一一对应的，如图所示． 情境导入 如图所示，在平面直角坐标系中分别取x轴、y轴上的两个单位向量i、j．以原点O为起点做向量，点P的坐标为(x,y) ．向量与两个单位向量i、j之间有什么关系呢？ 情境导入 　 过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M、N．由于向量与i共线，并且的模等于｜x｜，故 ||=xi；同理可得，=yj．根据向量加法的平行四边形法则，有 = + =xi+yj ． 进一步，对于如图所示的以点A为起点的向量记点A与点B的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2)，则有 = -=(x2i+ y2j)-(x1i+ y1j)=(x2-x1)i+ (y2-y1) j ． 情境导入 对于平面直角坐标系中的任一向量a，都存在着一对有序实数(x,y)，使得a=xi+yj ．我们把有序实数对称为向量a的坐标．方便起见，常把向量a用它的坐标(x,y)表示，即a=(x,y) ． 探索新知 左图中，0=(0,0)，i=(1,0)，j=(0,1)；=(x,y)， =(x2-x1,y2-y1) ． 探索新知 例1 已知两点A(-2,3)，B(3,1)，求向量和的坐标． 解 =(3-(-2),1-3)=(5,-2)； =(-2-3, 3-1)=(-5, 2) ． 典型例题 例2 如图所示，单位圆与坐标轴交于A、B、C、D四点，∠AOM=45°， ∠BOE=45°，∠CON=45°，求向量、、、的坐标． 解 由于点B的坐标为(0,1)，故=(0,1)；点M的坐标为(cos45°,sin45°)=，故=；． 同理可得， = (cos225°,sin225°)= ； = (cos120°,sin120°)= ． 典型例题 例3 如图所示，⏥ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为(2,3)、(−2,1)、(−1,0)，求第四个顶点D的坐标． 解 在⏥ ABCD中，有= ． 于是 解得 所以，点D的坐标为(3,2) 设点D的坐标为(x,y),则 =(x+1,y) ． 又 =(2-(-2),3-1) =(4,2)， 所以(x+1,y) =(4,2) ． 典型例题 对于向量a= (x1，y1)和b= (x1，y1)，向量a+b、a-b、λa如何用坐标表示呢？ 向量线性运算的坐标表示 问题导入 这说明两个向量和(差)的坐标等于这两个向量相应坐标的和(差). 实数与向量的积的坐标等于这个实数与向量相应坐标的乘积． 由a=(x1，y1)、b=(x2，y2)知，a=x1i+ y1 j，b=x2i+ y2 j（i、j分别为x轴、y轴正方向上的单位向量）．则 a+b=(x1i+ y1 j)+(x2i+ y2 j)=(x1+x2) i+(y1+ y2) j ， 即 a+b =(x1+x2 ，y1+ y2) ． 同理可得， a-b =(x1-x2，y1- y2) ， λa=(λx，λy) ． 探索新知 例4 设a=(3，-2)，b=(-2，1)，求： （1）a+b；（2）a-b；（3）3a-2b ． 解（1）a+b=(3，-2)+(-2，1) =(3+(-2) ，-2+1)=(1，-1)； （2）a-b=(3，-2)-(-2，1) =(3-(-2) ，-2-1)=(5，-3)； （3）3a-2b=3(3，-2)-2(-2，1) =(9，-6)-(-4，2)=(13，-8) ． 典型例题 例5 如图所示，正六边形ABCDEF的中心O在坐标原点，边长为2，CF在x轴上，试求向量、、的坐标． 解 （1）根据题意，ΔABO和ΔBOC都是边长为2的正三角形，故点C的坐标为(2，0)．因此== (2，0)； （2）设正六边形与y 轴的负半轴交于点G，则OG为正三角形ABO的高和中线．于是OG= BG= ×1= ，故点B的坐标为(1，- )．于是， =(2，0)-(1，- )= (1，)； （3）因为= (1，- )，所以=-2 =(-2 ，2 )． 典型例题 我们知道，当a≠0时，a∥b⇔存在实数λ，使得b= λa． 设a=(x1,y1)、b=(x2,y2)，由b=λa得， x2=λ x1且y2 =λ y1． 因此，当a≠0 ，a∥b ⇔x1 y2 = x2 y1 ． 知识汇总 例6 已知向量a=(−2,3)，b=(4,−6)，判断向量a与b是否共线． 解 因为 x1 y2 = −2×(−6)=12， x2 y1 =4×3=12，所以x1 y2 = x2 y1，故a∥b，即向量a与b共线． 典型例题 1.判断下列说法是否正确． （1）x轴正方向上的单位向量i的坐标为(1,0)； （2）起点不在原点的向量不能确定它的坐标； （3）由于x轴和y轴上的单位向量i、j的模都是1，所以它们的坐标相等； （4）在平面直角坐标系中，向量的坐标是唯一确定的． 巩固练习 是 是 否 否 2.已知点A(2,-1)，写出向量的坐标，并用x轴和y轴正方向上的单位向量i、j 线性表示向量． 3.已知向量=-5i+2j ，写出点A的坐标． 点A的坐标为 4.已知向量a=3i-j，写出向量a的坐标． 巩固练习 向量a的坐标 5.已知两点A与B的坐标，求、的坐标． （1）A(-1,5)，B(-3,1)； （2）A(-5,3)，B(4,5)； （3）A(2,-6)，B(3,5)． 巩固练习 =（-2，-4） =（9，2） =（1，11） =（2，4） =（-9，-2） =（-1，-11） 6.方胜纹是我国一种传统装饰纹样，它以两个菱形压角相叠而构成，如图所示．我们把方胜纹放在平面直角坐标系中，其中O为中间小菱形ABCD对角线的交点，CA、DB分别在x轴和y轴上，如图所示．若AC=6，BD=4，求向量、、的坐标． 巩固练习 析：提取信息，如图所示菱形，AC=6，BD=4，求向量、、的坐标． 巩固练习 解：由题可知 A(3,0) B(0,2) C(-3,0) D(0,-2) 所以 1.已知向量a、b的坐标，分别求a+3b、5a-2b 的坐标． （1）a=(-2,3)，b=(4,6)； （2）a=(2,3)，b=(3,1)． 巩固练习 析：a=(x1，y1)、b=(x2，y2)， a+b =(x1+x2 ，y1+ y2) ． a-b =(x1-x2，y1- y2) ， λa=(λx，λy) ． 2.已知向量a、b的坐标，判断这两个向量是否共线． （1）a=(-2,3)，b=(6,-9)； （2）a=，b=； （3）a=(1,-2)，b=(-7,14)． 巩固练习 共线 共线 不共线 3.已知点B(4,-3)，连接OB并延长至C点，使得|OC|=2|OB|，求向量的坐标． 解：=(4,-3)，由题知与同向，且|OC|=2|OB|，所以有=(8，-6). 巩固练习 5.如图所示，正方形ABCD的中心在原点O，四边形与坐标轴垂直，边长为2，求向量与的坐标． 巩固练习 解：由题可知 A(1,-1) B(1,1) C(-1,1) D(-1,-1) 所以 归纳总结 作业布置 1.完成2.4.1《同步练习》； 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾. 每天进步一点点！ $