3.2.1双曲线的标准方程（同步练习）-高教版《数学 拓展模块上册》（2023修订版）《上好课》（原卷版+解析版）

高教版《数学 拓展模块上册》 3.2.1 双曲线的标准方程 一、单选题 1．已知方程表示双曲线，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 2．已知双曲线的，，则该双曲线的标准方程为（    ） A．， B． C．或 D．或 3．已知，，动点P满足，则P点的轨迹是（   ） A．双曲线 B．双曲线的一支 C．直线 D．一条射线 二、填空题 4．平面内与两个定点，的距离的 是常数（小于且不等于零）的点的轨迹叫做双曲线，这 称为双曲线的焦点， 称为双曲线的焦距. 5．双曲线的焦点坐标是 ． 6．双曲线1上一点A到一个焦点的距离是12，则点A到另一个焦点的距离是 三、简答题 7．如何判断双曲线的焦点在轴上，还是在轴上？ 四、解答题 8．已知双曲线的标准方程是，求焦点坐标和焦距. 一、单选题 1．已知，为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，满足，则的值为（   ） A．或7 B．1 C．9 D．7 2．已知两定点，，在满足下列条件的平面内动点的轨迹中是双曲线的是（   ） A． B． C． D． 3．已知平面上定点，及动点，命题甲：（为常数），命题乙：点轨迹是以，为焦点的双曲线，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题 4．若点到点和的距离差的绝对值等于10，则点的轨迹方程为 . 5．如图所示，已知双曲线的左、右焦点分别为和，双曲线的左支上有一点到右焦点的距离为18，点是的中点，其中为坐标原点，则 . 6．若方程表示双曲线，则角是第 象限角. 三、解答题 7．已知，焦点，，求该双曲线的方程. 8．已知椭圆 (1)求椭圆的焦点坐标及离心率； (2)若双曲线的中心在坐标原点，顶点与椭圆的两个焦点重合，且焦距为8，求双曲线的标准方程. 一、单选题 1．设椭圆的离心率为，焦点在轴上，且长轴长为26，若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离之差的绝对值等于8，则曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 2．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，若，且双曲线的焦距为，则该双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 3．过双曲线的右焦点有一直线，与双曲线的右支交于两点．若，是双曲线的左焦点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值是 5．已知双曲线中心在坐标原点，一个焦点为，点在双曲线上，线段的中点坐标为，则该双曲线的标准方程是 ． 三、简答题 6．已知方程表示焦点在上的双曲线，求的取值范围. 四、解答题 7．根据条件，求双曲线的标准方程. (1)焦点在x轴上，焦距为14，双曲线上的一点到两个焦点的距离之差为6； (2)焦点为和，双曲线上一点M的坐标为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高教版《数学 拓展模块上册》 3.2.1 双曲线的标准方程 一、单选题 1．已知方程表示双曲线，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线标准方程的性质确定的取值范围. 【详解】因为方程表示双曲线，所以，可化为， 解得或，即的取值范围是或， 故选：B. 2．已知双曲线的，，则该双曲线的标准方程为（    ） A．， B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据双曲线基本量的平方关系算出，再根据焦点位置写出标准方程. 【详解】已知双曲线的，，所以. 当双曲线焦点在轴上时，双曲线的标准方程为， 当双曲线焦点在轴上时，双曲线的标准方程为. 故选：C. 3．已知，，动点P满足，则P点的轨迹是（   ） A．双曲线 B．双曲线的一支 C．直线 D．一条射线 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义即可求解. 【详解】因为，，所以. 因为动点P满足，所以满足条件的点P的轨迹应为一条射线. 故选：D. 二、填空题 4．平面内与两个定点，的距离的 是常数（小于且不等于零）的点的轨迹叫做双曲线，这 称为双曲线的焦点， 称为双曲线的焦距. 【答案】差的绝对值；两个定点；两焦点间的距离. 【分析】根据双曲线的定义填空即可. 【详解】平面内与两个定点，的距离的差的绝对值是常数（小于且不等于零）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点间的距离称为双曲线的焦距. 故答案为：差的绝对值；两个定点；两焦点间的距离. 5．双曲线的焦点坐标是 ． 【答案】 【分析】利用双曲线标准方程求焦点坐标即可. 【详解】双曲线，，，则，，焦点在轴， 则焦点坐标是； 故答案为：. 6．双曲线1上一点A到一个焦点的距离是12，则点A到另一个焦点的距离是 【答案】 【分析】先根据双曲线方程求出，再根据双曲线的定义易得答案. 【详解】因为双曲线，所以， 设双曲线的两个焦点为， 因为双曲线上一点A到一个焦点的距离是12， 令，因为，解得， 所以点A到另一个焦点的距离是 . 故答案为：. 三、简答题 7．如何判断双曲线的焦点在轴上，还是在轴上？ 【答案】答案见解析 【分析】由双曲线的焦点位置与方程的关系即可得解. 【详解】观察双曲线的标准方程中含项与含项的系数符号，含的项系数为正，焦点就在轴上；含的项系数为正，焦点就在轴上. 四、解答题 8．已知双曲线的标准方程是，求焦点坐标和焦距. 【答案】焦点为，焦距为26 【分析】由双曲线的标准方程得到，即可得到焦点坐标和焦距. 【详解】因为双曲线的标准方程是，所以焦点在y轴上，， 所以，故焦点为，焦距为26. 一、单选题 1．已知，为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，满足，则的值为（   ） A．或7 B．1 C．9 D．7 【答案】D 【分析】根据题意求出值，结合双曲线的定义即可得解. 【详解】双曲线，则，解得， 因为，，解得（舍）或， 故选：. 2．已知两定点，，在满足下列条件的平面内动点的轨迹中是双曲线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义逐项判断即可得解. 【详解】两定点，，， 选项，因为，所以 ，故动点的轨迹是双曲线，符合题意； 选项，因为，所以动点的轨迹是以或为端点的射线（含端点），不符合题意； 选项，因为，所以动点的轨迹不存在，不符合题意； 选项，因为 ，即根据线段垂直平分线的性质，动点的轨迹是线段的垂直平分线，不符合题意． 故选：. 3．已知平面上定点，及动点，命题甲：（为常数），命题乙：点轨迹是以，为焦点的双曲线，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由双曲线的定义和充分必要条件即可判断. 【详解】①充分性：当时，且（a为常数），则点轨迹是以，为焦点的双曲线，由于无法得到，因此可得命题甲不能推出命题乙，所以充分性不成立； ②必要性：当点轨迹是以，为焦点的双曲线时，必有（为常数）成立，且， 由此可得命题乙可以推出命题甲成立，所以必要性成立， 故甲是乙的必要不充分条件. 故选：B. 二、填空题 4．若点到点和的距离差的绝对值等于10，则点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】由双曲线的定义即可得解. 【详解】因为点到点和的距离差的绝对值等于10， 所以点的轨迹为焦点在轴上的双曲线，且，， 故， 故双曲线方程为. 故答案为：. 5．如图所示，已知双曲线的左、右焦点分别为和，双曲线的左支上有一点到右焦点的距离为18，点是的中点，其中为坐标原点，则 . 【答案】4 【分析】根据椭圆的定义，结合中位线求解即可. 【详解】如图所示，连接， 因为点，分别是，的中点，所以，双曲线中， 即，又， 所以，解得. 故答案为：4 6．若方程表示双曲线，则角是第 象限角. 【答案】二或四 【分析】由方程表示双曲线，可得，再利用三角函数在各个象限的符号即可求得. 【详解】因为方程表示双曲线，即, 化为标准式为，即, 可得； 若，则角是第二象限角； 若，则角是第四象限角； 综上所述，角是第二或第四象限角. 故答案为：二或四. 三、解答题 7．已知，焦点，，求该双曲线的方程. 【答案】 【分析】确定焦点位置及的值，即可得出双曲线的方程. 【详解】∵，焦点，， ∴焦点在轴上，，，， ∴该双曲线的方程为. 8．已知椭圆 (1)求椭圆的焦点坐标及离心率； (2)若双曲线的中心在坐标原点，顶点与椭圆的两个焦点重合，且焦距为8，求双曲线的标准方程. 【答案】(1)椭圆的焦点坐标为，离心率为 (2) 【分析】（1）利用椭圆方程求出，然后求解椭圆的焦点坐标及离心率； （2）设双曲线标准方程为，由条件求出即可． 【详解】（1）由椭圆的标准方程知，得， 所以椭圆的焦点坐标为，离心率． （2）根据已知条件，设双曲线标准方程为， 由题意知，因为焦距为8，所以，故， 所以双曲线的标准方程为． 一、单选题 1．设椭圆的离心率为，焦点在轴上，且长轴长为26，若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离之差的绝对值等于8，则曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由椭圆的离心率和长轴长可求解焦点坐标，再由双曲线的定义求解标准方程即可. 【详解】∵椭圆的离心率为，焦点在轴上，且长轴长为26， ∴，解得， ∴椭圆的焦点坐标为和， 又∵曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离之差的绝对值等于8， 可知曲线是焦点为和的双曲线，且，即， ∴， ∴双曲线为. 故选：D. 2．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，若，且双曲线的焦距为，则该双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意列出方程组求出即可得解. 【详解】双曲线的焦点在轴上， 左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，且，则， 焦距为，即， 联立方程组得，解得， 则该双曲线的方程为， 故选：. 3．过双曲线的右焦点有一直线，与双曲线的右支交于两点．若，是双曲线的左焦点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先将双曲线方程化为标准方程，再得出的值，再由双曲线的定义即可求出的周长. 【详解】由双曲线，得， 所以，则，， ，， 由，可得， 则的周长为：. 故选：C. 二、填空题 4．椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值是 【答案】 【分析】首先确定双曲线焦点位置和坐标，结合椭圆方程列出式子，并且注意取舍即可. 【详解】双曲线方程为，所以，双曲线的焦点在轴上， 且，， 焦点坐标为， 因为椭圆与双曲线有相同的焦点， 所以，即，且， 即， ， 解得（舍去）或. 故答案为：. 5．已知双曲线中心在坐标原点，一个焦点为，点在双曲线上，线段的中点坐标为，则该双曲线的标准方程是 ． 【答案】 【分析】根据焦点坐标设出双曲线方程，再由中点可求点P的坐标，再代入双曲线方程即可求解. 【详解】因为双曲线的焦点在x轴上， 所以设双曲线的方程为， 因为一个焦点为， 即， 所以， 即， 因为线段的中点坐标为， 所以点P的坐标为， 因为点P在该双曲线上， 所以， 所以， 即，（负值舍去），则， 所以该双曲线的标准方程为. 故答案为：. 三、简答题 6．已知方程表示焦点在上的双曲线，求的取值范围. 【答案】 【分析】根据双曲线方程和焦点位置判断. 【详解】因为方程表示焦点在上的双曲线，故其标准方程应化为， 则有，解得. 所以所求的取值范围为. 四、解答题 7．根据条件，求双曲线的标准方程. (1)焦点在x轴上，焦距为14，双曲线上的一点到两个焦点的距离之差为6； (2)焦点为和，双曲线上一点M的坐标为. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题中信息得到a和c，从而根据双曲线中计算出b即可求解. （2）根据双曲线定义列出方程可以得到a，再根据题中信息得到c，最后根据双曲线中计算出b即可求解. 【详解】（1）因为焦距为14，双曲线上的一点到两个焦点的距离之差为6， 所以，，即，， 所以. 因为双曲线的焦点在轴上， 故双曲线的标准方程为. （2）由双曲线的定义知，， 因为双曲线上一点M的坐标为， 所以， 化简得，即. 因为焦点为和， 所以且双曲线的焦点在轴上， 所以. 所以双曲线的标准方程为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $