3.1.1椭圆的标准方程（同步练习）-高教版《数学 拓展模块上册》（2023修订版）《上好课》（原卷版+解析版）

高教版《数学 拓展模块上册》 3.1.1 椭圆的标准方程 一、单选题 1．椭圆上有一点P到一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义求解即可； 【详解】因为椭圆可知，， 所以由椭圆的定义可知，椭圆上一点到两焦点的距离的和为， 因为点P到一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为． 故选：B 2．椭圆上一点到一个焦点的距离为2，则点到另一个焦点的距离为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义求解即可. 【详解】椭圆中. 根据椭圆的定义知，到另一个焦点的距离为. 故选：D. 3．到两定点和的距离之和为4的点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．线段 C．圆 D．以上都不对 【答案】B 【分析】先求出线段的长度，使其与距离之和进行比较，然后求解即可. 【详解】∵点到两定点和的距离之和为， ，， ， 的轨迹是以，为端点的线段. 故选：B. 二、填空题 4．如果，是平面内的两个定点，是一个常数，且，则平面内满足 的动点的轨迹称为椭圆，其中，两个定点，称为椭圆的 ，两个焦点之间的距离称为椭圆的焦距. 【答案】；焦点. 【分析】由椭圆的定义可得. 【详解】如果，是平面内的两个定点，是一个常数，且， 则平面内满足的动点的轨迹称为椭圆， 其中，两个定点，称为椭圆的焦点， 两个焦点之间的距离称为椭圆的焦距. 故答案为：；焦点. 5．已知椭圆，那么椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为 . 【答案】 【分析】将椭圆方程标准化，求得，结合椭圆的定义，即可求解. 【详解】将椭圆标准化可得：，可知焦点在轴上且，所以， 根据椭圆的定义，可得椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为， 所以椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为. 故答案为：. 6．设椭圆 的焦点是，直线l过点，与椭圆交于A、B两点，则周长为 . 【答案】16 【分析】利用椭圆的定义可求周长. 【详解】椭圆 ，则， 因为直线l过点，与椭圆交于A、B两点， 则周长为. 而， 则， 则周长为. 故答案为：. 三、解答题 7．已知椭圆的一个焦点是，且椭圆经过点，求这个椭圆的标准方程. 【答案】 【分析】根据焦点可知得，又根据椭圆的定义求出半长轴长，再根据求出，从而求得椭圆的标准方程即可求解. 【详解】因为椭圆的一个焦点是，所以， 所以椭圆的另一个焦点为. 根据椭圆的定义可知，， 即 ，所以. 因为， 所以， 所以这个椭圆的标准方程为. 8．，的椭圆的标准方程. 【答案】或 【分析】根据的值得到的值，再分析椭圆焦点所在位置，即可求解. 【详解】因为在椭圆中，，所以， 因为椭圆焦点位置不确定，所以其标准方程为：或. 一、单选题 1．平面上到两定点的距离之和为8的点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义进行判断，以及之间的基本关系计算即可. 【详解】由平面上动点到两定点的距离之和为8,且， 所以该点的轨迹为焦点在轴上的椭圆， 设椭圆方程为，且，则， 所以，所以椭圆方程为. 故选：A 2．方程表示的是（   ） A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在y轴上的椭圆 C．双曲线 D．线段 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义即可求解. 【详解】由题意得，可表示点到点的距离， 可表示点到点的距离， 则，又， 则，满足椭圆的定义， 因为两定点都在y轴上，所以该椭圆的焦点在y轴上. 故选：B. 3．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义进行判断即可. 【详解】由题可知：方程表示焦点在轴上的椭圆，所以. 故选：B 二、填空题 4．已知椭圆的焦点为和，并且经过点，则椭圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】设椭圆的标准方程为，再由焦点和点确定的值，再由的关系求出的值即可. 【详解】设椭圆的标准方程为， 因为椭圆的焦点为和，则并且经过点，则， 在椭圆中，故，所以椭圆的标准方程为. 故答案为：. 5．已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，若，则 ． 【答案】8 【分析】根据椭圆的定义求解即可. 【详解】为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点， 由椭圆的定义知， 因为，所以． 故答案为：8. 6．椭圆上一点到椭圆的一个焦点的距离是1，则点到另一个焦点的距离是 ． 【答案】7 【分析】根据椭圆的标准方程确定的值，再由椭圆的定义即可解答. 【详解】由椭圆的方程可知，解得，设两焦点分别为， 所以， 即，解得， 即点到另一个焦点的距离是7. 故答案为：7. 三、简答题 7．用椭圆的定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆. (1)到的距离之和为6的点的轨迹； (2)到的距离之和为4的点的轨迹； (3)到的距离之和为3的点的轨迹. 【答案】(1)是椭圆 (2)不是椭圆 (3)不是椭圆 【分析】根据椭圆的定义进行判断即可：若，则动点M的轨迹为椭圆；若，则动点M的轨迹为线段；若，则动点M的轨迹不存在. 【详解】（1）因为，即，所以动点M的轨迹为椭圆. （2）因为，所以动点M的轨迹是线段，不是椭圆. （3）因为，即，所以动点M的轨迹不存在. 四、证明题 8．已知椭圆的两个焦点分别为、，P为椭圆上一点，若．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用椭圆的定义得到，计算出，证明出结论. 【详解】证明：由椭圆的定义可知：， ， ． 因此， 从而． 一、单选题 1．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的中心为原点，焦点在轴上，椭圆的面积为，且短轴长为，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由“逼近法”结合椭圆的面积可得椭圆的长半轴长，即可知a的值，即可求解椭圆的标准方程. 【详解】根据题意，由“逼近法”可知椭圆面积公式为， 因为短轴长为，即， 代入椭圆的面积公式可得，所以， 因为焦点在轴上，所以椭圆方程为. 故选：C. 2．椭圆：的焦点为，，点在椭圆上，若，则点到轴的距离为（   ） A．2.4 B．2.8 C．4.0 D．4.8 【答案】D 【分析】根据题意结合椭圆的定义求出与的值，结合三角形的面积公式列出方程即可得解. 【详解】    椭圆：，焦点在轴上， 因为，，所以，所以， 设，过点作轴于点，点到轴的距离为的长， 因为，，所以， 因为，满足，所以， 则，解得. 故选：. 3．已知椭圆的两个焦点的坐标分别是和，且椭圆经过点，则该椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合椭圆的焦点坐标，可求得c的值，结合椭圆经过点，可求得b的值，继而求得a的值，即可求得标准方程. 【详解】因为椭圆的两个焦点的坐标分别是和， 所以椭圆的焦点在轴上，且， 又因为椭圆经过点，所以， 所以， 所以椭圆的标准方程是. 故选：A. 二、填空题 4．已知椭圆经过点，且点为其右焦点，求椭圆的标准方程 ． 【答案】 【分析】根据题意得出，利用椭圆的关系得出，设出椭圆的标准方程，将点代入方程中即可得解. 【详解】依题意，点为椭圆的右焦点，所以，， 椭圆焦点在轴上，设椭圆的标准方程为， 椭圆过点，则，令，，则， 解得或（舍）， 所以，， 故椭圆的方程为， 故答案为：. 5．在中，，，三边长成等差数列，，若直线落在坐标轴上，线段的中点为坐标原点，则点的轨迹方程为 . 【答案】或 【分析】由题意，点的轨迹为焦点在轴上且与轴无交点的椭圆或焦点在轴上且与轴无交点的椭圆，再根据已知条件求出，即可求解点的轨迹方程. 【详解】由题意，当两点在轴上时，如图所示，不妨设， 因为，，三边长成等差数列，所以， 即点到两点的距离之和为为，符合椭圆的定义， 则点的轨迹为焦点在轴上且与轴无交点的椭圆，其中椭圆的长轴长为， 焦距，所以，，， 所以点的轨迹方程为； 当两点在轴上时，如图所示，不妨设， 因为，，三边长成等差数列，所以， 即点到两点的距离之和为为，符合椭圆的定义， 则点的轨迹为焦点在轴上且与轴无交点的椭圆，其中椭圆的长轴长为， 焦距，所以，，， 此时点的轨迹方程为； 综上所述，点的轨迹方程为或. 故答案为：或. 三、解答题 6．已知点是焦点在轴上的椭圆的一个顶点，点在这个椭圆上． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点为椭圆上的一点，，是椭圆的左、右焦点，且，求的面积 【答案】(1). (2). 【分析】（）根据题意求出值，设出椭圆方程，将点代入椭圆方程中即可得解. （）根据椭圆的定义及勾股定理求出，代入三角形面积公式即可得解. 【详解】（1）点是焦点在轴上的椭圆的一个顶点，则， 设椭圆方程为， 则， 所以椭圆方程为. （2）由（）可知，，，， 点为椭圆上的一点，，是椭圆的左、右焦点，则①， 又因为，则②， 将①两边平方得③， 将②代入③中得，解得， 所以的面积为， 所以的面积为. 7．焦点在轴上的椭圆的方程为，点在椭圆上. (1)求的值； (2)若直线与椭圆交于A，B两点，求出交点坐标. 【答案】(1)2 (2)， 【分析】（1）根据题意，将点代入椭圆方程即可得解； （2）利用（1）中结论，联立直线与椭圆方程，解之即可得解. 【详解】（1）因为点在椭圆上， 所以，解得. （2）由（1）得，椭圆方程为， 联立，消去，得， 解得，， 则对应的，， 所以两点坐标为，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高教版《数学 拓展模块上册》 3.1.1 椭圆的标准方程 一、单选题 1．椭圆上有一点P到一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为（   ） A． B．1 C． D．2 2．椭圆上一点到一个焦点的距离为2，则点到另一个焦点的距离为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．到两定点和的距离之和为4的点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．线段 C．圆 D．以上都不对 二、填空题 4．如果，是平面内的两个定点，是一个常数，且，则平面内满足 的动点的轨迹称为椭圆，其中，两个定点，称为椭圆的 ，两个焦点之间的距离称为椭圆的焦距. 5．已知椭圆，那么椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为 . 6．设椭圆 的焦点是，直线l过点，与椭圆交于A、B两点，则周长为 . 三、解答题 7．已知椭圆的一个焦点是，且椭圆经过点，求这个椭圆的标准方程. 8． ，的椭圆的标准方程. 一、单选题 1．平面上到两定点的距离之和为8的点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 2．方程表示的是（   ） A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在y轴上的椭圆 C．双曲线 D．线段 3．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．已知椭圆的焦点为和，并且经过点，则椭圆的标准方程为 . 5．已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，若，则 ． 6．椭圆上一点到椭圆的一个焦点的距离是1，则点到另一个焦点的距离是 ． 三、简答题 7．用椭圆的定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆. (1)到的距离之和为6的点的轨迹； (2)到的距离之和为4的点的轨迹； (3)到的距离之和为3的点的轨迹. 四、证明题 8．已知椭圆的两个焦点分别为、，P为椭圆上一点，若．求证：． 一、单选题 1．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的中心为原点，焦点在轴上，椭圆的面积为，且短轴长为，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．椭圆：的焦点为，，点在椭圆上，若，则点到轴的距离为（   ） A．2.4 B．2.8 C．4.0 D．4.8 3．已知椭圆的两个焦点的坐标分别是和，且椭圆经过点，则该椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．已知椭圆经过点，且点为其右焦点，求椭圆的标准方程 ． 5．在中，，，三边长成等差数列，，若直线落在坐标轴上，线段的中点为坐标原点，则点的轨迹方程为 . 三、解答题 6．已知点是焦点在轴上的椭圆的一个顶点，点在这个椭圆上． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点为椭圆上的一点，，是椭圆的左、右焦点，且，求的面积. 7．焦点在轴上的椭圆的方程为，点在椭圆上. (1)求的值； (2)若直线与椭圆交于A，B两点，求出交点坐标. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $