第5章 5.1.3 第1课时 柱形图、折线图、扇形图和茎叶图(Word讲义)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教B版）

5．1.3　数据的直观表示 第1课时　柱形图、折线图、扇形图和茎叶图 学业标准 素养目标 1.掌握柱形图、折线图、扇形图和茎叶图的特点和用途．(难点) 2．能针对实际问题和收集到的数据特点，选用合适的统计图表．(重点) 1.通过柱形图、折线图、扇形图和茎叶图的学习，培养学生直观想象等核心素养． 2．通过统计图表的绘制及其应用，提升学生数据分析等核心素养． 导学1 柱形图、折线图、扇形图 　柱形图表示的数据多少是否只与高度有关，与宽度无关？ [提示]　是．但是各个直条的宽度要相等． 　绘制扇形图时，总体数量是否与圆的面积有关？ [提示]　总体数量与圆的面积无关．只是把总体数量看作整体． ◎结论形成 1．柱形图(条形图) 柱形图中，一条轴上显示的是所关注的数据类型，另一条轴上对应的是数量、个数或者比例，柱形图中每一矩形都是等宽的． 优点：可以形象地比较各种数据之间的数量关系． 缺点：柱形图损失了数据的部分信息． 2．折线图 如果数据是随时间变化的，想了解数据的变化情况，可将数据用折线图来表示． 优点：能够表现出数据的变化趋势． 缺点：不能直观反映数据的分布情况． 3．扇形图(饼图、饼形图) 扇形图可以形象地表示出各部分数据在全部数据中所占的比例情况．扇形图中，每一个扇形的圆心角以及弧长，都与这一部分表示的数据大小成正比． 优点：直观、形象的表示各部分数据所占比例． 缺点：会丢失部分数据信息，且不适合总体中部分较多的情况． 导学2 茎叶图 　茎叶图中的茎与叶一般是按什么顺序排列的？重复的数据如何处理？ [提示]　一般茎按从小到大的顺序从上向下列出；而茎的叶按从小到大的顺序同行列出；若是重复的则重复记录，不能遗漏． ◎结论形成 茎叶图中，所有的茎都竖直排列，而叶沿水平方向排列，茎叶图也可以只表示一组数． 优点：将一组数整理成茎叶图后，可以方便地看出这组数的最值、中位数等数字特征，还可以看出一组数的分布情况以及估计及两组数据方差的相对大小． 缺点：不适合数据量比较大的情况． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)扇形图表示的是比例，柱形图不表示比例．(　　) (2)茎叶图只能用于表示两组数据．(　　) (3)柱形图可以形象地比较各种数据之间的数量关系.(　　) (4)扇形图中每个扇形所占的百分比之和为1.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．下面哪种统计图没有数据信息的损失，所有的原始数据都可以从该图中得到(　　) A．条形图　　　　　　　　 B．茎叶图 C．扇形图 D．折线图 解析　茎叶图就是由原始数据构成的． 答案　B 3．在如图所示的茎叶图中，乙中没有的数据是(　　) A．17　　　　　　　 B．26 C．38 D．44 答案　B 4．如图为某校高三(1)班的男、女学生比例图表，已知该班共有学生50人，则该班男生比女生多 人． 解析　(62%－38%)×50＝12. 答案　12 题型一　柱形图、扇形图及其应用 　(多选题)某校为丰富学生学习生活，组织本校学生开展了A，B，C三种课外活动(每个学生只参加其中一种)，为了解学生对这三种课外活动的满意程度，利用分层随机抽样的方法抽取4%的同学进行满意率调查，得到的数据如图2所示．则下列说法正确的是(　　) A．样本容量为240 B．若m＝50，则本次课外活动学生的满意度不低于四成 C．总体中对活动B满意的学生约为300人 D．样本中对活动A满意的学生为24人 [解析]　由扇形图可得总人数为1 500＋2 000＋2 500＝6 000，故样本容量为6 000×4%＝240，故A正确；当m＝50时，满意的人数为2 000×0.3＋1 500×0.2＋2 500×0.5＝2 150，故满意度为＜＝0.4，故B错误；总体中对活动B满意的学生约为1 500×0.2＝300(人)，故C正确；样本中对活动A满意的学生为2 000×4%×0.3＝24(人)，故D正确．选ACD． [答案]　ACD [素养聚焦]　通过柱形图、扇形图的应用，重点提升数据分析核心素养． 1．柱形图(条形图)的特点 (1)条形统计图能清楚地表示出每个项目中的具体数目． (2)易于比较数据之间的差别． 2．扇形图的特点 (1)用扇形的面积表示部分在总体中所占的百分比． (2)易于显示每组数据相对于总体的大小．　 [触类旁通] 1．某市中小学生人数和近视情况如图所示，为了解该地区中小学生近视形成的原因，现用比例分配的分层随机抽样的方法抽取了5%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为 (　　) A．750，100　　　　　　 B．1 500，100 C．1 500，120 D．750，120 解析　由题意，得样本容量为(18 500＋7 500＋4 000)×0.05＝1 500，抽取的高中生中近视人数为4 000×0.05×0.5＝100.故选B． 答案　B 　(多选题)《黄帝内经》中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要(子时是指23点到次日凌晨1点).相关数据表明，入睡时间越晚，沉睡时间越少，睡眠指数也就越低．根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体的睡眠指数统计如图，则下列说法错误的是(　　) A．在睡眠指数[60，80)的人群中，早睡人数多于晚睡人数 B．早睡人群睡眠指数主要集中在[80，90) C．早睡人群睡眠指数的极差比晚睡人群睡眠指数的极差小 D．晚睡人群睡眠指数主要集中在[60，80) [解析]　由图知，每一组中的早睡人群占比与晚睡人群占比都是以早睡与晚睡各自的总人数为基数的，所以每一组中的早睡人数与晚睡人数不能从所占的百分比来判断，故选项A错误； 早睡人群睡眠指数主要集中在[80，90)，晚睡人群睡眠指数主要集中在[50，60)，选项B正确，选项D错误； 早睡人群睡眠指数的极差和晚睡人群睡眠指数的极差的大小无法确定，故选项C错误． [答案]　ACD 在折线统计图中，折线上各点的横坐标表示所研究问题中的每类对象，纵坐标表示每类对象的数量．因此从折线统计图可以准确获得统计结果，同时，还能直观地显示出每类对象在数量上的增减变化情况.　 [触类旁通] 2．以下是某网店7～12月份甲、乙两种数码产品销量情况的折线统计图． 根据图形回答： (1)甲产品在哪个月的月销量与前一个月相比变化幅度最大？乙产品在哪个月的月销量与前一个月相比变化幅度最大？ (2)对于甲、乙两种产品，哪种产品的月平均销量较大？ 解析　(1)由折线统计图可以看出，与前一个月相比，甲产品在8月份的月销量的变化幅度最大，乙产品在11月份的月销量的变化幅度最大． (2)对于甲产品，其月平均销量 甲＝ ＝6 000(件)， 对于乙产品，其月平均销量 乙＝ ＝5 500(件). 因此，甲产品的月平均销量较大． 题型三　茎叶图的绘制与应用 　(1)在茎叶图中，茎为2的叶子数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 (2)某赛季甲、乙两名篮球运动员每场得分情况如下： 甲：12，15，24，26，31，31，36，37，39，44，45，50. 乙：8，13，14，16，23，26，28，38，39，51，9，17. ①用茎叶图表示上面的数据； ②根据你所画的茎叶图分析甲、乙两名运动员的得分情况． [解析]　(1)由茎为2组成的数据有21，21，25，故有3个叶子．故选D． (2)①在如图所示的茎叶图中，中间的数字表示两名运动员得分的十位数，两边的数字分别表示两个人各场比赛得分的个位数． ②从茎叶图可以看出：甲运动员的得分比较集中在茎为3的一行，且大致关于这一行对称，乙运动员的得分相对比较分散．所以，甲运动员发挥比较稳定，总体得分情况比乙运动员好． [答案]　(1)D　(2)略 绘制茎叶图的关键是分清茎和叶，一般地，数据是两位数时，十位数字为“茎”，个位数字为“叶”；如果是小数的，通常把整数部分作为“茎”，小数部分作为“叶”，解题时要根据数据的特点合理选择茎和叶.　 [触类旁通] 3．为了调查甲、乙两个网站受欢迎的程度，随机选取了14天，统计上午8：00－10：00间各自的点击量： 甲：73，24，58，72，64，38，66，70，20，41，55，67，8，25. 乙：12，37，21，5，54，42，61，45，19，6，71，36，42，14. (1)请用茎叶图表示上面的数据． (2)甲网站点击量在[10，40]间的频率是多少？ (3)甲、乙两个网站哪个更受欢迎？并说明理由． 解析　(1)茎叶图如图所示： (2)甲网站点击量在[10，40]间的频率为≈0.29. (3)甲网站更受欢迎，理由为甲网站的点击量集中在茎叶图的下方，而乙网站的点击量集中在茎叶图的上方，所以从数据的分布情况来看，甲网站更受欢迎． 知识落实 技法强化 常见统计图表：柱形图、扇形图、折线图、茎叶图的特点． 1.解图表信息题的一般流程：观察图表—分析信息—理解信息—归纳概括． 2．读图时注意不同类型图表的关注点：①表格—表格项目及数据变化；②柱形图—柱体高度及变化趋势；③扇形图—各部分所占比例；④折线图—折线变化趋势． [必备知识·基础巩固] 1．如图是某次拉丁舞比赛七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1，a2，则a1，a2的大小关系是(　　) A．a1＝a2　　　　　　　 B．a1＞a2 C．a2＞a1 D．无法确定 解析　由茎叶图，得甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1＝＝84，a2＝＝85，即a2＞a1. 答案　C 2．如图所示的是民航部门统计的某年春运期间12个城市售出的往返机票的平均价格以及相比上年同期变化幅度的数据统计图，根据统计图判断下面叙述不正确的是(　　) A．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高 B．深圳和厦门的平均价格同去年相比有所下降 C．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州 D．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门 解析　由题图可知，A、B、C均正确，对于D，涨幅从高到低居于前三位的是天津、西安和南京，所以D错误． 答案　D 3．已知某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图1和图2所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取20%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为(　　) A．100，8 B．80，20 C．100，20 D．80，8 解析　样本容量为(150＋250＋100)×20%＝100，所以抽取的户主对四居室满意的人数为100××40%＝8. 答案　A 4．(多选题)某调查机构对某地互联网行业进行了调查统计，得到整个互联网行业从业者的年龄分布扇形图、90后从事互联网行业的岗位分布条形图如图，则下列结论一定正确的是(　　) A．互联网行业从业者中90后占一半以上 B．互联网行业从事技术岗位的人数超过总人数的20% C．互联网行业从事运营岗位的人数90后比80前多 D．互联网行业从事运营岗位的人数90后比80后多 解析　A中，根据扇形图可知互联网行业从业者中90后占了56%，故正确； B中，互联网行业中从事技术岗位的90后人数占总人数的0.396×0.56≈0.222，故正确； C中，互联网行业中从事运营岗位的90后人数占总人数的0.17×0.56≈0.095，而80前从事互联网行业的人数才占总人数的0.03，故正确； D中，因为互联网行业中从事运营岗位的80后人数占总人数的比例不能确定，所以无法判断． 答案　ABC 5．在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是 ． 解析　甲组数据为28，31，39，42，45，55，57，58，66，中位数为45； 乙组数据为29，34，35，42，46，48，53，55，67，中位数为46. 答案　45，46 6．已知甲、乙两组数可分别用图1、图2表示，估计这两组数的平均数的相对大小是甲 乙，方差的相对大小是s s(填“＞”“＜”或“＝”). 解析　甲＝(10×2＋20×6＋30×6＋40×2)＝25， 乙＝(10×3＋20×5＋30×5＋40×3)＝25， s＝[(10－25)2×2＋(20－25)2×6＋(30－25)2×6＋(40－25)2×2]＝75， s＝[(10－25)2×3＋(20－25)2×5＋(30－25)2×5＋(40－25)2×3]＝100， 故甲＝乙，s＜s. 答案　＝　＜ 7．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是 ． ①各月的平均最低气温都在0 ℃以上； ②七月的平均温差比一月的平均温差大； ③三月和十一月的平均最高气温基本相同； ④平均最高气温高于20 ℃的月份有5个． 解析　依据给出的雷达图，逐项验证． 对于①，由图易知各月的平均最低气温都在0 ℃以上，①正确；对于②，七月的平均最高气温点与平均最低气温点间的距离大于一月的平均最高气温点与平均最低气温点间的距离，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，②正确；对于③，三月和十一月的平均最高气温均为10 ℃，所以③正确；对于④，平均最高气温高于20 ℃的月份有七月、八月，共2个月份，故④错误． 答案　④ 8．英才学校的四个年级学生分布情况如图1所示的扇形图．通过对全体学生暑假期间所读课外书情况的调查，制成各年级读书情况的条形图(如图2).已知英才学校被调查的四个年级共有学生1 500人，求： (1)高一年级学生暑假期间共读课外书的本数； (2)暑假期间读课外书总量最少的是几年级学生，共读课外书多少本． 解析　(1)因为高一年级学生占总人数的百分比为1－24%－28%－22%＝26%，共有1 500人，所以高一年级有1 500×26%＝390(人)，每人读6.2本，故高一年级学生暑假期间共读课外书390×6.2＝2 418(本). (2)七年级参加调查的人数为1 500×28%＝420(人)，阅读课外书总量为420×5.6＝2 352(本)；八年级参加调查的人数为1 500×24%＝360(人)，阅读课外书总量为360×6.6＝2 376(本)；高二年级参加调查的人数为1 500×22%＝330(人)，阅读课外书总量为330×7.3＝2 409(本)，故暑假期间阅读课外书总量最少的是七年级学生，共读课外书2 352本． [关键能力·综合提升] 9．(多选题)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如图所示的饼图： 则下面结论中正确的是(　　) A．新农村建设后，种植收入减少 B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 解析　设新农村建设前，经济收入为a，则新农村建立后经济收入为2a，则由饼图可得新农村建设前种植收入为0.6a，其他收入为0.04a，养殖收入为0.3a.新农村建设后种植收入为0.74a，其他收入为0.1a，养殖收入为0.6a，养殖收入与第三产业收入的总和为1.16a，所以新农村建设后，种植收入减少是错误的． 答案　BCD 10．(多选题)下图分别是四组数据的柱形图，每组数据的样本容量都是9，则下列描述正确的是(　　) A．四组数据的平均数都是5 B．(1)中数据的方差为0 C．(4)中数据的方差为0 D．(3)中数据的方差最大 解析　由柱形图中的频率得到四组数据分别是(1)5，5，5，5，5，5，5，5，5；(2)3，3，4，4，5，6，6，7，7；(3)2，2，2，2，5，8，8，8，8；(4)4，4，4，5，5，5，6，6，6.每组数据的平均数都是5，且(1)中9个数据全是5，故方差为0，(3)中数据的波动最大，故方差最大，易知(4)中数据的方差为，故C错误，故选ABD． 答案　ABD 11．(2022·全国甲卷)某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图，则(　　) A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70% B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85% C．讲座前问卷题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差 D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差 解析　由图表信息可知讲座后问卷答题的正确率的平均数为89.5%＞85%，故选B． 答案　B 12．甲、乙两个城市2024年4月中旬，每天的最高气温统计图如图所示，这9天里，气温比较稳定的城市是 ． 解析　从折线图中可以很清楚地看到乙城市的气温变化较大，而甲城市的气温相对来说较稳定，变化基本不大． 答案　甲 13．甲、乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图所示． (1)请填写下表： 项目 平均数 中位数 命中9环 以上(含9环)次数 甲 乙 (2)从下列三个不同的角度对这次打靶结果进行分析： ①从平均数和中位数相结合看，谁的成绩好些？ ②从平均数和命中9环以上(含9环)的次数相结合看，谁的成绩好些？ ③从折线图中两人射击命中环数的走势看，谁更有潜力？ 解析　(1)由题图可知，甲打靶的成绩为2，4，6，8，7，7，8，9，9，10；乙打靶的打绩为9，5，7，8，7，6，8，6，7，7. 则甲的平均数是7，中位数是7.5，命中9环以上(含9环)的次数是3； 乙的平均数是7，中位数是7，命中9环以上(含9环)的次数是1. (2)由(1)知，甲、乙的平均数相同． ①甲、乙的平均数相同，甲的中位数比乙的中位数大，所以甲成绩较好． ②甲、乙的平均数相同，甲命中9环以上(含9环)的次数比乙多，所以甲成绩较好． ③从折线图中看，在后半部分，甲呈上升趋势，而乙呈下降趋势，故甲更有潜力． [核心价值·探索创新] 14．(多选题)某同学10次测评成绩的数据如茎叶图所示，总体的中位数为12，则下列说法正确的是(　　) A．x＋y＝4 B．总体的平均数为11.2 C．若要使该总体的标准差最小，则x＝2，y＝2 D．该总体的最小方差为58.44 解析　由中位数为12可得＝12，解得x＋y＝4，A正确； 易知依题意可得平均值为11.4，B错误； 由于(10－11.4)2＋(14－11.4)2＝8.72， (11－11.4)2＋(13－11.4)2＝2.72， (12－11.4)2＋(12－11.4)2＝0.72， 因为8.72＞2.72＞0.72， 所以要使标准差最小，当且仅当x＝2，y＝2时取得，C正确； 该总体的最小方差为 [2×(2－11.4)2＋(3－11.4)2＋(4－11.4)2＋(12－11.4)2×2＋(19－11.4)2×2＋(20－11.4)2＋(21－11.4)2]×＝58.44，D正确．故选ACD． 答案　ACD 15．为选派一名学生参加全市实践活动技能竞赛，A，B两位同学在学校学习基地现场进行加工直径为20 mm 的零件的测试，他俩各加工的10个零件的相关数据如图所示(单位：mm). 数据 平均数 方差 完全符合要求的个数 A 20 0.026 2 B 20 s 5 根据测试得到的有关数据，试解答下列问题： (1)考虑平均数与完全符合要求的个数，你认为谁的成绩好些； (2)计算出s的大小，考虑平均数与方差，说明谁的成绩好些； (3)考虑图中折线走势及竞赛中加工零件个数远远超过10个的实际情况，你认为派谁去参赛较合适？说明你的理由． 解析　(1)因为A，B两位同学成绩的平均数相同，B同学加工的零件中完全符合要求的个数较多，由此认为B同学的成绩好些． (2)∵s＝×[5×(20－20)2＋3×(19.9－20)2＋(20.1－20)2＋(20.2－20)2]＝0.008， 且s＝0.026，∴s＞s. 在平均数相同的情况下，B同学的波动性小， ∴B同学的成绩好些． (3)从题图中折线图走势可知，尽管A同学的成绩前面起伏较大，但后来逐渐稳定，误差小，可选派A去参赛． 学科网（北京）股份有限公司 $