第5章 统计与概率 阶段测评(3)(范围5.1，5.2)(Word练习)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教B版）

阶段测评(三)(范围5.1，5.2) (时间：50分钟，满分：100分) 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为(　　) A．93　　　　　　　　 B．123 C．137 D．167 解析　初中部的女教师人数为110×70%＝77，高中部的女教师人数为150×(1－60%)＝60，该校女教师的人数为77＋60＝137. 答案　C 2．某示范农场的鱼塘放养鱼苗8万条，根据这几年的经验知道，鱼苗的成活率为95%，一段时间后准备打捞出售，第一网捞出40条，称得平均每条鱼2.5 kg，第二网捞出25条，称得平均每条鱼2.2 kg，第三网捞出35条，称得平均每条鱼2.8 kg，试估计鱼塘中鱼的总质量约为(　　) A．192 280 kg B．202 280 kg C．182 280 kg D．172 280 kg 解析　平均每条鱼的质量为＝＝2.53 kg，所以估计这时鱼塘中鱼的总质量约为80 000×95%×2.53＝192 280 kg. 答案　A 3．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分的中位数为me，众数为mo，平均值为，则(　　) A．me＝mo＝ B．me＝mo＜ C．me＜mo＜ D．mo＜me＜ 解析　由题图可知：30个得分中，按大小排序，中间的两个得分为5，6，故中位数me＝5.5，得分为5的最多，故众数m0＝5，平均数＝≈5.97.故m0＜me＜. 答案　D 4．从某中学高一年级中随机抽取100名学生的数学成绩(单位：分)，绘制成频率分布直方图(如图)，原始数据丢失，则对该校高一学生数学成绩中位数的估计值较为合理的是(　　) A．115 B．125 C．120 D．124 解析　由题图可知(a＋a－0.005)×10＝1－(0.010＋0.015＋0.030)×10，解得a＝0.025.中位数在120～130之间，设中位数为x，则0.010×10＋0.030×10＋0.025×(x－120)＝0.5，解得x＝124，故选D． 答案　D 5．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是，那么另一组数3x1－2，3x2－2，3x3－2，3x4－2，3x5－2的平均数、方差分别是(　　) A．2， B．2，1 C．4， D．4，3 解析　因为数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是，所以＝2，(xi－2)2＝， 因此数据3x1－2，3x2－2，3x3－2，3x4－2，3x5－2的平均数为(3xi－2)＝3×i－2＝4， 方差为(3xi－2－)2＝(3xi－6)2 ＝9×(xi－2)2＝9×＝3. 答案　D 6．有 4 位同学各掷骰子 5 次(骰子出现的点数可能为1，2，3，4，5，6)，分别记录自己每次出现的点数，四位同学根据统计结果，并对自己的试验数据分别做了如下描述，可以判断一定没有出现点数 1的是(　　) A．平均数为3 ，中位数为4 B．中位数为3 ，众数为5 C．平均数为4 ，方差为1.2 D．中位数为4 ，方差为1.6 解析　对于A，由于平均数为3，中位数为4，所以这5个数从小到大排列后，第3次是4，当第3，4，5次为4，4，4时，总和为12，第1，2次总和为3，故这5个数可以是1，2，4，4，4，故A错误； 对于B，由于中位数为3，众数为5，所以这5个数从小到大排列后，第3次是3，则第4次和第5次为5，所以这5个数可以是1，2，3，5，5，所以B错误； 对于C，由于平均数为4，方差为1.2，则5次总和为20，[(x1－4)2＋(x2－4)2＋(x3－4)2＋(x4－4)2＋(x5－4)2]＝1.2， 若有一个数为1，取x1＝1，则(x2－4)2＋(x3－4)2＋(x4－4)2＋(x5－4)2＝－3，不合题意，则一定没有出现点数1，故C正确； 对于D，由中位数为4 ，方差为1.6，所以这5个数从小到大排列后，第3次是4，平均数最小值为2.8， [(x1－)2＋(x2－)2＋(4－)2＋(x4－)2＋(x5－)2]＝1.6， (x1－)2＋(x2－)2＋(4－)2＋(x4－)2＋(x5－)2＝8， 若有一个数为1，取x1＝1，(1－)2≤8，(4－)2≤8， 若取平均数为3，则(1－3)2＋(x2－3)2＋(4－3)2＋(x4－3)2＋(x5－3)2＝8， (x2－3)2＋(x4－3)2＋(x5－3)2＝3，则x2＝2，x4＝x5＝4符合要求，这5个数为1，2，4，4，4，故D错误．故选C． 答案　C 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7．空气质量指数分为“优”“良”“轻度污染”“中度污染”“重度污染”“严重污染”六个等级，指数越大说明污染的情况越严重，对人体危害越大，这六个等级分别对应的指数范围为[0，50]，[51，100]，[101，150]，[151，200]，[201，300]，[301，500]，如图是某市连续14天的空气质量指数趋势图，下面说法正确的是(　　) A．这14天中有4天空气质量指数为“良” B．从2日至5日空气质量越来越差 C．这14天中空气质量指数的中位数是103 D．连续三天中空气质量指数方差最小的是9日至11日 解析　根据题图分析数据，对选项逐一判断． 对于A，1日、3日、12日、13日，共4天空气质量指数为“良”，故A正确； 对于B，从2日到5日空气质量指数越来越高，故空气质量越来越差，故B正确； 对于C，中位数为＝103.5，故C错误； 对于D，方差小说明3个数据的波动较小，由题图可知D正确．故选ABD． 答案　ABD 8．某公司为提高职工政治素养，对全体职工进行了一次时事政治测试，随机抽取了100名职工的成绩，并将其制成如图所示的频率分布直方图．以样本估计总体，则下列结论不正确的是(　　) A．该公司职工的测试成绩不低于60分的人数约占总人数的80% B．该公司职工测试成绩的中位数约为75 C．该公司职工测试成绩的平均值约为68 D．该公司职工测试成绩的众数约为60 解析　对于A，该公司职工的测试成绩不低于60分的频率为(0.02＋0.015)×20＝0.70，∴该公司职工的测试成绩不低于60分的人数约占总人数的70%，故A错误； 对于B，测试成绩在[20，60)的频率为(0.005＋0.01)×20＝0.3，测试成绩在[60，80)的频率为0.02×20＝0.4， ∴该公司职工测试成绩的中位数约为60＋×20＝70，故B错误； 对于C，估计该公司职工测试成绩的平均值＝30×0.005×20＋50×0.01×20＋70×0.02×20＋90×0.015×20＝68，故C正确； 对于D，该公司职工测试成绩的众数约为＝70，故D错误．故选ABD． 答案　ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 9．为调查某高校学生对本校文化的了解情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为500的样本，其中大一年级抽取200人，大二年级抽取100人．若其他年级共有学生3 000人，则该校学生的总人数是 ． 解析　由题意知，从其他年级抽取200人，又其他年级共有学生3 000人，所以该校学生的总人数是＝7 500. 答案　7 500 10．现有10个数，其平均数是4，且这10个数的平方和是200，那么这组数的方差是 ． 解析　设这10个数为a1，a2，…，a10，则有a＋a＋…＋a＝200，且a1＋a2＋…＋a10＝40，则这10个数的方差为 ＝ ＝＝4. 答案　4 11．如图是根据某中学为敬老院捐款的情况而制作的统计图，已知该校共有学生3 000人，由统计图可得该校共捐款 元． 解析　由扇形统计图可知，该中学高一、高二、高三分别有学生960人、990人、1 050人，由条形统计图知，该中学高一、高二、高三人均捐款分别为15元、13元、10元，所以共捐款15×960＋13×990＋10×1 050＝37 770(元). 答案　37 770 四、解答题：本题共3小题，共43分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 12．(13分)某初级中学共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表： 初一年级 初二年级 初三年级 女生 373 x y 男生 377 370 z 已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19. ①求x的值． ②现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？ ③在②中，若所抽取的初一年级、初二年级、初三年级三个年级学生的体重的平均数分别是40 kg，50 kg，60 kg，方差分别是1，2，3，估计该校所有学生体重的平均数和方差． 解析　①∵＝0.19，∴x＝380. ②初三年级人数为y＋z＝2 000－(373＋377＋380＋370)＝500，现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为 ×500＝12(名). ③初一年级应抽取学生的人数×750＝18， 初二年级应抽取学生的人数×750＝18， 所以该校所有学生体重的平均数约为 ＝×40＋×50＋×60＝48.75， 该校所有学生体重的方差约为 s2＝×[1＋(40－48.75)2]＋×[2＋(50－48.75)2]＋×[3＋(60－48.75)2]＝62.812 5. 13．(15分)为了了解某工厂生产的产品情况，从该工厂生产的产品中随机抽取一个容量为20的样本，测量它们的尺寸(单位：mm)，并分为[92，94)，[94，96)，[96，98)，[98，100)，[100，102)，[102，104)，[104，106]七组，其频率分布直方图如图所示． (1)求图中x的值； (2)根据频率分布直方图，估计200件该产品中尺寸在[98，100)内的个数； (3)记产品尺寸在[98，102)内的为优等品，每件可获利5元；在[92，94)内的为不合格品，每件亏损2元；其余的为合格品，每件可获利3元．已知每台机器一个月共生产3 000件产品．以样本的频率代替总体在各组的频率，若每台机器生产的产品一个月所获得的利润未达到11 000元，则需要对该工厂设备实施升级改造．试判断是否需要对该工厂设备实施升级改造． 解析　(1)由(0.02＋0.04＋0.06＋0.07＋0.09＋0.10＋x)×2＝1，解得x＝0.12. (2)估计200件该产品中尺寸在[98，100)内的个数为200×0.09×2＝36. (3)由题意可得，这批产品中优等品有3 000×(0.18＋0.20)＝1 140(件)， 不合格品有3 000×0.04＝120(件)， 合格品有3 000－1 140－120＝1 740(件)， 所以每台机器生产的产品一个月所获得的利润为1 140×5＋1 740×3－120×2＝10 680(元)， 因为10 680＜11 000，所以需要对该工厂设备实施升级改造． 14．(15分)随着互联网的发展，与餐饮美食相关的手机应用软件层出不穷．现从使用A和B两款订餐软件的商家中分别随机抽取50个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如图： (1)试估计使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的众数及平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (2)根据以上抽样调查的数据，用样本估计总体，回答下列问题： ①能否认为使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分的商家达到75%? ②如果你要从A和B两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？请说明理由． 解析　(1)依题意可得，使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的众数约为55. 使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数约为15×0.06＋25×0.34＋35×0.12＋45×0.04＋55×0.4＋65×0.04＝40. (2)①使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分的商家的比例估计值为0.04＋0.2＋0.56＝0.80＝80%>75%.故可以认为使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分的商家达到75%. ②因为使用B款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数为15×0.04＋25×0.2＋35×0.56＋45×0.14＋55×0.04＋65×0.02＝35<40，所以选B款订餐软件． 学科网（北京）股份有限公司 $