第5章 5.1.4 用样本估计总体(Word练习)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教B版）

[必备知识·基础巩固] 1．有一个容量为60的样本，数据的分组及各组的频数如下： 分组 [11.5，15.5) [15.5，19.5) [19.5，23.5) [23.5，27.5) 频数 2 4 5 16 分组 [27.5，31.5) [31.5，35.5) [35.5，39.5) [39.5，43.5] 频数 11 12 7 3 根据样本的频率分布估计，数据落在[27.5，39.5)的频率约是(　　) A．　　　　　　　　 B． C． D． 解析　数据落在[27.5，39.5)内的个数为11＋12＋7＝30，故数据落在[27.5，39.5)内的频率为＝. 答案　A 2．(多选题)某城市为促进家庭节约用电，计划制定阶梯电价，阶梯电价按年月均用电量从低到高分为一、二、三、四档，属于第一档电价的家庭约占10%，属于第二档电价的家庭约占40%.属于第三档电价的家庭约占30%，属于第四档电价的家庭约占20%.为确定各档之间的界限，从该市的家庭中抽查了部分家庭，调查了他们上一年度的年月均用电量(单位：千瓦时)，由调查结果得下面的直方图．由此直方图可以做出的合理判断是(　　) A．年月均用电量不超过80千瓦时的家庭属于第一档 B．年均用电量低于200千瓦时，且超过80千瓦时的家庭属于第二档 C．年月均用电量超过240千瓦时的家庭属于第四档 D．该市家庭的年月均用电量的平均数大于年月均用电量的中位数 解析　对于A，年月均用电量不超过80千瓦时的家庭的频率为0.002 5×40＝0.1，属于第一档，故选项A正确； 对于B，年均用电量低于200千瓦时，且超过80千瓦时的家庭的频率为0.004 0×40＋0.006 0×40＋0.004 5×40＝0.58＞0.50，不属于第二档，故选项B错误； 对于C，年月均用电量超过240千瓦时的家庭的频率为0.002 0×40＋0.001 0×40×3＝0.20，属于第四档，故选项C正确； 对于D，由频率分布直方图可知，该组数据多集中在200以前的小数据，所以中位数应该较小，平均数因受极大值的影响，平均数应该大于中位数，故选项D正确． 答案　ACD 3．下面是甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图，据图可知(　　) A．甲运动员的成绩好于乙运动员 B．乙运动员的成绩好于甲运动员 C．甲、乙两名运动员的成绩没有明显的差异 D．甲运动员的最低得分为0分 解析　从茎叶图可以看出，甲运动员的成绩集中在大“茎”上的“叶”多，故成绩好．故选A． 答案　A 4．(多选题)为了了解某校九年级1 600名学生的体能情况，随机抽查了部分学生，测试1分钟仰卧起坐的成绩(次数)，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图．根据统计图的数据，下列结论正确的是(　　) A．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为26.25次 B．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为27.5次 C．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30次的人数约为320 D．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20次的人数约为32 解析　由题图可知中位数是26.25，众数是27.5.1分钟仰卧起坐的次数超过30次的频率为0.2，所以估计该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30的人数约为320；1分钟仰卧起坐的次数少于20的频率为0.1，所以该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数约为160.D是错误的． 答案　ABC 5．某市有大、中、小型商店的数量之比为1∶5∶9，其中大型商店的年纳税额为300万元，中型商店的年纳税额为25万元，小型商店的年纳税额为0.4万元，则该市所有商店的年平均纳税额为 万元.(结果保留一位小数) 解析　由题意知，该市所有商店的年平均纳税额为＝×300＋×25＋×0.4≈28.6(万元)，所以该市所有商店的年平均纳税额28.6万元． 答案　28.6 6．甲、乙、丙、丁四名射击手在选拔赛中的平均环数及其标准差s如下表所示，则选送决赛的最佳人选应是 ． 甲 乙 丙 丁 7 8 8 7 s 2.5 2.5 2.8 3 解析　甲、乙、丙、丁四个人中乙和丙的平均数最大且相等，乙与丙中乙的标准差较小，说明乙的成绩比丙稳定，从而得到乙是最佳人选． 所以综合平均数和标准差两个方面说明乙成绩既高又稳定，所以乙是最佳人选． 答案　乙 7．取100件做使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为 ；由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1 020 小时、980小时、1 030小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为 小时． 解析　第一分厂应抽取的件数为100×50%＝50(件)；该产品的平均使用寿命为1 020×0.5＋980×0.2＋1 030×0.3＝1 015(小时). 答案　50　1 015 8．某学校为了调查了解高一新生上学所需时间的情况，从高一新生中随机抽取了部分同学，调查其上学所需时间，获得相应数据，制成了频率分布直方图(如图所示). (1)试计算该校高一新生上学所需时间的平均数、中位数、众数； (2)如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校1 200名新生中有多少名学生可以申请住宿？ 解析　(1)上学所需时间在[0，20)，[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]内的频率分别为0.012 5×20＝0.25，0.025×20＝0.5，0.006 5×20＝0.13，0.003×20＝0.06，0.003×20＝0.06，因此平均数为10×0.25＋30×0.5＋50×0.13＋70×0.06＋90×0.06＝33.6(分)； 众数为频率最大的一组的组中值，即为30分； 设中位数为x，则有0.25＋(x－20)×0.025＝0.5，解得x＝30，即中位数为30分． (2)由频率分布直方图可知，新生上学所需时间不少于1小时的频率为(0.003＋0.003)×20＝0.12. 因为1 200×0.12＝144，所以1 200名新生中有144名学生可以申请住宿． [关键能力·综合提升] 9．为了解我国13岁男孩的平均身高，从北方抽取了300个男孩，平均身高1.60 m；从南方抽取了200个男孩，平均身高为1.50 m．由此可推断我国13岁男孩的平均身高为(　　) A．1.57 m B．1.56 m C．1.55 m D．1.54 m 解析　因为从北方抽取了300个男孩，平均身高为1.60 m；从南方抽取了200个男孩，平均身高为1.50 m．所以这500个13岁男孩的平均身高是＝1.56(m).所以由此可推断我国13岁男孩的平均身高为1.56 m．故选B． 答案　B 10．(多选题)某工厂对一批产品进行了抽样检测．如图是根据抽样检测后的数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重(单位：克)的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98)，[98，100)，[100，102)，[102，104)，[104，106].已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则下列结论正确的是(　　) A．样本中产品净重大于或等于98克且小于102克的个数是36 B．样本的众数是101 C．样本的中位数是 D．样本的平均数是101.3 解析　由题意可知样本中产品净重小于100克的频率是(0.05＋0.1)×2＝0.3，所以样本量为＝120，所以样本中产品净重在[98，102)的个数是(0.1＋0.15)×2×120＝60，故A错误；由题图知，最高小矩形底边中点的横坐标是101，故众数是101，故B正确；因为最左边的两个小矩形的面积和是0.3，最右边的两个小矩形的面积和是0.4，故中位数为100＋×2＝，故C正确；样本的平均数是2×(97×0.05＋99×0.1＋101×0.15＋103×0.125＋105×0.075)＝101.3，故D正确．故选BCD． 答案　BCD 11．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x－y|＝ ． 解析　由题意这组数据的平均数为10，方差为2可得 解这个方程组需要用一些技巧， 因为不要直接求出x，y，只要求出|x－y|， 设x＝10＋t，y＝10－t，由 (x－10)2＋(y－10)2＝8得t2＝4； ∴|x－y|＝2|t|＝4. 答案　4 12．为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了100名同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在[10，50](单位：元)，其频率分布直方图如图所示，估计学生课外读物支出的样本数据的65%分位数为 元(结果保留两位小数). 解析　由频率分布直方图可得，(0.01＋0.023)×10＝0.33，(0.01＋0.023＋0.037)×10＝0.7，所以65%分位数应位于[30，40)内，所以样本数据的65%分位数为30＋10×≈38.65(元)，所以估计学生课外读物支出的样本数据的65%分位数为38.65(元). 答案　38.65 13．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表． 质量指标 值分组 [75， 85) [85， 95) [95， 105) [105， 115) [115， 125] 频数 6 26 38 22 8 (1)在下面作出这些数据的频率分布直方图． (2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？ 解析　(1)直方图如图， (2)质量指标值的样本平均数为＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100. 质量指标值的样本方差为s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104. (3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38＋0.22＋0.08＝0.68，由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定． [核心价值·探索创新] 14．某高校进行自主选拔招生，先从报名者中筛选出400人参加笔试，再按笔试成绩择优选出100人参加面试．现随机抽取了24名笔试者的成绩，统计结果如表所示． 分数段 [60，65) [65，70) [70，75) [75，80) [80，85) [85，90] 人数 2 3 4 9 5 1 据此估计允许参加面试的分数线大约是 ． 解析　依题意，参加面试的频率为＝0.25， 由统计表知，样本中数据在[80，90]内的频率为＝0.25， 由样本估计总体知，分数线大约为80，所以估计允许参加面试的分数线大约是80. 答案　80 15．某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男、女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，…，[80，90]，并整理得到频率分布直方图： (1)已知样本中分数在[40，50)的学生有5人，试估计总体中分数小于40的人数； (2)试估计测评成绩的75%分位数； (3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男、女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例． 解析　(1)由频率分布直方图知， 分数在[50，90)的频率为(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9， 在样本中分数在[50，90)的人数为100×0.9＝90(人)， 在样本中分数在[40，90)的人数为95人， 所以分数在[40，90)的人数为400×0.95＝380(人)，总体中分数小于40的人数为20人． (2)测试成绩从低到高排序，占人数75%的人分数在[70，80)之间，所以估计测评成绩的75%分位数为70＋10×＝70＋8.75＝78.75. (3)由频率分布直方图知，分数不小于70的人数共有60，由已知男、女各占30人，从而样本中男生有60人，女生有40人，故总体中男生与女生的比例为＝. 学科网（北京）股份有限公司 $