幂、指、对数函数 专题训练卷 内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》第73卷 （原卷版+解析版）

编写说明：内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及内蒙古历年对口招生真题编写。本套试卷共100份：第一部分是按照课程标准编写的67份知识点训练卷；第二部分是集合与充要条件、不等式、函数等11个章节的23份专题训练卷；第三部分是参考历年真题编写的10份综合模拟卷。 本卷是内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》的第73卷，是专题训练卷，主要考查幂、指、对数函数的概念及其运算的掌握情况。 内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》 第73卷 幂、指、对数函数 专题训练卷 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 1、 选择题：（本大题共12个小题．每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知，，且，则下列等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 2．某理财产品的收益（单位：元）与投资时间（单位：年）满足对数函数.若投资年后收益为元，则的值为（   ）. A． B． C． D． 3．用分数指数幂的形式表示的结果是（    ） A． B． C． D． 4．若，则（   ） A． B．8 C．4 D．2 5．下列函数中，既是奇函数，又是定义域内增函数的是（    ） A． B． C． D． 6．若对数函数经过点，则它的反函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 7．函数零点的个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．函数，的最大值和最小值分别为（   ） A．3， B．3，0 C．1， D．3， 9．已知，，若对任意，或，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 10．若，且，则（    ） A． B． C． D． 11．函数的零点所在的一个区间是（    ） A． B． C． D． 12．已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 13．  = . 14．函数的定义域为 . 15．已知函数，若，则实数的取值范围是 ． 16．已知函数的值域是，则实数m的取值范围是 ． 17．函数 的定义域为 18．函数的值域为 . 三、解答题（本大题共6个小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 19．设函数在其定义域上是增函数，求常数a的取值范围． 20．若关于的不等式在上恒成立． (1)求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 21．已知函数. (1)求的定义域； (2)判断并证明的奇偶性； (3)讨论的单调性. 22．大罗山位于温州市区东南部，由四景一水网构成，它们分别是：仙岩景区、瑶溪景区、天柱寺景区、茶山景区和三垟湿地．根据温州市总体规划，大罗山将是温州市未来的“绿心”和“绿楔”，温州市区将环大罗山发展．某开发商计划2022年在三垟湿地景区开发新的游玩项目，全年需投入固定成本300万元，若该项目在2022年有x万人游客，则需另投入成本万元，且该游玩项目的每张门票售价为60元. (1)求2022年该项目的利润（万元）关于人数x（万人）的函数关系式（利润=销售额-成本）； (2)当2022年的游客为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少． 23．已知函数 (且），. (1)求实数的值； (2)求. 24．已知且. (1)证明：为奇函数； (2)求使成立的的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及内蒙古历年对口招生真题编写。本套试卷共100份：第一部分是按照课程标准编写的67份知识点训练卷；第二部分是集合与充要条件、不等式、函数等11个章节的23份专题训练卷；第三部分是参考历年真题编写的10份综合模拟卷。 本卷是内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》的第73卷，是专题训练卷，主要考查幂、指、对数函数的概念及其运算的掌握情况。 内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》 第73卷 幂、指、对数函数 专题训练卷 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 1、 选择题：（本大题共12个小题．每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知，，且，则下列等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由实数指数幂的运算法则即可得解. 【详解】 ，故A成立，B不成立， ，，故C、D成立. 故选：B. 2．某理财产品的收益（单位：元）与投资时间（单位：年）满足对数函数.若投资年后收益为元，则的值为（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将代入表达式再根据对数的运算求解即可. 【详解】已知，当时，， 化简得，解得，解得，即. 故选： A. 3．用分数指数幂的形式表示的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将根式转化为分数指数幂的形式，再根据同底数幂的乘法法则进行计算. 【详解】； 故选：B. 4．若，则（   ） A． B．8 C．4 D．2 【答案】B 【分析】根据题意可知，求解出的值代入中求值即可. 【详解】已知， 因为， 所以，解得， 所以， 故选：B. 5．下列函数中，既是奇函数，又是定义域内增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性、定义域、单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，设，， 不符合题意，A选项错误. B选项，设， 所以是奇函数，在上单调递增，所以B选项正确. C选项，设， 所以是偶函数，不符合题意，C选项错误. D选项，对于函数，由于函数的定义域是， 所以函数是非奇非偶函数，所以D选项错误. 故选：B 6．若对数函数经过点，则它的反函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出函数代入点坐标得到，再计算反函数得到答案. 【详解】设，函数过，即，即，， 它的反函数的解析式为. 故选：A 7．函数零点的个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】将零点个数转化为函数交点问题，作出函数图像即可解得. 【详解】的零点个数，即为与图象的交点个数， 在同一直角坐标系下，两函数图象如下所示： 当由图可知有个交点， 当时，，故在有两个交点， 在上单调递增，，， 可知在上恒成立，故没有交点. 故两函数共有4个交点，故有4个零点. 故选：C. 8．函数，的最大值和最小值分别为（   ） A．3， B．3，0 C．1， D．3， 【答案】A 【分析】先对函数进行化简，再利用对数函数的单调性求解即可. 【详解】. 所以函数在上单调递减. 所以当时取最大值，当时取最小值． 故选：A. 9．已知，，若对任意，或，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由于时，，可转化为在时恒成立，根据二次函数的性质，列不等式可求解. 【详解】令，可得， 因为对任意，或， 所以，在时恒成立， 显然，时，不符合题意； 当时，二次函数的对称轴为， 由二次函数的性质可知，函数图像应当开口向下，且二次函数与x轴交点都在的左边， 令，可得或，则有 ，解得. 故选：C. 10．若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数和指数的互化结合不等式的性质和指数的运算即可解得. 【详解】，， 设， ， ，，， ，，， ，，， ，，， ，则， . 故选：A． 11．函数的零点所在的一个区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断函数的单调性，然后根据判断零点区间即可. 【详解】因为函数，，此函数在上为减函数， ，，此函数在上为减函数， 则函数在上为减函数， 又因为，，， ，， 可知函数的零点所在中； 故选：C. 12．已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分段函数的单调性列出不等式组即可求参数的取值范围. 【详解】因为函数在R上单调递增．所以，解得， 即实数a的取值范围是. 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 13．  = . 【答案】16 【分析】利用指数运算法则和分数指数幂运算法则计算出答案. 【详解】 故答案为：16 14．函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据分母不等于0，偶次根式被开方数大于等于0，0和负数无对数列不等式求解即可. 【详解】要使函数有意义， 则必须有，即，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 15．已知函数，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据分段函数解析式结合对数函数单调性和定义域即可解得. 【详解】①当时，由题意得，， 则由得，即， 其中在上单调递增，解得； ②当时，由题意得，， 则由得，即， 其中在上单调递增，解得. 综上所述，. 故答案为： 16．已知函数的值域是，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据已知函数的范围,并结合已知值域即可求解. 【详解】∵函数， 当时,且,即, 而函数的值域是， 因此时,的取值范围应包含, 又∵是对称轴为开口向下的抛物线， 时, 单调递减， ∴,所以， 解得. 故答案为:. 17．函数 的定义域为 【答案】 【分析】根据对数函数以及一元二次不等式的解法来确定函数的定义域. 【详解】函数 的定义域为, . 故函数 的定义域为. 故答案为：. 18．函数的值域为 . 【答案】 【分析】根据换元法将函数转化为二次函数，将根据二次函数的顶点式求最值即可得出结论 【详解】令， 所以函数化为， 因为的对称轴为，且图像开口向上， 所以，单调递增， 因为时，，所以， 即函数的值域为. 故答案为：. 三、解答题（本大题共6个小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 19．设函数在其定义域上是增函数，求常数a的取值范围． 【答案】 【分析】根据对数函数单调性的定义即可求解. 【详解】因为函数在上是增函数， 所以，解得， 所以常数a的取值范围为， 故答案为：. 20．若关于的不等式在上恒成立． (1)求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据判别式求解a的值即可. （2）根据指数函数和对数函数的单调性求解x的取值范围即可. 【详解】（1）根据题意不等式在R上恒成立， 所以函数的图像恒在x轴的上方， 所以，解得. 综上所述，结论为:. （2）由（1）得当时， 函数在上是减函数， 所以，即， 因为在R上是增函数， 所以， 解得：. 综上所述，结论为:不等式的解集为. 21．已知函数. (1)求的定义域； (2)判断并证明的奇偶性； (3)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)偶函数，证明见解析 (3)在上单调递增，在上单调递减； 【分析】（1）利用对数的真数大于零可求得函数的定义域； （2）判断出函数为偶函数，然后利用函数奇偶性的定义证明即可； （3）利用复合函数的单调性可得出函数的单调性. 【详解】（1）对于函数，有，解得， 所以，函数的定义域为. （2）函数为偶函数，证明如下： 函数的定义域为，定义域关于原点对称， 且，故函数为偶函数. （3）因为， 令，因为内层函数在上单调递增，在上单调递减， 外层函数为上的增函数， 由复合函数的单调性可知，函数在上单调递增，在上单调递减. 22．大罗山位于温州市区东南部，由四景一水网构成，它们分别是：仙岩景区、瑶溪景区、天柱寺景区、茶山景区和三垟湿地．根据温州市总体规划，大罗山将是温州市未来的“绿心”和“绿楔”，温州市区将环大罗山发展．某开发商计划2022年在三垟湿地景区开发新的游玩项目，全年需投入固定成本300万元，若该项目在2022年有x万人游客，则需另投入成本万元，且该游玩项目的每张门票售价为60元. (1)求2022年该项目的利润（万元）关于人数x（万人）的函数关系式（利润=销售额-成本）； (2)当2022年的游客为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少． 【答案】(1) (2)30万人时利润最大，最大为205万 【分析】（1）由题意列函数关系式 （2）求分段函数在每一段上的最值后比较 【详解】（1） 即 （2）当时， 当时， 当时，由基本不等式知，当且仅当即时等号成立， 故 综上，游客为30万人时利润最大，最大为205万． 23．已知函数 (且），. (1)求实数的值； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对数函数的定义代入求值即可. （2）根据求出的对数函数的解析式代入求值即可. 【详解】（1），， ，解得:， 又，. （2），， . 24．已知且. (1)证明：为奇函数； (2)求使成立的的取值范围． 【答案】(1)证明见解析. (2)当时，使成立的的取值范围是； 当时，使成立的的取值范围是. 【分析】（1）由且，得到，由此证明为奇函数. （2）由，得，对分类讨论，可得关于的方程，由此求出使成立的的取值范围. 【详解】（1）且的定义域为：， 解得且的定义域为：. 因为且， 所以 ， 所以为奇函数. （2）因为且，所以由，得. 当时，有，解得； 当时，有，解得； 所以当时，使成立的的取值范围是； 当时，使成立的的取值范围是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $