平面与平面垂直的判定与性质 知识点训练卷 内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》第59卷 （原卷版+解析版）

中职公共课考纲百套卷 醇A职教 编写说明：内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学 课程标准》(2020年版)及内蒙古历年对口招生真题编写。本套试卷共100份：第一部 分是按照课程标准编写的67份知识点训练卷；第二部分是集合与充要条件、不等式、函 数等11个章节的23份专题训练卷；第三部分是参考历年真题编写的10份综合模拟卷。 本卷是内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》的第59卷，是知识点训练卷， !主要考查平面与平面垂直的判定与性质的掌握情况。 内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》第59卷 平面与平面垂直的判定与性质知识点训练卷 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题：（本大题共10个小题.每小题4分，共40分，在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1·空间四边形ABCD中，若AD⊥BC,AD⊥BD,那么有() A.平面ABC⊥平面ADC B.平面ABC⊥平面ADB C.平面ABC⊥平面DBC D.平面ADC⊥平面DBC 2.如图所示，三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC,PA=PB,D为AB中点，则() A·PDC平面PBC B.PD⊥平面ABC C,PD与平面ABC相交但不垂直 D.PD//平面ABC 3.已知不同的两个平面0，B和不同的两条直线m、1,要使"如果a⊥B,a∩B=m, 1上m,那么1上B”正确，则须添加条件()》 A.1⊥0 B.Ica C.l与a相交但不垂直 D.1与m为异面直线 4.设m,是两条不同的直线，，B是两个不同的平面，下列命题正确的是()》 A.若m/n,m⊥B,则n⊥B B.若m/n,m/B,则nl/B C.若m/1a,m/1B,则aB D.若n⊥，n⊥B,则a⊥B ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职公共课考纲百套卷 醇A职教 》 5.已知直线1，m,平面u,B,且l⊥a,mcB,给出下列四个命题 ①若a11B,则1⊥m；②若1⊥m,则a/B;③若a⊥B,则111m；④若111m,则⊥B 其中正确的命题是() A.①④ B.2④ C.①3④ D.①2④ 6.设m,n是两条不同的直线，，B是两个不同的平面() A.若m/1a,n/c,则m∥n B.若m/1a,m/1B,则a/1β C.若m/n,m⊥，则n⊥a D.若m/1a,a⊥B,则m⊥B 7.已知直线m,n,平面a,阝，则下列说法中，正确的是() A.若m⊥a,n⊥B,且m⊥n,则a⊥BB.若m∥a,n∥B,且m∥n,则 o∥B C.若m⊥a,nB,且m⊥n,则a⊥BD.若m⊥a,n∥B,且m∥n,则 a∥B 8.已知点P是正方形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD,则平面PAB(）· A.与平面PBC,平面PAD都垂直 B.与平面PBC,平面PAD都相交，但不垂直 C·与平面PBC垂直，与平面PAD都相交但不垂直 D.与平面PAD垂直，与平面PBC都相交但不垂直 9.已知m,n是不同的直线，，B是不同的平面，下列命题中，正确的是（) A.若m/1a,n/1a,则m/1n B.若m⊥，n⊥a,则m⊥n C.若m⊥a,n/1β，且m⊥n,则a⊥B D.若m⊥a,n⊥B,且m⊥n,则a⊥B 10,如图所示，AB是圆O的直径，VA垂直于圆O所在的平面，点C是圆周上不同于A,B 的任意一点，M,N分别为VA,VC的中点，则下列结论正确的是() 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职公共课考纲百套卷 醇A职教 》 A.MN∥AB B.MN与BC所成的角为45° C.0C⊥平面AC D.平面VAC⊥平面BC 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）》 11.若平面u1平面B,平面a∥平面Y,则平面B与平面Y的位置关系是 (填“平 行"或“垂直") 12.若直线b1a且bcB,则平面与平面B的位置关系是 13.如图，四面体P-ABC中，PA=PB=13,平面PAB⊥平面ABC,LACB=90°， AC=8,BC=6,则PC=一 14.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A,B,C,D,中，E为BC的中点，点P在线段D,E上， 点P到直线CC,的距离的最小值为 D C B 15.如图，在直二面角-AB-B中，AC和BD分别在平面和B上，它们都垂直于AB 且AB=4,AC=6, BD=8,则CD= ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职公共课考纲百套卷 9A职教 hiiiao.xkw.com 》 A B D 三、解答题（本大题共4个小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或 推演步骤) 16.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，PC⊥平面ABCD,M为PB 的中点 M A 、 B (1)求证：OM∥平面PDC; (2)求证：平面PAC⊥平面PBD 17.如图，已知三棱锥S-ABC,平面SAC1平面ABC,且SA1AC,AB⊥BC B 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职公共课考纲百套卷 醇A职教 》》 (1)求证：BC⊥平面SAB; (2)若SB=2,SB与平面ABC所成角为30°，求点S到平面ABC的距离. 18.如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BCD=60°，E是CD 的中点，PA⊥底面ABCD,PA=4· D 、E (1)求证：平面PBE⊥平面PAB; (2)求三棱锥E-PBC的体积， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职公共课考纲百套卷 9A职教 iiiao.xkw.com 》》 19.如图，已知空间四边形ABCD中，BC=AC,AD=BD,E是AB的中点. B D (1)求证：AB⊥平面CDE (2)求证：平面CDE⊥平面ABC. 6 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！中职公共课考纲百套卷 9A职教 iiiao.xkw.com 编写说明：内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学 课程标准》(2020年版)及内蒙古历年对口招生真题编写。本套试卷共100份：第一部 分是按照课程标准编写的67份知识点训练卷；第二部分是集合与充要条件、不等式、函 数等11个章节的23份专题训练卷；第三部分是参考历年真题编写的10份综合模拟卷。 本卷是内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》的第59卷，是知识点训练卷， !主要考查平面与平面垂直的判定与性质的掌握情况。 内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》第59卷 平面与平面垂直的判定与性质知识点训练卷 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题：（本大题共10个小题.每小题4分，共40分，在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1·空间四边形ABCD中，若AD⊥BC,AD⊥BD,那么有(） A.平面ABC⊥平面ADC B.平面ABC⊥平面ADB C.平面ABC⊥平面DBC D.平面ADC⊥平面DBC 【答案】D 【分析】由线线垂直证明线面垂直进而证明面面垂直， 【详解】：AD L BC,AD⊥BD,BC∩BD=B,BC∈平面DBC,BDS平面DBC, AD⊥平面DBC, :ADS平面ADC :.平面ADC⊥平面DBC 故选D, 2.如图所示，三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC,PA=PB,D为AB中点，则() B D A.PDC平面PBC B.PD⊥平面ABC C,PD与平面ABC相交但不垂直 D.PD/平面ABC ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职公共课考纲百套卷 9AI职教 hiiiao.xkw.com 》》 【答案】B 【分析】利用直线与平面的位置关系与面面垂直证线面垂直可判断： 【详解】由题可知点D,不在平面PBC中，而D∈PD 所以PD￠平面PBC,A选项错误， 因为平面PAB⊥平面ABC,且AB为平面PAB与平面ABC的交线 PA=PB,D为AB中点，所以PD⊥AB,所以PD⊥平面ABC,B选项正确 因为PD⊥平面ABC,所以C选项错误 因为PD⊥平面ABC,所以D选项错误； 故选：B 3.已知不同的两个平面a,B和不同的两条直线m、l,要使“如果⊥B,a∩B=m, 1⊥m,那么1上B”正确，则须添加条件() A.l⊥a B.Ica C.1与u相交但不垂直 D.1与m为异面直线 【答案】B 【分析】利用面面垂直的性质定理即可得解 【详解】面面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直 线垂直于另一个平面 所以要使"如果a⊥B,a∩B=m,11m,那么1⊥B"正确，须添加条件1ca. 故选：B 4.设m,n是两条不同的直线，，阝是两个不同的平面，下列命题正确的是() A.若m∥n,m⊥B,则n⊥B B.若m∥n,m//B,则nlB C.若m/1a,m/1B,则a/β D.若n⊥a,n⊥B,则a⊥B 【答案】A 【分析】根据空间中的线面关系结合已知条件即可求解 【详解】对A:根据线面垂直的判定定理，如果两平行直线中的一条垂直于一个平面 那么另一条也垂直于这个平面，可知该命题正确，故A项正确； 对B:根据线面平行的判定定理可知少条件：“不在平面B内”，故B项错误； 对C:若m/1a,m/1B,则oaB或o与B相交，故C项错误 对D:根据线面垂直的性质定理可知，若n⊥a,n⊥B,则aWB,故D项错误 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职公共课考纲百套卷 9A职教 hiiiao.xkw.com 故选：A 5.已知直线1，m,平面，B,且1⊥a,mcB,给出下列四个命题： ①若/1B,则1⊥m；②若1⊥m,则a/1B;③若a⊥B,则111m;④若11/m,则a⊥B 其中正确的命题是() A.①④ B.2④ c.①3④ D.①2④ 【答案】A 【分析】根据直线与平面的垂直、平行的性质判断」 【详解】1⊥a,mcB, ①若a/1B,则1⊥B时，1是B的垂线，而mcB,故11m,①正确： 2若1⊥m,若m不在0内，则m/1a,B是过m的平面，则o,B平行或相交，②错： ③当a⊥B时，mcB,令m是o,B的交线，l史B,则1与m异面，③错误 ④当111m时，而l⊥a,则m⊥a,又mcB,则a⊥B,④正确 故选：A 6.设m,n是两条不同的直线，α，B是两个不同的平面() A.若m//a,n/1a,则ml∥n B.若m/1a,m/1B,则a/1B C.若m/n,m⊥，则n⊥a D.若m/1,o⊥B,则m⊥B 【答案】c 【分析)】根据线面垂直的判定，可知C正确；根据线线、线面、面面的位置关系可判断A、 B、D错误。 【详解】对A选项，m与n可能相交、异面，故错误； 对B选项，与B可能相交，故错误； 对C选项，因为m/1n,m⊥a,所以n⊥a.故正确； 对D选项，m与B可能平行，故错误； 故选：C 7.已知直线m,n,平面a,B,则下列说法中，正确的是() A.若m⊥a,n⊥阝，且m1n,则a⊥BB.若m∥a,n∥B,且m∥n,则 o∥B C.若m⊥a,n∥B,且m1n,则a⊥BD.若m⊥a,n∥B,且m∥n,则 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职公共课考纲百套卷 9AI职教 hiiiao.xkw.com 》》 o∥B 【答案】A 【分析】根据直线与平面的平行、垂直关系进行求解 【详解】A选项，由m⊥a,且m⊥n,得n∥a或n≤a,a内必有一直线l使得l/1n, :n⊥B,.1⊥B,即l⊥B,得到a⊥B,A正确 B选项，若m∥a,n∥B,且m∥n,则a与B平行或相交，B错误； c选项，若m⊥a,n∥阝，且m⊥n,则a与B平行或相交，C错误 D选项，若m⊥a,n∥B,且m∥n,则a⊥B,D错误。 故选：A. 8.已知点P是正方形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD,则平面PAB(）· A,与平面PBC,平面PAD都垂直 B.与平面PBC,平面PAD都相交，但不垂直 C.与平面PBC垂直，与平面PAD都相交但不垂直 D.与平面PAD垂直，与平面PBC都相交但不垂直 【答案】A 【分析】利用线面垂直性质、面面垂直的判定定理即可求解. 【详解】因为PA⊥平面ABCD,ADC平面ABCD,所以PA⊥AD, B 又在正方形ABCD中，AB⊥AD, 又AB∩PA=A,ABC平面PAB,PAC平面PAB, 则AD⊥平面PAB, 因为ADc平面PAD,所以平面PAD⊥平面PAB; 因为在正方形ABCD中，BCI/AD, 所以BC⊥平面PAB, 因为BCc平面PBC,则平面PBC⊥平面PAB. 故选：A 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职公共课考纲百套卷 醇A职教 9.已知m,n是不同的直线，，B是不同的平面，下列命题中，正确的是（) A.若m/a,n/1a,则m/n B.若m⊥a,n⊥a,则m⊥n C.若m⊥a,n/B,且m⊥n,则a⊥B D.若m⊥&，n⊥B,且m⊥n,则o⊥B 【答案】D 【分析】根据线面平行，面面平行，线面垂直和面面垂直的性质与判定定理分析判断即可 【详解】若m/1a,n/1a,则有可能m/1n,或m与n相交或异面，故A不正确： 若m⊥a,n1a,则m/1n,故B不正确； 若m⊥a,n/1B,且m⊥n,则有可能a/1B,不一定o⊥B,故C不正确； 若m上a,n⊥B,且m⊥n,由平面与平面垂直的判定，可以得到a⊥B,故D正确 故选：D. 10.如图所示，AB是圆O的直径，VA垂直于圆O所在的平面，点C是圆周上不同于A,B 的任意一点，M,N分别为VA,VC的中点，则下列结论正确的是() A.MN∥AB B.MN与BC所成的角为45° C.0C⊥平面VAC D.平面VAC⊥平面BC 【答案】D 【分析】利用三角形中位线定理即可判断选项A错误；把MN与BC所成的角转化为AC与 BC所成的角即可判断选项B错误；利用AC与OC不垂直即可判断选项C错误；利用面面 垂直的判定定理即可判断选项D正确， 【详解】因为M,N分别为VA,VC的中点 所以MN IIAC,故选项A错误； 因为AB是圆O的直径 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职公共课考纲百套卷 9AI职教 iiiao.xkw.com 》》 所以LACB=90°，即AC⊥BC, 因为MN IIAC,所以MN与BC所成的角为90°，故选项B错误； 因为∠ACB=90°，即AC⊥BC, ∠AC0<∠ACB=90°， 所以0C与AC不垂直， 又因为ACc平面VAC, 所以OC与平面VAC不垂直，故选项C错误 因为∠ACB=90°，即AC⊥BC, 又因为'A垂直于圆O所在的平面， 所以VA⊥BC, 因为/A AC=A,VAc平面VAC,ACc平面VAC, 所以BC⊥平面VAC, 又因为BCc平面BC, 所以平面VAC⊥平面BC,故选项D正确， 故选：D. 【点晴】本题主要考查异面直线所成的角，线线平行、线面垂直、面面垂直的判定，意在考 查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于较难题 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11.若平面a1平面B,平面a∥平面？，则平面B与平面？的位置关系是 (填“平 行”或“垂直”) 【答案】垂直 【分析】根据两平面垂直的性质即可解得， 【详解】解：如果两个平面互相垂直，那么其中与一个平面平行的平面垂直于另一个平面， 即a⊥B,ay,则y⊥B 故答案为：垂直 12.若直线b1a且bcB,则平面u与平面B的位置关系是 【答案】a⊥B 【分析】根据面面垂直的判定定理即可求解. 【详解】因为直线b1&且bsB, 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职公共课考纲百套卷 9A职教 iiiao.xkw.com 》》 根据面面垂直的判定定理：过已知平面的垂线的平面与已知平面垂直， 所以a⊥B 故答案为：a⊥B 13.如图，四面体P-ABC中，PA=PB=13,平面PAB⊥平面ABC,∠ACB=90 AC=8,BC=6,则PC= 【答案】13 【分析)】取AB的中点E,连接PE,EC,利用面面垂直证明线线垂直，然后利用勾股定理求 PC即可 【详解】 取AB的中点E,连接PE,EC,因为LACB=90°，AC=8,BC=6, 所以AB=VAC2+BC=:+6=10,所以CE=4B=5. 2 因为PA=PB=13,E是AB的中点， 所以PE⊥AB,PE=√PA2-AE2=V132-52=12, 因为平面PAB⊥平面ABC,平面PABO平面ABC=AB,PEc平面PAB, 所以PE⊥平面ABC. 因为CEc平面ABC,所以PE⊥CE: 在RtAPEC中，PC=VPE2+CE2=V122+52=13, 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职公共课考纲百套卷 醇A职教 故答案为：13. 14.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A,B,CD,中，E为BC的中点，点P在线段D,E上， 点P到直线CC,的距离的最小值为 D A D 【答案】 5 【分析】取B,C的中点F,连接EF,ED,证得CC/I平面DEF,把CC上任一点到平面 D,EF的距离即为两条异面直线D,E与CC,的距离，过点C作C1M⊥D1F,利用面面垂直的 性质定理，证得CM⊥平面D,EF,过点M作MPI/EF交D,E于点P,得到MP/C,C,取 C,N=MP,连接PN,证得NP⊥平面D,EF,在直角△D,C,F中，求得C,M的值，即可求 解 【详解】解：如图所示，取BC的中点F,连接EF,ED1,所以CC,/IEF, 又EFc平面D,EF,CC丈平面D,EF,所以CC,II平面D,EF, 所以直线CC上任一点到平面DEF的距离即为两条异面直线D,E与CC,的距离 过点C作C1M⊥D1F, 因为平面DEF⊥平面A,B,C,D,且C,MC平面A,B,CD,所以CM⊥平面D,EF· 过点M作MPI/EF交D,E于点P,则MPI/C,C, 取C,N=MP,连接PN,则四边形MPNC1是矩形，可得NP⊥平面D,EF, 1× 在直角aD,CF中，由C,MD,F=D,C-CF,所以CM=DCCF 2 5 DF V+( 5 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职公共课考纲百套卷 9A职教 iiiao.xkw.com 》 故点P到直线CC的距离的最小值为V5 故答案为 5 5 D C M A B N D 15.如图，在直二面角au-AB-B中，AC和BD分别在平面和B上，它们都垂直于AB 且AB=4,AC=6,BD=8,则CD= B 【答案】229 【点晴】连接BC,证明BD⊥BC,进而求解CD, 【详解】连接BC,在直二面角a-AB-B中BD⊥AB,a∩B=AB,BDCB, 所以BD⊥a,又BCC&,则BD⊥BC,又AC⊥AB, B D 所以，在Rt△ABC、Rt△DBC中 CD=AC2+AB2+BD2=229 故答案为：229 三、解答题（本大题共4个小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职公共课考纲百套卷 9A职教 hiiiao.xkw.com 推演步骤) 16,如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，PC⊥平面ABCD,M为PB 的中点 B (1)求证：0M/平面PDC: (2)求证：平面PAC⊥平面PBD 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】(1)如图：OM是△PBD的中位线，则0MIPD,再利用线面平行的判定定理即 可证得答案； (2)利用线面垂直的判定定理可得BD⊥平面PAC,再由面面垂直的判定定理即可证明 【详解】(1)证明：在△PBD中，O、M分别为BD、PB的中点， :OM /IPD 又：PDc平面PDC,OMt平面PDC, .OMI∥平面PDC (2)在正方形ABCD中，AC⊥BD, 又：PC⊥平面ABCD,BDC平面ABCD, PC⊥BD, 又：PCc平面PAC,ACc平面PAC,PCOAC=C, .BD⊥平面PAC, 又BDC平面PBD, :平面PAC⊥平面PBD 17,如图，已知三棱锥S-ABC,平面SAC⊥平面ABC,且SA1AC,AB⊥BC· 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！