直线与平面垂直的判定与性质 知识点训练卷 内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》第57卷 （原卷版+解析版）

中职公共课考纲百套卷 9A职教 iiiao.xkw.com 编写说明：内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学 课程标准》(2020年版)及内蒙古历年对口招生真题编写。本套试卷共100份：第一部 分是按照课程标准编写的67份知识点训练卷；第二部分是集合与充要条件、不等式、函 数等11个章节的23份专题训练卷；第三部分是参考历年真题编写的10份综合模拟卷。 本卷是内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》的第57卷，是知识点训练卷， 主要考查直线与平面垂直的判定与性质的掌握情况。 内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》第57卷 直线与平面垂直的判定与性质知识点训练卷 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题：（本大题共10个小题.每小题4分，共40分，在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.若直线a⊥b,a/1平面a,则b与a的位置关系为() A.b/la B.bca C.b与o相交 D.不确定 【答案】D 【分析】根据线面平行的性质定理即可知. 【详解】若直线a⊥b,a∥平面a, 则b/1a,或bca,或b与a相交. 故选：D. 2,如图，在正四面体D-ABC中，点E为BC的中点，则直线BC与平面ADE的位置关系 为() D E B A.平行 B.斜交 C.垂直 D.无法判断 【答案】c 【分析】根据线面垂直的判定定理即可判断 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职公共课考纲百套卷 9A职教 hiiiao.xkw.com 》 【详解】解：四面体D-ABC为正四面体 ·.ABC、△DBC均为正三角形 :点E为BC的中点 .AE⊥BC,DE⊥BC :AE∩DE=E,AES平面ADE,DES平面ADE, BC⊥平面ADE 故选：C 3.已知表示平面，1，m,n表示直线，下列结论正确的是() A.若1⊥n,m⊥n,则l∥m B.若1⊥n,m⊥n,则1⊥m C.若1Ma,m∥a,则l∥m D.若11a,m∥a,则1⊥m 【答案】D 【分析】根据空间中直线的位置关系以及线面平行和垂直的性质判断即可. 【详解】垂直于同一直线的两条直线平行，相交或异面，A、B错误； 平行于同一平面的两直线平行，相交或异面，C错误； l⊥a,m‖o,由线面平行的性质有l⊥m,D正确 故选：D. 4.如图，在正方体ABCD-A,B,C,D,中，点E,F分别是棱BB,DC的中点，则下列结论错 误的是() D ⊙ E A.AE⊥D,F B.DE⊥D,F C.AE⊥BC D.DE⊥BC 【答案】D 【详解】对于A,取AB中点G,连接AG, :正方体ABCD-A,B,CD1,△AAG≌△ABE,∠EAB+∠A,GA=90° 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职公共课考纲百套卷 9A职教 hiiiao.xkw.com 》 AE⊥A,G,又：AG/1DF,.AE⊥DF,故A正确 对于B,AD⊥平面CDD,C,DFC平面CDD,C,.AD⊥DF, 又：AE⊥DF,AD,AEC平面ADE,ADO AE=A, ∴D,F⊥平面ADE,:DEC平面ADE,·D,F⊥DE,故B正确： 对于C,:BC⊥平面ABB,4,AEc平面ABB,A,AE⊥BC,故C正确： 对于D,AE⊥BC,ADI/BC,AE⊥AD, 在ADE中，：∠DAE是直角，∠ADE不可能是直角，即AD与DE不垂直， ·BC与DE不垂直，故D错误， 故选：D. D B D G 5.在空间，下列命题中，正确命题的个数为（) ①平行于同一直线的两条直线平行 ②垂直于同一直线的两条直线平行 ③平行于同一平面的两条直线平行 ④垂直于同一平面的两条直线平行 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【答案】c 【分析】根据空间中两条直线的位置关系即可得出。 【详解】平行于同一直线的两直线平行，由平行公理得①正确； 垂直于同一条直线的两直线平行、相交或异面，②错； 平行于同一平面的两直线平行，相交或异面，③错： 垂直于同一个平面的两直线平行，由线面垂直的性质得④正确： 共2个命题正确 故选：C 6.下列条件中，能判断一条直线与一个平面垂直的是() ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职公共课考纲百套卷 醇A职教 A.这条直线垂直于该平面内的一条直线B.这条直线垂直于该平面内的两条直线 C.这条直线垂直于该平面内的任何两条直线D.这条直线垂直于该平面内的无数条直 线 【答案】C 【分析】由题意根据直线与平面垂直的判定定理判断即可 【详解】由线面垂直的判定定理，可得一条直线与一个平面垂直的条件是垂直于平面内的两 条相交直线 只有C选项，当这条直线垂直于该平面内的任何两条直线时，这条直线也垂直于该平面内的 两条相交直线 故选：C. 7.如图，S是ABC所在平面外一点，AB=BC=2,∠ABC=120°，且SA⊥面ABC, SA=3,则点A到平面SBC的距离是（) A·2 B.3 C. D.2 2 【答案】C 【分析)】根据给定条件，利用等体积法求出三棱锥A-SBC的高作答 【详解】在三棱锥S-ABC中，ABC面积S。ABc= 4B:BCsin∠ABC=x2x2x3 AC2=AB2+BC2-2AB.BCcos∠ABC=22+22-2×2×2cos120°=12，而SA⊥平面ABC, AB,ACc平面ABC,即有SA⊥AB,SA⊥AC SB=VSA?+AB2=√3，SC=VS42+AC2=√21， △SBC中，c0s∠SBC=SB+BC-SC2-13+4-21.1 2SB.BC 2V13×2 ，于是 sin∠SBC=V-cos'∠SBC_2V5 3 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职公共课考纲百套卷 9A职教 hiiiao.xkw.com 因此△58C的面积Sc号B.Csin∠SaC=xV×2x2 1 3 =25,设点A到平面SBC 的距离为h 由V4-s8c=V,-ABCc, 得5e小cS4,则25=5x3.第得h=含 3 3 所以点A到平面S8C的距离是) 故选：C 8.如图所示，在正方体ABCD-A,B,CD,中，点E,F分别是A,B,A,D的中点，若P为线段 BD上的动点，则下列结论正确的是() D B A E B A.PC//AE B.PC⊥AC C.PC,//平面AEF D.PC1⊥平面BB,DD 【答案】B 【分析】根据正方体的结构特征，结合直线与平面、直线与直线的位置关系，逐一分析选项 即可得出答案 【详解】A选项，当P点与B点重合时，PC,与AE异面，所以A错误 B选项，在正方体ABCD-A,B,C,D,中 :AC是正方体的体对角线，BD⊥AC,BC⊥A,C, :BDBC,=B,且BD与BC都在平面DBC内，AC⊥平面DBC PCC平面DBC,.PC,⊥A,C.所以B正确. C选项，当点P与点B重合时，BC∥AD, 又AE平面AEF,DE平面AEF,AD,与平面AEF不平行， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职公共课考纲百套卷 9A职教 hiiiao.xkw.com 》 ∴BC与平面AEF不平行，即此时PC与平面AEF不平行，所以C错误 D选项，当点P与点B重合时，PC,与BD夹角为60°， 则PC与BD不垂直，又BDC平面BBD,D, ∴.PC,不垂直平面BB,D,D,所以D错误. 故选：B. 9.如图所示，PA⊥平面ABC,，且∠ABC=90°，则下列结论错误的是() A.PA⊥AB B.PA⊥AC C.BC⊥平面PAB D,AB⊥平面PBC 【答案】D 【分析)】由直线与平面垂直的判定定理、直线与平面垂直的性质定理即可求解 【详解】对于A,:PA⊥平面ABC,ABc平面ABC,PA⊥AB,故A正确， 对于B,:PA⊥平面ABC,ACc平面ABC,:PA⊥AC,故B正确 对于C,:PA⊥平面ABC,BCC平面ABC,PA⊥BC,又：∠ABC=90°，：AB⊥BC 又PA∩AB=A,PAC平面PAB,ABC平面PAB,.BC⊥平面PAB,故C正确 对于D,:PA⊥AB,∠PAB=90°，，∠ABP≠90°，则直线AB与直线PB不垂直，AB⊥ 平面PBC错误，故D错误， 故选：D 10.下列条件中，能使直线m1平面的是() A.m⊥b,m⊥c,b⊥，c⊥a B.m⊥b,b/la C.mnb=A,b⊥a D.m/lb,b⊥a 【答案】D 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职公共课考纲百套卷 9A职教 hiiiao.xkw.com 【分析】根据线线平行，线面垂直的判定即可求解。 【详解】对A,m⊥b,m⊥c,b1a,c⊥a,则mC平面a或m/平面a,故A错误。 对B,m⊥b,b1∥a,则mCo或m/1a或m与o相交，故B错误. 对C,mnb=A,b1&,则mca或m/1a或m与a相交，故C错误. 对D,根据空间几何的性质，如果一条直线平行于另一条垂直于平面α的直线b,那么直 线m也垂直于平面，即mIb,b⊥a,则直线m⊥平面a,故D正确 故选：D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11,a、b、C是三条直线，是平面，若c⊥a,c1b,a≤a,，bSa,且 (填 上一个条件即可)，则有c⊥a. 【答案】a∩b=p 【分析】由直线与平面垂直的判定定理分析即可. 【详解】由直线与平面垂直的判定定理可知，如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都 垂直，则这条直线与这个平面垂直， 即c⊥a,c⊥b,asa,bsa,a∩b=P,则有c⊥a 故答案为：a∩b=P. 12.如图，已知底面是正方形的四棱锥，一条侧棱与底面垂直，它的长与底面边长相等，长 度均为1，那么该棱锥中最长的棱长是」 【答案】√3 【分析】根据线面垂直得到线线垂直，再根据四棱锥的特征，利用勾股定理可求， 【详解】如图，PC⊥平面ABCD,则PA是最长的棱， 连接AC,因为PC⊥平面ABCD,ACc平面ABCD, 所以PC⊥AC,因为四边形ABCD为正方形，且边长为1， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职公共课考纲百套卷 9A职教 hiiiao.xkw.com 》 B 所以AC=VAB2+BC2=V1P+1P=√2 所以PA=VPC2+AC2=+2=V5i 故答案为：√5. 13.正三棱柱ABC-AB,C的各棱长均为2，E,F分别是AB,AC的中点，则EF的长 是 【答案】√5 【分析】证明线面垂直，转化到对应的直角三角形中，由勾股定理求解即可 【详解】如图， 取AC中点M,连接FM,MF=2,ME=1, 因为M,F,E分别为AC,AC,AB的中点 所以MF/CC1. 又因为CC,⊥面ABC,MF/1CC, 所以MF⊥面ABC, 因为MEc面ABC, 所以MF⊥ME, 所以EW-6C=l 在Rt△FME中，EF=√ME2+MF2=√5 故答案为：√5 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职公共课考纲百套卷 9AI职教 hiiiao.xkw.com 》 F B 14.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC,∠ACB=90°，则这个三棱锥的四个面中， 是直角三角形的个数有个 P 【答案】4 【分析】结合线线、线面垂直的知识求得正确答案， 【详解】由于PA⊥平面ABC,所以PA⊥AB,PA⊥AC,PA⊥BC, 所以三角形PAB和三角形PAC是直角三角形 由于LACB=90°，所以BC⊥AC,三角形ABC是直角三角形 由于ACOPA=A,所以BC⊥平面PAC, 所以BC⊥PC,所以三角形PBC是直角三角形 所以三棱锥四个面中，是直角三角形的个数有4个. 故答案为：4 15.在正方体ABCD-A,B,CD,中，正确结论的序号是 ①BD∥平面CB,D;②AC,⊥BD;③AC,⊥平面CB,D;④△CB,D,为等腰直角三角形 【答案】①23 【分析)】根据线线平行证线面平行、线面垂直证线线垂直求解， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职公共课考纲百套卷 9A职教 hiiiao.xkw.com 【详解】①中易得BD/1B,D,因为B,DS平面CB,D,且BD不在平面CB,D,内，所以BDI/平 面CB,D ②中连接AC,AC,BD为正方形ABCD的对角线，所以BD⊥AC,易得CC,⊥BD,且 AC,CC 相交于点C,所以BD⊥平面ACC,因此AC,⊥BD; ③中由①2可知BD/1BD,且AC1⊥BD,所以AC1⊥B,D.易得CD,⊥AD,AD1⊥AD, 且AD,与CD相交于点D,所以A,D⊥平面AC,D,A,D/1B,C,因此B,C⊥平面ACD, 故B,C⊥AC, 因为B,D与B,C相交于点B,所以AC⊥平面CB,D,; ④中△CB,D,的三边为三个边长相等的正方形的对角线，所以三边相等，因此△CB,D1为等边 三角形 故答案为：①23. 三、解答题（本大题共4个小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或 推演步骤) 16.在三棱锥P一ABC中，PA⊥平面ABC,AB⊥AC,AP=AC=2,AB=1. (1)求三棱锥P一ABC的侧面积； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 编写说明：内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及内蒙古历年对口招生真题编写。本套试卷共100份：第一部分是按照课程标准编写的67份知识点训练卷；第二部分是集合与充要条件、不等式、函数等11个章节的23份专题训练卷；第三部分是参考历年真题编写的10份综合模拟卷。 本卷是内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》的第57卷，是知识点训练卷，主要考查直线与平面垂直的判定与性质的掌握情况。 内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》 第57卷 直线与平面垂直的判定与性质 知识点训练卷 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 1、 选择题：（本大题共10个小题．每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若直线平面，则b与的位置关系为（    ） A． B． C．b与相交 D．不确定 2．如图，在正四面体中，点为的中点，则直线与平面的位置关系为（    ）    A．平行 B．斜交 C．垂直 D．无法判断 3．已知表示平面，l，m，n表示直线，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．如图，在正方体中，点E，F分别是棱的中点，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 5．在空间，下列命题中，正确命题的个数为（    ） ①平行于同一直线的两条直线平行      ②垂直于同一直线的两条直线平行 ③平行于同一平面的两条直线平行      ④垂直于同一平面的两条直线平行 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．下列条件中，能判断一条直线与一个平面垂直的是（    ） A．这条直线垂直于该平面内的一条直线 B．这条直线垂直于该平面内的两条直线 C．这条直线垂直于该平面内的任何两条直线 D．这条直线垂直于该平面内的无数条直线 7．如图，S是所在平面外一点，，且面，，则点A到平面的距离是（    ） A． B． C． D．2 8．如图所示，在正方体中，点分别是的中点，若为线段上的动点，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C．平面 D．平面 9．如图所示，平面，且，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．平面 D．平面 10．下列条件中，能使直线平面 的是（    ） A．，，， B．， C．， D．， 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．、、是三条直线，是平面，若，，，，且 （填上一个条件即可），则有． 12．如图，已知底面是正方形的四棱锥，一条侧棱与底面垂直，它的长与底面边长相等，长度均为1，那么该棱锥中最长的棱长是 . 13．正三棱柱的各棱长均为2，E，F分别是AB，的中点，则EF的长是 ． 14．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，，则这个三棱锥的四个面中，是直角三角形的个数有 个. 15．在正方体中，正确结论的序号是 ． ①平面；②；③平面；④为等腰直角三角形． 三、解答题（本大题共4个小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 16．在三棱锥中，平面.    (1)求三棱锥的侧面积； (2)求点A到平面的距离. 17．如图所示，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，侧面为正三角形，且侧面底面. (1)求证：； (2)求三棱锥的体积. 18．如图所示，在正方形中，，平面，且，求：P到直线的距离 19．如图所示的几何体中，四边形是矩形，平面，平面，且，.求棱锥的体积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $