中职数学高教版 拓展模块一（下册） 等差数列前n项和公式

第二节 等差数列 第五章 数列 直击高考 考点 考点解读 山东省近五年春季高考统计(题号) 常考 题型 2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 等差数列的概念，等差数列的通项公式，等差中项，前n项和公式及其应用 ①掌握等差数列和等差中项的概念 ②掌握等差数列的通项公式及前n项和公式 ③能运用数列的知识解决实际问题 (27) (18) (27) (4) (28) (21) 选择题 填空题 解答题 考点分析 本章内容是数学学习中的一个难点，春季高考中此类试题难度中等，题型多是选择题和解答题． 建议复习时以基础题为主，适当加强中等难度题目的训练，并注意等差数列和等差、中项概念的运用，特别注意要将等差数列的通项公式、前n项和公式及相关性质作为重点进行强化训练． 知识梳理 1．等差数列的定义 一般地，若一个数列从第2项起，每一项与它前一项之差为__________，则此数列为等差数列，此常数称为等差数列的________，通常用小写字母d表示，即an＋1－an＝d. 同一常数 公差 2．等差中项 若三个数a，A，b成等差数列，则A称为a与b的___________， 且此时有A＝ . 等差中项 【注】　若已知三个数成等差数列，且已知三个数之和，可采用对称设法，即设此三个数分别为a－d，a，a＋d，以便简化计算． 3．通项公式 an＝a1＋(n－1)d，n∈N＋. (1)通项公式an为关于n的______________．且一次项系数为 (2)判定一个数列为等差数列的一般方法： ①定义法(从第2项起后一项与前一项之差为定值)； ②通项公式法：an＝kn＋b. ③中项法：2an＝an－1＋an＋1(n≥2). 一元一次函数 d 4．前n项和公式 (1)当公差d＝0时，前n项和Sn＝na1. (2)当公差d≠0时，前n项和Sn＝ ＝______________． 【注】　①若已知a1，d，n，an，Sn五个量中的任意三个，则可求出其余两个量(知三求二)； ②前n项和公式为关于n的一元二次函数，且无常数项，即Sn＝An2＋Bn. 5．等差数列的性质 (1) am＝an＋(m－n)d ⇔d＝________(m≠n，m，n∈N＋). 【注】　已知等差数列的任意两项可求公差d. (2)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则有am＋an＝________． 特别地，当m＋n＝2p时，则有am＋an＝________． 【注】　应用性质(2)时切记条件要求，避免出现类似am＋an＝am＋n的错误． ap＋aq 2ap (3)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等差数列． 典例分析 【知识要点1】 等差数列的概念及通项公式 【例1】　在数列{an}中，已知a1＝－1，an＋1＝an＋2，则a13等于(　　) A．34 B．35 C．23 D．78 【解析】　由an＋1＝an＋2可知该数列是以－1为首项、2为公差的等差数列，则a13＝a1＋12d＝23. C 注意定义式的应用！ 【举一反三1】　数列{an}中，若a1＝2，an＋1＝a1＋an，则a2＋a4＋a6＝________． 24 【提示】 由a1＝2，an＋1＝a1＋an可知该数列是以2为首项、2为公差的等差数列，则an＝2n，∴a2＝4，a4＝8，a6＝12. 【例2】　已知在等差数列{an}中，a5＝10，a12＝31，求an. 【解析】　方法一：利用等差数列的通项公式求解数列的基本量——首项a1和公差d. 由题意，得 解得 ∴an＝a1＋(n－1)d＝－2＋3(n－1)＝3n－5. 解答题步骤 【例2】　已知在等差数列{an}中，a5＝10，a12＝31，求an. 方法二：利用等差数列的通项公式直接求解公差d. 由a5＝10，a12＝31， 可知d＝ ， ∴an＝a5＋(n－5)d＝10＋(n－5)×3＝3n－5. 方法二适用于选择填空小题 【举一反三2】　在等差数列{an}中，已知a3＝9，a9＝3.若am＝0，则正整数m＝(　　) A．10 B．11 C．12 D．13 C 【思路点拨】　本题考查等差数列的通项公式. 【提示】因为a3＝9，a9＝3，所以6d＝3－9＝－6， 解得d＝－1，则an＝a3＋(n－3)×d＝12－n. 令am＝12－m＝0，解得m＝12.故选C. 性质应用 【知识要点2】 等差数列的前n项和公式 【例3】　(1)在等差数列{an}中，已知a1＝3，d＝－1， Sn＝－4，则n＝(　　) A．4     B．6     C．8     D．10 【解析】(1)因为在等差数列{an}中，a1＝3，d＝－1，Sn＝－4， 所以Sn＝n×3＋ ＝－4，即n2－7n－8＝0， 解得n＝8或n＝－1(舍去)，所以n＝8. 注意选择适当的公式分析 (2)已知数列{an}是等差数列，若S10＝100，则a3＋a8等于(　　) A．8 B．10 C．16 D．20 D 【解析】(2)根据等差数列前n项和公式及等差数列的性质求解． S10＝ ×10＝5(a1＋a10)＝5(a3＋a8)＝100， 所以a3＋a8＝20. 注意当求两项和时，常常选择已知首末项的Sn分析 【知识要点3】 等差数列an与Sn的综合运用 【例4】　在等差数列{an}中，已知a10＝10，前10项和S10＝55，则其公差d等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 A 【解析】　根据等差数列的通项公式和前n项和公式得S10＝ ＝55，解得a1＝1， 所以a10＝a1＋9d＝1＋9d＝10，解得d＝1. B班选学 【举一反三3】　在等差数列{an}中，a5＝2，前5项和S5＝0，则S10等于(　　) A．12     B．24     C．25     D．50 C 【举一反三4】　已知在等差数列{an}中，d≠0，且d是方程x2＋3x＝0的根，前6项和S6＝a6＋10，求S10. 解：解方程x2＋3x＝0，得x1＝0或x2＝－3， ∵d≠0，∴d＝－3， 又∵S6＝a6＋10， 即6a1＋ ×(－3)＝a1＋5×(－3)＋10，解得a1＝8， ∴S10＝10×8＋ ×(－3)＝－55. 活动设计：指定学生回答思路，教师利用蒙层展现步骤 【知识要点4】 等差中项及性质 【例5】　(1)已知在等差数列{an}中，a2和a5是方程x2－x－2＝0的两实数根，则a3＋a4的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 A 【解析】　(1)由根与系数的关系，可知a2＋a5＝1，∴a3＋a4＝a2＋a5＝1. (2)在等差数列{an}中，已知a2＝2，a5＝8，则a8＝________． 14 【解析】　(2)∵数列{an}是等差数列，∴a2＋a8＝2a5，∴a8＝2a5－a2＝14. 【举一反三5】　(1)在等差数列{an}中，若a2＋a3＋a8＋a9＝20，则前10项和S10等于(　　) A．10     B．20     C．40     D．50 D 【提示】∵a2＋a3＋a8＋a9＝2(a1＋a10)＝20， ∴a1＋a10＝10，∴S10＝ ＝50. 活动设计：鼓励学生思考作答，教师利用书写功能辅助分析 (2)已知数列8，a，2，b，c是等差数列，则a＋b＋c等于________． 0 【提示】因为数列8，a，2，b，c是等差数列， 所以 解得 所以a＋b＋c＝0. 【解析】　方法一：设其公差为d，则由S3＝S11 可得3×13＋ d＝11×13＋ d，解得d＝－2， ∴an＝13－2(n－1)＝15－2n， 由 即 解得6.5≤n≤7.5， ∴当n＝7时，Sn有最大值． 【知识要点5】 等差数列中的单调性及最值问题 【例6】　已知在等差数列{an}中，a1＝13，且S3＝S11.当n取何值时，Sn有最大值？ B班选学 方法二：由方法一知a1＝13，d＝－2， ∴Sn＝na1＋ d＝13n＋ ×(－2) ＝－n2＋14n＝－(n－7)2＋49， ∴当n＝7时，Sn有最大值． 注：方法二利用二次函数求最值时n取正整数． 若需要求最值建议用方法二 【举一反三6】 已知在等差数列{an}中，an＝3n－33，求前n项和Sn的最小值． 解：由an＝3n－33可知a1＝－30，d＝3， ∴n＝10或11时，Sn最小， 最小值为S10＝S11＝11×(－30)＋ ×3＝－165. 课堂小结 作业布置 1.书面必做作业： 完成复习资料基础练习题目； 2.拓展提升作业： 依据考点根据自身掌握情况，利用复习书拓展练习进一步训练巩固相关内容 $