5.1.2导数的概念及其几何意义课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

高中数学选择性必修第二册第五章 第五章 一元函数的导数及其应用 5.1.2导数的概念及其几何意义 学习目标： 1. 理解导数的概念及其几何意义； 2. 掌握用导数的概念求简单函数在某点处的导数及曲线的切线问题. 教学重点： 导数的概念及利用导数概念求导数、导数的几何意义及其应用. 教学难点： 导数的概念及其几何意义的理解. 问 题 1 平均变化率 温故知新 高中数学 问 题 2 割线的斜率 温故知新 高中数学 k ． 温故知新 高中数学 本节课40分钟 人类用了2000年... ... 3. 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3 2 3 8 4 6 2 6 4 3 3 8 3 2 7 9 山巅一寺一壶酒 尔乐苦煞吾 把酒吃 酒杀尔 杀不死 乐 尔 乐 扇 扇 刮 扇 耳 吃酒 温故知新 刘徽 225年-295年 魏晋期间伟大的数学家 中国研究圆周率的第一人 割圆术 世界纪录保持了200多年 17世纪初，随着科学技术的快速发展，四类科学问题急待解决，这四类问题是： 第一类：求变速运动的瞬时速度； 第二类：求曲线的切线； 第三类：求函数的最大值和最小值； 第四类：求曲线长、曲边梯形面积。 为了解决这些科学问题，许多著名的科学家，如法国的费马、柯西；德国的开普勒等人，都为微积分的创立做出了贡献。 直到17世纪中叶，英国物理学家牛顿和德国数学家莱布尼茨在前人探索与研究的基础上，凭着他们敏锐的直觉和丰富的想象力，在不同的国度，不同的领域，各自独立地创立了微积分． 微积分是人类经历了2000多年的智慧成果，它极大地推动了数学的发展，过去很多束手无策的数学问题运用微积分就会迎刃而解。 导数是微积分的核心概念之一 牛顿 1643-1727 英国物理学家、数学家 莱布尼茨 1646-1716 德国数学家 从运动学角度研究微积分 数形结合 从几何学角度研究微积分 1.物理背景——牛顿的导数 如何知道跳水运动员在某一个时刻的瞬时速度？ 牛顿的思考 探究新知 物体由 到 一段的平均速度是 当两点间时间越短，速度改变越小，从而在该段路程上的平均速度越接近 时刻的瞬时速度 注意这个极限式： 探究新知 导数的定义 探究新知 导数的几何意义 平面曲线上切线的概念 割线PQ 切线PT 切点 几何背景 — 平面曲线的切线问题 探究新知 在 点P₀ 附近，曲线y=f(x) 可以用点P₀ 处的切线 P₀T 近似代替，这是微积分中重要的思想方法—— 以直代曲. X 问题 图中哪条直线最贴近点 P₀ 附近的曲线 深化新知 高中数学 关键就是求出斜率k 一般曲线的切线 ——割线的极限状态 割线的斜率： 切线的斜率： 探究新知 求瞬间速度的极限式： 与 比较两个极限式： 求切线斜率的极限式： 有何共同点？ 函数值的增量 自变量的增量 问题的共同点： 函数值增量与自变量增量比值的极限。 深化新知 1.非匀速运动的瞬时速度和曲线上一点处切线的斜率本质上可以看作是某个过程的极限.（A） A、√ B、× 学以致用 定义 在曲线y=f(x) 上任取一 点 P(x,f(x)), 如果当点P 沿 着 曲 线y=f(x) 无限趋近于点P₀ (xo,f(x₀)) 时，割线P₀P 无限趋 近于一个确定的位置，这个确 定位置的直线P₀T 称为曲线y =f( x)在 点P₀ 处的切 线 . 切线 高中数学 探究新知 函数 y=f(x) 在 x=x, 处的导数 数形转化 曲线y=f(x) 在点P₀(x₀,f(x₀)) 处切线的斜率k 追问： 导数的几何意义能帮助我们解决哪些函数问题? 高中数学 导数的几何意义： 建构新知 解：当x从2变到2+时，函数值从3×2变到，函数值y关于x的平均变化率为 ． 　　当x趋于2，即趋于0时，平均变化率总是3，所以． 　 导数表示当2s时水量的瞬时变化率，即水流的瞬时速度，也就是说，如果水管中 的水保持以2s时的瞬时速度流动的话，每经过1s，水管中流过的水量为3． 2.一条水管中流过的水量y(单位：)与时间x(单位：s)的函数关系为．求函数在处的导数，并解释它的实际意义． 学以致用 高中数学 解 1.5表示服药后10 min时，血液中药物的质量浓度上升的速度为1.5 μg/． 也就是说，如果保持这一速度，每经过1 min，血液中药物的质量浓度将上升1.5 μg/mL． 0.6表示服药后100 min时，血液中药物的质量浓度下降的速度为0.6 μg/． 也就是说，如果保持这一速度，每经过1 min，血液中药物的质量浓度将下降0.6 μg/mL． 3.服药后，人体血液中药物的质量浓度c(单位：g/mL)是时间t(单位：min)的函数cc(t)．假设函数cc(t)在t和t处的导数分别为1.5和0.6，试解释它们的实际意义． 学以致用 高中数学 3.设 求. 解 ==1. 学以致用 高中数学 现实生活中有些变量间的关系，不一定能通 过解析式刻画，或者我们不知道对应的解析式， 导数的几何意义使得我们可以借助函数的图象以 及以直代曲的思想方法，对函数的变化情况作出 估计. 学以致用 高中数学 归纳总结 高中数学 求导数的步骤： ①求函数的改变量； ②求平均变化率； ③取极限，得导数． 课堂小结 总结升华 一个框图 高中数学 ∆x 0 ∆x 0 ∆x 0 平均速度 导数的物理意义 瞬时速度 平均变化率 导数 瞬时变化率 导数的几何意义 切线 割线 >导数的几何意义： f'(x₀)的几何意义就是曲线 y=f(x )在x=x ₀ 处切线的斜率. >导函数的定义：． 三个思想 1.数形结合；2.以直代曲； 3 .. 极 限 逼 近 的 思 想 . 课堂小结 总结升华 两个定义 高中数学 请学生搜集资料微积分对人类文明的主要贡 献，并写出你的收获或感悟. 高中数学 1.整理上课任务单； 2.课本P70页第5题，第7题， P71 页第10题； 3.能力培养与测试同步课时作业. 分层作业 巩固提升 选做题 必做题 分层作业 如果说我比别人看得要远一点，那是因为我站在巨人的肩上。 ------牛顿 对于函数 ，设自变量 从 变化到 ，相应地，函数值 就从 变化到 .这时， 的变化量为 ， 的变化量为 .我们把比值 ，即 叫做函 数 从 到 的平均变化率. 如果当 时，平均变化率 无限趋近于一个确定的值，即 有极限，则称 在 处可导，并把这个确定的值叫做 在 处的导数（也称为瞬时变化率），记作 或 ， 即 . $