2.2.1 第3课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（湘教版）

2.2.1 配方法 第2章 一元二次方程 第3课时 用配方法解二次项系数不为1的 一元二次方程 优翼数学教学课件（XJ）九上 复习引入 (1) 9x2 = 1 ； (2) (x - 2)2 = 2. 2.下列方程能用直接开平方法来解吗? 1.用直接开平方法解下列方程: (1) x2 + 6x + 9 = 5； (2) x2 + 6x + 4 = 0. 把两题转化成 (x + m)2 = n (n≥0) 的 形式，再利用开平方 导入新课 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 问题1：观察下面两个是一元二次方程的联系和区别： ① x2 + 6x + 8 = 0； ② 3x2 + 8x－3 = 0. 问题2：用配方法来解 x2 + 6x + 8 = 0 . 解：移项，得 x2 + 6x = -8， 配方，得 (x + 3)2 = 1. 开平方，得 x + 3 = ±1. 解得 x1 = -2，x2 = -4. 想一想怎么来解3x2 + 8x－3 = 0. 新课讲授 试一试：解方程： 3x2 + 8x -3 = 0. 解：两边同除以 3，得 配方，得 开方，得 即 所以 x1= ， x2 = -3 . 可以先将二次项系数化为 1. 配方，得 由此可得 二次项系数化为 1，得 解：移项，得 2x2－3x = －1. 即 移项和二次项系数化为 1 这两个步骤能不能交换呢? 例1 解下列方程： 配方，得 ∵ 实数的平方不会是负数，∴ x 取任何实数时，上式都不成立．∴ 原方程无实数根． 解：移项，得 二次项系数化为 1，得 为什么方程两边都加 12？ 即 6 思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时要 注意些什么？ 思考2：用配方法解一元二次方程的一般步骤. 移项时需注意改变符号. ①移项，二次项系数化为 1； ②左边配成完全平方式； ③左边写成完全平方形式； ④降次； ⑤解一次方程. 一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 (x + m)2 = n. ①当 n > 0 时，则 ，方程的两个根为 ②当 n = 0 时，则 (x + m)2 = 0，x + m = 0，开平方得方程的两个根为 x1 = x2 = -m. ③当 n < 0 时，则方程 (x + m)2 = n 无实数根. 规律总结 引例：一个小球从地面上以 15 m/s 的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h (m)与时间 t (s)满足关系： h = 15t - 5t2. 小球何时能达到 10 m 高？ 解：将 h = 10 代入方程式中. 15t - 5t2 = 10. 两边同时除以-5，得 t2 - 3t = -2， 配方，得 t2 - 3t + = - 2， = 配方法的应用 移项，得 = 即 t - = ，或 t - = . 所以 t1 = 2 ， t2 = 1 . 即在 1 s 或 2 s 时，小球可达 10 m 高. 例2.试用配方法说明：不论 k 取何实数，多项式 k2－4k＋5 的值必定大于零. 解：k2－4k＋5 = k2－4k＋4＋1 = (k－2)2＋1 因为 (k－2)2≥0，所以 (k－2)2＋1≥1. 所以 k2－4k＋5 的值必定大于零. 例3 若 a，b，c 为△ABC 的三边长，且 试判断△ABC 的形状. 解：将原式配方，得 所以，△ABC 为直角三角形. 由非负式的性质可知 即 ∴ 例4：解方程 4x2 -12x - 1 = 0. 解：将二次项的系数化为 1，得 x2 - 3x - = 0， 配方，得 因此 由此，得 或 所以 1. 关于 x 的方程 2x2 - 3m - x + m2 + 2 = 0 有一根为 x = 0，则 m 的值为（ ） A. 1 B.1 C.1 或 2 D.1 或 -2 2. 利用配方法求最值. (1) 2x2 - 4x + 5 的最小值； (2) -3x2 + 5x + 1 的最大值. 练一练 C 解：(1) 2x2 - 4x + 5 = 2(x - 1)2 + 3，当 x = 1 时有最小值 3. (2) -3x2 + 5x + 1 = -3 + ，当 x = 时有最大值 . 归纳总结 配方法的应用 类别 解题策略 1.求最值或证 代数式的值恒正（或负） 将关于 x 的二次多项式通过配方成 a(x + m)2 + n 的形式后，由于 (x + m)2≥0，故当 a＞0 时，可得其最小值为 n；当 a＜0 时，可得其最大值为 n. 2.完全平方式中的配方 如：已知 x2－2mx＋16 是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=±4. 3.利用配方构成非负式的和的形式 对于含有多个未知数的二次式等式，求未知数的值，可考虑配方成多个完全平方式的和为0，再根据非负式的和为0，各式均为0，进而求解. 如：a2＋b2－4b＋4=0，即 a2＋(b－2)2=0，则a=0，b=2. 15 例5.读诗词解题： （通过列方程，算出周瑜去世时的年龄.） 大江东去浪淘尽， 千古风流数人物。 而立之年督东吴， 早逝英年两位数。 十位恰小个位三， 个位平方与寿符。 哪位学子算得快， 多少年华属周瑜？ 解：设个位数字为 x，十位数字为 (x - 3) 解得 x1 = 6，x2 = 5. x2 - 11x = -30， x2 - 11x + 5.52 = -30 + 5.52， (x - 5.5)2 = 0.25. x - 5.5 = 0.5，或 x - 5.5 = -0.5， x2 = 10(x - 3) + x， ∴这个两位数为 36 或 25. ∴周瑜去世的年龄为 36 岁. ∵周瑜 30 岁还攻打过东吴， 1.解下列方程： （1）x2 + 4x - 9 = 2x - 11；（2）x(x + 4) = 8x + 12； （3）4x2 - 6x - 3 = 0； （4）3x2 + 6x - 9 = 0. 解：x2 + 2x + 2 = 0， (x + 1)2 = -1. ∴此方程无解. 解：x2 - 4x - 12 = 0， (x - 2)2 = 16. ∴ x1 = 6，x2 = -2. 解：x2 + 2x - 3 = 0， (x + 1)2 = 4. ∴x1 = -3，x2 = 1. 当堂练习 2.利用配方法证明：不论 x 取何值，代数式 − x2 − x −1 的值总是负数，并求出它的最大值. 解：− x2 − x −1 = −( x2 + x + ) + −1 ∴ − x2 − x −1 的值总是负数. 当 时，− x2 − x −1有最大值 3.若 ，求 (xy)z 的值. 解：对原式配方，得 由非负式的性质可知 4.如图，在一块长 35 m、宽 26 m 的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为 850 m2，道路的宽应为多少？  解：设道路的宽为 x m，根据题意得 (35 - x)(26 - x) = 850. 整理，得 x2 - 61x + 60 = 0. 解得 x1 = 60 (不合题意，舍去)，x2 = 1. 答：道路的宽为 1 m. 21 5. 已知 a，b，c 为 △ABC 的三边长，且满足等式 ，试判断 △ABC 的形状. 解：对原式配方，得 由非负式的性质可知 ∴ △ABC 为等边三角形. 配方法 定义 步骤 一移常数项且二次项系数化为 1； 二配方[配上 ]； 三写成 (x + m)2 = n ( n≥0 )； 四开平方解方程 应用 求代数式的最值或证明 在方程两边都配上 特别提醒： 在使用配方法解方程之前先把方程化为 x2 + px + q = 0 的形式. 课堂小结 $