2.1 一元二次方程（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（湘教版）

2.1 一元二次方程 第2章 一元二次方程 优翼数学教学课件（XJ）九上 复习引入 没有未知数 1.下列式子哪些是方程？ 2 + 6 = 8 2x + 3 5x + 6 = 22 x + 3y = 8 x - 5＜18 代数式 一元一次方程 二元一次方程 不等式 分式方程 导入新课 2.什么叫方程？我们学过哪些方程？ 含有未知数的等式叫做方程. 我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程(组)及分式方程，其中前两种方程属于整式方程. 3.什么叫一元一次方程？ 含有一个未知数，且未知数的次数是 1 的整式方程叫做一元一次方程. 想一想：什么是一元二次方程呢？ 一元二次方程的概念 问题1：如图，已知一矩形的长为 200 cm，宽为 150 cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三. 求挖去的圆的半径 x cm 应满足的方程（其中 π 取 3）； 解：设由于圆的半径为 x cm，则它的面积为 3x2 cm2. 整理，得 根据题意，得 200 cm 150 cm 新课讲授 问题2： 如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为 75 万辆，两年后增加到 108 万辆. 求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率 x 应满足的方程. 解：该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为 x， 整理，得 根据题意，得 问题 在一块宽 20 m、长 32 m 的矩形空地上，修筑三条宽相等的小路 (两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直)，把矩形空地分成大小一样的六块，建成小花坛. 如图，要使花坛的总面积为 570 m2，小路的宽应为多少 呢？ 32 20 1. 若设小路的宽是 x m，则横向小路的面积是_____m2，纵向小路的面积是 m2，两者重叠的面积是 m2. 思考： 32x 2×20x 2x2 2. 由于花坛的总面积是 570 m2. 你能根据题意，列出方程吗？ 整理以上方程，可得 32×20－(32x＋2×20x)＋2x2 = 570， x2－36x＋35 = 0. ③ 32 20 x 32 20 32-2x 20-x 想一想： 还有其它的列法吗？ 试说明理由. (20－x)(32－2x) = 570. 整理以上方程，可得 x2－36x＋35 = 0. 观察与思考 方程 ①、②、③ 都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ 特点: ①都是整式方程； ②只含一个未知数； ③未知数的最高次数是 2. x2 - 36x＋35 = 0 ③ 如果一个方程通过整理可以使右边为 0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫作一元二次方程. ax2 + bx + c = 0 (a，b，c 是已知数，a ≠ 0). 其中，ax2 称为二次项，a 称为二次项系数；bx 称为一次项，b 称为一次项系数； c 称为常数项. 知识要点 一元二次方程的概念 一元二次方程的一般形式 想一想 为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？ 当 a = 0 时， bx＋c = 0， 当 a ≠ 0， b = 0 时， ax2＋c = 0， 当 a ≠ 0， c = 0 时， ax2＋bx = 0， 当 a ≠ 0，b = c =0 时， ax2 = 0， 总结：只要满足 a ≠ 0 即可，b，c 可以为任意实数. 不符合定义； 符合定义； 符合定义； 符合定义． 典例精析 例1 下列选项中，是关于 x 的一元二次方程的是（ ） C 不是整式方程 含两个未知数 化简为 x2 - 3x + 2 = 0 化简为 4x2 -1 = 4x2 +12x + 9 判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是则进一步化简整理再做判断. 提示 判断下列方程是否为一元二次方程？ (2) x3 + x2 = 36 (3) x + 3y = 36 (5) x + 1 = 0  × × × ×  × × (1) x2 + x = 36 注意：未限定 a ≠ 0 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com 13 例2 a 为何值时，下列方程为关于 x 的一元二次方程？ (1)ax2－x = 2x2 (2) (a－1)x | a | +1－2x－7 = 0. 解：(1)将方程整理，得 (a - 2)x2 - x = 0， 所以当 a - 2 ≠ 0，即 a ≠ 2 时，原方程是一元二次方程. (2)由 | a | + 1 = 2，且 a - 1 ≠ 0 知，当 a = -1 时， 原方程是关于 x 的一元二次方程. 方法点拨：根据一元二次方程的定义求参数的值时，按照未知数的最高次数等于 2，列出关于参数的方程，再排除使二次项系数等于 0 的参数值即可求解． 变式 方程 (2a－4)x2 − 2bx + a = 0， （1）在什么条件下此方程为关于 x 的一元二次方程？ （2）在什么条件下此方程为关于 x 的一元一次方程？ 解：(1)当 2a − 4 ≠ 0，即 a ≠ 2 时，是关于 x 的一元二次方程； (2)当 a = 2 且 b ≠ 0 时，是关于 x 的一元一次方程． 一元一次方程 一元二次方程 一般式 相同点 不同点 思考：一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？ ax = b (a ≠ 0) ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 都是整式方程，且只含有一个未知数 未知数最高次数是 1 未知数最高次数是 2 例3 下列方程是一元二次方程吗？若是， 指出其中的二次项系数、一次项系数和常数项. （1）3x (1 – x ) + 10 = 2( x + 2) （2）5x ( x + 1) + 7 = 5x2 - 4. 解：（1）去括号， 得 3x - 3x2 + 10 = 2x + 4. 移项， 合并同类项， 得 - 3x2 + x + 6 = 0， 这是一元二次方程， 其中二次项系数是 -3， 一次项系数是 1， 常数项是 6. 17 可以， 其中二次项系数是 3， 一次项系数是 1， 常数项是 6. 思考：上式可以写成 3x2 - x - 6 = 0 吗？那么各项系数又是多少？常数项是多少呢？ 18 去括号， 得 移项， 合并同类项， 得 这是一元一次方程， 不是一元二次方程. （2） 5x ( x + 1) + 7 = 5x2 - 4. 5x2 + 5x + 7 = 5x2 - 4. 5x + 11 = 0， 练一练： 将方程 3x(x - 1) = 5(x + 2) 化成一元二次方程一般形式，并分别指出它的二次项、一次项和常数项及它们的系数. 解： 去括号，得 3x2 - 3x = 5x + 10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2 - 8x - 10 = 0. 其中二次项是 3x2，系数是 3；一次项是 -8x，系数是 -8；常数项是 -10. 系数和项均包含前面的符号. 注意 视频：一元二次方程一般式 点击视频开始播放 1. 下列哪些是一元二次方程？ 是 不是 是 不是 不是 是 3x + 2 = 5x - 2； x2 = 0； (x + 3)(2x - 4) = x2； 3y2 = (3y + 1)(y - 2)； x2 = x3 + x2 - 1； 3x2 = 5x - 1. 当堂练习 2.填空： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 -2 1 3 1 3 -5 4 0 -5 3 -2 23 3.关于 x 的方程 (k2 − 1)x2 ＋ 2(k − 1)x＋2k＋ 2＝0， 当 k 　　时，是一元二次方程． 当 k 　　时，是一元一次方程． ≠ ±1 ＝−1 4.(1)有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm，在它的四角各切去一个正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的方盒的底面积为 3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 100cm 50 cm x 3600 cm2 解：设切去的正方形的边长为 x cm，则盒底的长为(100－2x)cm，宽为(50－2x)cm，根据方盒的底面积为 3600 cm2，得 化简，得 该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？ (2)要组织要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参加比赛? 解：根据题意，列方程 化简，得 该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？ 一元二次方程 概念 是整式方程； 含一个未知数； 最高次数是 2 一般形式 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 其中(a ≠ 0)是一元二次方程的必要条件 列方程 课堂小结 $RBX加C等于0，其中A不等于0，他就是全宇宙长得最端正的，叫做1元2次方程的一般式。很整齐，尤其是和这些货对比一下，高下立判。之所以说它整齐，是因为一般是把1元2次方程分为了三个部分。含未知数的二次项，也就是AX方部分，之后的BX表示的是含X的一次项。最后面的C你应该能猜出来的就是常数项ABC这三个字母都是参数，也就是P的字母YP的数字和X不是一回事儿。我们拿一般式对比一下这三个方程，他们虽然没写出字母ABC，但其实都是按照AX方加BX加C等于零这样的一般是书写的。对比着看就可以看出一般式里的二次项系数，也就是字母A就对应到方程中的系数42和11。而参数B是一次项系数，对应的是-3 1-4，而753分之2这三个数字则对应字母C所表示的常数项。好，来考考你。如果一个1元2次方程，它的二次项系数A等于5，一次项系数B等于-2，常数项C等于负一，那么它是下面哪一个一般是呢？答案是C只需要把ABC对照，一般是对号入座就行了。但是要注意符号一次项系数B等于-2，所以在方程里是-2X然后再减1。