1.1 反比例函数（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（湘教版）

该初中数学课件聚焦九年级上册“反比例函数”概念，通过“买笔记本”情境导入，结合列车速度、草坪面积等实际问题抽象函数关系，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生理解定义、三种表达方式及待定系数法。 其亮点在于以真实情境驱动，培养数学眼光与模型意识。合作探究抽象概念，例题涵盖辨析、计算及实际应用，分层练习巩固基础并提升能力。小结系统梳理知识，学生能提升抽象与应用能力，教师可直接用于高效教学。

第1章 反比例函数 1.1 反比例函数 优翼数学教学课件（XJ）九上 ？ ？ 情境引入 新学期伊始，小明想买一些笔记本为以后的学习做准备. 妈妈给了小明 30 元钱，小明可以如何选择笔记本的价钱和数量呢？ 笔记本单价 x/元 1.5 2 2.5 3 5 7.5 … 购买的笔记本数量 y/本 … 通过填表，你发现 x，y 之间具有怎样的关系？你还能举出这样的例子吗？ 20 15 12 10 6 4 ？ 导入新课 2 反比例函数的概念 下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，请写出它们的表达式. 合作探究 (1) 京沪线铁路全程为 1463 km，某次列车的平均速 度 v (单位：km/h) 随此次列车的全程运行时间 t (单位：h) 的变化而变化； 新课讲授 3 (2) 某住宅小区要种植一块面积为 1000 m2 的矩形草 坪，草坪的长 y (单位：m) 随宽 x (单位：m)的 变化而变化； (3) 已知某市的总面积为 1.68×104 km2 ，人均占有 面积 S (km2/人) 随全市总人口 n (单位：人) 的 变化而变化. 观察以上三个解析式，你觉得它们有什么共同特点？ 问题： 都具有 的形式，其中 是常数． 分式 分子 (k 为常数，k ≠ 0) 的形式，那么称 y 是 x 的反比例函数，其中 x 是自变量，常数 k (k ≠ 0) 称为反比例函数的比例系数. 一般地，如果两个变量 y 与 x 的关系可以表示成 反比例函数 (k ≠ 0) 的自变量 x 的取值范围是什么？ 思考： 因为 x 作为分母，不能等于零，因此自变量 x 的取值范围是所有非零实数. 但实际问题中，应根据具体情况来确定反比例函数自变量的取值范围. 例如，在前面得到的第一个解析式 中，作为行驶时间的 t 的取值应满足 t＞0，且当 t 取每一个确定的值时，v 都有唯一确定的值与其对应. 反比例函数除了可以用 (k ≠ 0) 的形式表示之外，还有没有其他表达方式？ 想一想： 反比例函数的三种表达方式 (注意 k ≠ 0)： 下列函数是不是反比例函数？若是，请指出 k 的值. 是，k = 3 不是 不是 不是 练一练 是， 8 解：因为 是反比例函数， 所以 4－k2 = 0， k－2 ≠ 0. 解得 k =－2. 所以该反比例函数的表达式为 方法总结：已知某个函数为反比例函数，只需要根据反比例函数的定义列出方程 (组) 求解即可. 例1 若函数 是反比例函数，求 k 的值，并写出该反比例函数的表达式. 1. 已知函数 是反比例函数，则 k 必须 满足 . 2. 当 m = 时， 是反比例函数. k≠2 且 k≠-1 ±1 练一练 确定反比例函数的表达式 例2 已知 y 是 x 的反比例函数，并且当 x = 2 时，y = 6. (1) 写出 y 关于 x 的函数表达式； 提示：因为 y 是 x 的反比例函数，所以设 .把 x = 2 和 y = 6 代入上式，就可求出常数 k 的值. 解：设 . 因为当 x = 2 时，y = 6，所以有 解得 k = 12. 因此 (2) 当 x = 4 时，求 y 的值. 解：把 x = 4 代入 ，得 方法总结：用待定系数法求反比例函数表达式的步骤： ① 设出含有待定系数的反比例函数表达式； ② 将已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式，得到关于待定系数的方程； ③ 解方程，求出待定系数的值； ④ 写出反比例函数的表达式. 练一练 已知变量 y 与 x 成反比例，且当 x = 3 时，y =－4. (1) 求 y 关于 x 的函数表达式； (2) 当 y = 6 时，求 x 的值. 解：(1) 设 . 因为当 x = 3 时，y =－4，所以有 解得 k =－12. 因此 (2) 把 y = 6 代入 ，得 解得 x = －2. 例3 在压力不变的情况下，某物体承受的压强 p Pa是它的受力面积 S m2 的反比例函数，如图. (1) 求 p 与 S 之间的函数表达式； (2) 当 S = 0.5 时，求物体承受的压强 p 的值. 解：(1) 设 . 函数图象过点 (0.1，1000)， 代入上式，得 解得 k = 100. 所以 p 与 S 的函数表达式是 . (2) 当 S = 0.5 时， 答：物体承受的压强 p 的值为 200 Pa. p/Pa S/m2 O 0.1 1000 14 建立简单的反比例函数模型 例4 人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体是动态的，车速增加，视野变窄. 当车速为 50 km/h 时，视野为 80 度. 如果视野 f (度) 是车速 v (km/h) 的反比例函数，求 f 关于 v 的函数表达式，并计算当车速为 100 km/h 时视野的度数. 15 当 v = 100 时，f = 40. 所以当车速为 100 km/h 时视野为 40 度. 解：设 . 由题意知，当 v = 50 时，f = 80，所以 解得 k = 4000. 因此 如图，已知菱形 ABCD 的面积为 180，设它的两条对角线 AC，BD 的长分别为 x，y. 写出变量 y 与 x 之间的关系式，并指出它是什么函数. A B C D 练一练 解：因为菱形的面积等于两条对角线长 乘积的一半， 所以 所以变量 y 与 x 之间的关系式为 ， 它是反比例函数. 1. 生活中有许多反比例函数的例子，在下面的实例中， y 和 x 成反比例函数关系的有 ( ) ① x 人共饮水 10 kg，平均每人饮水 y kg；②底面半径为 x m，高为 y m 的圆柱形水桶的体积为10 m3；③用铁丝做一个圆，铁丝的长为 x cm，做成的圆的半径为 y cm；④在水龙头前放满一桶水，出水的速度为 x，放满一桶水的时间为 y. A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 B 当堂练习 18 A. B. C. D. 2. 下列函数中，y 是 x 的反比例函数的是 ( ) A 3. 填空： (1) 若 是反比例函数，则 m 的取值范围是 . (2) 若 是反比例函数，则 m 的取值范 围是 . (3) 若 是反比例函数，则 m 的值是 . m ≠ 1 m ≠ 0 且 m ≠ －2 －1 4. 已知 y 与 x + 1 成反比例，并且当 x = 3 时，y = 4. (1) 写出 y 关于 x 的函数表达式； (2) 当 x = 7 时，求 y 的值． 解：(1) 设 ，因为当 x = 3 时，y = 4 ， 所以有 ，解得 k = 16，因此 . (2) 当 x = 7 时， 5. 小明家离学校 1000 m，他每天往返于两地之间，有 时步行，有时骑车．假设小明每天上学时的平均速 度为 v (m/min)，所用的时间为 t (min)． (1) 求变量 v 和 t 之间的函数关系式； 解： (t > 0)． (2) 小明星期二步行上学用了 25 min，星期三骑自行 车上学用了 8 min，那么他星期三上学时的平均 速度比星期二快多少？ 125－40 = 85 (m/min)． 答：他星期三上学时的平均速度比星期二快 85 m/min. 解：当 t = 25 时， ； 当 t = 8 时， . 能力提升： 6. 已知 y = y1 + y2，y1 与 (x－1) 成正比例，y2 与 (x + 1) 成反比例，当 x = 0 时，y =－3；当 x = 1 时，y = －1， 求： (1) y 关于 x 的关系式； 解：设 y1 = k1(x－1) (k1 ≠ 0)， (k2 ≠ 0)， 则 . ∵ x = 0 时，y =－3；x = 1 时，y = －1， －3 =－k1 + k2， 解得 k1 = 1，k2 =－2. ∴ ∴ 对于 ， (2) 当 x = 时，y 的值. 解：把 x = 代入 (1) 中函数关系式，得 y = 建立反比例函数模型 用待定系数法求反比例函数表达式 反比例函数：定义； 三种表达方式 反比例函数 课堂小结 $