精品解析：2020-2021学年湖南省娄底市第三中学八年级（下）期中数学试卷

2020-2021学年湖南省娄底三中八年级（下）期中数学试卷 一．选择题（共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下面的性质中，平行四边形不一定具有的是（　　　） A. 内角和为360° B. 邻角互补 C. 对角线相等 D. 对角相等 2. 如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，且PD＝PE，则△APD与△APE全等的理由是（　　） A. SAS B. AAA C. SSS D. HL 3. 不能判定一个四边形是平行四边形的条件是（ ） A. 一组对边相等，另一组对边平行 B. 一组对边平行且相等 C. 两条对角线互相平分 D. 两组对边分别相等 4. 已知，为正数，且，如果以，为直角边长作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边长为边长的正方形的面积为（　　 ） A. 5 B. 7 C. 15 D. 25 5. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是∠BAC的平分线，AD=10，则点D到AB的距离是（ ） A. 8 B. 5 C. 6 D. 4 6. 用两块完全相同的直角三角形拼下列图形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤等腰三角形；⑥等边三角形，一定能拼成的图形是（ ） A. ①④⑤ B. ②⑤⑥ C. ①②③ D. ①②⑤ 7. 如图，在中，平分交于点，若，的周长等于24，则线段的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有多年的历史年月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人进行围棋人机大战截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知，点P在边OA上，，点M，N在边OB上，，若，则OM的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 如图，P为正方形ABCD的对角线AC上任意一点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，若AC＝，则四边形PEBF的周长为( ) A. B. 2 C. 2 D. 1 11. 如图，在矩形ABCD中，F是BC中点，E是AD上一点，且∠ECD=30º，∠BEC=90º，EF=4cm，则矩形的面积为( )cm2． A. 16 B. C. D. 32 12. 如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，DC=7，AB=13，点P从点A出发以3个单位/s的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/s的速度沿BA向终点A运动．当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为（ ） A. 4s B. 3s C. 2s D. 1s 二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 13. 在中，若，，则________． 14. 若一个直角三角形两边的长分别为6和8，则第三边的长为_____． 15. 在□ABCD中，AB，BC，CD的长度分别为2x＋1，3x，x＋4，则▱ABCD的周长是_______． 16. 正方形的一条对角线长为4，则这个正方形面积是_________． 17. 如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1，O2是其中两个正方形的对角线交点，若把这样的n个小正方形按如图所示方式摆放，则重叠部分的面积为________． 18. 如图，中，，，．点A2，B2，C2分别是边，，的中点；点A3，B3，C3分别是边，，的中点；…以此类推，则的周长是________． 三．解答题（总分66分） 19. 一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，求这个多边形的边数． 20. 如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD上的一点，且AF＝CE．求证：△ADF≌△CBE． 21. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，点D在AC上，且∠BDC＝60°，AC＝12，求BD、BC的长． 22. 如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点．求证：DEBF． 23. 四边形是边长为的菱形，其中对角线长．求： （1）对角线的长度； （2）菱形的面积． 24. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF=2DE，连接CE、AF； （1）证明：AF=CE； （2）当∠B=30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由． 25. 已知：如图，在中，E是两锐角平分线的交点，，垂足分别为D、F．求证：四边形是正方形． 26. 如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F， （1）求证：OE=OF； （2）若CE=12，CF=5，求OC的长； （3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2020-2021学年湖南省娄底三中八年级（下）期中数学试卷 一．选择题（共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下面的性质中，平行四边形不一定具有的是（　　　） A. 内角和为360° B. 邻角互补 C. 对角线相等 D. 对角相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质判断求解即可． 【详解】解：A、平行四边形的内角和为360°，故选项A是平行四边形的性质，不符合题意； B、平行四边形的邻角互补，故选项B是平行四边形的性质，不符合题意； C、平行四边形的对角线不一定相等，故选项C不是平行四边形的性质，符合题意； D、平行四边形的对角相等，故选项D是平行四边形的性质，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，熟知平行四边形的性质是解答的关键． 2. 如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，且PD＝PE，则△APD与△APE全等的理由是（　　） A. SAS B. AAA C. SSS D. HL 【答案】D 【解析】 【详解】：∵PD⊥AB于D，PE⊥AC于E， ∴△APD与△APE都为直角三角形， ∵PA为公共边， ∴△APD≌△APE． 故选D． 3. 不能判定一个四边形是平行四边形的条件是（ ） A. 一组对边相等，另一组对边平行 B. 一组对边平行且相等 C. 两条对角线互相平分 D. 两组对边分别相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：一组对边相等，另一组对边平行，不能判定一个四边形是平行四边形，故A选项正确； 一组对边平行且相等，能判定一个四边形是平行四边形，故B选项错误； 两条对角线互相平分，能判定一个四边形是平行四边形，故C选项错误； 两组对边分别相等，能判定一个四边形是平行四边形，故D选项错误； 故选A． 4. 已知，为正数，且，如果以，为直角边长作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边长为边长的正方形的面积为（　　 ） A. 5 B. 7 C. 15 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】根据“两个非负数相加和为0，则这两个非负数的值均为0”解出x、y的值，然后运用勾股定理求出斜边的长．斜边长的平方即为正方形的面积． 【详解】解：依题意得：，且，为正数， ∴， 斜边长， 所以正方形的面积． 故选：B． 【点睛】本题综合考查了勾股定理与非负数，解这类题的关键是利用直角三角形，用勾股定理来寻求未知系数的等量关系． 5. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是∠BAC的平分线，AD=10，则点D到AB的距离是（ ） A. 8 B. 5 C. 6 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线的定义得到∠DAB＝30°，根据等角对等边得到BD＝AD=10，然后利用30°所对直角边是斜边的一般求解． 【详解】解：作DE⊥AB于E， ∵∠C＝90°，∠B＝30°， ∴∠CAB＝60°， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠CAD＝∠DAB＝30°， ∴∠B＝∠DAB， ∴BD＝AD=10， ∴在Rt△DEB中，DE=BD=5， 即点D到AB的距离是5， 故选B． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质、等角对等边，含30°直角三角形的性质，掌握直角三角形中30°所对直角边是斜边的一般是解题的关键． 6. 用两块完全相同的直角三角形拼下列图形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤等腰三角形；⑥等边三角形，一定能拼成的图形是（ ） A. ①④⑤ B. ②⑤⑥ C. ①②③ D. ①②⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】根据直角三角形的形状，分别把相等的边用不同的方式重合，即可得到相应的通行，然后判断即可. 【详解】如图，可以拼成①平行四边形、②矩形、⑤等腰三角形. . 故选D. 【点睛】此题主要考查了直角三角形拼图，关键是明确两个直角三角形是全等的，然后再把相等的边用不同方式重叠即可判断，用实物拼图会更简单一些. 7. 如图，在中，平分交于点，若，的周长等于24，则线段的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质以及角平分线的性质得出∠DEC=∠DCE，进而得出DE=DC=AB求出即可． 【详解】解：在▱ABCD中，CE平分∠BCD交AD于点E， ∴∠DEC=∠ECB，∠DCE=∠BCE，AB=DC，AD=BC， ∴∠DEC=∠DCE， ∴DE=DC=AB， ∵ABCD的周长等于24，AE=2， ∴AB+AD=12， ∴AB+AE+DE=12， ∴AB=5． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及角平分线的性质，得出DE=DC=AB是解题关键． 8. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有多年的历史年月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人进行围棋人机大战截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，原图形绕对称中心旋转度后与自身完全重合． 根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：选项A：是中心对称图形，故本选项符合题意； 选项B：不是中心对称图形，故本选项不合题意； 选项C：不是中心对称图形，故本选项不合题意； 选项D：不是中心对称图形，故本选项不合题意． 故选：A． 9. 如图，已知，点P在边OA上，，点M，N在边OB上，，若，则OM的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】过P作，根据等腰三角形形三线合一及直角三角形角所对直角边等于斜边一半即可得到答案． 【详解】解：过P作， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：C． ． 【点睛】本题考查等腰三角形形三线合一及直角三角形角所对直角边等于斜边一半，解题关键是作出辅助线． 10. 如图，P为正方形ABCD的对角线AC上任意一点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，若AC＝，则四边形PEBF的周长为( ) A. B. 2 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，四边形EBFP为矩形，所以BF=PE，PF=BE，又点P在对角线AC上，∠BAC=45°，所以AE=PE，所以四边形PEBF的周长为BE+EP+PF+BF=BE+AE+PF+AE=2AB． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=90°，AB=BC， ∴AB2+BC2=AC2， ∵AC=， ∴AB=BC=1， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAC=∠BCA=45°， ∵PE⊥AB于E，PF⊥BC于F， ∴四边形PEBF为矩形，△AEP和△PFC为等腰直角三角形， ∴PF=BE，PE=AE， ∴PE+PF+BE+AE=2AB=2， 即四边形PEBF的周长为2， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和正方形的性质以及矩形的性质，关键是熟练掌握勾股定理和正方形的性质以及矩形的性质，灵活变通矩形的周长为正方形边长的2倍． 11. 如图，在矩形ABCD中，F是BC中点，E是AD上一点，且∠ECD=30º，∠BEC=90º，EF=4cm，则矩形的面积为( )cm2． A. 16 B. C. D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】由是的中点，求解 再证明为等边三角形，可得 再利用的余弦求解 从而可得答案． 【详解】解：是的中点， 矩形 为等边三角形， 故选： 【点睛】本题考查的是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，矩形的性质，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键． 12. 如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，DC=7，AB=13，点P从点A出发以3个单位/s的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/s的速度沿BA向终点A运动．当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为（ ） A. 4s B. 3s C. 2s D. 1s 【答案】B 【解析】 【详解】解：设运动时间为t秒，则CP=12-3t，BQ=t， 根据题意得到12-3t=t， 解得：t=3， 故选B． 【点睛】本题考查一元一次方程及平行四边形的判定，难度不大． 二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 13. 在中，若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，根据直角三角形两锐角互余即可得到答案． 【详解】解：∵在中，若，， ∴， 故答案为：． 14. 若一个直角三角形两边的长分别为6和8，则第三边的长为_____． 【答案】10或 【解析】 【分析】分两种情况：第一种，6和8是直角三角形的两条直角边，根据勾股定理求第三边的长；第二种，8是直角三角形的斜边长，6是直角边长，根据勾股定理求第三边的长． 【详解】解：本题可分两种情况讨论： 情况一：若6和8均为直角边长，根据勾股定理，第三边（斜边）的长为； 情况二：若8为斜边长，6为直角边长，根据勾股定理，第三边（另一条直角边）的长为． 15. 在□ABCD中，AB，BC，CD的长度分别为2x＋1，3x，x＋4，则▱ABCD的周长是_______． 【答案】32 【解析】 【详解】试题分析：∵平行四边形的对边相等， ∴2x+1=x+4 解得：x=3， 即得AB=7、BC=9、CD=7、DA=9， ∴平行四边形ABCD的周长是：AB+BC+CD+DA=32， 故答案为32． 16. 正方形的一条对角线长为4，则这个正方形面积是_________． 【答案】8 【解析】 【分析】正方形边长相等设为，对角线长已知，利用勾股定理求解边长的平方，即为正方形的面积． 【详解】解：设边长为，对角线为 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质以及勾股定理．解题的关键在于求解正方形的边长． 17. 如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1，O2是其中两个正方形的对角线交点，若把这样的n个小正方形按如图所示方式摆放，则重叠部分的面积为________． 【答案】n-1 【解析】 【分析】连接O1B=O1C，证明△BO1E≌△CO1D,进而证明四边形O1ECD面积为1，再得到共有n-1个阴影四边形，问题得解． 【详解】解：如图，连接O1B=O1C，由题意得三个正方形的边长相等， ∴O1B=O1C，∠EBO1=∠DCO1=45°， ∠BO1C=∠EO1D=90°， ∴∠BO1E=∠CO1D, ∴△BO1E≌△CO1D, ∴△BO1E面积=△CO1D面积， ∴四边形O1ECD面积=△BO1C面积=2×2÷4=1， 同理：另一阴影面积=1， 所以n个小正方形按如图摆放，共得到n-1个阴影四边形，面积为n-1． 故答案为：n-1 【点睛】本题考查了正方形的性质，根据条件求出一个阴影的面积，进而得到共有n-1个阴影是解题关键． 18. 如图，中，，，．点A2，B2，C2分别是边，，的中点；点A3，B3，C3分别是边，，的中点；…以此类推，则的周长是________． 【答案】 【解析】 【分析】由三角形的中位线定理得：B2C2，A2C2，A2B2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的，所以△A2B2C2的周长等于△A1B1C1的周长的一半，以此类推可求出结论． 【详解】解：∵△A1B1C1中，A1B1=4，A1C1=5，B1C1=7， ∴△A1B1C1的周长是16， ∵A2，B2，C2分别是边B1C1，A1C1，A1B1的中点， ∴B2C2，A2C2，A2B2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的， ∴△A2B2C2的周长是×16=8， 同理，△A3B3C3的周长是 ……， ∴△AnBnCn的周长是 ∴△A2021B2021C2021的周长是 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用． 三．解答题（总分66分） 19. 一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，求这个多边形的边数． 【答案】这个多边形的边数是10 【解析】 【分析】一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，而外角和是，则内角和是．n边形的内角和可以表示成，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数． 【详解】解：设这个多边形的边数是n，则 ， 解得：． 答：这个多边形的边数是10． 20. 如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD上的一点，且AF＝CE．求证：△ADF≌△CBE． 【答案】 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝∠B＝90°，AD＝CB， 在Rt△ADF和Rt△CBE中 ， ∴Rt△ADF≌Rt△CBE（HL）． 【解析】 【分析】根据矩形的性质得出∠D＝∠B＝90°，AD＝CB，根据直角三角形全等的判定定理即可证明． 【详解】略 【点睛】本题考查了矩形的性质和全等三角形的判定定理，熟记矩形的对边相等，矩形的四个角都是直角以及直角三角形全等的判定定理是解题的关键． 21. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，点D在AC上，且∠BDC＝60°，AC＝12，求BD、BC的长． 【答案】BD＝8，BC＝ 【解析】 【分析】先根据三角形外角的性质得出∠ABD＝30°，则∠A＝∠ABD，再由等角对等边得出BD＝AD，设CD＝x，则BD＝AD＝2x，求出x＝4，由勾股定理即可求出BC的值． 【详解】解：∵∠A＝30°，∠BDC＝60°， ∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝30°． ∴∠A＝∠ABD＝30°， ∴BD＝AD． 在Rt△BCD中，∠C＝90°，∠DBC＝90°－∠BDC＝30°， ∴BD＝2CD， 设CD＝x，则BD＝AD＝2x， ∴x+2x＝12， ∴x＝4， ∴BD＝8， ∴BC＝ ． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定及勾股定理，根据条件得出BD＝AD是解题的关键． 22. 如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点．求证：DEBF． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得AB＝CD，ABCD，由中点的性质可得DF＝BE，证得四边形DFBE是平行四边形，可得结论． 【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，ABCD， ∵E、F分别为边AB、CD的中点． ∴DF＝CD，BE＝AB， ∴DF＝BE， 又∵DFBE， ∴四边形DFBE是平行四边形， ∴DEBF． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定是本题的关键． 23. 四边形是边长为的菱形，其中对角线长．求： （1）对角线的长度； （2）菱形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、菱形的面积公式、勾股定理，熟知菱形的性质是解本题的关键． （1）根据菱形的对角线互相垂直平分，可利用勾股定理求出的长，从而求出的长； （2）根据菱形的面积公式：两条对角线乘积的一半即可求得面积． 【小问1详解】 解：∵四边形是菱形，与相交于点E， ∴（菱形的对角线互相垂直）， （菱形的对角线互相平分）． ∴． ∴（菱形的对角线互相平分）； 【小问2详解】 ． 24. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF=2DE，连接CE、AF； （1）证明：AF=CE； （2）当∠B=30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由． 【答案】 （1）证明：∵点D，E分别是边BC，AB上的中点， ∴DE∥AC，AC=2DE， ∵EF=2DE， ∴EF∥AC，EF=AC， ∴四边形ACEF是平行四边形， ∴AF=CE； （2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形；理由如下： ∵∠ACB=90°，∠B=30°， ∴∠BAC=60°， AC=AB=AE， ∴△AEC是等边三角形， ∴AC=CE， 又∵四边形ACEF是平行四边形， ∴四边形ACEF是菱形．. 【解析】 【分析】（1）由三角形中位线定理得出DE∥AC，AC=2DE，求出EF∥AC，EF=AC，得出四边形ACEF是平行四边形，即可得出AF=CE； （2）由直角三角形的性质得出∠BAC=60°，AC=AB=AE，证出△AEC是等边三角形，得出AC=CE，即可得出结论． 【详解】解：（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质、等边三角形的判定与性质等，结合图形，根据图形选择恰当的知识点是关键． 25. 已知：如图，在中，E是两锐角平分线的交点，，垂足分别为D、F．求证：四边形是正方形． 【答案】 证明：过点作，垂足为． ，，是两锐角平分线的交点， ． ，，， ， 四边形为矩形． 又， 矩形为正方形． 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质及正方形的判定，正确添加辅助线准确运用性质和判定定理是正确解答此题的关键． 过E作，根据角平分线的性质可得．再证明四边形是矩形，可根据邻边相等的矩形是正方形得到四边形是正方形． 【详解】略 26. 如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F， （1）求证：OE=OF； （2）若CE=12，CF=5，求OC的长； （3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由． 【答案】 （1）证明：如图，∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F， ∴∠2=∠5，4=∠6． ∵MN∥BC， ∴∠1=∠5，3=∠6． ∴∠1=∠2，∠3=∠4． ∴EO=CO，FO=CO． ∴OE=OF． （2）6.5． （3）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下： 当O为AC的中点时，AO=CO， ∵EO=FO， ∴四边形AECF是平行四边形． ∵∠ECF=90°， ∴平行四边形AECF是矩形． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1=∠2，∠3=∠4，进而得出答案． （2）根据已知得出∠2+∠4=∠5+∠6=90°，进而利用勾股定理求出EF的长，即可根据直角三角形斜边上的中线性质得出CO的长． （3）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可． 【详解】解：（1）略 （2）∵∠2=∠5，∠4=∠6， ∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°． ∵CE=12，CF=5， ∴． ∴OC=EF=6.5． （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $