3.1.1函数的概念教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第三章 函数的概念与性质

3．1　函数的概念及其表示

3．1．1　函数的概念

 

知识点一　函数的有关概念

1．函数的概念

　　

[微思考]　(1)有人认为“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种理解对吗？

(2)f(x)与f(a)有何区别与联系？

提示：(1)这种理解不对．

符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”．在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．

(2)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量；而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量．f(a)是f(x)的一个特殊值，如一次函数f(x)＝3x＋4，当x＝8时，f(8)＝3×8＋4＝28是一个常数．

2．同一个函数

如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值相同，那么这两个函数是同一个函数．

(1)只有当两个函数的定义域和对应关系分别相同时，这两个函数才是同一个函数．

(2)定义域和值域都分别相同的两个函数，它们不一定是相同的函数，因为函数对应关系不一定相同．如y＝x与y＝3x 的定义域和值域都是R，但它们的对应关系不同，所以是两个不同的函数．

 

知识点二　区间

区间还可以用数轴表示，在数轴表示时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点．

 

题型一　函数的概念

[典例1]　判断下列对应是否为集合A到集合B的函数.(1)A＝R，B＝{y|y>0}，f：x→y＝|x|；

(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2；

(3)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝；

(4)A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{0}，f：x→y＝0.

[解]　(1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数．

(2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2在集合B中都有唯一一

个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数．

(3)集合A中的负整数没有平方根，在集合B中没有对应的元素，故不是集合A到集合B的函数．

(4)对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数．

 

 

[方法技巧]

1．判断对应关系是否为函数的2个条件

(1)A，B必须是非空数集．

(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．　　

2.根据图形判断对应是否为函数的方法

1任取一条垂直于x轴的直线l.

2在定义域内平行移动直线l.

3若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数.

 

【对点练清】

1．下列对应或关系式中是A到B的函数的是(　　)

A．A＝R，B＝R，x2＋y2＝1

B．A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图：

C．A＝R，B＝R，f：x→y＝

D．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝

解析：选B　A错误，x2＋y2＝1可化为y＝±，显然对任意x∈A，y值不唯一．B正确，符合函数的定义．C错误，2∈A，在B中找不到与之相对应的数．D错误，－1∈A，在B中找不到与之相对应的数．

2．(多选)设集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤4}，则下列图象能表示集合P到集合Q