3.1.1函数的概念教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第三章 函数的概念与性质 3．1　函数的概念及其表示 3．1．1　函数的概念 明确目标 发展素养 1.用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念． 2.体会集合和对应关系在刻画函数概念中的作用． 3.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域． 4.能够正确使用区间表示数集. 1.通过学习函数的概念，培养数学抽象素养． 2.借助函数定义域的求解，培养数学运算素养． 3.借助f(x)与f(a)的关系，培养逻辑推理素养. 知识点一　函数的有关概念 1．函数的概念 定义 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 记法 y＝f(x)，x∈A 定义域 x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域 函数值 与x的值相对应的y值 值域 函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域，显然值域是集合B的子集 　　 [微思考]　(1)有人认为“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种理解对吗？ (2)f(x)与f(a)有何区别与联系？ 提示：(1)这种理解不对． 符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”．在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数． (2)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量；而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量．f(a)是f(x)的一个特殊值，如一次函数f(x)＝3x＋4，当x＝8时，f(8)＝3×8＋4＝28是一个常数． 2．同一个函数 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值相同，那么这两个函数是同一个函数． (1)只有当两个函数的定义域和对应关系分别相同时，这两个函数才是同一个函数． (2)定义域和值域都分别相同的两个函数，它们不一定是相同的函数，因为函数对应关系不一定相同．如y＝x与y＝3x 的定义域和值域都是R，但它们的对应关系不同，所以是两个不同的函数． 知识点二　区间 区间还可以用数轴表示，在数轴表示时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点． 区间 数轴表示 名称 [a，b] 闭区间 (a，b) 开区间 [a，b) 半开半闭区间 (a，b] 半开半闭区间 [a，＋∞) － (a，＋∞) － (－∞，b] － (－∞，b) － 题型一　函数的概念 [典例1]　判断下列对应是否为集合A到集合B的函数.(1)A＝R，B＝{y|y>0}，f：x→y＝|x|； (2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2； (3)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝； (4)A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{0}，f：x→y＝0. [解]　(1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数． (2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数． (3)集合A中的负整数没有平方根，在集合B中没有对应的元素，故不是集合A到集合B的函数． (4)对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数． [方法技巧] 1．判断对应关系是否为函数的2个条件 (1)A，B必须是非空数集． (2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．　　 2.根据图形判断对应是否为函数的方法 1任取一条垂直于x轴的直线l. 2在定义域内平行移动直线l. 3若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数. 【对点练清】 1．下列对应或关系式中是A到B的函数的是(　　) A．A＝R，B＝R，x2＋y2＝1 B．A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图： C．A＝R，B＝R，f：x→y＝ D．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝ 解析：选B　A错误，x2＋y2＝1可化为y＝±，显然对任意x∈A，y值不唯一．B正确，符合函数的定义．C错误，2∈A，在B中找不到与之相对应的数．D错误，－1∈A，在B中找不到与之相对应的数． 2．(多选)设集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤4}，则下列图象能表示集合P到集合Q的函数关系的是(　　) 解析：选BD　对于A，其定义域是[0，2]，不是P，故A错误；对于B，其定义域是[0，4]＝P，值域[0，2]⊆Q，故B正确；对于C，其与函数定义相矛盾，故C错误；对于D，其定义域是[0，4]＝P，显然值域包含于集合Q，故D正确． 题型二　求函数的定义域、函数值　 【分类例析】 角度(一)　求函数的定义域　 [典例2]　求下列函数的定义域： (1)f(x)＝3－x；(2)f(x)＝； (3)f(x)＝；(4)f(x)＝. [解]　(1)函数f(x)＝3－x的定义域为R. (2)由于0的零次幂无意义，故x＋1≠0，即x≠－1. 又x＋2＞0，即x＞－2，所以x＞－2且x≠－1.所以函数f(x)＝的定义域为{x|x＞－2且x≠－1}． (3)要使函数f(x)有意义，自变量x的取值必须满足解得x≤5，且x≠±3， 所以函数f(x)＝的定义域为{x|x≤5且x≠±3}． (4)要使函数f(x)有意义，则 即解不等式组得－1≤x<1. 因此函数f(x)的定义域为[－1,1)． [方法技巧] 求函数定义域的常用方法 (1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零． (2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零． (3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使指数幂运算有意义的实数集合． (4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义． (5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．　　 角度(二)　求函数值　 [典例3]　已知f(x)＝(x∈R且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)． (1)求f(2)，g(2)的值； (2)求f(g(2))的值． [解]　(1)因为f(x)＝，所以f(2)＝＝. 又因为g(x)＝x2＋2，所以g(2)＝22＋2＝6. (2)f(g(2))＝f(6)＝＝. [方法技巧] 函数求值的方法 (1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值． (2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则．　　 【对点练清】 1．(2022·北京高考)函数f(x)＝＋的定义域是________． 解析：因为f(x)＝＋，所以x≠0，1－x≥0，解得x∈(－∞，0)∪(0，1]. 答案：(－∞，0)∪(0，1] 2．函数y＝的定义域为________． 解析：要使函数有意义，需满足 解得－2≤x≤3，且x≠. 答案：∪ 3．已知f(x)＝x3＋2x＋3，求f(1)，f(t)，f(2a－1)和f(f(－1))的值． 解：f(1)＝13＋2×1＋3＝6，f(t)＝t3＋2t＋3， f(2a－1)＝(2a－1)3＋2(2a－1)＋3＝8a3－12a2＋10a， f(f(－1))＝f((－1)3＋2×(－1)＋3)＝f(0)＝3. 题型三　同一个函数的判断问题　 [典例4]　下列各组函数中，表示同一函数的是(　　) A．y＝·与y＝ B．y＝|x|与y＝ C．y＝x与y＝ D．y＝与y＝x0 [解析]　A选项：y＝·的定义域为{x|x≥2}，y＝的定义域为{x|x≤－2或x≥2}，∴两函数不是同一函数．B选项：y＝|x|与y＝的定义域均为R，y＝＝x，可知两函数的对应关系不同，∴两函数不是同一函数．C选项：y＝x与y＝的定义域均为R，y＝＝|x|，可知两函数的对应关系不同，∴两函数不是同一函数．D选项：y＝与y＝x0的定义域均为{x|x≠0}，y＝＝1＝x0，可知两函数的对应关系相同，∴两函数是同一函数．故选D. [答案]　D [方法技巧] 判断两函数为同一个函数的方法 判断两函数是否为同一个函数，关键是坚持定义域优先的原则． (1)先看定义域，若定义域不同，则两个函数不是同一个函数． (2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．　　 【对点练清】 判断下列各组中的两个函数是否为同一个函数： (1)f(x)＝，g(x)＝x－5； (2)y＝·，y＝. 解：(1)两函数定义域不同，所以不是同一个函数． (2)y＝·的定义域为{x|－1≤x≤1}，y＝的定义域为{x|－1≤x≤1}，即两者定义域相同．又∵y＝·＝，∴两函数的对应关系也相同．故y＝·与y＝是同一函数． 学科网（北京）股份有限公司 $