第二十五章 概率初步 小结与复习（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（人教版）

小结与复习 第二十五章 概率初步 人教版九年级（上） 1 知识结构图 随机事件 用列举法求概率 概率 用频率估计概率 列表法 树状图法 知识回顾 一、事件的分类及其概念 事件 确定事件 随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件 必然事件：必然会发生的事件 不可能事件：必然不会发生的事件 随机事件的发生是有大小的 二、概率的概念及意义 概率 不可能事件发生的概率，P(不可能事件) = 0 必然事件发生的概率，P(必然事件) = 1 刻画一个随机事件 A 发生可能性大小的数值，叫做随机事件 A 发生的概率，记为 P(A) 在一次试验中，有 n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包括其中的 m 种可能的结果，那么事件 A 发生的 概率 P(A) = ，且 0≤P(A)≤1 三、随机事件的概率的求法 求随机事件概率的方法 列表法：适合于两个试验因素或分两步进行 树状图法：适合于三个及以上试验因素或分三步进行 直接列举法 四、用频率估计概率 用频率估计概率 一般地，在大量重复试验中，如果事件 A 发生的频率 稳定于某个常数 p，那么事件 A 发生的概率：P(A) = p 考点一 事件的判断和概率的意义 考点讲练 例1 (江苏联考)下列事件中，随机事件是( ) A. 在标准大气压下，温度低于 0 ℃ 时水结冰 B. 小明到达公共汽车站时，1 路公交车正在驶来 C. 同时抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之 和为 13 D. 在同一年出生的 14 名学生中，至少有 2 人出生在 同一个月 B 1.“闭上眼睛从布袋中随机地摸出 1 个球，恰是红球的 概率是 ”的意思是 ( ) A．布袋中有 2 个红球和 5 个其他颜色的球 B．如果摸球次数很多，那么平均每摸 7 次，就有 2 次 摸中红球 C．摸 7 次，就有 2 次摸中红球 D．摸 7 次，就有 5 次摸不中红球 B 练一练 考点二 概率的计算 例2 (1) 一个口袋中装有 3 个红球，2 个绿球，1 个黄球，每个球除颜色外其他都相同，搅匀后随机地从中摸出一个球是绿球的概率是______. (2) 三张分别画有平行四边形、等边三角形、圆的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，从中任取一张，卡片上所画图形恰好是中心对称图形的概率是 _______. 练一练 2. 小明把如图所示的平行四边形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域的概率是 ______. 例3 (河北承德联考)已知：整式 -2x2 + x +1. (1) 若把二次项系数，一次项系数，常数项与 0 作为一组数据，则众数是_______；中位数是_______； (2) 若把二次项系数，一次项系数，常数项做成卡片，随意摸出两张卡片，求两张卡片的数字一样的概率. 分析：二次项系数：-2；一次项系数：1； 常数项：1. (1) 排序：-2，0，1，1， 则众数是 1；中位数是 0.5. 1 0.5 (2) 随意摸出两张卡片→不放回试验 第二张 第一张 -2 1 1 1 开始 1 -2 1 -2 1 ∴ 共有 6 种等可能的结果. 两张卡片的数字一样的有 2 种结果. 链接中考 1. (重庆模拟考) 一个不透明的袋中装有分别标有 -2， -1，3，4 四个数字且大小形状完全相同的四个小球，随机摸出一个小球记下数字，然后放回搅匀，再从中摸出一个小球记下数字，两次的数字分别记为 b，c. 则方程 x2 + bx + c = 0 有两个不相等的实数根的概率是______. 解：画树状图的如下： -2 3 c b -1 开始 4 -2 -1 3 4 -2 -1 3 4 -2 -1 3 4 -2 -1 3 4 由树状图可知，共有 16 种等可能的结果， 其中方程 x2 + bx + c = 0 有两个不相等的实数根 (b2 - 4c＞0)的情况有 9 种， ∴ 方程 x2 + bx + c = 0 有两个不相等的概率是 2. (江苏南通) 不透明的袋子中装有红球、黄球、蓝球各一个，这些球除颜色外无其他差别. (1) 从袋子中随机摸出一个球，摸到蓝球的概率是___. (2) 从袋子中随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个球，请用列表或者树状图的方法，求两次摸到的球的颜色为“一红一黄”的概率. 解：(1) 不透明的袋子中共有 3 个球，其中 1 个蓝球， ∴ 随机摸出一个球，摸到蓝球的概率是 (2) 根据题意列表如下： 由表可知，共有 9 种等 可能的情况数， 其中摸到“一红一黄”的情况有 2 种，则两次摸到的球的颜色为“一红一黄”的概率是 红 黄 蓝 红 红红 黄红 蓝红 黄 红黄 黄黄 蓝黄 蓝 红蓝 黄蓝 蓝蓝 考点三 用频率估计概率 例4 (新疆)表中记录了某种树苗在一定条件下移植成活的情况： 移植总数 n 200 500 800 2000 12000 成活数 m 187 446 730 1790 10836 成活频率 0.935 0.892 0.913 0.895 0.903 由此可以估计这种苹果树苗移植成活的概率约为_____. (精确到 0.1) 0.9 链接中考 3. (辽宁鞍山) 一个不透明的口袋中有红球和黑球共 25 个，这些球除颜色外都相同. 进行大量的摸球试验(每次摸出 1 个球)后，发现摸到黑球的频率在 0.6 附近摆动，据此可以估计黑球为________个. 15 4. (辽宁锦州) 在一个不透明的袋子中装有 3 个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同. 每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在 0.7 附近，则袋子中红球约有_______个. 解析：设袋中红球有 x 个， 由题意可知 ， 解得 x = 7． 经检验：x = 7 是分式方程的解. 所以袋中红球有 7 个. 7 考点四 用概率作决策 例5 在一个不透明的口袋里装有分别标注 2、4、6 的 3 个小球(小球除数字外，其余都相同)，另有 3 张背面完全一样，正面分别写有数字 6、7、8 的卡片.现从口袋中任意摸出一个小球，再从这 3 张背面朝上的卡片中任意摸出一张卡片. (1) 请你用列表或画树状图的方法，表示出所有可能出现的结果； 解：(1) 列表如下： 2 4 6 6 (2，6) (4，6) (6，6) 7 (2，7) (4，7) (6，7) 8 (2，8) (4，8) (6，8) 小球 卡片 共有 9 种等可能结果. (2) 小红和小莉做游戏，制定了两个游戏规则： 规则 1：若两次摸出的数字，至少有一次是“6”，小 红赢；否则，小莉赢； 规则 2：若摸出的卡片上的数字是球上数字的整数倍 时，小红赢；否则，小莉赢. 小红想要在游戏 中获胜，她会选择哪一条规则？说明理由. 解：规则 1：P (小红赢) = ；规则 2：P (小红赢) = . ∵ ，∴ 小红会选择规则 1. 3. A、B 两个小型超市举行有奖促销活动，顾客每购满 20 元就有一次按下面规则转动转盘获奖机会，且两超市奖额等同. 规则是： ① A 超市把转盘甲等分成 4 个扇形区域、B 超市把转盘乙等分成 3 个扇形区域，并标上了数字 (如图所示)； ② 顾客第一回转动转盘要转两次，第一次与第二次分别停止后指针所指数字之和为奇数 时就获奖(若指针停在等分线上， 那么重转一次，直到指针指向某 一份为止). 1 1 2 2 3 3 4 甲 乙 练一练 解：A、B 两超市顾客转盘获奖的事件记为 M、N. 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 第一回 第二回 甲转盘 共有 16 种结果，其中中奖的有 8 种， (1) 利用树状图或列表法分别求出 A、B 两超市顾客一 回转盘获奖的概率； 1 2 3 1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 第一回 第二回 乙转盘 共有 9 种等可能结果，其中中奖的有 4 种， (2) 如果只考虑中奖因素，你将会选择去哪个超市购物？ 说明理由. 解：选 A 超市.理由如下： ∵ P (M) ＞ P(N)， ∴ 选 A 超市. 见《学练优》或《新领程》对应课时练习 课后作业 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $