第二十四章 圆 小结与复习（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（人教版）

小结与复习 第二十四章 圆 人教版九年级（上） 1 单元结构图 圆 圆有关的性质 圆既是________图形，又是_____图形 垂径定理：垂直与弦的直径_____弦，并平分弦所对的______ 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的_____. 推论1：同弧或等弧所对的圆周角______； 相等的圆周角所对的弧也_____； 推论2：半径(或半径)所对的圆周角是_____； 90° 的圆周角所对的弦是____ 圆心、弧、弦之间的关系：在同圆和等圆中，一组量相等，其他的两组量_____ 轴对称 中心 平分 弧 相等 一半 相等 相等 直角 直径 圆内接四边形的对角______ 互补 与圆有关的位置关系 圆 点和圆的位置关系：______;______;______ 在圆上 在圆外 在圆内 直线和圆的位置关系：____;____;____ 相切 相离 相交 切线的判定和性质 切线长定理 过圆外一点所画的圆的两条切线长____，圆心和这一点的连线____一条切线的夹角 平分 相等 弧长及扇形面积 弧长公式:______；扇形面积公式:___________ 圆锥的侧面积和全面积 侧面积:__________；全面积:_____________ S圆锥全=πrl S圆锥全=πr(l+r) 1. 垂径定理 条件 结论 (1)直线过_____； (2)直线和弦_____； (3)直线____弦； (4)直线____弦所对的劣弧； (5)直线____弦所对的优弧； 圆心 垂直 平分 平分 平分 知识回顾 2. 圆心、弧、弦之间的关系 圆心角相等 弧相等 弦相等 在同圆或等圆中： 知一得二 3. 圆周角定理 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的_____. 推论1：同弧或等弧所对的圆周角______； 相等的圆周角所对的弧也_____； 推论2：半径(或半径)所对的圆周角是_____； 90° 的圆周角所对的弦是______. 一半 相等 相等 直角 直径 4. 直线和圆的位置关系 图形 直线与圆的 位置关系 公共点个数 圆心到直线的距离 d 与半径 r 的关系 2 个 1 个 0 个 相离 相切 相交 d＞r d = r d＜r 5. 与切线有关的定理 (1) 判定定理：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. (2) 性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径. (3) 切线长定理：过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角 6. 弧长及扇形的面积 (1) 弧长公式： (2) 扇形面积公式： n ：圆心角 R ：扇形多对应的圆的半径 l ：扇形弧长 S：扇形面积 7. 圆锥的侧面积和全面积 S全 = S侧 + S底 = πrl + πr2 = πr(l+r). 圆锥侧面积： 圆锥全面积： S侧 = πrl. 考点一 垂径定理及推论 例1 如图，AB 为 ⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，OC = 5，CD = 8，则 AE 的长 ( ) A. 8 cm B. 5 cm C. 3 cm D. 2 cm A 考点讲练 类型一 已知直径与弦垂直 例2 (武汉江岸区期中)如图，CD 为 ⊙O 的直径，弦 AB⊥CD 于 E，OE = 12，AB = 10，求直径 CD 的长. 解：如图，连接 OA. ∵AB⊥CD，CD 过圆心 O，AB = 10， ∴AE = BE = 5，∠AEO = 90°. 在 Rt△AEO 中，由勾股定理得： ∴CD = 2AO = 26. 类型二 已知弦，过圆心作垂线 例3 如图，∠C = 90°，以 AC 为半径的圆 C 与 AB 交于点 D .若 AC = 3，CB = 4，求 BD 的长. 解：如图，过点 C 作 CE ⊥ AB 于 E， 则 AE = DE，在 Rt△ACB 中， E 1.(黄冈)如图，O 是 Rt△ABC 的外接圆，OE⊥AB 交 ⊙O 于点 E，垂足为点 D. AE，CB 的延长线交于点 F .若 OD = 3，AB = 8，则 FC 的长是______. 10 链接中考 考点二 圆周定理及推论 例4 (黄石港区期中)如图已知四边形 ABCD 内接于 ⊙O ，∠A =100°，则 ∠BOD = ( ) A. 80° B. 50° C. 160° D. 100° C 2.(荆州中考改编)如图，矩形 OABC 的边 OA，OC 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，点 D 在 OA 的延长线上，以O 为圆心、OD 长为半径的弧经过点 B 交 y 轴正半轴于点E.连接 DEBE 若 A(2，0)，∠BED = 30°，则 CE 的长是____________. 链接中考 3.已知△ABC 内接于 ⊙O . AC 为 ⊙O 的直径，点 D 为优弧 BC 的中点. (1) 如图 ①，连接 OD，求证：AB∥OD； (1) 证明：如图 ①， 延长 DO 交 BC 于 F. ∵ 点 D 为优弧 BC 的中点， ∴ . ∴ DF⊥BC. ∵ AC 为 ⊙O 的直径， ∴ AB⊥BC. ∴ AB∥OD. F (2) 如图②，过点 D 作 DE⊥AC，垂足为 E . 若 AE = 3，BC = 8，求⊙O 的半径. (2)解：如图 ②，连接 DO 并延长交 BC 于 F. ∵点 D 为优弧 BC 的中点， ∴ ∴ DF⊥CB. ∵DE ⊥AC，∠DEO = ∠OFC = 90°. ∵∠DOE = ∠COF，OD = OC， ∴△DOE≌△DOE(AAS). F ∴ OF = OE = OA - 3. ∵ OC2 = OF2 + CF2， ∴ OC2 = (OC - 3)2 + 42. ∴ OC = . ∴ ⊙O 的半径为 . F 例5 ☉O 的半径为 R，圆心到点 A 的距离为 d，且 R、d 分别是方程 x2－6x＋8＝0 的两根，则点 A 与☉O 的位置关系是 ( ) A. 点 A 在☉O 内部 B. 点 A 在☉O 上 C. 点 A 在☉O 外部 D. 点 A 不在☉O 上 D 考点三 与圆有关的位置关系 1. 平面直角坐标系中，M 点坐标为 (-2，3)，以 2 为半径画⊙M，则以下结论正确的是（　　） A．⊙M 与 x 轴相交，与 y 轴相切 B．⊙M 与 x 轴相切，与 y 轴相离 C．⊙M 与 x 轴相离，与 y 轴相交 D．⊙M 与 x 轴相离，与 y 轴相切 D 练一练 考点四 切线的判定和性质 O C A B E D 50 例6 如图，线段 AB 是直径，点 D 是 ☉O 上一点， ∠CDB = 20°，过点 C 作 ☉O 的切线交 AB 的延长线于点 E，则 ∠E 等于 °. 10×6x2=1500 遇切线，连圆心和切点， 构造直角三角形 证明：过点 D 作 DF⊥OA 于 F， ∵ 点 D 是∠AOB 的平分线 OC 上任意一点，DE⊥OB， ∴ DF = DE， 即 D 到直线 OA 的距离等于⊙D 的半径. ∴ OA 是⊙D 的切线． 2. 如图，点 D 是∠AOB 的平分线 OC 上任意一点，过 D 作 DE⊥OB 于 E，以 DE 为半径作⊙D. 求证：OA 是⊙D 的切线． F 无切点， 作垂直， 证半径 A B D C O E 练一练 3. 如图，PA 与⊙O 相切于点 A，过点 A 作 AB⊥OP，垂足为 C，交⊙O 于点 B．连接 PB，AO，并延长 AO 交⊙O 于点 D，与 PB 的延长线交于点 E． (1) 求证：PB 是⊙O 的切线； 证明：连接 OB. ∵ PO⊥AB，∴ AC = BC. ∴ PA = PB. ∵ PO = PO， ∴△PAO≌△PBO (SSS). ∴∠OAP =∠OBP. ∵ PA 是⊙O 的切线，∴∠OAP = 90°. ∴∠OBP = 90°. ∴ PB 是⊙O 的切线. 有交点， 连交点， 证垂直 A B D C O E P (2) 若 AP = 5，PE = 13，求 DE 的长． 解：在 Rt△APE 中， 由勾股定理易得 AE = 12． 由 (1) 知 AP = BP = 5，则 BE = 8． ∵ PB 为⊙O 的切线，∴∠OBE = 90°. 设 OB = r，则 OE = 12 - r. 在 Rt△OBE 中，由勾股定理得 r2 + 82 = (12 - r)2， A B D C O E P 解得 r = . (1)证明：如图，连接 OE，OF， 过点 O 作 OD⊥AB 于点 D. ∵ BC 与⊙O 相切于点 E. ∴ OE⊥BC. ∵ BO 是∠ABC 的平分线，∴ OD = OE. ∴ OD 是圆的一条半径. ∴ AB 是 ⊙O 的切线. 4.(孝感)如图，在 Rt△ABC 中 ∠ACB = 90°，⊙O 与 BC，AC 分别相切于点 E，F，BO 平分∠ABC，连接 OA. (1)求证：AB 是 ⊙O 的切线； 链接中考 (2) 解：∵ BC、AC 与圆分别相切于点 E、 点 F. ∴ OE⊥BC，OF⊥AC. 又∵∠ACB = 90°，OE = OF， ∴ 四边形 OECF 是正方形. ∴ OE = OF = EC = FC = 1. ∴ BC = BE + EC = 4. (2) 若 BE = AC = 3，⊙O 的半径是 1，求图中阴影部分的面积. 又∵ AC = 3. ∴ 考点五 与圆有关的计算 例7 (河南)如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为 1，点 A，B，D 均在小正方形的顶点上，且点 B，C 在 弧 AD 上，∠BAC = 22.5°，则 弧 BC 的长为____. 4. 如图，在等腰 △ABC 中，∠BAC=120°，AD 是 ∠BAC 的平分线，且 AD = 6，以点 A 为圆心，AD长为半径画弧 EF，交 AB 于点 E，交 AC 于点 F. (1)求图中阴影部分的面积； 练一练 解：(1) 在等腰 △ABC 中，∠BAC=120° ∴∠B = 30°. ∵ AD 是 ∠BAC 的平分线， ∴ AD⊥BC，BD = CD. ∴ AB = 2AD =12.∴BD= . (2) 将阴影部分剪掉，余下扇形 AEF，将扇形AEF 围成一个圆锥的侧面，AE 与 AF 正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高 h. (2) 根据题意得： 这个圆锥的高 见《学练优》或《新领程》对应课时练习 课后作业 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $