22.1.1 二次函数（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（人教版）

null 二次函数的图象和性质 实际问题与二次函数 二次函数 二次函数 二次函数 y = ax2 的图象和性质 新知一览 二次函数与一元二次方程 二次函数 y = a(x - h)2 + k 的图象和性质 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质 22.1.1 二次函数 第二十二章 二次函数 人教版九年级（上） 2 新课导入 迪拜音乐喷泉是世界上最大的喷泉，也是最壮观的喷泉．观察视频中的喷泉有时会形成一条条曲线．这些曲线能否用函数关系式表示？ 点击视频开始播放 复习导入 1.下列函数中哪些是一次函数？为什么？(x 是自变量) (4) y = kx + 1； (5) y2 = x； (6) y = 2x + 1. 不是，等式右边是分式. 不是，x 最高次数是二次. 不一定是，缺少 k ≠ 0 的条件. 不是，函数是每个唯一的 x 都有唯一对应的 y 值. y = kx + b ( k≠0 ) ； 知识点1： 二次函数的相关概念 探究新知 问题1 正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x，表面积为 y，则 y 关于 x 的关系式为 . y = 6x2 x 问题2 n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？ 解： 这个关系式是函数关系式吗？ n 1 2 3 n-1 ... n 个球队 × (n - 1)个球队 2 (循环) = 总场数 对于 n 的每一个确定的值，m 都有一个唯一确定的值与其对应值，即 m 是 n 的函数. 一年后 增加 x 倍 问题3 某种产品现在的年产量是 20 t，计划今后两年增加产量. 如果每年都比上一年的产量增加 x 倍，那么两年后这种产品的产量 y 将随计划所定的 x 的值而确定，y 与 x 之间的关系怎样表示？ 20(1 + x) 20(1 + x)2 再过一年后 增加 x 倍 原产量是 20 分析： 两年后 答：y = 20x2 + 40x + 20. y 是 x 的函数 同学们，以小组的形式讨论，并由每组代表总结. 问题 1~3 中函数关系式有什么共同点? y = 6x2 y = 20x2 + 40x + 20 想一想 温馨提示：类比一次函数 y = kx + b (k≠0)的特征. ①自变量的最高次项的次数：1 ②最高次项系数：k，且 k≠0 ③两个未知数，且等式两边是整式 y = 6x2 自变量的最高次项 最高项系数 函数解析式 6 是 2 2 2 y = 20x2 + 40x + 20 那么这类函数我们怎么定义？ 等式两边是否是整式 20 是 是 合作探究 二次项系数 自变量 归纳总结 二次函数的定义 一般地，形如 y = ax² + bx + c (a，b，c 是常数，a≠0) 的函数叫做二次函数. 解析式 y = ax² + bx + c 一次项系数 常数项 同学们，可以自己举出具体的二次函数吗？ 例1 下列函数中哪些是二次函数? 为什么? (x 是自变量) ①y = (x + 3)² − x²； ② y = 3 − 2x²； ③ y = x2 + 3x； ④ ； ⑤ y = x² + x³ + 25； ⑥ y = ax2 + bx + c. 不一定是，缺少 a ≠ 0 的条件. 不是，等式右边是分式. 不是，x 的最高次数是 3. 典例精析 y = 6x + 9 方法归纳 (1) 将函数解析式右边整理为含自变量的代数式，左边是因变量的形式； (2) a，b，c 为常数，且 a≠0； (3) 等号左边是因变量 y，右边是关于自变量 x 的整式； (4) 等式的右边自变量的最高次数为 2. 判断一个函数是否为二次函数的步骤： 链接中考 1. (武汉)下列函数中，是二次函数的是( ) A. y = 8x2 + 1 B. y = 8x + 1 D. A 归纳总结 y = 6x2 y = 20x2 + 40x + 20 y = ax² + bx + c (a≠0) y = 3 − 2x² y = ax² + c (a≠0) y = ax² (a≠0) y = ax² + bx (a≠0) y = (x − 1)2 − 1 b = 0 c = 0 b = 0，c = 0 二次函数的一般形式： 特殊形式 成立条件 函数解析式 合作探究 典例精析 例2 若函数 是二次函数， 求 m 的值. ∴ m = 3. 总结 本题易忽略二次项系数不为 0 这一限制条件，从而得出 m = -1 的错误答案. 链接中考 2. (西湖区月考) 已知 ( m 为常数)，根据下列条件求 m 的值： (1) y 是 x 的一次函数； (2) y 是 x 的二次函数； ∴ m = 1. (2) y 是 x 的二次函数，只须 m2 - m≠0. ∴ m≠1 且 m≠0. 解： (1) 由题意得 知识点2： 根据实际问题列二次函数关系式 例3 如图，用一段长为 30 米的篱笆围成一个一边靠墙 (墙的长度不限) 的矩形菜园 ABCD，设 AB 边长为 x 米，求菜园的面积 y (单位：平方米) 与 x (单位：米) 的函数关系式. x 分析： 矩形面积( y ) = 长×宽 实际问题注意取值范围： 0＜x＜30 练一练 1. 某工厂生产的某种产品按质量分为 10 个档次，第 1 档次 (最低档次) 的产品一天能生产 95 件，每件利润 6 元．每提高一个档次，每件利润增加 2 元，但一天产量减少 5 件. 若生产第 x 档次的产品一天的总利润为 y 元(其中 x 为正整数，且 1≤x≤10)，求出 y 关于 x 的函数关系式. ∴ y＝[6＋2(x－1)][95−5(x－1)]. 解：由题意得，第 x 档次，提高了 (x－1) 档，利润增加了 2(x－1) 元，产量减少了 5(x－1) 件． 即 y＝－10x2＋180x＋400 (其中 x 是正整数，且1≤x≤10). 当堂小结 二次函数 定 义 y = ax² + bx + c(a≠0) 一般形式 形如 y = ax² + bx + c (a，b，c 是常数，______) 的函数叫做二次函数.其中 x 是自变量，a，b，c 分别是函数解析式的_______________、_____________和__________ 特殊形式 y = ax2； y = ax2 + bx； y = ax2 + c (a≠0，a，b，c 是常数) a≠0 二次项系数 一次项系数 常数项 当堂练习 1. 下列函数是二次函数的是( ) A．y＝2x＋1 B． C．y＝3x2＋1 D． C 2. 把 y = (2 - 3x)(6 + x) 变成 y = ax² + bx + c 的形式， 二次项为_____，一次项系数为_____，常数项 为 . -3x2 -16 12 3. 已知二次函数 . (1) 求 k 的值； (2) 当 x = 0.5 时，y 的值是多少？ 解得 k = 2. 将 x = 0.5 代入函数关系式 y = x² + 2x - 1，得 y = (0.5)² + 2×0.5 - 1 = 0.25. (2) 由 (1) 得，y = x² + 2x - 1. 解： (1) 由题意，得 4. 矩形的周长为 16 cm，它的一边长为 x cm，面积为 y cm2. (1) 写出 y 与 x 之间的函数解析式及自变量 x 的取值范围； (2) 当 x = 3 时，求矩形的面积. 解：(1) y＝(8 − x)x＝−x2＋8x (0＜x＜8). (2) 当 x＝3 时，y＝−32＋8×3＝15 (cm2) . ∴ 矩形的面积是 15 cm2. 见《学练优》或《新领程》对应课时练习 课后作业 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $