3.2 代数式的值 课件 2025-2026学年人教版数学七年级上册

3.2 代数式的值 学习目标 01 学习目标 1. 理解代数式的值的概念，会用数值代替代数式中的字母求代数式的值。 2. 知道不同字母取值会使代数式的值不同，能利用常见公式进行相关计算。 3. 通过学习代数式的值，培养运算能力，体会从一般到特殊的数学思想。 课堂导入 01 课堂导入 在实际问题中，我们常通过字母表示未知数，建立代数式来描述数量关系。例如，用表示学校购置排球的总数，其中代表班级数。当给定具体的班级数时，代入数值便可算出结果。这一过程体现了“代数式的值”的意义：用数值代替代数式中的字母，依照运算关系计算得出的结果。它帮助我们将抽象的字母转化为具体的问题解答，是数学建模的重要步骤。 探究新知-代数式的值 01 一、代数式的值的含义 在解决实际问题时，我们常常会用到代数式来表示数量之间的关系。例如，学校要购置排球，每班配5个，学校另外留20个。若记全校的班级数为 ，则需要购置的排球总数可以表示为代数式： 这个代数式中包含了一个字母 ，它代表班级数。当我们知道具体的班级数时，就可以将这个数值代入代数式中，进行计算，从而得到实际需要购置的排球总数。 例如： 当班级数 时，代入代数式得： 当班级数 时，代入代数式得： 由此可以看出，当字母 取不同的数值时，代数式 的值也会随之变化。 二、代数式的值的定义 一般地，用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值。 例如： 对于代数式 ，当 时，代数式的值为： 对于代数式 ，当 时，代数式的值为： 因此，代数式的值依赖于代数式中字母所取的具体数值。 三、公式在实际问题中的应用 有些同类事物中的数量关系可以用公式来描述。例如，在行程问题中，用 表示路程， 表示速度， 表示时间，就可以得到路程公式： 这个公式表示了路程、速度和时间三者之间的关系。只要知道其中两个量的值，就可以利用公式求出第三个量的值。 例如： 若速度 千米/小时，时间 小时，则路程为： 在小学阶段，我们已经学习了许多常见的公式，如： 长方形的面积公式：（其中 、 分别为长和宽） 正方形的面积公式：（其中 为边长） 三角形的面积公式：（其中 为底， 为高） 圆的面积公式：（其中 为半径） 长方体的体积公式：（其中 、、 分别为长、宽、高） 这些公式在解决实际问题时非常有用，通过代入已知数值，可以快速求出未知量的值。 四、代数式的值与实际问题的联系 代数式的值不仅是一个数学概念，它在实际问题中也有广泛的应用。通过代数式，我们可以将现实问题抽象为数学表达式，再通过代入具体数值进行计算，从而解决问题。 例如： 某商店每卖出一件商品可获利 8 元，固定成本为 100 元。若卖出 件商品，则总利润可表示为代数式： 当 时，利润为： 这说明当卖出 20 件商品时，可以获得 60 元的利润。 通过这样的分析，我们可以看到代数式的值在解决实际问题中的重要作用。 新知巩固-代数式的值 01 题目 当 时，多项式 的值为（ ） 选项： A． B． C． D． 解答 我们已知： 我们要求： -- 第一步：设，尝试构造一个关于的代数式。 我们观察到 是一个形如 的形式，这提示我们可能可以构造一个关于 的二次方程。 令： 两边平方得： 这是一个关于 的二次方程。 解答 第二步：尝试化简多项式 我们希望将 表达成低次多项式的形式，利用上面的二次方程进行降次。 从上面的等式： 两边同时乘以 得： 再代入 得： 所以： 解答 第三步：代入指数部分 由于指数是奇数，所以： -- 最终答案： 对应选项为 C。 总结 1.题目考查内容 ①代数式的值的计算 ②利用代数变形化简高次多项式 ③利用已知条件构造方程进行降次 ④幂的符号判断（奇数次幂保留负号） 2.题目求解要点 ①通过 构造出关于 的二次方程 ②利用方程对 进行降次处理，化简原式 ③将化简后的结果代入指数表达式，注意负号的处理 ④掌握幂的符号规律：负数的奇数次幂仍为负数 3.同类型题目解题步骤 ①观察代数式结构，尝试构造方程或恒等式 ②利用构造的方程对高次项进行降次 ③逐步化简原式，直到能直接代入数值或表达式 ④代入后计算幂的结果，注意底数符号与指数奇偶性对结果的影响 新知应用 01 例1题目 根据下列的值，分别求代数式的值： (1) ; (2) . 解答 (1) 当时， 代入代数式得： (2) 当时， 代入代数式得： 准确代入给定的数值 按照运算顺序进行计算（先乘除后加减） 注意分数的运算与通分 2.题目求解要点 代数式的求值 有理数的四则运算 1.题目考查内容 总结 总结 例2题目： 根据下列的值，分别求代数式的值： (1) ; (2) . 解答： (1) 当时， 代入代数式得： (2) 当时， 代入代数式得： 注意负号在平方中的处理（负数平方为正） 分数除法中符号的处理 分数加减时要统一分母 2.题目求解要点 代数式的求值 分数的运算 负数的平方与除法运算 1.题目考查内容 总结 如图3.2-1，某学校操场最内侧的跑道由两段直道和两段半圆形的弯道组成，其中直道的长为，半圆形弯道的直径为。 (1) 用代数式表示这条跑道的周长； (2) 当时，求这条跑道的周长（π取3.14，结果取整数）。 例3题目 解答 (1) 跑道由两段直道和两段半圆形弯道组成。 两段直道的总长度为： 两段半圆形弯道组成一个完整的圆，其周长为： 因此，跑道的总周长为： (2) 当，π取3.14时， 代入公式得： 结果取整数为： 理解图形结构，将实际问题转化为代数表达 掌握圆的周长公式 注意单位和结果的取舍（四舍五入） 2.题目求解要点 代数式的建立与应用 圆的周长公式 实际问题的数学建模 1.题目考查内容 总结 例4题目 一个三角尺的形状和尺寸如图3.2-2所示，用代数式表示这个三角尺的面积，当时，求这个三角尺的面积（π取3.14）。 解答： 三角尺的面积等于三角形的面积减去圆的面积。 三角形的面积为： 圆的面积为： 因此，三角尺的面积为： 当时， 代入公式得： 例4题目 明确图形结构，理解面积的组合关系 掌握三角形面积公式和圆面积公式 注意代数式中变量的代入与计算顺序 2.题目求解要点 代数式的建立与应用 三角形和圆的面积公式 图形面积的组合与分解 1.题目考查内容 总结 课堂总结 01 课堂总结 （1）用数值代替代数式中的字母，按代数式运算关系算出的结果叫代数式的值，字母取值不同，代数式的值一般不同，如，取15和20时结果不同。 （2）同类事物数量关系常用公式描述，如行程问题公式。小学学过的图形面积、体积等公式，在解决问题时常用于计算。 $