专题12 三角函数的图像与性质（九大题型精练）-2025-2026学年高一数学上学期人教A版必修第一册

专题12 三角函数的图像与性质 重难点题型1 求三角函数的定义域 1．（24-25高一上·云南昆明·期末）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 2．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3．（2024高一上·全国·专题练习）函数定义域为（    ） A． B． C． D． 4．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．函数的定义域是 A． B． C． D． 6．函数的定义域为 A． B． C． D． 重难点题型2 求三角函数的值域 1．（25-26高三上·安徽·开学考试）函数的值域中不包括（　　） A．-2 B．-1 C．2 D．5 2．（24-25高二下·福建莆田·期末）已知函数的最小正周期为，则在区间上的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 3．（24-25高一下·河南南阳·阶段练习）函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·云南红河·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·全国·课前预习）函数在区间上的最大值为 ． 6．（24-25高一下·上海普陀·期末）函数，的值域为 ． 重难点题型3 求三角函数的单调性 1．（2025高三·全国·专题练习）下列区间中，函数不单调的区间是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·单元测试）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）函数在上的单调递增区间为 ． 4．（24-25高一下·宁夏固原·期末）求函数的周期 .单调递增区间 . 5．（25-26高三上·福建·开学考试）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)求的单调递减区间； (3)求函数的值域. 6．（25-26高三上·四川内江·开学考试）已知函数的最小正周期为， (1)求的值，及单调递增区间： (2)是否存在锐角，，使，同时成立?若存在，求出角，的值；若不存在，请说明理由. 7．（25-26高三上·新疆·开学考试）已知函数（，，）的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)求的单调递减区间． 8．（25-26高二上·云南·开学考试）已知函数的最小正周期为π. (1)求的单调递减区间； (2)将的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的图象关于原点对称，求的值； (3)若，求的值域. 重难点题型4 根据三角函数的单调性求参数 1．（24-25高一下·山西临汾·期末）已知函数（其中）在区间上单调，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏苏州·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）若函数在上单调递减，则的最大值为（   ） A． B． C． D．1 4．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数的图象关于原点对称，且在上单调，在处取得极值，则（   ） A．1 B． C．2 D．3 5．（2024·贵州·模拟预测）若函数在上单调，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 6．（25-26高三上·北京平谷·开学考试）定义在上的函数在区间上单调递增，则ω的取值范围是 7．（24-25高一下·广东佛山·期中）已知函数在上单调递增，则的取值范围是 ． 重难点题型5 求三角函数的周期 1．若函数的最小正周期大于，则的解析式可以为（    ） A． B． C． D． 2．若函数的图象经过点，则的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知函数的最小正周期为，其中，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 4．（25-26高一上·全国·单元测试）函数的最小正周期为（    ） A．4 B． C． D．1 5．（24-25高一下·辽宁大连·期末）已知函数的周期为，且在上单调递增，则可以是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·全国·课前预习）函数的周期为 ． 7．函数的最小正周期为 ，值域为 . 8．（24-25高一下·上海黄浦·期末）函数的最小正周期是 ． 9．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）函数的最小正周期是，则 ． 10．（24-25高一下·上海宝山·期末）函数的最小正周期是 . 重难点题型6 三角函数的奇偶性 1．（2025高三·天津·专题练习）若为偶函数，则实数（    ） A． B．0 C．2 D．4 2．（24-25高一下·湖北宜昌·期末）下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）若函数为奇函数，则下列能满足条件的取值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·辽宁锦州·期末）下列函数为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·湖南湘潭·期末）下列函数是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·贵州铜仁·期末）已知函数是奇函数，则 ． 7．（2025·甘肃白银·模拟预测）函数是偶函数，则的最小正值为 ． 8．已知，若，则 ． 9．（24-25高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）若函数为奇函数，则的最小值为 . 重难点题型7 三角函数的对称性 1．（湖南省益阳市2025-2026学年高三上学期9月教学质量监测数学试题）已知函数的图象关于直线对称，则的取值可以是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（25-26高三上·北京房山·开学考试）若函数关于对称，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2025高三·全国·专题练习）若函数两对称中心间的最小距离为，则等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25高二下·江西宜春·阶段练习）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称 C．在区间上单调递减 D．若的图象关于直线对称，则的最小值为 5．（2025高三上·广东深圳·专题练习）（多选题）已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．为函数图象的一条对称轴 B．在区间上单调递增 C．在区间上的值域为 D．在区间上有3个零点 6．（25-26高三上·河北衡水·开学考试）（多选题）已知函数，则（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于点对称 C．函数在区间上单调递减 D．将函数的图象向右平移个单位，所得的函数图象关于轴对称 7．已知函数的最小正周期为，给出以下结论： ① ②的对称轴方程为 ③“”是“”的充要条件 ④“”是“为偶函数”的充要条件 则上述结论中正确的结论是 （写出所有正确结论的编号）． 8．（24-25高一下·广东中山·阶段练习）写出函数的一个对称中心 ． 重难点题型8 根据图像，求三角函数的解析式 1．（2025高三·全国·专题练习）若函数的部分图象如图所示，则的解析式和的值分别为（    ）． A． B． C． D． 2．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，若方程在上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·单元测试）如图，已知函数，点A，B是直线与函数的图象的两个交点，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·北京顺义·期末）已知函数（，）部分图象如图所示.其中A，B是直线与曲线相邻的两个交点.若，则 ， . 5．（25-26高一上·全国·单元测试）如图，已知函数，点是直线与函数的图象的两个交点，若，则 ．    6．（2025·上海·三模）如图是函数的图象，则的值为 . 重难点题型9 三角函数的图像与性质的综合应用 1．（24-25高二下·福建福州·期末）已知，曲线与，相邻的三个交点构成一个等腰直角三角形，求的值（    ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在单调，且是的一个零点，直线是图象的一条对称轴，则ω的最大值为（    ） A．18 B．17 C．14 D．13 3．（24-25高一下·四川达州·期末）已知函数在区间上的最小值为，则所有满足条件的正整数之和为（   ） A．9 B．7 C．5 D．4 4．（2025·重庆·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，为图象与轴交点且满足为等边三角形，则（    ） A．1 B． C． D．2 5．（24-25高一下·山东日照·阶段练习）函数的部分图象如图所示，且，对不同的，若，有，则下列正确的序号是 . ①        ② ③在区间上单调递增    ④在区间上无最小值 6．（24-25高一下·四川眉山·期中）已知函数（，），若为奇函数，为偶函数，且在上没有最小值，则的最大值是 . 7．（24-25高一下·江西萍乡·期中）若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为 . 8．（25-26高二上·湖南常德·开学考试）已知函数的图象关于直线对称，其最小正周期为． (1)求的对称中心； (2)若函数在上恰有8个零点，求的最小值； (3)设函数，证明：有且只有一个零点，且． 9．（25-26高二上·湖南长沙·开学考试）已知函数，，且在区间上单调递增，记的最大值为，设. (1)求的解析式； (2)在中，，，其内切圆半径为，所在平面内一点满足. （ⅰ）求的最大值； （ii）当取得最大值时，求长的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 三角函数的图像与性质 重难点题型1 求三角函数的定义域 1．（24-25高一上·云南昆明·期末）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求含sinx(型)函数的定义域、辅助角公式、解正弦不等式 【分析】化简得出，然后解不等式，可得出函数的定义域. 【详解】因为， 对于函数有，可得， 解得， 故函数的定义域为. 故选：D. 2．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域、求含sinx(型)函数的定义域 【分析】由对数真数大于零和根式被开方数大于或等于零得不等式组，解不等式，取交集，得到函数的定义域. 【详解】由题知， 由，解得 由解得，， 当时，由，解得. 当时，区间和无交集； 当时，区间和无交集； 所以函数的定义域. 故选：A. 3．（2024高一上·全国·专题练习）函数定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域、求含cosx型的函数的定义域 【分析】由对数函数定义域及分式函数定义域可得结果. 【详解】依题意有，即，且， ∴函数的定义域为． 故选：C． 4．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求含cosx型的函数的定义域、求含sinx(型)函数的定义域 【解析】使函数式有意义，即，，求解． 【详解】由得所以. 故选：C. 【点睛】本题考查函数的定义域，即求使函数有意义的取值范围．求函数定义域的依据 (1)整式函数的定义域为R； (2)分式的分母不为零； (3)偶次根式的被开方数不小于零； (4)对数函数的真数必须大于零； (5)正切函数y＝tan x的定义域为； (6)x0中x≠0； (7)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求． 5．函数的定义域是 A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】解余弦不等式、求含cosx型的函数的定义域 【分析】由题意得出，然后利用余弦函数的图象解此不等式即可. 【详解】由题意可得， 解得. 故选：D.    【点睛】本题考查三角函数定义域的求解，解题时要熟悉三角函数图象，考查计算能力，属于中等题. 6．函数的定义域为 A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求含tanx的函数的定义域 【分析】本题是考察复合函数定义域，既要考虑到三角函数的取值范围，也要考虑到带根号的式子的取值范围． 【详解】由题可知，， ，，   ， ． 【点睛】在解决求复合函数定义域问题的时候，要考虑到所有组合而成的基本函数的定义域以及相关的性质问题． 重难点题型2 求三角函数的值域 1．（25-26高三上·安徽·开学考试）函数的值域中不包括（　　） A．-2 B．-1 C．2 D．5 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】利用正弦函数的值域求得函数值域即可求解. 【详解】因为，所以的值域为， 故不包括． 故选：A. 2．（24-25高二下·福建莆田·期末）已知函数的最小正周期为，则在区间上的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由正弦（型）函数的周期性求值 【分析】先利用正弦函数的周期性得到，进而得出，再利用换元法结合正弦函数性质求解最大值即可. 【详解】因为函数的最小正周期为， 所以，解得，得到， 因为，所以，得到， 令，则可化为， 由正弦函数性质得在上单调递增， 在上单调递减，可得， 即在区间上的最大值为，故B正确. 故选：B 3．（24-25高一下·河南南阳·阶段练习）函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求cosx(型)函数的值域 【分析】根据的范围直接去求的范围即可. 【详解】，，， ，， ，即， 函数，的值域为. 故选：D. 4．（24-25高一上·云南红河·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求cosx(型)函数的值域 【分析】利用整体法，结合余弦函数的性质即可求解. 【详解】因为，所以，则， 故，故的值域为. 故选:C. 5．（25-26高一上·全国·课前预习）函数在区间上的最大值为 ． 【答案】4 【难度】0.94 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】先求的范围，结合正弦函数的性质和范围可得答案. 【详解】当时，， 所以函数在，即时取得最大值，最大值为． 故答案为：4 6．（24-25高一下·上海普陀·期末）函数，的值域为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求cosx(型)函数的值域 【分析】先计算出时的范围，即可得该函数值域. 【详解】当时，，则. 故答案为：. 重难点题型3 求三角函数的单调性 1．（2025高三·全国·专题练习）下列区间中，函数不单调的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求sinx型三角函数的单调性 【分析】根据正弦函数的性质分别求出的递增区间和递减区间，再判断各项对应区间是否单调，即可得. 【详解】由，，得，， 当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为； 由，，得，， 当时，的单调递减区间为； 当时，的单调递减区间为， 所以在区间不单调. 故选：B 2．（25-26高一上·全国·单元测试）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】复合函数的单调性、求sinx型三角函数的单调性 【分析】根据题意，确定函数的定义域，结合复合函数单调性可知，的单调递增区间即为的单调递增区间，再利用正弦型函数单调区间整体代入求解即可. 【详解】由题意可得，则， 解得，故的定义域为， 因为单调递增，所以的单调递增区间即为的单调递增区间， 令（），解得， 则的单调递增区间是． 故选：B. 3．（2025高三·全国·专题练习）函数在上的单调递增区间为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求sinx型三角函数的单调性 【分析】根据题意，利用正弦型函数的图象与性质，求得单调递增区间，进而得到答案. 【详解】由函数， 令，可得， 当时，可得；当时，可得， 所以在上的单调递增区间为． 故答案为：. 4．（24-25高一下·宁夏固原·期末）求函数的周期 .单调递增区间 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求sinx型三角函数的单调性 【分析】利用正弦函数的周期性及单调性分别求解即得. 【详解】函数的周期； 当时，，而正弦函数在上单调递增， 则由，解得，所以所求单调递增区间是. 故答案为：； 5．（25-26高三上·福建·开学考试）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)求的单调递减区间； (3)求函数的值域. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求sinx型三角函数的单调性、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】（1）根据图中对称轴与对称中心的差值与周期的关系，先求出，，再代入最高点求，注意范围； （2）根据正弦函数的性质，整体法求解单调区间即可； （3）利用两角和的正弦公式，化简出，再求值域即可. 【详解】（1）由图可得，，则， 因为，所以，则， 将点的坐标代入解析式可得， 则，解得， 因为，所以， 则. （2）令，解得， 所以的单调递减区间为. （3） ， 所以的值域为. 6．（25-26高三上·四川内江·开学考试）已知函数的最小正周期为， (1)求的值，及单调递增区间： (2)是否存在锐角，，使，同时成立?若存在，求出角，的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)，； (2)存在，. 【难度】0.65 【知识点】三角恒等变换的化简问题、求sinx型三角函数的单调性、给值求角型问题 【分析】（1）根据给定条件，求出，再利用正弦函数单调性求出递增区间. （2）由（1）的条件，结合诱导公式求得，再结合求出即可. 【详解】（1）由函数的最小正周期为，得，因此， ，由，得， 所以的单调递增区间为. （2）由（1）知，，， 依题意，，则， 由，得，于是， 即，整理得， 即，则，即， 由为锐角，得，解得，即，， 所以存在锐角满足题意，. 7．（25-26高三上·新疆·开学考试）已知函数（，，）的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)求的单调递减区间． 【答案】(1) (2)， 【难度】0.65 【知识点】求cosx型三角函数的单调性、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】（1）根据最值可确定，根据最小正周期求出，代入可求得，进而求出的解析式； （2）由，，求出的范围，即可求出的单调递减区间． 【详解】（1）由图可知． 设的最小正周期为T，则，解得， 由，解得，， 将点的坐标代入方程，得， ∴，，解得，， ∵，∴，则． （2）由，， 解得：，， ∴的单调递减区间为， 8．（25-26高二上·云南·开学考试）已知函数的最小正周期为π. (1)求的单调递减区间； (2)将的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的图象关于原点对称，求的值； (3)若，求的值域. 【答案】(1)； (2)； (3). 【难度】0.65 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、求cosx型三角函数的单调性、求cosx(型)函数的值域、由余弦（型）函数的周期性求值 【分析】（1）利用余弦型函数的周期性求得，再利用余弦型函数的单调性求解即可； （2）根据函数图象的变换得到新函数，利用余弦型函数的性质求解即可； （3）根据题意，逐步计算求余弦型函数的值域. 【详解】（1）由，得，所以. 令，，解得，， 所以的单调递减区间为. （2）将的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的图象. 因为的图象关于原点对称，所以，，即，. 因为，所以. （3）由，得. 则，所以. 所以的值域为. 重难点题型4 根据三角函数的单调性求参数 1．（24-25高一下·山西临汾·期末）已知函数（其中）在区间上单调，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数 【分析】由题意可得，，结合解出即可得. 【详解】由题意可得，， 解得且，， 又，则，，则， 故且，故. 故选：A. 2．（24-25高一下·江苏苏州·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数 【分析】正体代入利用正弦函数的单调性结合题意计算可得. 【详解】由，可得， 由题意可得，解得， 因为，所以，所以实数的取值范围是. 故选：A. 3．（25-26高一上·全国·课后作业）若函数在上单调递减，则的最大值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】利用余弦函数的单调性求参数 【分析】利用余弦函数在上是单调递减的，结合相位的整体思想，即可得到不等式求解的范围，从而可判断选项. 【详解】令，因为，所以， 因为函数在上单调递减， 所以函数在上单调递减， 根据余弦函数在上是单调递减的。 则有，解得，所以的最大值为． 故选：A. 4．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数的图象关于原点对称，且在上单调，在处取得极值，则（   ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由cosx（型）函数的值域（最值）求参数、利用余弦函数的单调性求参数、根据极值求参数、由余弦（型）函数的奇偶性求参数 【分析】根据余弦型函数的奇偶性、对称性、单调性、周期性求解即可. 【详解】由题意可得函数为奇函数，所以，， 又因为在处取得极值， 即关于对称，所以，，即，， 由为奇函数且在上单调，可得在上单调， 所以的周期，所以，又，所以. 故选：B. 5．（2024·贵州·模拟预测）若函数在上单调，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】利用余弦函数的单调性求参数 【分析】先由求出的范围，然后由余弦函数的单调性建立不等式求解即可. 【详解】，则， 函数在上单调， 所以，解得：， 所以的最大值为. 故选：D 6．（25-26高三上·北京平谷·开学考试）定义在上的函数在区间上单调递增，则ω的取值范围是 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数 【分析】根据题意得出即可求出范围，再求出，进而根据范围求出的范围，最后结合正弦函数的性质即可求出. 【详解】由题意可知，，则， 因，则， 又，所以，， 因函数在区间上单调递增， 则结合正弦函数的性质可知， ，得， 故ω的取值范围是. 故答案为： 7．（24-25高一下·广东佛山·期中）已知函数在上单调递增，则的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用余弦函数的单调性求参数 【分析】根据题意，得到，求得，再由，结合余弦型函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数在上单调递增， 可得，可得，即，可得， 又由，可得， 则满足，解得， 当时，可得，当时，可得， 当时，不合题意； 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 重难点题型5 求三角函数的周期 1．若函数的最小正周期大于，则的解析式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】求余弦（型）函数的最小正周期、求含sinx的函数的最小正周期、求正切（型）函数的周期 【分析】根据三角函数的周期性公式求得结果. 【详解】函数的最小正周期为； 的最小正周期为；的最小正周期为；的最小正周期为. 故选：D. 2．若函数的图象经过点，则的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】求含sinx的函数的最小正周期 【分析】，据此求出ω的表达式，再根据ω的范围求得ω的值即可求最小正周期. 【详解】依题意可得，则，得. 因为，所以，. 故选：A. 3．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知函数的最小正周期为，其中，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求余弦（型）函数的最小正周期 【分析】利用余弦型函数的周期公式计算即得. 【详解】依题意，，因，则得. 故选：B. 4．（25-26高一上·全国·单元测试）函数的最小正周期为（    ） A．4 B． C． D．1 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】求余弦（型）函数的最小正周期 【分析】根据余弦函数的周期进行求解即可. 【详解】的最小正周期． 故选：A. 5．（24-25高一下·辽宁大连·期末）已知函数的周期为，且在上单调递增，则可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求cosx型三角函数的单调性、求正切（型）函数的周期、求sinx型三角函数的单调性 【分析】结合三角函数的周期性定义和三角函数图象逐选项判断即可. 【详解】对于A，，结合正弦函数图象可知，时，单调递增，时，单调递减，故A错误； 对于B，，，所以周期为， 因为，所以，所以， 结合正弦函数图象，函数在上单调递增，故B正确； 对于C，，因为，所以，结合余弦函数图象可知， 函数在单调递减，在单调递增，故C错误； 对于D，，当时，函数无意义，所以在上不单调递增，故D错误， 故选：B. 6．（24-25高一上·全国·课前预习）函数的周期为 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求含sinx的函数的最小正周期 【分析】根据正弦函数的性质及函数图象的变换判断即可. 【详解】因为正弦函数的最小正周期为， 的图象是由的图象关于轴翻折，再向上平移一个单位得到， 翻折和平移时周期不变，所以的周期为． 故答案为： 7．函数的最小正周期为 ，值域为 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求含sinx的函数的最小正周期、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】根据三角函数的周期性和值域，进行求解即可. 【详解】周期， 由， 所以 ， 所以值域为. 故答案为：，. 8．（24-25高一下·上海黄浦·期末）函数的最小正周期是 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求余弦（型）函数的最小正周期 【分析】利用余弦型函数的最上正周期公式计算即可. 【详解】函数的最小正周期是. 故答案为：. 9．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）函数的最小正周期是，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由余弦（型）函数的周期性求值 【分析】利用三角函数的周期公式直接求出即可. 【详解】因为函数的最小正周期是， 所以可得，解得， 故答案为：. 10．（24-25高一下·上海宝山·期末）函数的最小正周期是 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求正切（型）函数的周期 【分析】利用正切函数的周期公式直接求解. 【详解】函数的最小正周期是. 故答案为： 重难点题型6 三角函数的奇偶性 1．（2025高三·天津·专题练习）若为偶函数，则实数（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求参数、诱导公式五、六、由正弦（型）函数的奇偶性求参数 【分析】根据偶函数的定义，由即可求解. 【详解】由得： 由题意可知： 可得：恒成立， 所以， 故选：B. 2．（24-25高一下·湖北宜昌·期末）下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求含sinx的函数的奇偶性、求cosx型三角函数的单调性、求sinx的函数的单调性、求含cosx的函数的奇偶性 【分析】根据基本初等函数的性质，逐一判断各选项正误. 【详解】是偶函数，所以A错误； 是奇函数，且在上单调递增，所以B正确； 是偶函数，所以C错误； 在和上无定义，所以D错误； 故选：B. 3．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）若函数为奇函数，则下列能满足条件的取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由余弦（型）函数的奇偶性求参数 【分析】由三角函数为奇函数得，即可得. 【详解】由题设，则， 显然时，而、、均不可能. 故选：C 4．（24-25高一下·辽宁锦州·期末）下列函数为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求正弦（型）函数的奇偶性、求余弦（型）函数的奇偶性、函数奇偶性的定义与判断、求正切（型）函数的奇偶性 【分析】利用函数奇偶性的定义，以及三角函数的性质，逐项判定，即可求解， 【详解】函数的定义域为关于原点对称， 又，所以是偶函数，故A不符合题意； 函数的定义域为关于原点对称，又， 所以是奇函数，故B符合题意， 函数的定义域为关于原点对称，又， 所以且，所以是非奇非偶函数，故C不符合题意； 函数的定义域为关于原点对称，又，所以是偶函数，故D不符合题意． 故选：B 5．（24-25高一上·湖南湘潭·期末）下列函数是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求正弦（型）函数的奇偶性、判断五种常见幂函数的奇偶性、求余弦（型）函数的奇偶性、求正切（型）函数的奇偶性 【分析】直接根据各个函数的奇偶性逐个判断即可. 【详解】均是奇函数，是偶函数． 故选：B. 6．（24-25高二下·贵州铜仁·期末）已知函数是奇函数，则 ． 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求参数、由正弦（型）函数的奇偶性求参数 【分析】根据奇偶函数的性质可得函数是偶函数，再根据偶函数的定义求解即可. 【详解】因为是奇函数，是奇函数， 所以函数是偶函数，则，所以． 故答案为：1． 7．（2025·甘肃白银·模拟预测）函数是偶函数，则的最小正值为 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】由正弦（型）函数的奇偶性求参数 【分析】根据偶函数定义及正弦函数性质可得当时，，则，.给赋值，即可求得的最小正值. 【详解】由于是偶函数，所以，， 故，，所以当时，取最小正值，最小正值为． 故答案为：. 8．已知，若，则 ． 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】求函数值、函数奇偶性的应用、求余弦（型）函数的奇偶性、求正切（型）函数的奇偶性 【分析】根据给定条件，利用奇函数的性质求出目标值. 【详解】函数，而， 则 ， 所以. 故答案为：1 9．（24-25高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）若函数为奇函数，则的最小值为 . 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】由正切（型）函数的奇偶性求参数 【分析】根据奇函数的定义,求得,再根据,即可得答案. 【详解】因为函数为奇函数,所以 由得,, 即,所以, 解得,,因为,取,得,所以的最小值为. 故答案为: 重难点题型7 三角函数的对称性 1．（湖南省益阳市2025-2026学年高三上学期9月教学质量监测数学试题）已知函数的图象关于直线对称，则的取值可以是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用正弦函数的对称性求参数 【分析】由正弦型函数的对称性知，即可求解. 【详解】由题意，，得， 当时，， 故选：B. 2．（25-26高三上·北京房山·开学考试）若函数关于对称，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】利用正弦函数的对称性求参数 【分析】根据正弦函数的对称性可得，再将代入求解即可. 【详解】函数关于对称，则其对称轴满足，为整数， 将代入，得，解得，又因为，所以当时，取得最小值为3， 因此，的最小值为3，所以B正确. 故选：B. 3．（2025高三·全国·专题练习）若函数两对称中心间的最小距离为，则等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】利用cosx（型）函数的对称性求参数、由正弦（型）函数的周期性求值 【分析】根据余弦型函数的性质及周期公式求解即可. 【详解】因为函数两对称中心间的最小距离为， 所以，则， 所以，解得． 故选：A. 4．（24-25高二下·江西宜春·阶段练习）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称 C．在区间上单调递减 D．若的图象关于直线对称，则的最小值为 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求余弦（型）函数的最小正周期、求cosx（型）函数的对称轴及对称中心、cosx（型）函数的对称轴与单调性、最值的关系 【分析】求的最小正周期可判断A；由的对称中心的性质可判断B；求出的单调递减区间可判断C；求出的对称轴方程可判断D． 【详解】的最小正周期为，A错误； 由，B错误； 当时，， 所以在区间上单调递增，C错误； 由的图象关于直线对称， 得的最小值为，D正确． 故选：D． 5．（2025高三上·广东深圳·专题练习）（多选题）已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．为函数图象的一条对称轴 B．在区间上单调递增 C．在区间上的值域为 D．在区间上有3个零点 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】求函数零点或方程根的个数、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求含sinx(型)函数的值域和最值、求sinx型三角函数的单调性 【分析】对于A，通过判断是否在时，可取得最值，可判断选项正误； 对于BC，由正弦函数单调性可判断选项正误；对于D，当，，然后由正弦函数零点情况可判断选项正误. 【详解】对于A，时，，此时函数取最小值，故为函数图象的一条对称轴，故A正确； 对于B，时，，而在上单调递增，在上单调递减，故B错误； 对于C，时，，在上单调递减，在上单调递增， 则，故C正确； 对于D，，，因在上只有两个零点， 且由，即；由，即， 即在区间上有2个零点，故D错误. 故选：AC 6．（25-26高三上·河北衡水·开学考试）（多选题）已知函数，则（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于点对称 C．函数在区间上单调递减 D．将函数的图象向右平移个单位，所得的函数图象关于轴对称 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】求余弦（型）函数的最小正周期、求cosx（型）函数的对称轴及对称中心、cosx（型）函数的对称轴与单调性、最值的关系、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】根据余弦型函数性质求最小正周期、对称中心、整体法判断区间单调性，根据图象平移写出解析式判断奇偶性，即可知各项正误. 【详解】对于A选项，由函数的最小正周期为，故A选项正确； 对于B选项，由，得， 即的对称中心为，其中. 当时，，故B选项错误； 对于C选项，当时，有，因为在上单调递减，故C选项正确； 对于D选项，平移后的函数为 ， 函数的图象关于原点对称，故D选项错误. 故选：AC 7．已知函数的最小正周期为，给出以下结论： ① ②的对称轴方程为 ③“”是“”的充要条件 ④“”是“为偶函数”的充要条件 则上述结论中正确的结论是 （写出所有正确结论的编号）． 【答案】①③ 【难度】0.65 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、诱导公式五、六、充要条件的证明 【分析】由诱导公式变形判断①；由正弦函数的对称轴求解判断②；根据充要条件的判断③；根据充要条件的定义和偶函数的定义、诱导公式判断④. 【详解】对于①，，①正确； 对于②，由，得，②错误； 对于③，由，得，反之由，，③正确； 对于④，由①得，当时，是偶函数， 而当时，函数也为偶函数， “”是“为偶函数”的充分不必要条件，④错误． 故答案为：①③ 8．（24-25高一下·广东中山·阶段练习）写出函数的一个对称中心 ． 【答案】（答案不唯一，） 【难度】0.94 【知识点】求cosx（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】根据给定条件，利用余弦函数的图象性质求出对称中心. 【详解】函数中，令，解得， 取，则该函数的一个对称中心为. 故答案为： 重难点题型8 根据图像，求三角函数的解析式 1．（2025高三·全国·专题练习）若函数的部分图象如图所示，则的解析式和的值分别为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由函数的周期性求函数值、由图象确定正（余）弦型函数解析式、由正弦（型）函数的周期性求值 【分析】根据图象得到，，最小正周期为4，故，并计算出，利用函数周期得到答案. 【详解】由图象知，，最小正周期为4，故，解得， 故，所以，，，，， ，又， 所以 ． 故选：B． 2．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，若方程在上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、三角函数图象的综合应用、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】首先根据函数的图象，可得，，进而可得，.将点代入，结合，即可得.令，则，所以方程在上有两个不相等的实数根等价于函数的图象与直线在上有两个交点.在同一平面直角坐标系下画出函数，的图象与直线，数形结合即可求解. 【详解】根据函数的部分图象，可得，，∴，∴，∴. 由函数经过点，根据五点法作图可得，∴. 又，∴，. 令，则当时，， 所以方程在上有两个不相等的实数根，即方程在上有两个不相等的实数根，等价于函数的图象与直线在上有两个交点.在同一平面直角坐标系下画出函数，的图象与直线如下图所示： 由图可知：方程在上有两个不相等的实数根时，则实数的取值范围为. 故选：B. 3．（25-26高一上·全国·单元测试）如图，已知函数，点A，B是直线与函数的图象的两个交点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】三角函数图象的综合应用、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】设，根据给定条件，结合函数的图象特征求出解析式，进而求出函数值. 【详解】设，由，得，由，得或， 由图知分别在相邻的两个递增与递减区间内，则， 即，解得，由及函数的图象在所在单调区间上递增， 得，即，因此， 所以. 故选：C 4．（24-25高一下·北京顺义·期末）已知函数（，）部分图象如图所示.其中A，B是直线与曲线相邻的两个交点.若，则 ， . 【答案】 2 / 【难度】0.65 【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、利用正弦函数的对称性求参数、由图象确定正（余）弦型函数解析式、由正弦（型）函数的周期性求值 【分析】先根据与周期的关系求出；再利用图象过的点求出；最后将代入函数求. 【详解】已知A，B是直线与曲线的两个相邻交点，且. 设则. 且，则，则， 同理，则，则， 因此，解得. 因为及，则函数的图象过点，可得， 所以，，则，. 由于，则，那么. 将代入可得：. 故答案为：2； . 5．（25-26高一上·全国·单元测试）如图，已知函数，点是直线与函数的图象的两个交点，若，则 ．    【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】三角函数图象的综合应用、由图象确定正（余）弦型函数解析式、由余弦（型）函数的周期性求值 【分析】通过两点间的距离以及三角函数的周期性来求解函数中的参数，进而求出指定点的函数值. 【详解】设，由可得， 令，得或， 即， ，， 由题图可知， 根据图像呈现的函数特征 ，解得， ，， 故． 故答案为：. 6．（2025·上海·三模）如图是函数的图象，则的值为 . 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】利用正弦函数的对称性求参数、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】由函数的图象可求得最小正周期为，进而可求得. 【详解】因为的图象过点，所以，所以， 所以，解得. 故答案为：. 重难点题型9 三角函数的图像与性质的综合应用 1．（24-25高二下·福建福州·期末）已知，曲线与，相邻的三个交点构成一个等腰直角三角形，求的值（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、三角函数图象的综合应用 【分析】利用方程求出三个连续交点，通过数形结合可知只需要满足，从而可求出. 【详解】如图： 先由与相交可得方程：， 因为， 所以，即， 不妨取，可得三个交点的横坐标分别为，，， 所以. 因为为等腰直角三角形，所以斜边边上的中线长为. 又，，， 设为的中点，则， ，， 由 故选：A 2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在单调，且是的一个零点，直线是图象的一条对称轴，则ω的最大值为（    ） A．18 B．17 C．14 D．13 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、利用正弦函数的对称性求参数、利用正弦型函数的单调性求参数 【分析】由题意得，故.结合正弦型函数的周期公式可得.由在单调得 ，结合可得.由于最大时，对应也最大，结合所求为的最大值，则考虑从最大的开始代入验证，即可求解. 【详解】由题意得，所以. 又，所以，所以. 因为在单调，所以，即. 结合得，解得. ①当，即时，，所以，. 因为，所以，此时. 当时，，由正弦函数的性质可知函数在上不单调，所以不符合题意； ②当，即时，，所以，. 因为，所以，此时. 当时，，由正弦函数的性质可知函数在上不单调，所以不符合题意； ③当，即时，，所以，. 因为，所以，此时. 当时，，由正弦函数的性质可知函数在上单调递增，所以符合题意. 综上，的最大值为13. 故选：D. 3．（24-25高一下·四川达州·期末）已知函数在区间上的最小值为，则所有满足条件的正整数之和为（   ） A．9 B．7 C．5 D．4 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、利用正弦型函数的单调性求参数 【分析】根据函数能否取到最小值进行分类讨论即可. 【详解】当时，又是正整数， 则此时的最小值为， 若，此时能取到最小值，即， 代入可得，满足要求； 若取不到最小值，则需满足，即， 当时，，时， 由正弦函数的单调性，当时， 函数在区间上取得最小值： ，不符合题意； 当时，，时， 由正弦函数的单调性，当时， 函数在区间上取得最小值： ，不符合题意； 所以. 故选：D. 4．（2025·重庆·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，为图象与轴交点且满足为等边三角形，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、相等向量 【分析】根据给定条件，求出相邻两条对称轴方程，进而求出值. 【详解】观察图象得，正的高为，则，又，因此， 线段中垂线方程分别为，即是函数图象相邻两条对称轴， 则函数的最小正周期，所以. 故选：C 5．（24-25高一下·山东日照·阶段练习）函数的部分图象如图所示，且，对不同的，若，有，则下列正确的序号是 . ①        ② ③在区间上单调递增    ④在区间上无最小值 【答案】①③ 【难度】0.4 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求sinx型三角函数的单调性、利用正弦函数的对称性求参数、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】先根据图象求出函数解析式，再逐项计算判断后可得正确的选项. 【详解】由题图可得，由得（为的最小正周期）， 又 , 由题图可得，， ，即. ，对不同的，，， ， 又， 对于①，，故①正确； 对于②，，故②错误： 对于③，当时，， 由于在上单调递增，故函数单调递增，故③正确； 对于④，当时，， 有最小值，故④错误. 故答案为：①③ 6．（24-25高一下·四川眉山·期中）已知函数（，），若为奇函数，为偶函数，且在上没有最小值，则的最大值是 . 【答案】6 【难度】0.4 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、由正弦（型）函数的奇偶性求参数 【分析】根据正弦型函数的奇偶性得到，，，，进而有，再由区间无最小值得到，即得的范围，分类讨论并验证，即可得解. 【详解】由为奇函数，则，， 由为偶函数，则，， 所以，即，， 且，即，，又，则， 在上，，即在上没有最小值， 所以且，故， 当，则； 当时，则， 结合，， 当时， ，则为偶函数，不符， ，则为奇函数，为偶函数，且上，满足题设； 当时， ，则为奇函数，为偶函数，且上，满足题设； ，则为偶函数，不符； 当时， ，则为偶函数，不符； 即，故最大值为6. 故答案为：6. 7．（24-25高一下·江西萍乡·期中）若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、余弦函数图象的应用 【分析】先由余弦型函数在给定区间上的零点问题转化为函数与函数在上的交点问题，借助于余弦函数的图象列出不等式求解即得. 【详解】 由，可得， 设，当时，， 依题意，要使函数在区间上恰有5个零点， 需使函数与函数在上有5个交点， 结合余弦函数的图象，可得，即得， 即的取值范围为. 故答案为：. 8．（25-26高二上·湖南常德·开学考试）已知函数的图象关于直线对称，其最小正周期为． (1)求的对称中心； (2)若函数在上恰有8个零点，求的最小值； (3)设函数，证明：有且只有一个零点，且． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、零点存在性定理的应用 【分析】（1）利用周期和对称轴可求函数的解析式，再计算函数的对称中心； （2）由函数零点和三角函数的对称中心，计算即可； （3）先代入化简得到的解析式，分类讨论结合零点存在性定理证明零点只有一个，最后根据函数单调性证明不等式； 【详解】（1）因为函数的最小正周期为，所以由题， 所以又由图象关于直线对称， 所以，即，所以， 所以， 令， 所以的对称中心为． （2）令，解得， 若函数在上恰有8个零点，则均应是零点， 所以最小值为 （3）由（1）可得，定义域为， ①当时，函数在上单调递增， 因为 所以，根据零点存在定理，使得， 故在上有且只有一个零点． ②当时，因单调递增，单调递减， ， 所以，所以在上不存在零点； ③当时，因为单调递增，， 因为，所以，所以在上不存在零点； 综上：有且只有一个零点，且． 因为，所以， 所以， 在上单调递减，， 所以． 9．（25-26高二上·湖南长沙·开学考试）已知函数，，且在区间上单调递增，记的最大值为，设. (1)求的解析式； (2)在中，，，其内切圆半径为，所在平面内一点满足. （ⅰ）求的最大值； （ii）当取得最大值时，求长的取值范围. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ii）. 【难度】0.4 【知识点】基本（均值）不等式的应用、定点到圆上点的最值（范围）、余弦定理解三角形、由正切型函数的性质确定图象（解析式） 【分析】（1）由求得，再根据正切函数的单调性求得的范围，得解； （2）（i）由求得，由余弦定理可得与的关系，利用等面积法可得，结合基本不等式求得的最大值；（ii）由题可知点在以为直径的圆上，利用圆的性质求解. 【详解】（1）易得，由可知， 故， 由，则， 由在区间上单调递增可知，得到， 代入可知题设条件成立，故，于是. （2）（i）此时，由可得， 不妨记内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 由余弦定理可得，即， 故， 于是， 而，故， 于是. 故， 故， 当且仅当时，等号成立. 故的最大值为. （ii）此时，记的中点为， 由，可知点在以为直径的圆上，则， 于是由等腰三角形性质可知， 故且， 当且仅当A，P，O三点共线时等号成立 故长的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $