专题11 三角函数的定义、同角公式与诱导公式（十大题型精练）-2025-2026学年高一数学上学期人教A版必修第一册

专题11 三角函数的定义、同角公式与诱导公式 重难点题型1 角度制与弧度制 1．（24-25高一下·贵州遵义·阶段练习）把表示成的形式，且使，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·河南·期中）与角终边相同的最小正角是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·广西梧州·期末）体操中有“后空翻转体720度”的动作，其中“720度”等于（    ） A．弧度 B．弧度 C．弧度 D．弧度 4．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）考生你好，语文考试需要150分钟，在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选题）关于弧度制说法正确的是（    ） A．角的度数和弧度数是一一对应的 B．用角度制度量角，与其所在的圆的半径无关；用弧度制度量角，与其所在的圆的半径有关 C．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角 D．用弧度制度量角，该角必为正角 6．（24-25高一下·全国·周测）（多选题）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·全国·课前预习）将化成角度为 ． 8．（24-25高一下·安徽亳州·期中）化成弧度是 ． 重难点题型2 象限角与终边相同的角 1．（2025高二·全国·专题练习）若与角的终边相同，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 2．（24-25高一下·陕西汉中·阶段练习）若是第二象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 3．（2025高三·全国·专题练习）如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是（ ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·辽宁·期中）与终边相同的一个角为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选题）下列说法正确的是（    ） A．所有的正角都比负角大 B．始边与终边重合的角一定是零角 C．第三象限的角一定大于第二象限的角 D．锐角一定是第一象限角，钝角一定是第二象限角 6．（24-25高一下·全国·周测）（多选题）若，则角的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．（2025高三·上海·专题练习）若为第四象限角，且，则为第 象限角. 8．（25-26高一上·全国·课前预习）下列说法正确的是 ． ①三角形的内角是第一象限角； ②与终边相同的角的集合为； ③终边在直线上的角的集合为； ④若是第三象限角，则是第二象限角． 重难点题型3 扇形的弧长、周长与面积问题 1．（25-26高二上·广西贵港·开学考试）已知半径为的扇形面积为3，则扇形的圆心角为（   ） A． B． C．1 D．2 2．（25-26高一上·全国·期末）如图所示的图形形似水滴，它是由线段和圆的优弧围成的，其中恰好与圆弧相切．若圆弧所在圆的半径为2，点到圆弧所在圆圆心的距离为4，则该封闭图形的面积为（    ）    A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江西·期末）已知某扇形的圆心角为，半径为5，则该扇形的弧长为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·河北保定·期末）在某中学2025年“创意之光”文创设计大赛中，一名学生设计了一把“紫堡文创”扇子．其扇面可以近似的理解为扇形截去同心扇形所得图形，已知，，，则该扇面的近似面积为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选题）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成．如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是（   ） （参考数据：） A． B．若，且扇形的半径，则 C．若扇面为“美观扇面”，则 D．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径，则此时的扇形面积为 6．（24-25高一下·北京·期中）半径为4，圆心角为的扇形的弧长为 ． 7．（2025高三·全国·专题练习）如图，图1是杭州2022年第19届亚运会的会徽，名为“潮涌”，整个会徽象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展．图2是会徽的几何图形，设弧AD的长度是，弧BC的长度是，几何图形ABCD的面积为，扇形BOC的面积为，若，则 . 8．（24-25高一上·甘肃武威·期末）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦×矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为，弧长等于的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（参考数据） 重难点题型4 三角函数的定义 1．（24-25高三上·北京·开学考试）角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D．0 2．（24-25高一下·山东威海·期末）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·安徽亳州·开学考试）若角的终边过点，则的值等于（    ） A． B． C． D． 4．（2025高三·全国·专题练习）已知是第二象限角，点为其终边上一点，且，则等于（    ）． A． B． C． D． 5．（25-26高二上·浙江·开学考试）在平面直角坐标系中，的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆交于点，其中，则（   ） A．11 B． C． D． 6．（24-25高二下·江苏常州·期末）（多选题）已知点在角的终边上，且，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·上海·阶段练习）始边与轴的正半轴重合的角的终边过点，则 ． 8．（23-24高一下·上海普陀·期中）已知角的终边经过点，则 . 9．（24-25高一下·贵州遵义·阶段练习）已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若是角终边的一点，且，则 . 10．（24-25高一下·北京朝阳·阶段练习）以原点为圆心的单位圆上一点从出发，沿逆时针方向运动弧长到达点，则点的坐标为 ． 11．（24-25高一下·北京·期中）已知角的终边与单位圆交于点P，则= . 12．（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）已知角终边经过点，且，则的值为 . 重难点题型5 三角函数值符号的判定 1．（25-26高三上·天津·开学考试）如果是第一象限角，那么恒有（   ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知，，则的终边一定不在（    ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 3．若，且，则角的终边在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（24-25高一下·湖南长沙·期中）的值（   ） A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在 5．（多选题）给出下列各三角函数值，其中符号为负的是（ ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·陕西渭南·阶段练习）（多选题）下列各式的值为负数的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，且，则为第 象限角．（填“一”“二”“三”或“四”） 8．（2025高二·全国·专题练习）点在平面直角坐标系中位于第 象限 ． 重难点题型6 同角三角函数基本关系式的应用-“知一求二”问题 1．（2025高三·全国·专题练习）若是三角形的一个内角，且，则（    ）． A． B． C． D． 2．（2025高三·天津·专题练习）已知，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．6 3．（2025高三·天津·专题练习）已知为第四象限角，，则（ ） A． B． C． D． 重难点题型7 同角三角函数基本关系式的应用-“sina，cosa”齐次式问题 1．（25-26高三上·广东·开学考试）已知锐角满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·单元测试）如果角的终边在直线上，则（    ） A． B． C． D．或 3．（2025高一·全国·专题练习）已知，则 ， ． 4．（2025高三·全国·专题练习）若，，则 . 重难点题型8 同角三角函数基本关系式的应用-“sina+cosa，sinacosa”之间关系式的应用 1．（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）若，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，大正方形由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼接而成，若直角三角形中较小的锐角为，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则的值等于（   ）    A．1 B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知，，则下列选项中正确的有（ ） A． B． C． D． 4．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·辽宁大连·期中）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·甘肃平凉·期末）（多选题）已知，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（多选题）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·广东汕头·期中）若，则 ． 9．（24-25高一下·北京·阶段练习）已知，，则 ． 10．已知，，则的值为 ； 重难点题型9 诱导公式 1．（2025高二下·浙江·学业考试）已知角的终边与单位圆交于点，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 2．（2025·甘肃白银·模拟预测）若，则（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏南通·期中）已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·全国·周测）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·江西南昌·期末）（多选题）已知，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）（多选题）对于，下列等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知，且，则的值为 . 8．化简： . 9．（24-25高一下·山东潍坊·期中）已知，若，则 . 10．（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）已知，且，则 . 重难点题型10 同角关系式与诱导公式的综合应用 1．（25-26高三上·天津·开学考试）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边上一点，且. (1)求，的值； (2)求的值. 2．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知角以轴的非负半轴为始边，为终边上一点. (1)求的值； (2)求. 3．（24-25高一下·陕西汉中·期末）已知，且． (1)求的值； (2)求的值． 4．（24-25高一下·河北保定·期末）已知． (1)若是第二象限角，求的值； (2)求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 三角函数的定义、同角公式与诱导公式 重难点题型1 角度制与弧度制 1．（24-25高一下·贵州遵义·阶段练习）把表示成的形式，且使，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】找出终边相同的角 【分析】由即可得到答案. 【详解】因为，， 所以的值为， 故选：C 2．（24-25高一下·河南·期中）与角终边相同的最小正角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】找出终边相同的角、弧度的概念 【分析】先把化成弧度制，再写成，的形式， 确定选项. 【详解】因为. 所以与角终边相同的最小正角是. 故选：B 3．（24-25高一下·广西梧州·期末）体操中有“后空翻转体720度”的动作，其中“720度”等于（    ） A．弧度 B．弧度 C．弧度 D．弧度 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】角度化为弧度 【分析】根据角度制和弧度制换算关系即可得到答案. 【详解】因为，所以弧度, 因此“720度”即弧度. 故选：D． 4．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）考生你好，语文考试需要150分钟，在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】弧度的概念、角度化为弧度 【分析】经过150分钟，钟表的时针相当于转了1圈的，且按顺时针转所形成的角为负角，综合以上即可求解. 【详解】经过150分钟，钟表的时针相当于转了1圈的，1圈的弧度数为， 则1圈的的弧度数为， 且钟表的时针按顺时针转所形成的角应为负角， 因此钟表的时针转过的弧度数为，故D正确. 故选：D. 5．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选题）关于弧度制说法正确的是（    ） A．角的度数和弧度数是一一对应的 B．用角度制度量角，与其所在的圆的半径无关；用弧度制度量角，与其所在的圆的半径有关 C．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角 D．用弧度制度量角，该角必为正角 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】弧度的概念 【分析】根据弧度制的概念逐项判断即可. 【详解】角的度数和弧度数是一一对应的，A说法正确； 无论是用角度制还是弧度制度量角，角的大小均与其所在的圆的半径无关，B说法错误； 1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，C说法正确； 用弧度制度量角，该角可为正角，可为负角，也可为零角，D说法错误， 故选：AC 6．（24-25高一下·全国·周测）（多选题）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】角度化为弧度 【分析】弧度与角度之间的互化是，利用公式分别计算A、B、C、D四个选项可得答案. 【详解】对于A，，正确； 对于B，，正确； 对于C，，错误； 对于D，，正确； 故选：ABD． 7．（25-26高一上·全国·课前预习）将化成角度为 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】弧度化为角度 【分析】根据角度与弧度的换算公式即可求解. 【详解】． 故答案为： 8．（24-25高一下·安徽亳州·期中）化成弧度是 ． 【答案】/ 【难度】0.94 【知识点】角度化为弧度 【分析】利用弧度与角度之间的转化规则计算. 【详解】因，则. 故答案为： 重难点题型2 象限角与终边相同的角 1．（2025高二·全国·专题练习）若与角的终边相同，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】找出终边相同的角、确定已知角所在象限 【分析】根据已知有，变形即可得对应象限. 【详解】因为与角的终边相同，所以， 则，所以是第三象限角． 故选：C 2．（24-25高一下·陕西汉中·阶段练习）若是第二象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由已知角所在的象限确定某角的范围 【分析】根据象限角的定义及其范围，进行计算即可. 【详解】因为是第二象限角， 所以， 所以 从而， 所以是第四象限角． 故选：D. 3．（2025高三·全国·专题练习）如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据图形写出角（范围） 【分析】先分别写出阴影部分终边在第二象限和第四象限角的集合，然后并起来即可. 【详解】由图，阴影部分终边在第二象限角的集合为， 阴影部分终边在第四象限角的集合为， 故终边在阴影部分的角的集合为， 故选：B. 4．（24-25高一下·辽宁·期中）与终边相同的一个角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】找出终边相同的角 【分析】根据终边相同的角的公式判断即可. 【详解】因为， 所以与终边相同的一个角为， 又因为都不能写成这种形式， 故选：A 5．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选题）下列说法正确的是（    ） A．所有的正角都比负角大 B．始边与终边重合的角一定是零角 C．第三象限的角一定大于第二象限的角 D．锐角一定是第一象限角，钝角一定是第二象限角 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】确定已知角所在象限、任意角的概念 【分析】利用正角和负角的定义判断A，利用零角的定义判断B，举反例判断C，利用锐角，钝角，第一象限角，第二象限角的定义判断D即可. 【详解】对于A，由正角和负角的定义得，所有的正角都比负角大，故A正确， 对于B，只有始边与终边没有做任何旋转，始边与终边重合的角才是零角，故B错误， 对于C，令第三象限的角是，第二象限的角是， 则，可得第三象限的角不一定大于第二象限的角，故C错误， 对于D，设为锐角，为钝角，由锐角的定义得，， 由第一象限角的定义得一定是第一象限角， 由第二象限角的定义得一定是第二象限角， 即锐角一定是第一象限角，钝角一定是第二象限角，故D正确. 故选：AD 6．（24-25高一下·全国·周测）（多选题）若，则角的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】确定已知角所在象限 【分析】对分奇数、偶数两种情况讨论，结合象限角的定义可得结果. 【详解】当为偶数时，设，则， 此时与角终边相同，为第二象限角； 当为奇数时，设，则， 时，与角终边相同，为第四象限角． 故选：BD． 7．（2025高三·上海·专题练习）若为第四象限角，且，则为第 象限角. 【答案】四 【难度】0.85 【知识点】确定n分角所在象限 【分析】由为第四象限角，得到范围，进而得到范围及象限. 【详解】为第四象限角， ，， 则，. 所以为第二、四象限角 又， 则为第四象限角. 故答案为：四 8．（25-26高一上·全国·课前预习）下列说法正确的是 ． ①三角形的内角是第一象限角； ②与终边相同的角的集合为； ③终边在直线上的角的集合为； ④若是第三象限角，则是第二象限角． 【答案】②③ 【难度】0.85 【知识点】找出终边相同的角、确定已知角所在象限、确定n分角所在象限 【分析】①根据三角形内角的取值范围为可知其错误；②因为，所以②正确；③直线与轴的夹角是，根据终边相同的角的定义可知③正确；④由是第三象限角可得其范围，再由此推出的范围，从而判断④错误. 【详解】因为三角形的内角的取值范围是， 所以三角形的内角是第一象限角或第二象限角或终边在轴正半轴上的角，①错误； 因为，所以与终边相同的角的集合为 ，②正确； 直线与轴的夹角是，所以终边在直线上的角的集合为 ，③正确； 因为是第三象限角，所以， 所以，故是第二象限角或第四象限角，④错误． 故答案为：②③. 重难点题型3 扇形的弧长、周长与面积问题 1．（25-26高二上·广西贵港·开学考试）已知半径为的扇形面积为3，则扇形的圆心角为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】扇形面积的有关计算 【分析】根据给定条件，利用扇形面积公式列式求解. 【详解】设扇形的圆心角为，依题意，，解得， 所以扇形的圆心角为2. 故选：D 2．（25-26高一上·全国·期末）如图所示的图形形似水滴，它是由线段和圆的优弧围成的，其中恰好与圆弧相切．若圆弧所在圆的半径为2，点到圆弧所在圆圆心的距离为4，则该封闭图形的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】圆的弧长、面积、圆心角等计算、扇形面积的有关计算、三角形面积公式及其应用 【分析】欲求封闭图形的面积，需要作辅助线对图形进行分割，分割成三角形、扇形等易求面积的图形，再求解． 【详解】如图，取优弧所在圆的圆心，连接， 则，则， 所以，则， 故优弧对应的圆心角为，对应的扇形面积为． 而， 故， 所以该封闭图形的面积为． 故选：C.    3．（24-25高一下·江西·期末）已知某扇形的圆心角为，半径为5，则该扇形的弧长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】弧长的有关计算 【分析】根据扇形的弧长公式即可求解. 【详解】该扇形的弧长为． 故选：. 4．（24-25高一下·河北保定·期末）在某中学2025年“创意之光”文创设计大赛中，一名学生设计了一把“紫堡文创”扇子．其扇面可以近似的理解为扇形截去同心扇形所得图形，已知，，，则该扇面的近似面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】扇形面积的有关计算 【分析】根据扇形的面积公式进行求解即可. 【详解】因为，，， 所以扇面的近似面积为， 故选：C 5．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选题）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成．如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是（   ） （参考数据：） A． B．若，且扇形的半径，则 C．若扇面为“美观扇面”，则 D．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径，则此时的扇形面积为 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】扇形面积的有关计算 【分析】利用扇形面积公式来求解各选项即可. 【详解】对于A，因为与所在扇形的圆心角分别为，， 所以，故A正确： 对于B，因为，所以， 所以，故B错误； 对于C，因为，所以， 所以，故C正确； 对于D，，故D错误． 故选：AC. 6．（24-25高一下·北京·期中）半径为4，圆心角为的扇形的弧长为 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】弧长的有关计算 【分析】运用弧度制下弧长公式计算即可. 【详解】. 故答案为：. 7．（2025高三·全国·专题练习）如图，图1是杭州2022年第19届亚运会的会徽，名为“潮涌”，整个会徽象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展．图2是会徽的几何图形，设弧AD的长度是，弧BC的长度是，几何图形ABCD的面积为，扇形BOC的面积为，若，则 . 【答案】3 【难度】0.85 【知识点】扇形面积的有关计算、弧长的有关计算 【分析】设，由弧长公式及已知得，再由扇形的面积公式求结果. 【详解】设，由，得，即， 所以． 故答案为：3 8．（24-25高一上·甘肃武威·期末）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦×矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为，弧长等于的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（参考数据） 【答案】8.92平方米 【难度】0.85 【知识点】扇形面积的有关计算、弧长的有关计算 【分析】根据已知求出矢，弦，再利用已知公式求解. 【详解】因为圆心角为，弧长等于，所以圆的半径， 如图，在中，所以，， 所以矢，则弦， 所以弧田面积弦矢矢平方米． 故答案为：8.92平方米 重难点题型4 三角函数的定义 1．（24-25高三上·北京·开学考试）角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D．0 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据题意，由三角函数的定义，即可得到结果. 【详解】因为角的终边经过点， 则,. 所以 故选：D 2．（24-25高一下·山东威海·期末）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据任意角正弦函数的定义即可求解. 【详解】由题意有， 所以. 故选：A. 3．（24-25高一下·安徽亳州·开学考试）若角的终边过点，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】特殊角的三角函数值、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】由已知可得，根据任意角三角函数的定义求解即可. 【详解】由已知可得，因为角的终边过点， 所以. 故选：. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知是第二象限角，点为其终边上一点，且，则等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数 【分析】根据题意，利用三角函数的定义，列出方程，即可求解. 【详解】因为点为其终边上一点，且， 由三角函数的定义，可得，解得或或， 又因为是第二象限角，所以，所以. 故选：D. 5．（25-26高二上·浙江·开学考试）在平面直角坐标系中，的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆交于点，其中，则（   ） A．11 B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、正、余弦齐次式的计算 【分析】根据给定条件，求出及，再利用齐次式法求出目标值. 【详解】依题意，，而，解得，因此， 所以. 故选：D 6．（24-25高二下·江苏常州·期末）（多选题）已知点在角的终边上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、诱导公式五、六、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】根据三角函数的定义及诱导公式逐一分析即可. 【详解】对于：，所以， 平方得，解得，故错误； 对于：，故正确； 对于：，故正确； 对于：，故正确. 故选：. 7．（24-25高三上·上海·阶段练习）始边与轴的正半轴重合的角的终边过点，则 ． 【答案】/ 【难度】0.94 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】由三角函数的定义即可求解. 【详解】依题意得，，，则有，从而. 故答案为： 8．（23-24高一下·上海普陀·期中）已知角的终边经过点，则 . 【答案】/ 【难度】0.94 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】利用正切函数的定义即可得解. 【详解】由正切函数定义得：， 故答案为： 9．（24-25高一下·贵州遵义·阶段练习）已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若是角终边的一点，且，则 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数 【分析】由三角函数的定义列方程，求解即得. 【详解】由已知，， 所以， 所以，且， 解得. 故答案为：. 10．（24-25高一下·北京朝阳·阶段练习）以原点为圆心的单位圆上一点从出发，沿逆时针方向运动弧长到达点，则点的坐标为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、弧长的有关计算、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦 【分析】利用任意角的三角函数定义及两角和的正弦余弦公式即可求解． 【详解】设与非负半轴夹角为， 由任意角的三角函数定义，得，且， 沿逆时针方向运动弧长，由弧长公式得，沿逆时针方向旋转， 因为， 则， 故答案为： 11．（24-25高一下·北京·期中）已知角的终边与单位圆交于点P，则= . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】本题可先根据三角函数的定义求出,再根据同角三角函数关系式化简计算. 【详解】已知点在单位圆上，单位圆的半径，根据三角函数的定义，. 所以. 故答案为：. 12．（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）已知角终边经过点，且，则的值为 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数 【分析】根据余弦函数的定义列式计算即可. 【详解】因为角终边经过点， 所以，所以， 解得. 故答案为： 重难点题型5 三角函数值符号的判定 1．（25-26高三上·天津·开学考试）如果是第一象限角，那么恒有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】已知角或角的范围确定三角函数式的符号 【分析】根据给定条件，利用三角函数值的符号法则判断即可. 【详解】由是第一象限角，得，则， 当为奇数时，为第三象限角，，； 当为偶数时，为第一象限角，，， 因此恒有. 故选：C 2．（2025高三·全国·专题练习）已知，，则的终边一定不在（    ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由三角函数式的符号确定角的范围或象限、确定n分角所在象限 【分析】先由题设条件得到为第三象限角，并用代数式表示角，进而用代数式表示出即可判断. 【详解】因为，，则为第三象限角，即，， 故，，即的终边仅可能在第二、四象限，一定不在第一、三象限. 故选：C. 3．若，且，则角的终边在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】由三角函数式的符号确定角的范围或象限 【分析】根据角的象限与正余弦函数的函数值正负的关系判断． 【详解】因为，所以的终边落在轴的左侧， 因为，所以的终边落在轴的上方， 所以角的终边在第二象限. 故选：B. 4．（24-25高一下·湖南长沙·期中）的值（   ） A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】已知角或角的范围确定三角函数式的符号 【分析】判断弧度2，3表示的角的范围，判断的正负，即可得答案. 【详解】，，． 故选：A 5．（多选题）给出下列各三角函数值，其中符号为负的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.94 【知识点】已知角或角的范围确定三角函数式的符号 【分析】根据角所在的象限判断各选项即可. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，由于，为第二象限角， 则，故B正确； 对于C，，故C不正确； 对于D，，故D正确. 故选：ABD. 6．（24-25高一下·陕西渭南·阶段练习）（多选题）下列各式的值为负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】比较正弦值的大小、已知角或角的范围确定三角函数式的符号、比较余弦值的大小、诱导公式一 【分析】根据诱导公式和三角函数在各象限的符号规律及正余弦函数的单调性逐个分析判断即可. 【详解】对于A，因为，， 所以，所以A正确， 对于B，因为在上递增，且，所以，即， 因为在上递减，且，所以，即， 所以，所以，所以B错误， 对于C，因为，， 所以，所以C正确， 对于D，因为，所以，所以D正确. 故选：ACD 7．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，且，则为第 象限角．（填“一”“二”“三”或“四”） 【答案】二 【难度】0.94 【知识点】由三角函数式的符号确定角的范围或象限 【分析】判断出角的正余弦的符号后可判断角所处的象限. 【详解】由，得，则且， 又，则，故为第二象限角． 故答案为：二. 8．（2025高二·全国·专题练习）点在平面直角坐标系中位于第 象限 ． 【答案】三 【难度】0.85 【知识点】已知角或角的范围确定三角函数式的符号 【分析】判断角所在象限，即可判断出三角函数值正负，即可得答案. 【详解】2弧度的角在第二象限，所以，4弧度的角在第三象限，所以， 所以点在第三象限． 故答案为：三 重难点题型6 同角三角函数基本关系式的应用-“知一求二”问题 1．（2025高三·全国·专题练习）若是三角形的一个内角，且，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】方法一：将正切变换为正弦和余弦，结合平方和为1，解方程即可； 方法二：先求的平方，然后进行齐次化可变成关于的式子，代入求解，结合角的范围再开方即可. 【详解】方法一：由题意，知，，故，． 又，所以，．所以． 故选：C 方法二：因为，所以，故， 则， 所以． 故选：C 2．（2025高三·天津·专题练习）已知，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、正、余弦齐次式的计算 【分析】根据题意，结合三角函数的基本关系式，根据“齐次式”进行弦化切，最后代入正切值即可. 【详解】根据题意，，且， 则. 故选：C. 3．（2025高三·天津·专题练习）已知为第四象限角，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦）、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】根据各象限三角函数的符号，结合同角三角函数的基本关系求值. 【详解】因为为第四象限角，且， 所以，且. 所以. 故选：D 重难点题型7 同角三角函数基本关系式的应用-“sina，cosa”齐次式问题 1．（25-26高三上·广东·开学考试）已知锐角满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦）、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】利用同角三角函数的基本关系求和，代入即可求解. 【详解】由锐角满足，即，所以， 所以，所以， 故选：C. 2．（25-26高一上·全国·单元测试）如果角的终边在直线上，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、正、余弦齐次式的计算 【分析】方法一：先求出，再由弦化切公式转化为进行求解；方法二：直线过第一象限和第三象限．分别求若的终边在第一象限，可取终边上一点，与若的终边在第三象限，可取终边上一点，再由三角函数的定义进行求解． 【详解】方法一： 因为角的终边在直线上，所以设直线上一点， 可得． 所以 ． 方法二： 直线过第一象限和第三象限． 若的终边在第一象限，可取终边上一点， 则，， 则． 若的终边在第三象限，可取终边上一点， 则，， 则 故选：B 3．（2025高一·全国·专题练习）已知，则 ， ． 【答案】 3 / 【难度】0.65 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、正、余弦齐次式的计算 【分析】解法一：化弦为切将变为，将变为，然后把代入求解即可. 解法二：按照角的终边在第一、三象限分类讨论求出，代入和求解即可. 【详解】解法一：因为，所以； ． 解法二：因为，所以角的终边在第一、三象限， 在第一象限时，不妨设为锐角，则直角三角形的两直角边长分别为1，2， 则斜边长为，所以，有， ． 同理在第三象限时，，，有， ． 综上，． 故答案为：3； 4．（2025高三·全国·专题练习）若，，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】已知等式平方后得，同时判断出，，可再利用平方关系求得，代入即得结论． 【详解】由题意，，① 所以，即， 则． 因为，且，所以，， 所以，② 由①②变形得， 所以． 故答案为：. 重难点题型8 同角三角函数基本关系式的应用-“sina+cosa，sinacosa”之间关系式的应用 1．（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】先对已知等式平方，利用同角三角函数基本关系求出，再通过的定义建立方程求解，结合角的范围确定正切值. 【详解】由，两边平方可得， 即， 又，所以，且 解得：. 故选： 2．（2025高三·全国·专题练习）勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，大正方形由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼接而成，若直角三角形中较小的锐角为，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则的值等于（   ）    A．1 B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】利用同角三角函数关系结合已知条件求解即可. 【详解】依题意，拼图中的每个直角三角形的长直角边为，短直角边为， 则小正方形的边长为， 因为小正方形的面积是，所以， 因为为直角三角形中较小的锐角， ，所以， 又因为，所以，解得， 所以，即，所以， 所以， 故选：D 3．（2025高三·全国·专题练习）已知，，则下列选项中正确的有（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦）、sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】对两边平方化简可求出，再结合的范围和，可求出，从而进行判断即可. 【详解】将两边同时平方，整理得， 所以，故B正确． 又，所以， 所以由，解得，故C错误， 所以，，故A错误，D错误， 故选：B． 4．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】由题意得，解一元二次方程即可得解. 【详解】因为，所以， 化简得， 解得或（舍去，因为，且等号不能成立）． 故选：D． 5．（24-25高一下·辽宁大连·期中）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】利用之间关系求解即可. 【详解】因为，所以， 因为,又， 所以，所以， 所以， 又，所以， 所以. 故选：C. 6．（24-25高一上·甘肃平凉·期末）（多选题）已知，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】根据题意，由同角三角函数的平方关系结合完全平方公式代入计算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】因为①， 所以，则， 因为，所以，，所以，故A正确； 所以， 所以②，故D正确； 由①②联立可得，，，故B错误； 所以，故C错误． 故选：AD 7．（多选题）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】对于AC，利用完全平方公式与三角函数的基本关系式即可求得所求；对于B，结合选项A中结论，判断得，从而求得的取值范围即可判断；对于D，利用选项C中的结论求得，进而求得，即可解答. 【详解】对于A，由①，以及， 对等式①两边取平方得，则②，故A正确； 对于B，∵，∴，由②知，，故B正确； 对于C，又，故C错误； 对于D，由方程，解得，所以，故D正确. 故选：ABD. 8．（24-25高一下·广东汕头·期中）若，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】将已知条件两边平方得，再由商数关系及平方关系求目标式的值. 【详解】由，则， . 故答案为： 9．（24-25高一下·北京·阶段练习）已知，，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】可先对两边平方，求出的值，再将展开并代入的值，最后结合的取值范围确定的值. 【详解】将两边平方可得. 则， . 将 因为，在这个区间内，，所以. 可得. 故答案为： 10．已知，，则的值为 ； 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】由求得，从而判断出的范围，进而可求出的值，得到的值. 【详解】将平方得， 所以， 因为，所以，所以， 而 所以 所以 故答案为： 重难点题型9 诱导公式 1．（2025高二下·浙江·学业考试）已知角的终边与单位圆交于点，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、诱导公式五、六 【分析】根据三角函数的定义以及诱导公式，可得答案. 【详解】由题意可得，则. 故选：B. 2．（2025·甘肃白银·模拟预测）若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】诱导公式二、三、四、正、余弦齐次式的计算 【分析】根据同角三角函数的除法公式化简齐次式，结合诱导公式可得解. 【详解】因为，所以，解得， 于是， 故选：A． 3．（24-25高一下·江苏南通·期中）已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、诱导公式五、六 【分析】利用诱导公式对目标式合理变形，得到，再结合得到，进而利用同角三角函数的基本关系求出，最后得到即可. 【详解】由题意结合诱导公式得， 因为，所以，则， 因为，所以， 解得（负根舍去），可得，故B正确. 故选：B 4．（24-25高一下·全国·周测）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、诱导公式五、六 【分析】根据同角三角函数关系得出则，再应用诱导公式计算求解. 【详解】已知，且，则， 则， 则. 故选:C. 5．（24-25高一下·江西南昌·期末）（多选题）已知，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦）、诱导公式二、三、四、二倍角的余弦公式 【分析】根据同角三角函数关系、诱导公式和余弦的二倍角公式求解判断即可. 【详解】因为，， 所以，，， 所以，，， 故选：ABD. 6．（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）（多选题）对于，下列等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、诱导公式二、三、四、诱导公式五、六 【分析】由诱导公式逐一判断即可. 【详解】，所以选项正确. ，选项正确. ，选项错误. ，选项正确. 故选：ABD. 7．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知，且，则的值为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、诱导公式二、三、四、诱导公式五、六 【分析】由诱导公式计算可得. 【详解】，所以， 因为，所以 所以， 故答案为：. 8．化简： . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】诱导公式二、三、四、诱导公式五、六、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】根据诱导公式化简计算即可求解. 【详解】. 故答案为： 9．（24-25高一下·山东潍坊·期中）已知，若，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】诱导公式二、三、四、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】先由诱导公式得到，再由同角的三角函数关系计算可得. 【详解】， 因为，所以， 所以. 故答案为：. 10．（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）已知，且，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦）、诱导公式五、六 【分析】先由题设求出的范围，结合求出，再通过诱导公式求得的值，再利用同角三角函数的商数关系求得. 【详解】∵，∴， 又∵， ∴， ∴， ， 故. 故答案为：. 重难点题型10 同角关系式与诱导公式的综合应用 1．（25-26高三上·天津·开学考试）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边上一点，且. (1)求，的值； (2)求的值. 【答案】(1)，； (2). 【难度】0.65 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）根据给定条件，利用三角函数定义求解. （2）由（1）的结论，利用诱导公式化简即得. 【详解】（1）依题意，，解得， 所以，. （2）由（1）知，， 所以. 2．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知角以轴的非负半轴为始边，为终边上一点. (1)求的值； (2)求. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式、正、余弦齐次式的计算 【分析】（1）根据三角函数的定义先计算出的值，然后利用齐次式的运算化简原式，代入的值即可求解； （2）利用诱导公式直接化简原式，然后代入的值即可求解. 【详解】（1）∵角以轴的非负半轴为始边，为终边上一点， ∴，∴. （2） . 3．（24-25高一下·陕西汉中·期末）已知，且． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、三角函数的化简、求值——诱导公式、用和、差角的余弦公式化简、求值、正、余弦齐次式的计算 【分析】（1）先利用同角三角函数的关系求出，再利用两角差的余弦公式结合可求得结果； （2）先利用同角三角函数的关系求出，再利用诱导公式结合同角三角函数的关系化简后，可求得结果. 【详解】（1）因为，所以， 因为， 所以， 所以 ； （2）因为，， 所以， 所以， . 4．（24-25高一下·河北保定·期末）已知． (1)若是第二象限角，求的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2). 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、已知弦（切）求切（弦）、正、余弦齐次式的计算 【分析】（1）利用诱导公式及同角公式列式计算得解. （2）利用诱导公式化简，再利用齐次式法计算得解. 【详解】（1）依题意，，由是第二象限角，得， 又，解得，所以. （2）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $