精品解析：2022年广东省佛山市南海区九年级潜能学生学科核心素养检测数学试卷

2022年九年级潜能学生学科核心素养检测 数学试题 一.选择题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，每道题的四个选项中有且只有一个正确） 1. 不等式组的最大整数解是（ ） A. B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，从而得出其最大整数解． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， 则不等式组的最大整数解为3， 故选：B． 2. 已知一次函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，随的增大而增大 B. 图像必经过点 C. 当时，图象经过第一、二、四象限 D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，掌握知识点是解题的关键． 根据一次函数的性质，分析各选项是否符合条件． 【详解】解：A．若，则，一次函数，随的增大而增大；当时，不是一次函数，该选项错误． B．∵一次函数，∴，即，将代入，得，解得，与题意矛盾，该选项错误． C． 当时，，且，此时函数图像经过第一、二、四象限，该选项正确． D． 当时，当，即，则；当，即，y随着x增大而减小，即y小于2，即该选项错误． 故选C． 3. 如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点，则与的面积之差为（ ） A. B. C. 8 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与图形面积的计算，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键，设出两个等腰直角三角形的边长，表示出点的坐标，代入反比例函数的关系式，得到两个边长之间的关系，表示两个等腰直角三角形的面积，利用整体代入即可求出面积差． 【详解】解：设，，则，， ∴， ∵反比例函数经过点， ∴，即， ∴． 故选：D． 4. 正方形按如图的方式放置，点和点分别在直线和轴上，其面积分别记为，则（ ） 参考公式：． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数找规律问题，找到题中的规律是解题的关键，根据一次函数解析式求出，的坐标，从而找到规律，从而得到，再根据提示即可求得答案． 【详解】解：∵点和点分别在直线和轴上， ∴，， ∴， ∴将代入得， ∴， ∴， 以此类推可得：， ， ∴ ． 故选：A． 5. 如图，在矩形中，，是对角线上的动点，连接，将直线绕点顺时针旋转使，且过作，连接，则最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，作于H，连接延长交于E，作于F，先证明，得到，，进而证得，得到，推出点G在射线上运动，从而可知当时，的值最小；然后通过角的运算和等角对等边得到，接着利用勾股定理和三角形面积求得，通过证明，得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，作于H，连接延长交于E，作于F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，，即， ∴， ∴，即为定值， ∴点G在射线上运动， ∴当时，的值最小， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查旋转变换，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 二.填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分） 6. 甲、乙、丙3位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加志愿者活动，则周六、周日都有同学参加志愿者活动的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，运用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式：概率所求情况数与总情况数之比，求出事件A或B的概率．先画出树状图展示所有等可能的结果数，当三人不在同一天去时，周六、周日都有同学参加志愿者活动，即可求出周六、周日都有同学参加志愿者活动的结果数，然后根据概率公式求解即可； 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知，所有等可能的结果共有8种，其中周六、周日都有同学参加志愿者活动的结果共有6种， 周六、周日都有同学参加志愿者活动的概率为， 故答案为：． 7. 如图，在▱中，的角平分线分别交于和与交于点，则与面积之比是，则_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握知识点是解题的关键．先证明，得到，，，求出，则，解得，即可解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，的角平分线分别交于和与交于点， ∴，，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 即， 解得． 故答案为：3． 8. 已知关于的方程无解，则的值是_____． 【答案】1或0 【解析】 【分析】本题考查分式方程无解的情况，掌握知识点是解题的关键． 根据将分式方程化为整式方程，化简得，由分式方程无解，得到，求出， 对增根分类讨论即可． 【详解】解： 两边同时乘以，得 ， 解得 ， ∵关于的方程无解， ∴， 解得 ， 当时，， 解得， 当时，， 解得， ∴a的值为1或0． 故答案为：1或0． 9. 如图，在中，以点为圆心，一定长为半径画弧分别交于点和，再以点为圆心，长为半径画弧交于点，最后以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，若，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，正确理解作一个角等于已知角的方法及掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．由题意得，证明，得到，代入数值求出． 【详解】解：由题意得，， ， ， ， ． 故答案为：． 10. 如图，菱形的顶点、在直线上，以点为旋转中心将菱形顺时针旋转，得到菱形交于点交直线于点，若，则的大小为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据旋转的性质得，根据菱形的性质求出，进而得，再根据四边形是菱形求出，即可求出，可说明，接下来根据“角边角”证明，可得，结合等腰三角形的性质求出，然后根据平行线的性质得，则此题可解． 【详解】解：根据旋转的性质得， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴. ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，菱形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等，证明两个三角形全等是解题的关键． 11. 抛物线与直线交于点、点，点在直线上方的抛物线上，过点作，垂足为，则当最大时，点的横坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】过点作交于点，交于点，可得，，继而得出，，，根据，得出关于的二次函数解析式，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：如图，过点作交于点，交于点， 依题意，设，则 则， ∵点、点， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴ ∴，即 ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴ 即 ∴ ∴ ， 当时，取得最大值， 故答案为：． 三、解答题（本大题共3小题，依次为15分、17分、17分，共49分.要求写出解答或证明过程.） 12. 某品牌热水器中，原有水的温度为，开机通电，热水器启动开始加热（加热过程中水温与开机时间分钟满足一次函数关系），当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降（水温下降过程中水温与开机时间分钟成反比例函数关系）．当水温降至时，热水器又自动以相同的功率加热至重复上述过程，如图所示，当开机时间为分钟时，水温第一次由降至． （1）当时，水温与开机时间分钟的函数表达式． （2）求的值． （3）求开机50分钟时热水器中水的温度． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数关系式，求反比例函数关系式， 对于（1），将点代入关系式，解方程组求出解即可； 对于（2），将点代入反比例函数求出关系式，再令可得答案； 对于（3），先求出直线关系式，再求出时函数值即可. 【小问1详解】 解：当时，将点代入直线关系式，得 ， 解得， ∴直线关系式为； 【小问2详解】 解：将点代入反比例函数，得 ， 解得， ∴反比例函数. 当时，（分）， 所以； 【小问3详解】 解：当时，直线的关系式为， 将点代入，得， 解得， ∴直线的关系式为， 当时，， 解得， 当时，， 所以开机50分钟时热水器中水的温度是70℃. 13. 在四边形中，点在的延长线上，且，点为直线上一点，连接．作交直线于点． （1）连接，当四边形为正方形时； ①如图1，当点为中点时，证明：． ②如图2，当点在线段上，且不为中点时，试探究线段，三者之间的数量关系，并证明你的结论． （2）如图3，当四边形为矩形，点在的延长线上时，请先补全图形，试探究线段三者之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）①证明：如图1，连接， 在中，，， ∴，， ，， ， 记与的交点为， ∵四边形是正方形， ， ，， ， ， 在和中，， ∴， ； ②解：； 理由：如图2，过点作， 由（1）知，， ，，， 同（1）的方法得出，， 在和中，， ， ， ； （2）或，证明如下： Ⅰ、点在的延长线上时，补全图形如图3所示， ； 理由：过点作交延长线于， 同（2）的方法得出，，，， 在和中，， ， ， ， ， 即：； Ⅱ、点在或延长线上时，补全图形如图④所示， ； 理由：过点作， 同（2）的方法得出，， ， ， ， ， 在和中，， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）先判断出，，进而得出，即可得出结论； （2）构造全等三角形，同（1）的方法判断出，，再出出最后用等量代换即可； （3）由题意可分点在的延长线上时，点在或的延长线上时．同（1）（2）的方法判断出，，再出最后用等量代换即可． 【小问1详解】 ①略 ②略 【小问2详解】 略 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解本题的关键是，． 14. 抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）如图，直线与抛物线的一个交点为，与直线交于点，点位于线段上，当时，求的值． （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得？若存在，求点坐标；若不存在，请说明理由． （3）已知点为抛物线上任意一点，． ①证明：的长度等于点到直线的距离； ②已知点，过点作轴的垂线交轴于点，求的最小值． 【答案】（1） （2）或 （3）①见解析，② 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，一次函数的图像与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角的性质，掌握知识点是解题的关键． （1）设，，推导出，，继而得到，，推导出，求出，或（不符合题意），则，或（不符合题，舍去）， 解得，即可解答； （2）作的垂直平分线，交于点E，交x轴于点D，在线段上取，连接， 证明，与都为等腰直角三角形，得到，，求出，，继而推导出直线的解析式为，设点，得到，求出，则以F为圆心，长为半径与对称轴的交点，即为点P，得到，求解即可； （3）①设点Q的坐标为，求出的长与点到直线的距离，再化简求解即可； ②设点Q到直线的距离为d，则，推导出，则， 根据“三角形两边之差小于第三边”，对于，有，当且仅当S，F，Q三点共线且Q在延长线或延长线上时，等号成立，此时， 则的最小值为，最后推导出的最小值为，即可解答． 【小问1详解】 解：在抛物线中，令，则， ∴，即 设，， ∴，， ∴， 将代入，得 ， 将代入，得， ∵， ∴，即， 将代入，得 ，即， ∴， 解得，或（不符合题意）， ∴， 解得， 答：k的值为． 【小问2详解】 作的垂直平分线，交于点E，交x轴于点D，在线段上取，连接，如图 有，，， ， ，与都为等腰直角三角形，且 ，， ∴，， 解得， ， 设直线的解析式为，将，分别代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为， 则设点， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴ 由抛物线，得对称轴， 设点， ∵， ∴以F为圆心，长为半径与对称轴的交点，即为点P， ∴， 即， 解得， ∴或 【小问3详解】 ①设点Q的坐标为，由，得 点到直线的距离为， ∴ ， 即， ∴的长度等于点Q到直线的距离． ②如图 由①知，的长度等于点Q到直线的距离． 设点Q到直线的距离为d，则， ∵过点Q作x轴的垂线交x轴于点T， ∴的长度为点Q的纵坐标的绝对值，即， ∴，即， ∴． ∴． 根据“三角形两边之差小于第三边”，对于，有，当且仅当S，F，Q三点共线且Q在延长线或延长线上时，等号成立，此时， ∵， ∴， 即， ∴的最小值为． ∵的最小值为， ∴的最小值为． 综上，的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年九年级潜能学生学科核心素养检测 数学试题 一.选择题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，每道题的四个选项中有且只有一个正确） 1. 不等式组的最大整数解是（ ） A. B. 3 C. 4 D. 5 2. 已知一次函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，随的增大而增大 B. 图像必经过点 C. 当时，图象经过第一、二、四象限 D. 当时， 3. 如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点，则与的面积之差为（ ） A. B. C. 8 D. 4 4. 正方形按如图的方式放置，点和点分别在直线和轴上，其面积分别记为，则（ ） 参考公式：． A. B. C. D. 5. 如图，在矩形中，，是对角线上的动点，连接，将直线绕点顺时针旋转使，且过作，连接，则最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 二.填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分） 6. 甲、乙、丙3位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加志愿者活动，则周六、周日都有同学参加志愿者活动的概率为_____． 7. 如图，在▱中，的角平分线分别交于和与交于点，则与面积之比是，则_____． 8. 已知关于的方程无解，则的值是_____． 9. 如图，在中，以点为圆心，一定长为半径画弧分别交于点和，再以点为圆心，长为半径画弧交于点，最后以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，若，，则_____． 10. 如图，菱形的顶点、在直线上，以点为旋转中心将菱形顺时针旋转，得到菱形交于点交直线于点，若，则的大小为_____． 11. 抛物线与直线交于点、点，点在直线上方的抛物线上，过点作，垂足为，则当最大时，点的横坐标为_____． 三、解答题（本大题共3小题，依次为15分、17分、17分，共49分.要求写出解答或证明过程.） 12. 某品牌热水器中，原有水的温度为，开机通电，热水器启动开始加热（加热过程中水温与开机时间分钟满足一次函数关系），当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降（水温下降过程中水温与开机时间分钟成反比例函数关系）．当水温降至时，热水器又自动以相同的功率加热至重复上述过程，如图所示，当开机时间为分钟时，水温第一次由降至． （1）当时，水温与开机时间分钟的函数表达式． （2）求的值． （3）求开机50分钟时热水器中水的温度． 13. 在四边形中，点在的延长线上，且，点为直线上一点，连接．作交直线于点． （1）连接，当四边形为正方形时； ①如图1，当点为中点时，证明：． ②如图2，当点在线段上，且不为中点时，试探究线段，三者之间的数量关系，并证明你的结论． （2）如图3，当四边形为矩形，点在的延长线上时，请先补全图形，试探究线段三者之间的数量关系，并证明你的结论． 14. 抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）如图，直线与抛物线的一个交点为，与直线交于点，点位于线段上，当时，求的值． （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得？若存在，求点坐标；若不存在，请说明理由． （3）已知点为抛物线上任意一点，． ①证明：的长度等于点到直线的距离； ②已知点，过点作轴的垂线交轴于点，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $