第3章 圆锥曲线与方程 单元测试卷-2025-2026学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册
第3章 圆锥曲线与方程
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若点P到直线x=-1的距离比到点(2,0)的距离小1,则点P的轨迹是 ( )
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
2.若双曲线
-
=1的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为 ( )
A.
B.
C.
D.
3.双曲线
-
=1(mn≠0)的离心率为2,有一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合,则mn的值为 ( )
A.
B.
C.
D.
4.过抛物线y2=8x的焦点,作倾斜角为45°的直线,则被抛物线截得的弦长为 ( )
A.8 B.16 C.32 D.64
5.已知F1,F2为椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点,过点F2作椭圆的弦AB,若△AF1B的周长为16,椭圆的离心率e=
,则椭圆的方程是 ( )
A.
+
=1 B.
+=1
C.+
=1 D.+
=1
6.已知F是抛物线y=
x2的焦点,P是该抛物线上的动点,则线段PF中点的轨迹方程是 ( )
A.x2=2y-1 B.x2=2y-
C.x2=y-
D.x2=2y-2
7.已知A,B为双曲线E的左、右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为 ( )
A.
B.2 C.
D.
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8.画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现:与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.如图1,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的蒙日圆方程为x2+y2=a2+b2,椭圆C的离心率为
,M为蒙日圆上的一个动点,过点M作椭圆C的两条切线,与蒙日圆分别交于P,Q两点,则△MPQ面积的最大值为 ( )
图1
A.3b2 B.2b2 C.
D.6b2
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知双曲线C过点(3,)且渐近线为y=±
x,则下列结论正确的是 ( )
A.C的方程为
-y2=1 B.C的离心率为
C.曲线y=ex-2-1经过C的一个焦点 D.直线x-y-1=0与C有两个公共点
10.已知双曲线C:-y2=1(a>0),若圆(x-2)2+y2=1与双曲线C的渐近线相切,则 ( )
A.双曲线C的实轴长为6
B.双曲线C的离心率e=
C.点P为双曲线上任意一点,若点P到C的两条渐近线的距离分别为d1,d2,则d1d2=
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D.直线y=k1x+m与C交于A,B两点,点D为弦AB的中点,若OD(O为坐标原点)的斜率为k2,则k1k2=
11.设椭圆的方程为
+=1,斜率为k的直线不经过原点O,而且与椭圆相交于A,B两点,M为线段AB的中点,下列结论正确的是 ( )
A.直线AB与OM垂直
B.若点M坐标为(1,1),则直线方程为2x+y-3=0
C.若直线方程为y=x+1,则点M坐标为(,)
D.若直线方程为y=x+2,则AB=
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知F为抛物线C:y2=x的焦点,点A,B在抛物线上,且分别位于x轴的上、下两侧,若△BFO的面积是(O为坐标原点),且
·
=12,则直线AB的斜率是 .
13.双曲线E:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的方程为y=x,则该双曲线的离心率为 ,若E上的点A满足AF2⊥F1F2,其中F1,F2分别是E的左、右焦点,则sin∠AF1F2= .
14.国家体育场(鸟巢)的钢结构鸟瞰结构图如图2所示,内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆,将其平面图放入适当的平面直角坐标系中,如图3,若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC,BD,且两切线斜率之积等于-
,则椭圆的离心率为 .
图2 图3
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