22.2第4课时　相似三角形的判定定理3 课件 2025-2026学年沪科版九年级数学上册

22.2　相似三角形的判定 第4课时　相似三角形的判定定理3 第22章　相似形 2. 证明三角形全等有哪些方法？你能从中获 得证明三角形相似的启发吗？ 导入新课 1. 什么是相似三角形？在前面的课程中，我们学过哪 些判定三角形相似的方法？你认为这些方法是否有 其缺点和局限性？ A B C D E 复习引入 3. 类似于判定三角形全等的 SSS 方法，我们能不能通 过三边来判定两个三角形相似呢？ 讲授新课 三边成比例的两个三角形相似 合作探究 画 △ABC 和 △A′B′C′，使 ， 动手量一量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两 个三角形是否相似？ A B C C′ B′ A′ A B C C′ B′ A′ 通过测量不难发现∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'， 又因为两个三角形的边对应成比例，所以 △ABC ∽ △A′B′C′. 下面我们用前面所学得定理证明该结论. ∴ C′ B′ A′ 证明: 在线段 AB (或延长线) 上截取 AD=A′B′， 过点 D 作 DE∥BC 交AC于点 E. ∵ DE∥BC ，∴ △ADE ∽ △ABC. ∴ DE=B′C′，EA=C′A′. ∴△ADE≌△A′B′C′， △A′B′C′ ∽△ABC. B C A D E 又 ，AD=A′B′， ∴ ， . 由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理： 三边成比例的两个三角形相似． ∵ ， ∴ △ ABC ∽ △A′B′C. 符号语言： 归纳总结 例1 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由． A B C 3 3.5 4 D F E 1.8 2.1 2.4 典例精析 解：在 △ABC 中，AB > BC > CA，在 △ DEF中， DE > EF > FD. ∴ △ABC ∽ △DEF. A B C 3 3.5 4 D F E 1.8 2.1 2.4 ∵ ， ， ， ∴ . 判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等. 注意：计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应. 归纳总结 三边成比例的两个三角形相似 利用三边判定两个三角形相似 课堂小结 相似三角形的判定定理的运用 1. 在△ABC与△A1B1C1中，有下列条件：① ＝ ；② ＝ ；③ ∠A＝∠A1；④ ∠C＝∠C1.如果从中任取两个条件组成一组，那么能判定△ABC∽△A1B1C1的共有（　C　） A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2. 如图，小正方形的边长均为1，则下列选项中的三角形（涂色部分）与△ABC相似的是（　A　） （第2题） 　　 　　 　　 A. B. C. D. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3. 如图， ＝ ＝k，请再添加一个条件，使△ABC∽△ACD，你添加的条件是 　 ＝k　（写出一个即可）.（答案不唯一） （第3题） ＝k　 （答案不唯一） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4. 如图，在△ABC和△AED中，AB＝25，BC＝40，AC＝20，AE＝12，AD＝15，DE＝24. （第4题） （1） 求证：△ABC∽△ADE. 解：（1） ∵ BC∶DE＝40∶24＝5∶3，AB∶AD＝25∶15＝5∶3，AC∶AE＝20∶12＝5∶3，∴ BC∶DE＝AB∶AD＝AC∶AE. ∴ △ABC∽△ADE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （2） 若∠BAC＝125°，∠EAC＝70°，求∠CAD的度数. 解：（2） 由（1），知△ABC∽△ADE，∴ ∠DAE＝∠BAC＝125°.又∵ ∠EAC＝70°，∴ ∠CAD＝∠DAE－∠EAC＝125°－70°＝55°. （第4题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5. 如图，∠APD＝90°，AP＝PB＝BC＝CD，则下列结论成立的是（　B　） A. △PAB∽△PCA B. △ABC∽△DBA C. △PAB∽△PDA D. △ABC∽△DCA （第5题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6. 已知△ABC的三边长分别为20cm，50cm，60cm，现要利用长度分别为30cm和60cm的细木条各一根，做一个三角形木架与△ABC相似，要求以其中一根为一边，将另一根截成两段（允许有余料）作为另外两边，那么另外两边的长度（单位：cm）分别为（　D　） A. 10，25 B. 10，36或12，36 C. 12，36 D. 10，25或12，36 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7.要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4，5，6，另一个三角形框架的一边长为12，则另外两边长分别为 　15，18或 ， 或8，10　. 15，18或 ， 或8，10　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8. 数形结合思想 如图，点A，B，C的坐标分别为（3，0），（0，4），（4，2），过点C作CD⊥x轴于点D，连接AB，BC，AC. 求证：△ABC∽△ACD. （第8题） 解：∵ A（3，0），B（0，4），C（4，2），∴ AB＝ ＝5，BC＝ ＝2 ，AC＝ ＝ . ∵ CD⊥x轴，∴ AD＝4－3＝1，CD＝2.∵ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，∴ ＝ ＝ .∴ △ABC∽△ACD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9. 如图，点B，D，E在同一条直线上，BE与AC相交于点F， ＝ ＝ ，连接EC. （第9题） （1） 求证：△ABD∽△ACE. 解：（1） ∵ ＝ ＝ ，∴ △ABC∽△ADE. ∴ ∠BAC＝∠DAE. ∴ ∠BAC－∠DAF＝∠DAE－∠DAF，即∠BAD＝∠CAE. ∵ ＝ ，∴ ＝ .∴ △ABD∽△ACE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （2） 若∠BAD＝21°，求∠EBC的度数. 解：（2） 由（1），知△ABC∽△ADE，∴ ∠ABC＝∠ADE. ∵ ∠ABC＝∠ABE＋∠EBC，∠ADE＝∠ABE＋∠BAD，∴ ∠EBC＝∠BAD＝21°. （第9题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10. ★如图①，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF都是格点三角形（三角形的各顶点都在小正方形的顶点上）. （第10题） （1） △ABC与△DEF是否相似？请说明理由. 解：（1） 相似.理由：∵ 易得AB＝2，BC＝2 ，AC＝2 ，DE＝ ，EF＝2，DF＝ ，∴ ＝ ＝ ＝ . ∴ △ABC∽△DEF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （2） 在如图②所示的正方形网格（每个小正方形的边长均为1）中，画出与△DEF相似且面积最大的格点三角形，并直接写出其面积. （第10题） 解：（2） 如图②，△D'E'F'即为所求作.S△D'E'F'＝ ×5 × ＝5. （第10题答案） （第10题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 $