精品解析：2022年湖南省株洲市第二中学自主招生考试数学试题

株洲市第二中学2022年自主招生考试 数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 当时，代数式的值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，分母有理化，解题的关键是掌握分式化简求值的方法． 根据分式的除法和因式分解可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：， ， 当时，原式， 故选：D． 2. 下面四个结论，正确的个数为（ ） ：；方程的解为；． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，因式分解，解一元二次方程，根据二次根式的性质，因式分解，解一元二次方程逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：，原结论错误，不符合题意； ，原结论正确，符合题意； ∴，，原结论错误，不符合题意； ，原结论错误，不符合题意； 综上：正确，共个， 故选：． 3. 已知实数a满足，那么的值是（ ） A. 2021 B. 2022 C. 2023 D. 2024 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值，二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得到，此时原式可变形为，可得到，进而可得． 【详解】解：根据题意得：， ， ∵， ， ， ， ， 故选：C． 4. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，则该抛物线关于点成中心对称的抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出C点坐标，再设新抛物线上的点的坐标为（x,y），求出它关于点C对称的点的坐标，代入到原抛物线解析式中去，即可得到新抛物线的解析式． 【详解】解:当x=0时，y=5， ∴C（0,5）； 设新抛物线上的点的坐标为（x,y）， ∵原抛物线与新抛物线关于点C成中心对称， 由，； ∴对应的原抛物线上点的坐标为； 代入原抛物线解析式可得：， ∴新抛物线的解析式为：； 故选：A． 【点睛】本题综合考查了求抛物线上点的坐标、中心对称在平面直角坐标系中的运用以及求抛物线的解析式等内容，解决本题的关键是设出新抛物线上的点的坐标，求出其在原抛物线上的对应点坐标，再代入原抛物线解析式中求新抛物线解析式，本题属于中等难度题目，蕴含了数形结合的思想方法等． 5. 如图，在反比例函数和的图象上有A，B两点，，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点分别作轴的垂线，垂足分别为，证明，由相似三角形的性质可得，根据反比例函数的意义，可得，进而根据正切的定义求解即可． 【详解】解：如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别为， ， ， ， ， ， 在上， ， 在上， ， ， ， ． 故选D． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，正切的定义，反比例函数的几何意义，掌握以上知识是解题的关键． 6. 已知关于x的方程有两个实数根、，且，，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，二次函数与x轴的交点坐标，设，根据二次函数的图像与x轴的交点分别在直线的两侧时，关于x的方程有两个实数根、，且，，分两种情况：当，即时，当，即时，分别画出图形，进行求解即可． 【详解】解：设， ∴抛物线的对称轴为：， 由题意得，二次函数的图像与x轴的交点分别在直线的两侧时，关于x的方程有两个实数根、，且，， 当时，则， 当，即时，二次函数的图像，如图所示： ∴， 解得：， ∴当时，关于x的方程有两个实数根、，且，； 当，即时，二次函数的图像，如图所示： ∴， 解得：， ∴此时没有符合题意的m值存在； 综上分析可知：当时，关于x的方程有两个实数根、，且，． 故选：C． 7. 沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以为圆心，为半径的圆弧，是的中点，在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值的计算公式：．当，时，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是等边三角形的三线合一、解直角三角形等知识，正确理解“会圆术”给出的弧长的近似值的计算公式是解题的关键． 连接，根据等边三角形的性质得到，根据三线合一求出，根据余弦的定义求出，进而求出，代入公式计算即可． 【详解】解：如图，连接， ，， 为等边三角形， ， 又是的中点， ，， ， 点、、在同一条直线上， 中，， ， 则， 故选：B． 8. 如图，在△ABC中，，，，点D在AC边上，且，动点P在BC边上，将△PDC沿直线PD翻折，点C的对应点为E，则△AEB面积的最小值是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接BD，作点C关于BD的对称点N，以点D为圆心，以DC为半径作，过点D作DM⊥AB于M，交于Q．根据勾股定理，相似三角形的判定定理和性质求出DM的长度，根据轴对称的性质求出QM的长度，根据点E的运动轨迹确定当点E与点Q重合时，点E到AB的距离最短为QM，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如下图所示，连接BD，作点C关于BD对称点N，以点D为圆心，以DC为半径作，过点D作DM⊥AB于M，交于Q． ∵，，，DM⊥AB于M， ∴∠AMD=∠ACB，． ∵∠MAD=∠CAB，AD=2， ∴，DC=AC-AD=1． ∴，DQ=DC=1． ∴． ∴． ∵动点P在BC边上，△PDC沿直线PD翻折，点C的对应点为E， ∴DE=DC=DN． ∴点E在上移动． ∴当点E与点Q重合时，点E到AB的距离最短为QM． ∴△AEB面积的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理，相似三角形的判定定理和性质，轴对称的性质，三角形面积公式，综合应用这些知识点是解题关键． 二、选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．） 9. 如图，有一个球形容器，小海在往容器里注水的过程中发现，水面的高度h、水面的面积S及注水量V是三个变量．下列说法正确的是（ ） A. S是V的函数 B. V是S的函数 C. h是S的函数 D. S是h的函数 【答案】AD 【解析】 【分析】根据球形容器，水面的高度h和注水量V对应有两个水面的面积S即可判定． 本题主要考查了函数的定义，函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量． 【详解】A：由题意可知，对于注水量的每一个数值，水面的面积S都有唯一值与之对应，所以V是自变量，S是因变量，所以S是V的函数，符合题意； B：由题意可知，对于水面的面积S的每一个数值，注水量V的值不一定唯一，所以V不是S的函数，不符合题意； C：由题意可知，对于水面的面积S的每一个数值，水面的高度h的值不一定唯一，所以h不是S的函数，不符合题意； D：由题意可知，对于水面的高度h的每一个数值，水面的面积S都有唯一值与之对应，h是自变量，S是因变量，所以S是h的函数，符合题意； 故选：AD． 10. 如表是某生活超市2022年第四季度各区域营业收入占比和净利润占比统计表： 生鲜区 熟食区 乳制品区 日用品区 其它类 营业收入占比 净利润占比 该生活超市本季度的总营业利润率为（营业利润率是净利润占营业收入的百分比），则（ ） A. 本季度此生活超市营业收入最低的是熟食区 B. 本季度此生活超市的营业净利润超过一半来自生鲜区 C. 本季度此生活超市营业利润率最高的是日用品区 D. 本季度此生活超市生鲜区的营业利润率超过 【答案】BC 【解析】 【分析】本题考查了统计表，解题的关键是正确读取图表中的数据，明确计算公式． 利用图表中的数据，结合营业利润率的计算公式，对选项进行逐一的分析判断即可． 【详解】解：A由图表可知，此生活超市营业收入最低的是其它类，故选项A错误； B因为生鲜区的净利润占比，则本季度此生活超市的营业净利润超过一半来自生鲜区，故选项B正确； C生活超市生鲜区的营业利润率为， 生活超市熟食区的营业利润率为， 生活超市乳制品区的营业利润率为， 生活超市日用品区的营业利润率为， 生活超市其它类的营业利润率为， 所以本季度此生活超市营业利润率最高的是日用品区，故选项C正确； D由上面计算可知，生活超市生鲜区的营业利润率为，故选项D错误． 故选：BC． 11. 不等式恒成立，则a的取值可能是（ ） A. B. 5 C. 2 D. 3 【答案】AC 【解析】 【分析】此题考查了绝对值和解不等式，用到了分类讨论的方法，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘 （或除以）同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数不等号的方向改变． 将的值进行分段讨论，，，，从而可分别将绝对值符号去掉，得出的范围，综合起来即可得出的取值范围． 【详解】解：， 当时，； 当时，； 当时，； ∵不等式恒成立， ∴的取值范围是． 故a的取值可能是或2， 故选：AC． 12. （多选）如图是古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，．的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自I，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、三角形面积、圆的面积以及概率等知识，熟练掌握勾股定理，证明S1=S2是解题的关键． 设，由勾股定理得，则，再由三角形面积公式和圆的面积公式证明，即可得出结论． 【详解】解：设， 由勾股定理得， ∴， ，，， ， ． 故选∶BCD． 三、填空题（每小题5分，共20分） 13. 若关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围为______． 【答案】m＞1且m≠3． 【解析】 【分析】先解关于x的分式方程，得x=1-m，再根据关于x的分式方程的解为负数，得1-m＜0且1-m≠-2，故m＞1且m≠3． 【详解】解：， 去分母，得3-m=x+2， 移项，得x=1-m． ∵关于x的分式方程的解为负数， ∴1-m＜0且1-m≠-2， ∴m＞1且m≠3． 故答案为：m＞1且m≠3． 【点睛】本题主要考查解分式方程以及解一元一次不等式，熟练掌握解分式方程以及解一元一次不等式是解决本题的关键． 14. 如图，在矩形中，，，，、分别从，，，出发沿，，，方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若，则，，．当______时，以P，Q、M，N为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】2或4． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，正确进行讨论是关键．首先利用表示出和的长，然后根据即可列方程求得的值． 【详解】解：由题意知，点只能在点的左侧， ①当点在点的左侧时，由， 整理得， 解这个方程，得（舍去），． 所以，当时，四边形是平行四边形． ②当点在点的右侧时，由， 整理得， 解这个方程，得（舍去），． 所以，当时，四边形是平行四边形． 所以当或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 故答案为：2或4． 15. 已知，则值为______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了整体代入的方法，整式乘法混合运算，灵活运用整体思想及熟练掌握整式乘法混合运算法则是解决本题的关键． 先利用已知条件得到，利用整体代入得到，再展开得到，再将代入进而可求得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案：0． 16. 设p为质数，m为整数，满足，则______． 【答案】或5 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的整数解问题，根的判别式，质数，掌握一元二次方程的整数解问题，根的判别式，质数，完全平方数是解题关键． 先将等式变形为关于的一元二次方程，方程有实根，求出判别式，利用求根公式得出为整数，为质数，得出，即可得出结论． 【详解】解：设为质数，为整数，满足， ， ， ， ∵ m为整数， ∴必为完全平方数， 设（为非负整数）， 则， 又为质数， ∴和均为偶数， 故只可能且， 解得， ， ∴或5， 故答案为：或5． 四、解答题（共70分） 17. （1）已知数列的前n项和为（n为正整数），求，的通项公式； （2）已知数列满足（n为正整数），求数列的通项公式． 【答案】（1）；；（2） 【解析】 【分析】本题考查数字类规律，正确理解计算是解题的关键． （1）利用与的关系求通项公式； （2）由得，两式相减即可解答． 【详解】解：（1）当时，， 当时，（首项符合）， ； （2）①， ②（）， 得， （）， 当时，，符合上式， ． 18. 如图，在直三棱柱中，，，，； （1）若点为的中点，为上的动点，求线段长度的最小值； （2）若点分别是、上的动点，求线段的最小值． 【答案】（1）线段长度的最小值为； （2）线段的最小值为． 【解析】 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，矩形的判定与性质，勾股定理，认识立体图形，掌握知识点的应用是解题的关键． （）延长到，使得，连接交于点，过点作于点，得矩形，然后根据矩形性质和勾股定理即可解决问题； （）把平面沿展开到与平面共面的位置，延长到，使得，连接，，，，四点共线时，线段的长度最小，求出此时线段的长度即可． 【小问1详解】 解：由题意可知：四边形是矩形， ∴，，， 如图，延长到，使得，连接交于点， ∴， ∴， ∴线段长度的最小值为的长， 过点作于点，得矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴线段长度的最小值为； 【小问2详解】 解：把平面沿展开到与平面共面的位置，延长到，使得，连接，如图所示， ∴， 要使得的长度最小，则需，，，四点共线， 此时， ∵，， ， ∴， ∴线段的最小值为． 19. 如图，已知直线，是，之间的一定点，并且点到，的距离分别为，，，分别是直线，的动点，设． （1）如图，若时，写出面积关于角的函数解析式； （2）如图，若时，写出面积关于角的函数解析式． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，三角形面积公式等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （）根据三角函数的定义分别求出和，再用直角三角形的面积公式即可得解； （）先求出，进而求出的长度, 再依据作边上的高, 得到，最后代入求解化简即可． 【小问1详解】 解：在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 过作于点， 则， ∴ ． 20. 如图，已知抛物线与y轴交于点，对称轴为，直线分别交抛物线于点A，B（点A在点B的左边），直线分别交y轴、x轴于点D，，交抛物线在y轴右侧部分于点F，交于点P，且． （1）求抛物线及直线的函数表达式； （2）若G为直线下方抛物线上的一个动点，连接，，求当面积最大时，点G的坐标及面积的最大值． 【答案】（1）抛物线的函数表达式为：，直线的函数表达式为 （2）点的坐标为时，面积有最大值为 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的综合运用，待定系数法求抛物线关系式，求一次函数解析式，作出相应辅助线，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． （1）先根据点的坐标，确定的值，根据抛物线的对称轴为，得出的值，即可得出抛物线的解析式；根据，得出点的坐标，利用待定系数法即可得出一次函数的解析式； （2）过点作轴交于点，联立 ，求出点的横坐标，设点，则点，则，即可表示出，求出结果即可 【小问1详解】 解：∵， ， ∵抛物线的对称轴为， ， ， ∴抛物线的函数表达式为：， ， ， 又 ∵， ， ， ∴直线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：过点作轴交于点，如图所示： 联立， 解得， ∴点的横坐标为， 设点， 则点， ， ， ∴当时，即点的坐标为时，面积有最大值为． 21. 已知， （1）求a，b，c中最大者的最小值． （2）求的最小值． 【答案】（1）4；（2）6 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程即可解决问题； （2）用分类讨论的思想，解决问题即可． 【详解】解：（1）不妨设a是a，b，c中的最大者，即a≥b，a≥c，由题设知a＞0， 且b+c=2-a，bc＝， 于是b，c是一元二次方程x2−（2−a）x+＝0的两实根， △＝(2−a)2−4×≥0，a3-4a2+4a-16≥0，（a2+4）（a-4）≥0， 所以a≥4． 又当a=4，b=c=-1时，满足题意． 故a，b，c中最大者的最小值为4． （2）因为abc＞0，所以a，b，c为全大于0或一正二负． ①若a，b，c均大于0，则由（1）知，a，b，c中的最大者不小于4，这与a+b+c=2矛盾． ②若a，b，c为或一正二负，设a＞0，b＜0，c＜0，则|a|+|b|+|c|=a-b-c=a-（2-a）=2a-2， 由（1）知a≥4， 故2a-2≥6， 当a=4，b=c=-1时，满足题设条件且使得不等式等号成立． 故|a|+|b|+|c|的最小值为6． 【点睛】本题考查绝对值，一元二次方程等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，题目比较难，属于竞赛题目． 22. 在对株洲市二中高一年级学生的身高调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，其平均数，方差，抽取了女生27人，其平均数，方差为．根据这些数据计算： （1）求总样本的平均数： （2）求总样本的方差，并估计高一年级全体学生的身高方差． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查平均数和方差的计算，考查运算求解能力，属于基础题． （1）根据男、女生的人数和平均数即可求出总体样本平均数； （2）由方差公式和完全平方公式计算即可求解． 【小问1详解】 解：总样本的平均数为； 答：总样本的平均数为， 【小问2详解】 设男生样本数据为、……，女生样本数据为、……， 依题意得：， ， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 总样本的方差为． ∴ 即总样本的方差为，并据此估计高一年级全体学生的身高方差为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 株洲市第二中学2022年自主招生考试 数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 当时，代数式值为（ ） A. 3 B. C. D. 2. 下面四个结论，正确的个数为（ ） ：；方程的解为；． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 3. 已知实数a满足，那么的值是（ ） A. 2021 B. 2022 C. 2023 D. 2024 4. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，则该抛物线关于点成中心对称的抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在反比例函数和的图象上有A，B两点，，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 6. 已知关于x的方程有两个实数根、，且，，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以为圆心，为半径的圆弧，是的中点，在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值的计算公式：．当，时，（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在△ABC中，，，，点D在AC边上，且，动点P在BC边上，将△PDC沿直线PD翻折，点C的对应点为E，则△AEB面积的最小值是（ ） A. B. C. 2 D. 二、选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．） 9. 如图，有一个球形容器，小海在往容器里注水的过程中发现，水面的高度h、水面的面积S及注水量V是三个变量．下列说法正确的是（ ） A. S是V的函数 B. V是S的函数 C. h是S的函数 D. S是h的函数 10. 如表是某生活超市2022年第四季度各区域营业收入占比和净利润占比统计表： 生鲜区 熟食区 乳制品区 日用品区 其它类 营业收入占比 净利润占比 该生活超市本季度的总营业利润率为（营业利润率是净利润占营业收入的百分比），则（ ） A. 本季度此生活超市营业收入最低是熟食区 B. 本季度此生活超市的营业净利润超过一半来自生鲜区 C. 本季度此生活超市营业利润率最高的是日用品区 D. 本季度此生活超市生鲜区的营业利润率超过 11. 不等式恒成立，则a的取值可能是（ ） A. B. 5 C. 2 D. 3 12. （多选）如图是古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，．的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自I，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（每小题5分，共20分） 13. 若关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围为______． 14. 如图，在矩形中，，，，、分别从，，，出发沿，，，方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若，则，，．当______时，以P，Q、M，N为顶点的四边形是平行四边形． 15. 已知，则的值为______． 16. 设p为质数，m为整数，满足，则______． 四、解答题（共70分） 17. （1）已知数列的前n项和为（n为正整数），求，的通项公式； （2）已知数列满足（n为正整数），求数列的通项公式． 18. 如图，在直三棱柱中，，，，； （1）若点为的中点，为上的动点，求线段长度的最小值； （2）若点分别是、上的动点，求线段的最小值． 19. 如图，已知直线，是，之间的一定点，并且点到，的距离分别为，，，分别是直线，的动点，设． （1）如图，若时，写出面积关于角的函数解析式； （2）如图，若时，写出面积关于角的函数解析式． 20. 如图，已知抛物线与y轴交于点，对称轴为，直线分别交抛物线于点A，B（点A在点B左边），直线分别交y轴、x轴于点D，，交抛物线在y轴右侧部分于点F，交于点P，且． （1）求抛物线及直线的函数表达式； （2）若G为直线下方抛物线上的一个动点，连接，，求当面积最大时，点G的坐标及面积的最大值． 21. 已知， （1）求a，b，c中最大者的最小值． （2）求最小值． 22. 在对株洲市二中高一年级学生身高调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，其平均数，方差，抽取了女生27人，其平均数，方差为．根据这些数据计算： （1）求总样本的平均数： （2）求总样本的方差，并估计高一年级全体学生的身高方差． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $