专题3 二项式定理（讲义） - 河南省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：河南省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块41个专题，每个专题均配备配套课件、讲义及练习题。 本专题是河南省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》模块10排列组合、二项式定理中的第3个专题二项式定理。本专题涵盖二项式定理展开式、展开式通项、二项式系数、项的系数及二项式系数的性质等知识点，知识点后配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 河南省2026年对口招生考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题3 二项式定理（讲义） 知识点1 二项式定理 1.二项式定理 一般地，对于每个（），的展开式中共有个，将它们合并同类项，就可以得到二项展开式：（）.这个公式叫做二项式定理. 2.二项展开式 公式中：，等号右边的多项式叫做的二项展开式. 3.二项式系数与项的系数 二项展开式中各项的二项式系数为(),项的系数是指该项中除变量外的常数部分,包含符号等. 4.二项展开式的通项 二项展开式中的()叫做二项展开式的通项,用表示,即通项为展开式的第项:.通项体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律,是二项式定理的核心,它在求展开式的某些特定项(如含指定幂的项常数项、中间项、有理项、系数最大的项等)及其系数等方面有着广泛的应用. 知识点2 二项式系数的性质 1.对称性：二项展开式中与首尾两端距离相等的两个二项式系数相等： 2.增减性：当时，二项式系数递增，当时，二项式系数递减； 3.最大值：当为奇数时，最中间两项二项式系数最大；当为偶数时，最中间一项的二项式系数最大. 4.各二项式系数和： （1）展开式的各二项式系数和：； （2）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等： 【考试题型1】求展开式中的二项式系数之和 【例1】（2025年·河南对口升学高考） 的展开式中，二项式系数之和是 ． 【考试题型2】判断展开式中包含的项 【例2】（2024年·河南对口升学高考）的展开式中包含的项有（ ） A. 常数项 B. 含x的项 C. 含的项 D. 含的项 【考试题型3】求展开式中系数最大的项 【例3】（2020年·河南对口升学高考）展开式中系数最大的项 ． 【考试题型4】求展开式中特定项系数的和 【例4】（2019年·河南对口升学高考）已知. 求的值. 【考试题型5】求展开中式的参数 【例5】（2018年·河南对口升学高考）的展开式中含项的系数为5，则的值为（ ） A. -4 B. -3 C. -2 D. -1 题型考点一 求二项展开式的特定项（或系数） 1．已知的展开式的各项系数之和为81，则（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．若，则（ ） A．80 B． C．40 D．81 3．求的展开式的第4项的二项式系数（ ） A． B． C．15 D．20 4．设，则（ ） A． B． C． D． 5．的展开式中，的系数为（ ） A． B． C． D． 6．在的展开式中，常数项为（ ） A． B． C． D． 7．在的展开式中，的系数为（ ） A． B．5 C． D．10 8．的展开式中的常数项为 ． 9．在的展开式中，的系数为 ． 10．在的展开式中，二项式系数之和与各项系数之和比为，则展开式的项数为 ． 题型考点二 二项式系数的性质 1．在的展开式中，所有二项式系数和为64，则（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．的展开式中系数最大的项是（ ） A．第5项 B．第6项 C．第5项、第6项 D．第6项、第7项 3．已知的展开式中第项和第项的二项式系数相等，则为（ ） A． B． C． D． 4．，则（ ） A．16     B．27     C．43     D．70 5．若的展开式中，第3项的二项式系数与第7项的二项式系数相等，则（ ） A．10 B．9 C．8 D．7 6．已知二项式的展开式中仅有第项的二项式系数最大，则为（ ） A． B． C． D． 7．已知，则（ ） A． B．2 C．4 D．12 8．已知的展开式的各项系数之和为81，则（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．若二项式的展开式，二项式系数之和为16，则展开式中的系数为（ ） A．2 B．4 C．8 D．16 10．已知的二项展开式中，所有二项式系数的和为256，则展开式中的常数项为 ． 题型考点三 求二项式中的参数 1．若的展开式中常数项等于，则（ ） A． B． C． D． 2．已知的展开式中，常数项为60，则的值为（ ） A．2 B．2， C．3 D．3， 3．在展开式中的系数为24，则实数的值为（ ） A．1 B． C．2 D． 4．已知，若，则的取值可以为（ ） A．2 B．1 C． D． 5．已知的展开式中常数项为112，则实数a的值为（ ） A． B．1 C．2 D． 6．在的展开式中，的系数为，则 ． 7．在的展开式中，的系数为8，则实数的值为 ． 8．在的展开式中，的系数为12，则的值为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：河南省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块41个专题，每个专题均配备配套课件、讲义及练习题。 本专题是河南省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》模块10排列组合、二项式定理中的第3个专题二项式定理。本专题涵盖二项式定理展开式、展开式通项、二项式系数、项的系数及二项式系数的性质等知识点，知识点后配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 河南省2026年对口招生考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题3 二项式定理（讲义） 知识点1 二项式定理 1.二项式定理 一般地，对于每个（），的展开式中共有个，将它们合并同类项，就可以得到二项展开式：（）.这个公式叫做二项式定理. 2.二项展开式 公式中：，等号右边的多项式叫做的二项展开式. 3.二项式系数与项的系数 二项展开式中各项的二项式系数为(),项的系数是指该项中除变量外的常数部分,包含符号等. 4.二项展开式的通项 二项展开式中的()叫做二项展开式的通项,用表示,即通项为展开式的第项:.通项体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律,是二项式定理的核心,它在求展开式的某些特定项(如含指定幂的项常数项、中间项、有理项、系数最大的项等)及其系数等方面有着广泛的应用. 知识点2 二项式系数的性质 1.对称性：二项展开式中与首尾两端距离相等的两个二项式系数相等： 2.增减性：当时，二项式系数递增，当时，二项式系数递减； 3.最大值：当为奇数时，最中间两项二项式系数最大；当为偶数时，最中间一项的二项式系数最大. 4.各二项式系数和： （1）展开式的各二项式系数和：； （2）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等： 【考试题型1】求展开式中的二项式系数之和 【例1】（2025年·河南对口升学高考） 的展开式中，二项式系数之和是 ． 【答案】32 【解析】 【分析】利用二项式展开式的二项式系数之和为可求. 【解析】对于二项式，其展开式的二项式系数之和为. 所以的展开式中，二项式系数之和是. 故答案为：. 【考试题型2】判断展开式中包含的项 【例2】（2024年·河南对口升学高考）的展开式中包含的项有（ ） A. 常数项 B. 含x的项 C. 含的项 D. 含的项 【答案】C 【分析】先求通项公式，再具体分析，即可 【解析】的展开式的通项为， 当时，，不成立；当时，，不成立； 当时，，成立；当时，，不成立； 故选：C. 【考试题型3】求展开式中系数最大的项 【例3】（2020年·河南对口升学高考）展开式中系数最大的项 ． 【答案】 【解析】展开式中共有四项，正负交替， 其中系数最大的项为：， 故答案为：. 【考试题型4】求展开式中特定项系数的和 【例4】（2019年·河南对口升学高考）已知. 求的值. 【答案】 【解析】解：令得，①； 令得，②， ①+②得，， 所以. 【考试题型5】求展开中式的参数 【例5】（2018年·河南对口升学高考）的展开式中含项的系数为5，则的值为（ ） A. -4 B. -3 C. -2 D. -1 【答案】D 【解析】的展开式中含项分别有：，， 因为展开式中含项的系数为5，即：，， 故选：D. 题型考点一 求二项展开式的特定项（或系数） 1．已知的展开式的各项系数之和为81，则（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】由题意，令得：，解得：． 故选：B 2．若，则（ ） A．80 B． C．40 D．81 【答案】C 【解析】由题意，. 故选：C. 3．求的展开式的第4项的二项式系数（ ） A． B． C．15 D．20 【答案】D 【解析】由二项展开式的二项式系数的性质， 可得二项式的展开式的第4项的二项式系数. 故选：D. 4．设，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，， 令，得； 令，得， 所以. 故选：B. 5．的展开式中，的系数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】的展开式的通项是，（） 由题意，， 因此，的系数是. 故选：B. 6．在的展开式中，常数项为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】法一：. 则展开式中得到常数项只有一种方法，即每个括号中都取出相乘可得. 故展开式中常数项为； 法二：的展开式中通项为 . 令，可得， 则展开式中常数项为. 故选：A. 7．在的展开式中，的系数为（ ） A． B．5 C． D．10 【答案】C 【解析】展开式的通项公式为：， 令可得：，则的系数为：. 故选：C. 8．的展开式中的常数项为 ． 【答案】24 【解析】由通项公式得:, 令,即可得, 所以展开式的常数项为:. 故答案为：24 9．在的展开式中，的系数为 ． 【答案】 【解析】的二项展开式为， 令，解得，故所求即为． 故答案为：. 10．在的展开式中，二项式系数之和与各项系数之和比为，则展开式的项数为 ． 【答案】 【解析】由题意，二项式的展开式的二项式系数之和为， 令，可得展开式的各项系数之和为， 因为二项式系数之和与各项系数之和比为，可得，即，解得， 所以二项式展开式的项数为. 故答案为：. 题型考点二 二项式系数的性质 1．在的展开式中，所有二项式系数和为64，则（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【解析】由题意可知：， 故选：A 2．的展开式中系数最大的项是（ ） A．第5项 B．第6项 C．第5项、第6项 D．第6项、第7项 【答案】B 【解析】由的展开式的通项为，知展开式中系数最大的项即二项式系数最大的项，即最大，所以，即第6项的系数最大． 故选：B 3．已知的展开式中第项和第项的二项式系数相等，则为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知可得，所以，. 故选：A. 4．，则（ ） A．16     B．27     C．43     D．70 【答案】C 【解析】依题意， 令，得. 故选：C 5．若的展开式中，第3项的二项式系数与第7项的二项式系数相等，则（ ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】C 【解析】根据二项式系数的对称性知，则， 故选：C． 6．已知二项式的展开式中仅有第项的二项式系数最大，则为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为二项式的展开式中仅有第项的二项式系数最大， 则二项式的展开式共项，即，解得. 故选：A. 7．已知，则（ ） A． B．2 C．4 D．12 【答案】B 【解析】由于， 故令，即得， 即， 故选：B 8．已知的展开式的各项系数之和为81，则（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】由题意，令得：，解得：． 故选：B. 9．若二项式的展开式，二项式系数之和为16，则展开式中的系数为（ ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【解析】由展开式中二项式系数之和为，即，得. 展开式中 ， 令，得，故的系数为， 故选：C. 10．已知的二项展开式中，所有二项式系数的和为256，则展开式中的常数项为 ． 【答案】1120 【解析】所有二项式系数的和为256,,, 则展开式的通项公式为， 令可得，展开式的常数项为. 故答案为：1120. 题型考点三 求二项式中的参数 1．若的展开式中常数项等于，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵的展开式中的通项公式为， 令得，可得常数项为，得， 故选：C． 2．已知的展开式中，常数项为60，则的值为（ ） A．2 B．2， C．3 D．3， 【答案】B 【解析】展开式的通项为， 令，可得， 因此，展开式中的常数项为. 则，. 故选：B. 3．在展开式中的系数为24，则实数的值为（ ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【解析】展开式中的系数为，解得. 故选：D. 4．已知，若，则的取值可以为（ ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【解析】令，有， 即或. 故选：A. 5．已知的展开式中常数项为112，则实数a的值为（ ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【解析】由于展开式中的通项公式为：， 令，求得，可得它的展开式的常数项是， 再根据展开式中的常数项是112 ，可得，求得， 故选：A． 6．在的展开式中，的系数为，则 ． 【答案】## 【解析】的展开式中，含的项为， 所以. 故答案为： 7．在的展开式中，的系数为8，则实数的值为 ． 【答案】2 【解析】的展开式的通项为， 令，解得， 所以系数是，解得． 故答案为：2. 8．在的展开式中，的系数为12，则的值为 ． 【答案】 【解析】因为的展开式的通项为：， 又因为的系数为12，所以当时，， 所以，解得. 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $