专题2 排列组合（讲义） - 河南省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：河南省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块41个专题，每个专题均配备配套课件、讲义及练习题。 本专题是河南省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》模块10排列组合、二项式定理中的第2个专题排列组合。本专题涵盖排列、排列数、组合、组合数等知识点，知识点后配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 河南省2026年对口招生考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题2 排列组合（讲义） 知识点1 排列与组合 1. 排列与组合的概念 名称 定义 排列 从个不同元素中取出（）个元素 按照一定的顺序排成一列，叫做从个元素中取出个元素的一个排列 组合 作为一组，叫做从个元素中取出个元素的一个组合 2. 排列数与组合数 （1）排列数： 从个不同元素中取出取出（）个元素的所有不同排列的个数，叫做从个元素中取出个元素的一个排列数，用符号表示 （2）组合数： 从个不同元素中取出（）个元素的所有不同组合的个数，叫做从个元素中取出个元素的一个组合数，用符号表示 知识点2 排列数、组合数的公式及性质 （1） （2） （3） （4）； 【考试题型1】考查组合和分类计数原理 【例1】（24-25高三下·河南·模拟预测）某年级要从3名男生，2名女生中选派2人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有（ ） A．6种 B．7种 C．8种 D．9种 【考试题型2】考查排列问题 【例2】（23-24高三上·河南·模拟预测）一名老师和两名男生两名女生站成一排照相，要求两名女生必须站在一起且老师不站在两端，则不同站法的种数为（ ） A．8 B．12 C．16 D．24 【考试题型3】考查排列和分类计数原理 【例3】（23-24高三下·河南·模拟预测）用数字0，1，2，3可以组成无重复数字的四位偶数（ ） A．20个 B．16个 C．12个 D．10个 【考试题型4】考查组合数的计算 【例4】（2022年·河南对口升学高考）若，则的值为（ ） A.2 B.3 C.5 D.6 【考试题型5】考查排列问题 【例5】（2019年·河南对口升学高考）从10人中选出2人分别为正副班长，选法种数为 （ ） A.45 B.90 C.30 D.180 题型考点一 排列问题 1．现有甲、乙、丙三个人来领取编号为1，2，3的三本书，每个人只能领取一本书，则所有领书方案的情况总数为（ ） A．1 B．3 C．6 D．12 2．北京冬奥会期间，需从5名志愿者中选3人去为速度滑冰､花样滑冰､冰球三个竞赛项目服务，每个项目必须有志愿者参加且每名志愿者只服务一个项目，不同的安排方法种数为（ ） A．10 B．27 C．36 D．60 3．某学校社团为举办庆祝中国共产党成立102周年革命歌曲展演．现从《歌唱祖国》《英雄赞歌》《南泥湾》《没有共产党就没有新中国》4首独唱歌曲和《保卫黄河》《唱支山歌给党听》《我和我的祖国》3首合唱歌曲中共选出4首歌曲安排演出，要求最后一首歌曲必须是合唱，则不同的安排方法共有（ ） A．40 B．240 C．120 D．360 4．“总把新桃换旧符”是指在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有3名顾客都领取一件礼品，则他们3人领取的礼品种类都不相同的方法种数是（ ） A．3 B．6 C．9 D．27 5．用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（ ） A．8 B．24 C．48 D．120 6．电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告，其中4个商业广告2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有（ ） A． B． C． D． 7．甲乙丙丁4名同学站成一排拍照，若甲不站在两端，不同排列方式有（ ） A．6种 B．12种 C．36种 D．48种 8．用数字组成 个没有重复数字并且是的倍数的五位数. 9．为了举行一场活动，现要安排5名志愿者去四个场馆参加活动，每名志愿者只能去一个场馆.且每个场馆只能安排一名志愿者，则不同的分配方法有 个.（空格处填写数字） 10．一场小型晚会有2个唱歌节目和3个相声节目，要求排出一个节目单. （1）3个相声节目要排在一起，有多少种排法？（结果用数值表示） （2）2个唱歌节目不相邻，有多少种排法？（结果用数值表示） 题型考点二 组合问题 1．某学校高一年级共8个班，高二年级6个班从中选一个班级担任学校星期一早晨升旗任务，共有多少种安排方法（ ） A．8 B．6 C．14 D．48 2．从班委会5名同学中选出3名同学担任劳动教育宣讲员，不同的选法种数有（ ） A．60种 B．30种 C．20种 D．10种 3．在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则恰好取到1件次品的不同方法数共有（ ） A． B． C． D． 4．某职校计算机专业开设两类不同选修课，其中专业类选修课有6门不同课程，公共基础类选修课有5门不同课程.若从两类选修课中各选一门学习，则不同的选修方案有（ ） A．种 B．种 C．种 D．种 5．某天的值日工作由4名同学负责，且其中1人负责清理讲台，另1人负责扫地，其余2人负责拖地，则不同的分工共有（ ） A．6种 B．12种 C．18种 D．24种 6．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ） A．120种 B．90种 C．60种 D．30种 7．为了宣讲新型冠状病毒肺炎的正确预防措施，某社区拟从5名男志愿宣讲员和3名女志愿宣讲员中任选3人，参加本社区的宣讲服务，则选中的3人中至少有2名女宣讲员的选法共有（ ） A．12种 B．14种 C．16种 D．32种 8．新课程改革后，普通高校招生方案规定：每位考生从物理、化学、生物、地理、政治、历史六门学科中随机选三门参加考试，某省份规定物理或历史至少选一门，那么该省份每位考生的选法共有（ ） A．14种 B．15种 C．16种 D．17种 9．北京冬奥会期间，小苏抢购了3个冰墩墩和4个雪容融且造型不一的吉祥物，现抽取3个吉祥物送给一位朋友，其中至少有冰墩墩雪容融各1个，则不同的送法有 种.（用数字作答） 10．班上每个小组有12名同学，现要从每个小组选4名同学组成一支代表队，与其他小组进行辩论赛． (1)每个小组的代表队有多少种选法？ (2)如果每支代表队还必须指定1名队长，那么每个小组的代表队有多少种选法？ 题型考点三 排列组合综合问题 1．要将4个不同的礼物分给3位同学，每人至少1个，不同分法的种数是（ ） A．36 B．48 C．64 D．72 2．安排5名志愿者完成三项工作，其中项工作需3人，两项工作都只需一人，则不同的安排方式共有（ ） A．10种 B．120种 C．60种 D．20种 3．用0，1，2，3，4可以组成数字不重复的两位数的个数为（ ） A．15 B．16 C．17 D．18 4．有甲、乙、丙3项任务，甲需要2人承担，乙、丙各需要1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法有（ ） A．1260 B．2520 C．2025 D．5040 5．五一小长假期间，旅游公司决定从6辆旅游大巴A､B､C､D､E､F中选出4辆分别开往紫蒙湖､美林谷､黄岗梁､乌兰布统四个景区承担载客任务，要求每个景区都要有一辆大巴前往，每辆大巴只开往一个景区，且这6辆大巴中A､B不去乌兰布统，则不同的选择方案共有（ ） A．360 B．240 C．216 D．168 6．小张接到4项工作，要在下周一、周二、周三这3天中完成，每天至少完成1项，且周一只能完成其中1项工作，则不同的安排方式有（ ） A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 7．将编号为，，，的个小球放入个不同的盒子中，每个盒子不空，若放在同一盒子里的个小球编号不相邻，则共有 种不同的放法． 8．某一天的课程表要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物六门课，如果数学只能排在第一节或者最后一节，物理和化学必须排在相邻的两节，则共有 种不同的排法. 9．现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有 种． 10．冬季供暖就要开始，现分配出4名水暖工去3个不同的居民小区检查暖气管道，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，那么分配的方案共有 种． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：河南省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块41个专题，每个专题均配备配套课件、讲义及练习题。 本专题是河南省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》模块10排列组合、二项式定理中的第2个专题排列组合。本专题涵盖排列、排列数、组合、组合数等知识点，知识点后配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 河南省2026年对口招生考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题2 排列组合（讲义） 知识点1 排列与组合 1. 排列与组合的概念 名称 定义 排列 从个不同元素中取出（）个元素 按照一定的顺序排成一列，叫做从个元素中取出个元素的一个排列 组合 作为一组，叫做从个元素中取出个元素的一个组合 2. 排列数与组合数 （1）排列数： 从个不同元素中取出取出（）个元素的所有不同排列的个数，叫做从个元素中取出个元素的一个排列数，用符号表示 （2）组合数： 从个不同元素中取出（）个元素的所有不同组合的个数，叫做从个元素中取出个元素的一个组合数，用符号表示 知识点2 排列数、组合数的公式及性质 （1） （2） （3） （4）； 【考试题型1】考查组合和分类计数原理 【例1】（24-25高三下·河南·模拟预测）某年级要从3名男生，2名女生中选派2人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有（ ） A．6种 B．7种 C．8种 D．9种 【答案】 B 【解析】可按女生人数分类：若选派1名女生，有种； 若选派2名女生，则有种． 由分类加法计数原理，共有7种不同的选派方法， 故选：B. 【考试题型2】考查排列问题 【例2】（23-24高三上·河南·模拟预测）一名老师和两名男生两名女生站成一排照相，要求两名女生必须站在一起且老师不站在两端，则不同站法的种数为（ ） A．8 B．12 C．16 D．24 【答案】D 【解析】两名女生站一起有种站法，她们与两个男生站一起共有种站法， 老师站在他们的中间有＝24种站法， 故应选：D. 【考试题型3】考查排列和分类计数原理 【例3】（23-24高三下·河南·模拟预测）用数字0，1，2，3可以组成无重复数字的四位偶数（ ） A．20个 B．16个 C．12个 D．10个 【答案】D 【解析】当个位数字为0时，有种； 当个位数字为2时，先排最高位有，剩下的有种，共有种， 所以无重复数字的四位偶数有， 故选：D. 【考试题型4】考查组合数的计算 【例4】（2022年·河南对口升学高考）若，则的值为（ ） A.2 B.3 C.5 D.6 【答案】B 【解析】若，则，， 故选：B. 【考试题型5】考查排列问题 【例5】（2019年·河南对口升学高考）从10人中选出2人分别为正副班长，选法种数为 （ ） A.45 B.90 C.30 D.180 【答案】B 【解析】从10人中选出2人分别为正副班长，选法种数为：， 故选：B. 题型考点一 排列问题 1．现有甲、乙、丙三个人来领取编号为1，2，3的三本书，每个人只能领取一本书，则所有领书方案的情况总数为（ ） A．1 B．3 C．6 D．12 【答案】C 【解析】因为三本书编号为1，2，3，且每个人只能领取一本书， 所以所有领书方案的情况总数为， 故选：C. 2．北京冬奥会期间，需从5名志愿者中选3人去为速度滑冰､花样滑冰､冰球三个竞赛项目服务，每个项目必须有志愿者参加且每名志愿者只服务一个项目，不同的安排方法种数为（ ） A．10 B．27 C．36 D．60 【答案】D 【解析】依题意，从5名志愿者中选3人服务3个不同项目， 不同的安排方法有（种）， 故选：D. 3．某学校社团为举办庆祝中国共产党成立102周年革命歌曲展演．现从《歌唱祖国》《英雄赞歌》《南泥湾》《没有共产党就没有新中国》4首独唱歌曲和《保卫黄河》《唱支山歌给党听》《我和我的祖国》3首合唱歌曲中共选出4首歌曲安排演出，要求最后一首歌曲必须是合唱，则不同的安排方法共有（ ） A．40 B．240 C．120 D．360 【答案】D 【解析】根据题意，在3首合唱歌曲中任选1首，安排在最后，有3种安排方法， 在其他6首歌曲中任选3首，作为前3首歌曲，有种安排方法， 则有种不同的安排方法， 故选：D． 4．“总把新桃换旧符”是指在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有3名顾客都领取一件礼品，则他们3人领取的礼品种类都不相同的方法种数是（ ） A．3 B．6 C．9 D．27 【答案】B 【解析】根据题意，3名顾客都领取一件礼品，且领取的礼品种类都不相同的方法种数为， 故选：B． 5．用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（ ） A．8 B．24 C．48 D．120 【答案】C 【解析】由题意知本题需要分步计数，2和4排在末位时，共有种排法， 其余三位数从余下的四个数中任取三个有24种排法， 根据由分步计数原理得到符合题意的偶数共有2×24＝48（个）， 故选：C． 6．电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告，其中4个商业广告2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先排4个商业广告，则，即存在5个空，再排2个公益广告，则，故总排法：， 故选：A. 7．甲乙丙丁4名同学站成一排拍照，若甲不站在两端，不同排列方式有（ ） A．6种 B．12种 C．36种 D．48种 【答案】B 【解析】甲站位的排列数为，其余三位学生的全排列数为， 所有的排列方式有：. 故选：B. 8．用数字组成 个没有重复数字并且是的倍数的五位数. 【答案】 【解析】若末位为，则可组成个满足题意的五位数； 若末位为，则可组成个满足题意的五位数； 共可组成满足题意的五位数有：个， 故答案为：. 9．为了举行一场活动，现要安排5名志愿者去四个场馆参加活动，每名志愿者只能去一个场馆.且每个场馆只能安排一名志愿者，则不同的分配方法有 个.（空格处填写数字） 【答案】120 【解析】从5名志愿者中选4人排列个. 故答案为：120 10．一场小型晚会有2个唱歌节目和3个相声节目，要求排出一个节目单. （1）3个相声节目要排在一起，有多少种排法？（结果用数值表示） （2）2个唱歌节目不相邻，有多少种排法？（结果用数值表示） 【答案】（1）36（2）72 【解析】解：（1）将三个相声节目看成一个整体，总共三个节目排列：（种）； （2）先将相声节目排好，然后再将唱歌节目插入其中的空中：（种）； 题型考点二 组合问题 1．某学校高一年级共8个班，高二年级6个班从中选一个班级担任学校星期一早晨升旗任务，共有多少种安排方法（ ） A．8 B．6 C．14 D．48 【答案】C 【解析】从14个班级里面选一个即种方法， 故选：C． 2．从班委会5名同学中选出3名同学担任劳动教育宣讲员，不同的选法种数有（ ） A．60种 B．30种 C．20种 D．10种 【答案】D 【解析】依题意，有 种选法， 故选：D. 3．在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则恰好取到1件次品的不同方法数共有（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在50件产品中含有3件次品,所以有47件不是次品, 任取2件，则恰好取到1件次品的不同方法数共有. 故选：A. 4．某职校计算机专业开设两类不同选修课，其中专业类选修课有6门不同课程，公共基础类选修课有5门不同课程.若从两类选修课中各选一门学习，则不同的选修方案有（ ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【解析】依题意，专业类选修课有6门不同课程，公共基础类选修课有5门不同课程， 从两类选修课中各选一门学习，根据分步计数原理， 不同的选修方案有种. 故选：B 5．某天的值日工作由4名同学负责，且其中1人负责清理讲台，另1人负责扫地，其余2人负责拖地，则不同的分工共有（ ） A．6种 B．12种 C．18种 D．24种 【答案】B 【解析】方法数有：种， 故选：B． 6．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ） A．120种 B．90种 C．60种 D．30种 【答案】C 【解析】首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有； 然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有； 最后剩下的名同学去丙场馆， 故不同的安排方法共有种， 故选：C． 7．为了宣讲新型冠状病毒肺炎的正确预防措施，某社区拟从5名男志愿宣讲员和3名女志愿宣讲员中任选3人，参加本社区的宣讲服务，则选中的3人中至少有2名女宣讲员的选法共有（ ） A．12种 B．14种 C．16种 D．32种 【答案】C 【解析】根据题意，分2种情况讨论： ①选出的宣讲员中有3名女宣讲员，有种选法； ②选出的宣讲员中有2名女宣讲员和1名男宣讲员，有种选法； 则一共有1+15＝16种选法， 故选：C． 8．新课程改革后，普通高校招生方案规定：每位考生从物理、化学、生物、地理、政治、历史六门学科中随机选三门参加考试，某省份规定物理或历史至少选一门，那么该省份每位考生的选法共有（ ） A．14种 B．15种 C．16种 D．17种 【答案】C 【解析】由题意得： 物理或历史中选一门：种选法； 物理和历史都选：种选法； 物理或历史至少选一门，那么该省份每位考生的选法共有种选法； 故选：C 9．北京冬奥会期间，小苏抢购了3个冰墩墩和4个雪容融且造型不一的吉祥物，现抽取3个吉祥物送给一位朋友，其中至少有冰墩墩雪容融各1个，则不同的送法有 种.（用数字作答） 【答案】30 【解析】若选1个冰墩墩和2个雪容融，则有种； 若选2个冰墩墩和1个雪容融，则有种； 综上可得一共有种， 故答案为：. 10．班上每个小组有12名同学，现要从每个小组选4名同学组成一支代表队，与其他小组进行辩论赛． (1)每个小组的代表队有多少种选法？ (2)如果每支代表队还必须指定1名队长，那么每个小组的代表队有多少种选法？ 【答案】(1)495 (2)1980 【分析】（）由组合数的计算即可得解. （）根据题意先选出队长，再选出其他三人，结合组合数的计算即可得解. 【解析】解：（1）由题意从12名同学中选4名同学组成一支代表队， 共有种选法． （2）完成这件事情分为两步：第一步先选出队长，有种选法； 再选出3名队员，有种选法， 故共有选法． 题型考点三 排列组合综合问题 1．要将4个不同的礼物分给3位同学，每人至少1个，不同分法的种数是（ ） A．36 B．48 C．64 D．72 【答案】A 【解析】由题可知，有1位同学分得两个礼物，其他2为同学各得一个，可以先从4个礼物种挑出2个，将礼物分为3份，与3位同学进行全排列，故不同分法的种数是． 故选：A 2．安排5名志愿者完成三项工作，其中项工作需3人，两项工作都只需一人，则不同的安排方式共有（ ） A．10种 B．120种 C．60种 D．20种 【答案】D 【解析】从5名志愿者中任选人完成项工作，有种， 剩余名志愿者完成两项工作，有种， 故不同的安排方式共有种. 故选：D 3．用0，1，2，3，4可以组成数字不重复的两位数的个数为（ ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】B 【解析】若个位数是，则有个； 若个位数不是，则有个， 则共有个， 故选：B． 4．有甲、乙、丙3项任务，甲需要2人承担，乙、丙各需要1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法有（ ） A．1260 B．2520 C．2025 D．5040 【答案】B 【解析】分析题目先从10人中选出4个人，再在这4个人中选两个从事甲任务， 剩下的两个人从事乙丙任务，故不同的选法有种， 故选：B． 5．五一小长假期间，旅游公司决定从6辆旅游大巴A､B､C､D､E､F中选出4辆分别开往紫蒙湖､美林谷､黄岗梁､乌兰布统四个景区承担载客任务，要求每个景区都要有一辆大巴前往，每辆大巴只开往一个景区，且这6辆大巴中A､B不去乌兰布统，则不同的选择方案共有（ ） A．360 B．240 C．216 D．168 【答案】B 【分析】优先考虑去乌兰布统，再把剩下的三个景区各安排一辆大巴前往，利用分步计算原理得解. 【解析】这6辆旅游大巴，A､B不去乌兰布统，则不同的选择方案共有种. 故选：B. 6．小张接到4项工作，要在下周一、周二、周三这3天中完成，每天至少完成1项，且周一只能完成其中1项工作，则不同的安排方式有（ ） A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 【答案】C 【解析】先从4项工作中选1项安排在周一完成，再从剩下的工作中选2项安排在周二或周三，所以不同的安排方式有种． 故选：C 7．将编号为，，，的个小球放入个不同的盒子中，每个盒子不空，若放在同一盒子里的个小球编号不相邻，则共有 种不同的放法． 【答案】18 【解析】先把4个小球分为一组，其中2个不连号小球的种类有，，为一组， 分组后分配到三个不同的盒子里，故共有种不同的放法； 故答案为：18． 8．某一天的课程表要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物六门课，如果数学只能排在第一节或者最后一节，物理和化学必须排在相邻的两节，则共有 种不同的排法. 【答案】96 【解析】根据题意，先排数学，有种；物理和化学相邻排，用捆绑法，有种； 再与剩下的3节随意安排，有种安排方法， 所有符合条件的排法总数为． 故答案为：96． 9．现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有 种． 【答案】 【解析】先按排甲，其选座方法有种， 由于甲、乙不能相邻，所以乙只能坐甲对面， 而丙、丁两位同学坐另两个位置的坐法有种， 所以共有坐法种数为种． 故答案为：8. 10．冬季供暖就要开始，现分配出4名水暖工去3个不同的居民小区检查暖气管道，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，那么分配的方案共有 种． 【答案】36 【解析】由题意将4名水暖工分成3组，即为形式，分组的方法有种， 再将这3组分配到3个小区，则分配方案有种， 故答案为：36． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $