概率（2）-知识点训练卷 河北省2026年对口升学《数学考纲百套卷》第63卷（原卷版+解析版）
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内容正文：
编写说明：河北省2026年对口升学《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及河北历年对口升学真题进行编写。本套试卷共100份：第一部分是按照课程标准编写的70份知识点训练卷；第二部分是集合与充要条件、函数、三角函数等11个章节的20份专题训练卷；第三部分是参考考试真题编写的10份综合模拟卷。
本卷是河北省2026年对口升学《数学考纲百套卷》的第63卷，是知识点训练卷，主要考查概率掌握情况。
河北省2026年对口升学《数学考纲百套卷》 第63卷
概率 知识点训练卷
考试时间：90分钟 满分：120分
班级 姓名 学号 成绩
一、选择题（本题共20小题，每小题3分，共60分）
1.有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（ ）.
A．至多有1次中靶 B．2次都中靶
C．2次都不中靶 D．只有1次中靶
2.从2名男生和2名女生中选2人参加校庆汇报演出，则选到一男一女的概率为（ ）
A． B． C． D．
3.下列说法正确的是（ ）
A．某事件发生的频率为
B．不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1
C．小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然要发生的事件
D．某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的
4.从1,2,3,4,5五个数中任取两个（不可重复），则它们的和为偶数的概率是（ ）
A. B. C. D.
5.抛掷3枚质地均匀的硬币，记事件{至少1枚正面朝上}，{至多2枚正面朝上}，事件{没有硬币正面朝上}，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
6.50名同学的体重情况如下表所示：
分组（）
频数
6
8
15
18
3
则这50名同学体重小于的频率为（ ）
A．0.28 B．0.58 C．0.42 D．0.94
7.某兴趣小组由2名男同学与3名女同学组成，他们完成一项活动后，要从这5名同学中选2人写活动体会，则所选男生人数不少于1名的概率为（ ）
A． B． C． D．
8.一个容量为20的数据样本，分组和频数为，2个、，3个、，4个、，5个、，4个、，2个，则样本数据在区间的可能性为（ ）
A．5% B．25% C．50% D．70%
9.若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
10.事件A,B的概率分别为,,且,则( )
A． B．
C． D．无法判断
11.设某种产品分两道独立工序生产，第一道工序的次品率为，第二道工序的次品率为，生产这种产品只要有一道工序出次品就将生产次品，则该产品的次品率是（ ）
A．0.873 B．0.13 C．0.127 D．0.03
12.袋中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用表示第一次摸得黑球，表示第二次摸得黑球，则与是（ ）
A．相互独立事件 B．不相互独立事件
C．互斥事件 D．对立事件
13.中国篮球职业联塞（CBA）中，某男篮球运动是在最近几次比赛中的得分情况如下表：
投篮次数
投中两分球的次数
投中三分球的次数
没投中
100
55
18
m
记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
14.从甲、乙、丙三名候选人中任选两人参加党史知识竞赛，则乙被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
15.一箱脐橙共有21个，其中有3个是坏果，若从中随机取一个，则取到的脐橙不是坏果的概率为（ ）
A． B． C． D．
16.若，则方程．有实根的概率为（ ）
A． B． C． D．
17.从一箱产品中随机地抽取一件，设事件{抽到一等品}，事件{抽到二等品}，事件{抽到三等品}，且已知，，，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为（ ）
A． B． C． D．
18.等可能地从集合的所有子集中任选一个，选到非空真子集的概率为（ ）
A． B． C． D．
19.甲､乙两名志愿者均打算高考期间去三个考点中的一个考点做服务，甲去考点做服务的概率分别为，乙去考点做服务的概率分别为，则不正确的是（ ）
A．甲去考点做服务的概率为
B．甲去考点､乙不去考点做服务的概率为
C．甲､乙同去考点做服务的概率为
D．甲､乙不去同一考点做服务的概率为
20.某同学从家到学校要经过三个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，该同学在各路口遇到红灯的概率分别为，，，则该同学从家到学校至少遇到一次红灯的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）
21.假设，，且与相互独立，则_____．
22.掷一枚均匀的硬币100次，其中54次出现正面，则出现正面的频率是______．
23.从m名男生和n名女生中任选3人去参加演讲比赛，所选3人中至少有1名女生的概率为，那么所选3人都是男生的概率为______.
24.某运动会火炬接力，要从2男2女中任选两人，则选中两人中恰好有1女的概率是______.
25.某电路由A、B、C三个部件组成（如图），每个部件正常工作的概率都是，则该电路正常运行的概率为___________.
三、解答题（本题共4小题，26、27题8分，28、29题12分，共40分）
26.从不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一张，设事件A=“抽到红心”，事件B=“抽到方片”，，那么
（1）C=“抽到红花色”，求；
（2）D=“抽到黑花色”，求.
27.甲、乙两人进行投篮训练, 已知甲投球命中的概率是, 乙投球命中的概率是 且两人投球命中与否相互之间没有影响.
（1）若两人各投球次, 求恰有人命中的概率;
（2）若两人各投球次, 求这次投球中至少有次命中的概率.
28.袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，构成有序数对（x，y），其中x为第一次取到的小球上的数字，y为第二次取到的小球上的数字．将两个红球编号为1，2，三个黄球编号为3，4，5，求下列事件的概率：
(1)A＝“第一次摸到红球”；
(2)B＝“第二次摸到红球”；
(3)AB＝“两次都摸到红球”．
29.在校运动会上，有甲､乙､丙三位同学参加羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲､丙首先比赛，乙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为.
(1)求丙连胜四场的概率；
(2)求需要进行第五场比赛的概率；
(3)甲､乙､丙三人中谁最终获胜的概率最大？请说明理由.
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编写说明：河北省2026年对口升学《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及河北历年对口升学真题进行编写。本套试卷共100份：第一部分是按照课程标准编写的70份知识点训练卷；第二部分是集合与充要条件、函数、三角函数等11个章节的20份专题训练卷；第三部分是参考考试真题编写的10份综合模拟卷。
本卷是河北省2026年对口升学《数学考纲百套卷》的第63卷，是知识点训练卷，主要考查概率掌握情况。
河北省2026年对口升学《数学考纲百套卷》 第63卷
概率 知识点训练卷
考试时间：90分钟 满分：120分
班级 姓名 学号 成绩
一、选择题（本题共20小题，每小题3分，共60分）
1.有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（ ）.
A．至多有1次中靶 B．2次都中靶
C．2次都不中靶 D．只有1次中靶
【答案】C
【详解】根据对立事件的概念，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是“2次都不中靶”.
故选：C.
2.从2名男生和2名女生中选2人参加校庆汇报演出，则选到一男一女的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】从2名男生和2名女生中选2人共有如下6种选法：
（男1，男2），（男1，女1），（男1，女2），（男2，女1），（男2，女2），（女1，女2），
选到一男一女的选法有4种，分别为：
（男1，女1），（男1，女2），（男2，女1），（男2，女2），则选到一男一女的概率为.
故选：A.
3.下列说法正确的是（ ）
A．某事件发生的频率为
B．不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1
C．小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然要发生的事件
D．某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的
【答案】B
【详解】对于A，事件发生的频率为，故A错误；
对于B，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，故B正确；
对于C，小概率事件是指发生可能性极小的事件，是可能发生的，并不是不可能发生的事件，大概率事件就是发生可能性很大的事件，也可能不发生，并不是必然要发生的事件，故C错误；
对于D，概率是稳定值，是频率的理想值，并不会随着频率变化而变化，故与试验次数无关，故D错误.
故选：B.
4.从1,2,3,4,5五个数中任取两个（不可重复），则它们的和为偶数的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】从5个数中任取两个数共有种方法，记“和为偶数”为事件,则有
[1,3],[1,5],[3,5],[2,4]共4种方法，故概率为.
故选：C.
5.抛掷3枚质地均匀的硬币，记事件{至少1枚正面朝上}，{至多2枚正面朝上}，事件{没有硬币正面朝上}，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】记事件{1枚硬币正面朝上}，{2枚硬币正面朝上}，{3枚硬币正面朝上}，
则，，
显然，，，C不含于A，
故选：D.
6.50名同学的体重情况如下表所示：
分组（）
频数
6
8
15
18
3
则这50名同学体重小于的频率为（ ）
A．0.28 B．0.58 C．0.42 D．0.94
【答案】B
【详解】这50名同学体重小于的频率为，
故选：B.
7.某兴趣小组由2名男同学与3名女同学组成，他们完成一项活动后，要从这5名同学中选2人写活动体会，则所选男生人数不少于1名的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设2名男生为名女生为，
从5人中选2人的总选法为，
共10种不同选法，
则没有男生的选法共3种：，
故所求概率为.
故选：D
8.一个容量为20的数据样本，分组和频数为，2个、，3个、，4个、，5个、，4个、，2个，则样本数据在区间的可能性为（ ）
A．5% B．25% C．50% D．70%
【答案】D
【详解】由题意，在区间中样本个数为个，
所以样本数据在区间的可能性为，
故选：D.
9.若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】随机事件、互斥，、发生的概率均不等于0，
且，，
，即，
解得，即．
故选：D．
10.事件A,B的概率分别为,,且,则( )
A． B．
C． D．无法判断
【答案】D
【详解】因为不知道事件A,B的关系,所以无法判断,
故选：D.
11.设某种产品分两道独立工序生产，第一道工序的次品率为，第二道工序的次品率为，生产这种产品只要有一道工序出次品就将生产次品，则该产品的次品率是（ ）
A．0.873 B．0.13 C．0.127 D．0.03
【答案】C
【详解】由题意，次品率为.
故选：C
12.袋中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用表示第一次摸得黑球，表示第二次摸得黑球，则与是（ ）
A．相互独立事件 B．不相互独立事件
C．互斥事件 D．对立事件
【答案】A
【详解】由题意可得表示第二次摸到的不是黑球,
即表示第二次摸到的是白球,由于采用有放回地摸球,
故每次是否摸到白球互不影响,故事件与是相互独立事件，
由于与可能同时发生，故不是互斥事件也不是对立事件.
故选：A.
13.中国篮球职业联塞（CBA）中，某男篮球运动是在最近几次比赛中的得分情况如下表：
投篮次数
投中两分球的次数
投中三分球的次数
没投中
100
55
18
m
记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由题意可知，,，，
事件与事件为对立事件，且事件，，互斥，
所以，
，，
故选：D.
14.从甲、乙、丙三名候选人中任选两人参加党史知识竞赛，则乙被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】从甲、乙、丙三名候选人中任选两人参加党史知识竞赛，共有（甲，乙），（甲，丙），（乙，丙）3种选法，其中乙被选中有2种选法，故乙被选中的概率为，
故选：C.
15.一箱脐橙共有21个，其中有3个是坏果，若从中随机取一个，则取到的脐橙不是坏果的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】依题意可得，取到的脐橙不是坏果的概率为，
故选：D.
16.若，则方程．有实根的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】根据题意，方程有实根，即，
由于则一共可以得到种不同情况，
其中方程有实根有，；，；，；，；，；，；，共种情况，所以所求概率为：．
故选：C.
17.从一箱产品中随机地抽取一件，设事件{抽到一等品}，事件{抽到二等品}，事件{抽到三等品}，且已知，，，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】“抽到的产品不是一等品”的事件的对立事件是“抽到一等品”的事件，
而事件{抽到一等品}，且，于是得，
所以事件“抽到的产品不是一等品”的概率为0.35，
故选：B.
18.等可能地从集合的所有子集中任选一个，选到非空真子集的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】集合的所有子集有：，共8个，它们等可能，
选到非空真子集的事件A有：，共6个，
所以选到非空真子集的概率为.
故选：B.
19.甲､乙两名志愿者均打算高考期间去三个考点中的一个考点做服务，甲去考点做服务的概率分别为，乙去考点做服务的概率分别为，则不正确的是（ ）
A．甲去考点做服务的概率为
B．甲去考点､乙不去考点做服务的概率为
C．甲､乙同去考点做服务的概率为
D．甲､乙不去同一考点做服务的概率为
【答案】C
【详解】对于A，甲去考点做服务的概率为，故A正确，
对于B，甲去考点､乙不去考点做服务的概率为，故B正确，
对于C，甲､乙同去考点做服务的概率为，故C错误，
对于D，乙去考点做服务的概率为，
甲､乙不去同一考点做服务的概率为，
故选：C.
20.某同学从家到学校要经过三个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，该同学在各路口遇到红灯的概率分别为，，，则该同学从家到学校至少遇到一次红灯的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意，该同学从家到学校至少遇到一次红灯的概率为，
故选：D.
二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）
21.假设，，且与相互独立，则_____．
【答案】
【详解】∵事件与相互独立，
则，
由并事件的概率公式，
故答案为：.
22.掷一枚均匀的硬币100次，其中54次出现正面，则出现正面的频率是______．
【答案】0.54
【详解】由频率=频数÷总数可知，出现正面的频率=，
故答案为：0.54.
23.从m名男生和n名女生中任选3人去参加演讲比赛，所选3人中至少有1名女生的概率为，那么所选3人都是男生的概率为______.
【答案】
【详解】设事件A表示“所选3人中至少有1名女生”，事件B表示“所选3人都为男生”，则A，B互为对立事件，所以.
故答案为：
24.某运动会火炬接力，要从2男2女中任选两人，则选中两人中恰好有1女的概率是______.
【答案】
【详解】记个男生分别为、，个女生分别为、，
从个人中随机选人可能结果有、、、、、共个，
满足恰好有个女生的有、、、共个，
故恰好有个女生的概率.
故答案为：
25.某电路由A、B、C三个部件组成（如图），每个部件正常工作的概率都是，则该电路正常运行的概率为___________.
【答案】
【详解】电路正常工作，即：A正常且B或C至少有一个正常，
所以电路正常运行的概率为：.
故答案为：.
三、解答题（本题共4小题，26、27题8分，28、29题12分，共40分）
26.从不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一张，设事件A=“抽到红心”，事件B=“抽到方片”，，那么
（1）C=“抽到红花色”，求；
（2）D=“抽到黑花色”，求.
【答案】（1）；（2）
【详解】1）因为,且A与B不会同时发生,所以A与B是互斥事件,
根据互斥事件的概率加法公式,得
（2）因为C与D互斥,又因为是必然事件,所以C与D互为对立事件,
因此.
故答案为：（1）；（2）.
27.甲、乙两人进行投篮训练, 已知甲投球命中的概率是, 乙投球命中的概率是 且两人投球命中与否相互之间没有影响.
（1）若两人各投球次, 求恰有人命中的概率;
（2）若两人各投球次, 求这次投球中至少有次命中的概率.
【答案】（1）；（2）
【详解】解：（1）两人各投球次, 恰有人命中包含两种情况：甲中乙不中；乙中甲不中，
所以两人各投球次, 求恰有人命中的概率为：.
（2）若两人各投球次，则这次投球中至少有次命中的概率为：.
故答案为：（1）；（2）.
28.袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，构成有序数对（x，y），其中x为第一次取到的小球上的数字，y为第二次取到的小球上的数字．将两个红球编号为1，2，三个黄球编号为3，4，5，求下列事件的概率：
(1)A＝“第一次摸到红球”；
(2)B＝“第二次摸到红球”；
(3)AB＝“两次都摸到红球”．
【答案】(1)；(2)；(3)
【详解】（1）
摸出球的情况如下：，
，共20种情况，其中事件A包含，有8种情况，故；
（2）事件B包含，，，，，，，，有8种情况，所以
（3）事件AB包含，，有2种情况，所以.
故答案为“(1)；(2)；(3).
29.在校运动会上，有甲､乙､丙三位同学参加羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲､丙首先比赛，乙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为.
(1)求丙连胜四场的概率；
(2)求需要进行第五场比赛的概率；
(3)甲､乙､丙三人中谁最终获胜的概率最大？请说明理由.
【答案】(1)；(2)；(3)乙，理由见详解
【详解】（1）丙连胜四场的情况为：“丙胜甲负，丙胜乙负，丙胜甲负，丙胜乙负”，
所以丙连胜四场的概率：；
（2）根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛.
而甲､丙连胜四场的概率为，
乙上场后连胜三场获胜的概率为，
需要进行第五场比赛的概率.
（3）三人中乙最终获胜的概率最大.理由如下：
记事件为甲输，事件为丙输，事件为乙输，
记事件：甲赢，记事件：赢，
则甲赢的基本事件包括：､
，
甲赢的概率为.
由对称性可知，丙最终获胜的概率和甲最终获胜的概率相等，
即丙最终获胜的概率也是.
所以乙赢的概率为.
又，所以三人中乙最终获胜的概率最大.
故答案为：(1)；(2)；(3)乙，理由见详解.
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