概率（1） -知识点训练卷 河北省2026年对口升学《数学考纲百套卷》第62卷（原卷版+解析版）
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内容正文：
编写说明：河北省2026年对口升学《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及河北历年对口升学真题进行编写。本套试卷共100份：第一部分是按照课程标准编写的70份知识点训练卷；第二部分是集合与充要条件、函数、三角函数等11个章节的20份专题训练卷；第三部分是参考考试真题编写的10份综合模拟卷。
本卷是河北省2026年对口升学《数学考纲百套卷》的第62卷，是知识点训练卷，主要考查概率掌握情况。
河北省2026年对口升学《数学考纲百套卷》 第62卷
概率 知识点训练卷
考试时间：90分钟 满分：120分
班级 姓名 学号 成绩
一、选择题（本题共20小题，每小题3分，共60分）
1.抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为奇数”，事件2表示“骰子向上的点数为偶数”，事件3表示“骰子向上的点数大于3”，事件4表示“骰子向上的点数小于3”则（ ）
A．事件1与事件3互斥 B．事件1与事件2互为对立事件
C．事件2与事件3互斥 D．事件3与事件4互为对立事件
【答案】B
【详解】由题可知，事件1可表示为：,事件2可表示为：,
事件3可表示为：,事件4可表示为：,
因为，所以事件1与事件3不互斥，A错误；
因为为不可能事件，为必然事件，
所以事件1与事件2互为对立事件，B正确；
因为，所以事件2与事件3不互斥，C错误；
因为为不可能事件，不为必然事件，
所以事件3与事件4不互为对立事件，D错误；
故选：B.
2.已知为两个随机事件，则“为互斥事件”是“为对立事件”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
【答案】B
【详解】根据互斥事件和对立事件的概念可知，互斥不一定对立，对立一定互斥，所以“ A､B 为互斥事件”是“ A､B 为对立事件”的必要非充分条件.
故选：B
3.为弘扬我国古代“六艺”文化，某校研学活动社团计划开设“礼、乐、射、御、书、数”六门体验课程.若甲、乙两位同学均只能体验其中一门课程，则甲、乙恰好选中相同课程的概率为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【详解】如图，根据题意可得：“甲、乙两位同学均只能体验其中一门课程”共有36个基本事件，
“甲、乙恰好选中相同课程”共有6个基本事件，则概率为.
故选：D.
4.从数字1,2，3,4,5中选取不同的两个数组成两位数，则这个数能被3整除的概率为（ ）
A.0.3 B.0.4 C.0.35 D.0.45
【答案】B
【详解】记“能被3整除的事件为
两位数总数为,其中能被3整除的两位数有：12，21，15，51，24，42，45，54共8个，所以.
故选：B.
5.以下事件是随机事件的是（ ）
A．标准大气压下，水加热到，必会沸腾 B．走到十字路口，遇到红灯
C．长和宽分别为的矩形，其面积为 D．实系数一元一次方程必有一实根
【答案】B
【详解】A．标准大气压下，水加热到100℃必会沸腾，是必然事件；故本选项不符合题意；
B．走到十字路口，遇到红灯，是随机事件；故本选项符合题意；
C．长和宽分别为的矩形，其面积为是必然事件；故本选项不符合题意；
D．实系数一元一次方程必有一实根，是必然事件．故本选项不符合题意．
故选：B．
6.盒子里有4个白球和5个黑球，从中任取一个，取出白球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】盒子里共有9个球，其中4个白球，所以由古典概型得从中任取一个，取出白球的概率是.
故选：B
7.某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙均属于次品，生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01．若从中抽查一件，则恰好得正品的概率为（ ）
A．0.09 B．0.96 C．0.97 D．0.98
【答案】B
【详解】记事件A={甲级品}，B={乙级品}，C={丙级品}，则A与是对立事件，所以．
故选：B.
8.某校组织校外实践活动，安排给高一年级三辆车，甲和乙都可以从这三辆车中任选一辆搭车，则甲和乙搭不同车的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】一共有种方法，甲乙不同车有种情况，所以甲和乙不同车的概率为.
故选：D.
9.对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设“两次都击中飞机”，“两次都没击中飞机”，“恰有一次击中飞机”，“至少有一次击中飞机”，下列关系不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】A：事件A包含于事件D，正确．
B：由事件B，D不能同时发生，所以，正确．
C：事件指至少有一次击中飞机，即事件D，正确．
D：由至少有一次击中飞机，不是必然事件；而为必然事件，所以，不正确，
故选：D．
10.已知，，若，则（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
【答案】A
【详解】由于，所以，
故选：A.
11.在正方体上任取3个顶点连成三角形，则所得三角形是直角非等腰三角形的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】在相对棱所构成的四边形的4个顶点中任取3个顶点都可以构成直角非等腰三角形，共有个直角非等腰三角形，故所求的概率,故选：C.
12.下列说法正确的是（ ）
A．对于任意事件A和B，都有
B．若A，B为互斥事件，则
C．在一次试验中，其基本事件的发生一定是等可能的
D．在大量重复试验中，概率是频率的稳定值
【答案】D
【详解】对于A，成立的前提为事件和事件为互斥事件，故A错误；
对于B，事件和事件为互斥事件，则，故B错误；
对于C，在一次试验中，其基本事件的发生不一定为等可能的，故C错误；
对于D，频率是较少数据统计的结果，是一种具体的趋势和规律，在大量重复试验时，频率具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增加，这种摆动幅度越来越小，这个常数叫做这个事件的概率，随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，故D正确.
故选：D.
13.若A与B是相互独立事件，则下面不相互独立的事件是（ ）
A．A与 B．A与 C．与B D．与
【答案】A
【详解】因为与是相互独立事件，所以与，与，与都是相互独立事件，
而是的对立事件，与是互斥事件.
故选：A
14.若事件与相互独立，且，则的值等于（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【详解】因为事件与相互独立，由相互独立事件的概率计算公式，可得：
.
故选：B.
15.某人将一枚硬币连抛20次，正面朝上的情况出现了12次.若用A表示事件“正面向上”，则A的（ ）
A．频率为 B．概率为 C．频率为 D．概率接近
【答案】A
【详解】依题意可知，事件的频率为，概率为，
所以A选项正确，BCD选项错误，
故选：A.
16.围棋盒子中有多粒黑子和多粒白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，从中取出2粒都是白子的概率是.那么从中任意取出2粒不是同一色的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，
则事件A与B互斥.“从中取出2粒不是同一色”为事件C，则C与对立，
所以，
即“从中取出2粒不是同一色”的概率为，
故选：D.
17.从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm的概率为0.2，该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为( )
A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8
【答案】B
【详解】因为该同学的身高小于160cm的概率为0.2，该同学的身高在［160，175］cm的概率为0.5，和该同学的身高超过175cm的概率和为1，
利用对立事件可知1-0.2-0.5=0.3，
故选：B.
18.袋子中有3个红球和2个黑球，从中摸出一个球，该球为黑球的概率是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【详解】从袋子中摸出一球，共有5个基本事件，
设为“从袋中摸出一球，该球为黑球”，
则有两个基本事件，故，
故选：A.
19.同时抛掷两枚质地均匀的相同骰子，则两枚骰子的点数和为的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】同时抛掷两枚骰子，所有可能的结果有种；
其中点数和为的有，，，，共种情况，
点数和为的概率，
故选：C.
20.围棋盒子中有若干粒黑子和白子，从中任意取出2粒，2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率为，则取出的2粒颜色不同的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】2粒都是黑子或2粒都是白子的概率为，
取出的2粒颜色不同的概率为，
故选：D.
二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）
21.从一个12男11女的班级中任选一人进行问卷调查，抽到的是女同学的概率为______.
【答案】
【详解】因为班级的人数为，
所以抽到的是女同学的概率为，
故答案为：
22.已知，，，则______．
【答案】0.2
【详解】因为，
所以.
故答案为：0.2.
23.若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于，且，，则实数的取值范围为________．
【答案】
【详解】
随机事件互斥, 发生的概率均不等于0, 且 ,
，即，解得: .
故答案为：.
24.盒子中有散落的黑白棋子若干粒，已知从中取出粒都是黑子的概率是，从中取出粒都是白子的概率是，则从中任意取出粒恰好是一粒黑子一粒白子的概率是______.
【答案】
【详解】由题意，任意取出粒棋子，不考虑先后顺序，一共有粒都是黑子、粒都是白子和一粒黑子一粒白子种可能，
设事件：取出粒都是黑子，事件：取出粒都是白子，事件：取出粒恰好是一粒黑子一粒白子，则，，两两互斥，
由已知有，，
∵，
∴，
∴从中任意取出粒恰好是一粒黑子一粒白子的概率是.
故答案为：.
25.从这个数中随机取出个不同的数为，则的概率为___________.
【答案】
【详解】从个数中随机取出个数，则有，，，，，，共种情况；
其中满足的有，，，，共种情况，的概率.
故答案为：.
三、解答题（本题共4小题，26、27题8分，28、29题12分，共40分）
26.三个运动员练习篮球投篮，每个运动员投进的概率都是，求
（1）三人都同时投进的概率;
（2）至少有两个人投进的概率.
【答案】（1）；（2）
【详解】解：（1）由题知三人都同时投进的概率为：.
（2）至少有两个人投进包括三个人中有两人投进一人没投进或者三个人都投进，
所以至少有两个人投进的概率为：.
故答案为：（1）；（2）.
27.甲、乙两人对局，甲获胜的概率为0.3，甲不输的概率为0.55，求：
（1）成平局的概率；
（2）乙不输的概率．
【答案】(1)0.25；(2)0.7
【详解】解：(1)记甲获胜为事件A，平局为事件B，甲不输为事件C．
甲不输即为甲获胜或成平局，则C＝A+B，
因为A与B互斥，所以P（C）＝P（A+B）＝P（A）+P（B），
则P（B）＝P（C）－P（A）＝0.55－0.3＝0.25，
故成平局的概率为0.25；
(2)因为甲获胜即乙输，所以甲获胜与乙不输互为对立事件，
则乙不输的概率P＝1－P（A）＝1－0.3＝0.7．
故答案为：(1)0.25；(2)0.7.
28.某校有5名同学准备去某敬老院参加献爱心活动，其中来自甲班的3名同学用A，B，C表示，来自乙班的2名同学用D，E表示，现从这5名同学中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．
(1)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
(2)设M为事件“抽取的2名同学来自同一班”，求事件M发生的概率．
【答案】(1)答案见详解；(2)
【详解】（1）从这5名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为：，，，，，，，，，，共10种；
（2）抽取的2名同学来自同一班的所有可能结果为：，，，，共4种，
∴．
故答案为：(1)答案见详解；(2).
29.一个盒子中装有大小相同的2个红球和个白球，从中任取2个球．
（1）若，求取到的2个球恰好是一个红球和一个白球的概率；
（2）若取到的2个球中至少有1个红球的概率为，求．
【答案】（1）；（2）4.
【详解】解：（1）记“取到的２个球恰好是一个红球和一个白球”为事件，．
（2）记“取到的２个球中至少有１个红球”为事件，由题意，得
化简得，解得，或（舍去），故．
故答案为：（1）；（2）4.
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本卷是河北省2026年对口升学《数学考纲百套卷》的第62卷，是知识点训练卷，主要考查概率掌握情况。
河北省2026年对口升学《数学考纲百套卷》 第62卷
概率 知识点训练卷
考试时间：90分钟 满分：120分
班级 姓名 学号 成绩
一、选择题（本题共20小题，每小题3分，共60分）
1.抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为奇数”，事件2表示“骰子向上的点数为偶数”，事件3表示“骰子向上的点数大于3”，事件4表示“骰子向上的点数小于3”则（ ）
A．事件1与事件3互斥 B．事件1与事件2互为对立事件
C．事件2与事件3互斥 D．事件3与事件4互为对立事件
2.已知为两个随机事件，则“为互斥事件”是“为对立事件”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
3.为弘扬我国古代“六艺”文化，某校研学活动社团计划开设“礼、乐、射、御、书、数”六门体验课程.若甲、乙两位同学均只能体验其中一门课程，则甲、乙恰好选中相同课程的概率为（ ）
A． B． C．1 D．
4.从数字1,2，3,4,5中选取不同的两个数组成两位数，则这个数能被3整除的概率为（ ）
A.0.3 B.0.4 C.0.35 D.0.45
5.以下事件是随机事件的是（ ）
A．标准大气压下，水加热到，必会沸腾 B．走到十字路口，遇到红灯
C．长和宽分别为的矩形，其面积为 D．实系数一元一次方程必有一实根
6.盒子里有4个白球和5个黑球，从中任取一个，取出白球的概率是（ ）
A． B． C． D．
7.某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙均属于次品，生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01．若从中抽查一件，则恰好得正品的概率为（ ）
A．0.09 B．0.96 C．0.97 D．0.98
8.某校组织校外实践活动，安排给高一年级三辆车，甲和乙都可以从这三辆车中任选一辆搭车，则甲和乙搭不同车的概率是（ ）
A. B. C. D.
9.对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设“两次都击中飞机”，“两次都没击中飞机”，“恰有一次击中飞机”，“至少有一次击中飞机”，下列关系不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10.已知，，若，则（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
11.在正方体上任取3个顶点连成三角形，则所得三角形是直角非等腰三角形的概率为（ ）
A. B. C. D.
12.下列说法正确的是（ ）
A．对于任意事件A和B，都有
B．若A，B为互斥事件，则
C．在一次试验中，其基本事件的发生一定是等可能的
D．在大量重复试验中，概率是频率的稳定值
13.若A与B是相互独立事件，则下面不相互独立的事件是（ ）
A．A与 B．A与 C．与B D．与
14.若事件与相互独立，且，则的值等于（ ）
A．0 B． C． D．
15.某人将一枚硬币连抛20次，正面朝上的情况出现了12次.若用A表示事件“正面向上”，则A的（ ）
A．频率为 B．概率为 C．频率为 D．概率接近
16.围棋盒子中有多粒黑子和多粒白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，从中取出2粒都是白子的概率是.那么从中任意取出2粒不是同一色的概率是（ ）
A． B． C． D．
17.从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm的概率为0.2，该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为( )
A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8
18.袋子中有3个红球和2个黑球，从中摸出一个球，该球为黑球的概率是（ ）
A． B． C．1 D．
19.同时抛掷两枚质地均匀的相同骰子，则两枚骰子的点数和为的概率是（ ）
A． B． C． D．
20.围棋盒子中有若干粒黑子和白子，从中任意取出2粒，2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率为，则取出的2粒颜色不同的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）
21.从一个12男11女的班级中任选一人进行问卷调查，抽到的是女同学的概率为______.
22.已知，，，则______．
23.若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于，且，，则实数的取值范围为________．
24.盒子中有散落的黑白棋子若干粒，已知从中取出粒都是黑子的概率是，从中取出粒都是白子的概率是，则从中任意取出粒恰好是一粒黑子一粒白子的概率是______.
25.从这个数中随机取出个不同的数为，则的概率为___________.
三、解答题（本题共4小题，26、27题8分，28、29题12分，共40分）
26.三个运动员练习篮球投篮，每个运动员投进的概率都是，求
（1）三人都同时投进的概率;
（2）至少有两个人投进的概率.
27.甲、乙两人对局，甲获胜的概率为0.3，甲不输的概率为0.55，求：
（1）成平局的概率；
（2）乙不输的概率．
28.某校有5名同学准备去某敬老院参加献爱心活动，其中来自甲班的3名同学用A，B，C表示，来自乙班的2名同学用D，E表示，现从这5名同学中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．
(1)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
(2)设M为事件“抽取的2名同学来自同一班”，求事件M发生的概率．
29.一个盒子中装有大小相同的2个红球和个白球，从中任取2个球．
（1）若，求取到的2个球恰好是一个红球和一个白球的概率；
（2）若取到的2个球中至少有1个红球的概率为，求．
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